专题03 一元二次方程的应用5大题型-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（河南专用）

专题01 一元二次方程的应用5大题型 题型一 与几何图形有关的问题 1．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在长，宽的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使观赏路面积占总面积的，若设路宽为，则x应满足的方程是（   ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南开封·期末）如图，在长为米、宽为米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为平方米，设道路的宽米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河南新乡·期末）“指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长，宽的刺绣风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为（风景画四周的金色纸边宽度相同），则列出的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，在宽为、长为的长方形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干块作为试验田，假设试验田面积为，则道路的宽为 ． 5．（23-24九年级上·河南漯河·期末）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为，设道路的宽为根据题意列方程 ． 6．（23-24九年级上·河南焦作·期末）综合与实践： 项目化学习： 主题 “校庆主题”草坪设计 情境 为了迎接第60周年校庆，同学们参与一块长为40米，宽为30米的矩形“校庆主题”草坪方案设计，以下为小组对草坪设计的研究过程． 活动任务一 请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案． 驱动问题一 （1）请直接写出小组设计出来的四种方案小路面积，，，的大小关系； 活动任务二 为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1064平方米． 驱动问题二 （2）请计算两条小路的宽度是多少？ 活动任务三 为了展示校庆元素，打算在草坪上的校庆宣传主题墙前，靠墙用篱笆围（三边）建成一个矩形，且，如图． 驱动问题三 （3）数学之星小聪查阅资料发现：短边为长边的倍的矩形称为黄金矩形．黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．为了使长40米的篱笆恰好用完同时围住矩形的三面，且矩形的形状更接近黄金矩形．应设计成多少米？（参考数据：，，结果取整数） 7．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）长江文化艺术季于2024年9月在武汉开幕，主办方须在空地上布置烟花，如图，已知空地上有一段长为米的旧墙，若利用该旧墙和防火护栏围成一个矩形燃放地，其中，已知该矩形燃放地的一边靠墙，另三边一共用了米的防火护栏，设米，矩形的面积为S平方米． (1)______米，______平方米；（用含x的代数式表示） (2)所围成的矩形燃放地面积能否为平方米，若能请求出的长，若不能请说明理由． 题型二 平均变化率问题 8．（22-23九年级上·河南周口·期末）绿水青山就是金山银山．为了绿化附近的荒山，某乡村村民已经连续三年春季上山植树，树木的平均成活率为，现已成活了棵．已知第一年春季植树棵，求该乡村村民后两年植树棵数的年平均增长率．设该乡村村民后两年植树棵数的年平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·河南信阳·期末）某款汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业．中国民用航空局的现有统计数据显示，从年底至年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约万人增加到约万人．若设年底至年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为，则可列出关于的方程为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）某商品原价为100元，连续两次降价后为81元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（22-23九年级上·河南鹤壁·期末）某超市十月份的营业额为36万元，若十二月份的营业额比十月份的营业额增长了，则平均每月增长的百分率是 ． 13．（22-23九年级上·河南南阳·期末）某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份累计收入达364万元，且2，3月份的生产收入保持相同的增长率，3月份后每月生产收入稳定在3月份的水平． (1)求使用新设备后，2月3月生产收入的月增长率 (2)购进新设备需一次性支付640万元，则使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？（累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费） 14．（23-24九年级上·河南安阳·期末）为加快数字化城市建设，规范居民安全用电行为，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个，随着居民对智能充电桩需求量的增加，到第三个月新建充电桩432个． (1)求这三个月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率； (2)若市场上有A，B两种充电桩，A种充电桩的价格是每个0.5万元，B种充电桩的价格是每个0.6万元．该市决定再追加购买A，B两种充电桩共100个，且A种充电桩的个数不超过B种充电桩的个数，求本次追加购买最少花费多少钱？ 15．（23-24九年级上·河南郑州·期末）第届亚运会于年月日至月日在杭州举行．某商店以每件元的价格购进亚运会吉祥物挂坠，以每件元的价格出售．据统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件． (1)求该吉祥物挂坠两个月销售量的月均增长率； (2)经市场预测，该吉祥物挂坠月份的销售量将与月份持平，商店为回馈顾客，决定降价促销，调查发现，该吉祥物挂坠的售价每降价元，月销售量就会增加件．那么每件售价定为多少元时，该吉祥物挂坠月份的销售利润可达到元． 16．（23-24九年级上·河南南阳·期末）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某商店以每件8元的价格购进亚运会吉祥物挂坠，以每件14元的价格出售．据统计，10月份的销售量为256件，12月份的销售量为400件． (1)求该吉祥物挂坠10月份到12月份销售量的月平均增长率； (2)从2024年元月份起，商场决定降价促销回馈顾客，经调查发现，该吉祥物挂坠每降价0.5元，月销售量就会增加20件．则该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达1560元？ 17．（23-24九年级上·河南开封·期末）某市按照《关于切实做好2024年初中毕业升学体育考试工作的通知》的要求，跳绳项目为必选项目．某体育用品店销售一种跳绳，4月份销售150条，6月份销售216条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该跳绳销售量的月增长率； (2)若此种跳绳的进价为30元／条．经过市场调研，当售价为40元／条时，月销售量为600条，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10条，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，求该跳绳的实际售价． 题型三 动态几何问题 18．（21-22九年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当的面积为时，则点P运动的时间是（    ） A． B．或 C． D． 19．（23-24九年级上·河南信阳·期末）如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是（　　） A． B．或 C． D．或 20．（21-22九年级上·河南鹤壁·期末）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 秒时，的面积是． 21．（21-22九年级上·河南濮阳·期末）中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ________， ________（用含t的代数式表示）； (2)是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 22．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，同时出发，，的运动速度均为．    (1)那么运动几秒时，它们相距？ (2)的面积能等于60平方厘米吗？为什么？ 23．（23-24九年级上·河南安阳·期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts． (1)BP＝ 　 　cm；BQ＝ 　 　cm；（用t的代数式表示） (2)D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？ 题型四 营销问题 24．（22-23九年级上·河南登封·期末）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 25．（22-23九年级上·河南郑州·期末）一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． (1)设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ (3)商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由． 26．（22-23九年级上·河南鹤壁·期末）“美好”汽车销售公司4月份销售某品牌汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量之间有如下关系：若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的进价为13.5万元，每多售出1辆，所有售出的汽车进价每辆降低0.05万元．月底汽车生产厂家根据销售公司的销售量一次性返利给销售公司：若当月销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.25万元；若当月销售量在10辆以上，每辆返利0.5万元． (1)若“美好”公司当月销售3辆汽车，则每辆汽车的进价为________万元； (2)如果“美好”公司把该品牌汽车的售价定为14万元/辆，并计划当月盈利6万元，那么需要销售多少辆汽车？（提示：盈利＝销售利润＋返利） 27．（23-24九年级上·河南漯河·期末）河南胡辣汤制作技艺入选国家级非物质文化遗产代表性项目．得益于发达的网络销售模式，这种特色美食逐渐走出河南，畅销全国．某淘宝批发网店通过市场调研发现（整箱售卖）：若每箱胡辣汤料的利润为50元时，则平均每月可卖600箱：不考虑其他因素，每箱降价1元，平均每月就可以多卖20箱．为了尽快清库存，该网店决定采取适当的降价措施． (1)若该淘宝店销售胡辣汤料的一个月总利润是31500元，则该网店每箱降价多少元？设每箱降价x元，那么每箱的销售利润为__________元，则每月销售量为__________箱．请你列出方程求解． (2)该淘宝店想一个月的销售总利润达到33000元，请你通过计算说明是否能够达到；若不能达到，则一个月可达到的最大总利润为多少？ 28．（23-24九年级上·河南郑州·期末）第届亚运会于年月日至月日在杭州举行．某商店以每件元的价格购进亚运会吉祥物挂坠，以每件元的价格出售．据统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件． (1)求该吉祥物挂坠两个月销售量的月均增长率； (2)经市场预测，该吉祥物挂坠月份的销售量将与月份持平，商店为回馈顾客，决定降价促销，调查发现，该吉祥物挂坠的售价每降价元，月销售量就会增加件．那么每件售价定为多少元时，该吉祥物挂坠月份的销售利润可达到元． 29．（22-23九年级上·河南驻马店·期末）2023年杭州亚运会吉祥物为“宸宸”，据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“宸宸”，该工厂连续两个月增加生产量后四月份生产720个“宸宸”． (1)求平均每月的增长率是多少？ (2)已知某商店“宸宸”平均每天可销售20个，每个盈利20元，在每个降价幅度不超过8元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利700元，则每个“宸宸”应降价多少元？ 30．（22-23九年级上·河南周口·期末）某商店于今年三月初以每件40元的进价购进一批水磨年糕，当年糕售价为每件60元时，三月份共销售192件．四、五月该批年糕销售量持续走高，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到300件． (1)求四、五两个月销售量的平均增长率； (2)从六月份起，在五月份的基础上，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经市场调查发现，该年糕每件降价1元，月销售量增加20件．在顾客获得最大实惠的前提下，当年糕每件降价多少元时，商场六月仍可获利为6080元？ 31．（22-23九年级上·河南·期末）第届世界杯足球赛已于年月日在卡塔尔开幕，其吉祥物“拉伊卜”也深受人们的喜爱．河南某超市在年月份售出个“拉伊卜”，随着世界杯开幕的临近，“拉伊卜”在之后两个月的销售量持续走高，在售价不变的基础上，月份的销售量达到了个． (1)求“拉伊下”在，两个月销售量的月平均增长率； (2)若每个“拉伊卜”的进价为元，原售价为元，该超市计划在年月进行降价促销，经调查发现，若“拉伊卜”的价格在原售价的基础上每降价元，销售量可在月份的基础上增加个，当每个“拉伊卜”降价多少元时，在月份出售“拉伊卜”可获利元？ 题型五 其它应用题型 32．（23-24九年级上·河南信阳·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有人患了流感，设每轮传染中平均每人传染的人数为人，则可列方程（    ） A． B． C． D． 33．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出（    ）小分支． A．8 B．9 C．2 D．8或2 34．（21-22九年级上·河南商丘·期末）参加夏季篮球联赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛56场．设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 35．（22-23九年级上·河南商丘·期末）如图，是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为161，那么根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 36．（23-24九年级上·河南信阳·期末）某校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是36个，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 37．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）水果店花1000元进了一批水果，按利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，于是又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利400元．若两次打折的折扣相同，设每次打折，（打折，即按原价的十分之出售．）根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 38．（23-24九年级上·河南周口·期末）某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），若比赛共进行了28场，则参赛的班级有 个． 39．（23-24九年级上·河南郑州·期末）“感受绿茵魅力，传播足球文化”，2023河南省校园足球文化节隆重举行．本次采用单循环赛制（每两队之间赛一场），若计划安排36场比赛，则需要邀请 个球队参加． 40．（22-23九年级上·河南周口·期末）某商店于今年三月初以每件40元的进价购进一批水磨年糕，当年糕售价为每件60元时，三月份共销售192件．四、五月该批年糕销售量持续走高，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到300件． (1)求四、五两个月销售量的平均增长率； (2)从六月份起，在五月份的基础上，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经市场调查发现，该年糕每件降价1元，月销售量增加20件．在顾客获得最大实惠的前提下，当年糕每件降价多少元时，商场六月仍可获利为6080元？ 41．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）根据某风景区的旅游信息，公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元．你能确定参加这次旅游的人数吗？ 　　　 如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元 如果人数超过30人，每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程的应用5大题型 题型一 与几何图形有关的问题 1．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在长，宽的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使观赏路面积占总面积的，若设路宽为，则x应满足的方程是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设路宽为x，所剩下的观赏面积的宽为，长为，根据要使观赏路面积占总面积，可列方程求解． 本题考查理解题意的能力，关键是表示出剩下的长和宽，根据面积列方程． 【详解】解：设路宽为，由题意得， ， 即． 故选：B． 2．（23-24九年级上·河南开封·期末）如图，在长为米、宽为米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为平方米，设道路的宽米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意表示出种草部分的长为，宽为，即可求解． 【详解】解：如图，将小路平移至矩形的边上， 设小路宽为x，则种草坪部分的长为，宽为， 由题意建立等量关系得： 故选：D． 3．（23-24九年级上·河南新乡·期末）“指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长，宽的刺绣风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为（风景画四周的金色纸边宽度相同），则列出的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程．根据矩形的面积长宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（风景画的长个纸边的宽度）（风景画的宽个纸边的宽度）整个挂图的面积，由此可得出方程． 【详解】解：依题意，设金色纸边的宽为， 依题意，得：， 故选：C． 4．（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，在宽为、长为的长方形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干块作为试验田，假设试验田面积为，则道路的宽为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，一元二次方程的应用，设道路的宽为，则试验田平移后构成的长方形的长为，宽为，根据题意列出方程即可求解，根据图形正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设道路的宽为，则试验田平移后构成的长方形的长为，宽为， 由题意得，， 整理得，， 解得，（不合，舍去） ∴道路的宽为， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·河南漯河·期末）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为，设道路的宽为根据题意列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，根据题意，通过平移，则绿化的长为，宽为，根据长方形面积的计算方法列式即可求解． 【详解】解：根据题意，设道路的宽为，绿化的面积为， ∴，整理得，， 故答案为： ． 6．（23-24九年级上·河南焦作·期末）综合与实践： 项目化学习： 主题 “校庆主题”草坪设计 情境 为了迎接第60周年校庆，同学们参与一块长为40米，宽为30米的矩形“校庆主题”草坪方案设计，以下为小组对草坪设计的研究过程． 活动任务一 请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案． 驱动问题一 （1）请直接写出小组设计出来的四种方案小路面积，，，的大小关系； 活动任务二 为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1064平方米． 驱动问题二 （2）请计算两条小路的宽度是多少？ 活动任务三 为了展示校庆元素，打算在草坪上的校庆宣传主题墙前，靠墙用篱笆围（三边）建成一个矩形，且，如图． 驱动问题三 （3）数学之星小聪查阅资料发现：短边为长边的倍的矩形称为黄金矩形．黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．为了使长40米的篱笆恰好用完同时围住矩形的三面，且矩形的形状更接近黄金矩形．应设计成多少米？（参考数据：，，结果取整数） 【答案】（1）；（2）；（3）11米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，平移的性质： （1）根据平移的性质可得，四幅图的面积都可以看做是一个长为，宽为的长方形面积，据此可得答案； （2）设小路的宽为，根据平移的性质可得，四幅图的面积都可以看做是一个长为，宽为的长方形面积，据此建立方程求解即可； （3）设矩形宽，长．则，进而得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）设小路的宽度为a米， 由平移的性质可得，四幅图的面积都可以看做是一个长为，宽为的长方形面积， ∴； （2））设小路的宽为， 由题意得，， 整理得，， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴小路的宽为； （3）设矩形宽，长． ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴应设计成11米． 7．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）长江文化艺术季于2024年9月在武汉开幕，主办方须在空地上布置烟花，如图，已知空地上有一段长为米的旧墙，若利用该旧墙和防火护栏围成一个矩形燃放地，其中，已知该矩形燃放地的一边靠墙，另三边一共用了米的防火护栏，设米，矩形的面积为S平方米． (1)______米，______平方米；（用含x的代数式表示） (2)所围成的矩形燃放地面积能否为平方米，若能请求出的长，若不能请说明理由． 【答案】(1)， (2)不能 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，涉及了列代数式，掌握一元二次方程的求解是解题关键． （1）由题意得：，据此即可求解； （2）令，求解该方程即可判断； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴米， 平方米； 故答案为：， （2）解：令， 整理得：， ∵， ∴此方程无实数根， ∴所围成的矩形燃放地面积不能为平方米， 题型二 平均变化率问题 8．（22-23九年级上·河南周口·期末）绿水青山就是金山银山．为了绿化附近的荒山，某乡村村民已经连续三年春季上山植树，树木的平均成活率为，现已成活了棵．已知第一年春季植树棵，求该乡村村民后两年植树棵数的年平均增长率．设该乡村村民后两年植树棵数的年平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程——增长率问题，明确题意，找出等量关系并列出方程是解题的关键． 由题意可知，三年来共成活棵，又知成活了棵，根据该等量关系列出方程即可． 【详解】解：由题意得，第一年植树成活数为棵，第二年植树成活数为棵，那么第三年的植树成活数为棵， 根据题意得： ， 即， 故选：． 9．（23-24九年级上·河南信阳·期末）某款汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 利用该款汽车今年4月份的售价该款汽车今年2月份的售价该款汽车这两月售价的月平均降价率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x， 根据题意得，． 故选：A． 10．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业．中国民用航空局的现有统计数据显示，从年底至年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约万人增加到约万人．若设年底至年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为，则可列出关于的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为，根据题意列出方程即可，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】设全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为， 由题意得：， 故选：． 11．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）某商品原价为100元，连续两次降价后为81元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用．设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是，根据关键语句“连续两次降价后为81元，”可得答案． 【详解】解：由题意得：． 故选：B． 12．（22-23九年级上·河南鹤壁·期末）某超市十月份的营业额为36万元，若十二月份的营业额比十月份的营业额增长了，则平均每月增长的百分率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设平均每月增长的百分率是x，根据十二月份的营业额比十月份的营业额增长了列出方程求解即可． 【详解】解：设平均每月增长的百分率是x， 由题意得，， 解得或（舍去） ∴平均每月增长的百分率是， 故答案为：． 13．（22-23九年级上·河南南阳·期末）某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份累计收入达364万元，且2，3月份的生产收入保持相同的增长率，3月份后每月生产收入稳定在3月份的水平． (1)求使用新设备后，2月3月生产收入的月增长率 (2)购进新设备需一次性支付640万元，则使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？（累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费） 【答案】(1)每月的增长率是． (2)使用新设备12个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润． 【分析】本题主要考查理一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，根据题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设每月的增长率为x，那么2月份的生产收入为，三月份的生产收入为，根据1至3月份的生产收入累计可达364万元可列方程求解即可； （2）设使用新设备y个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，根据不等关系可列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每月的增长率为x，由题意得：， 解得或（不合题意舍去）． 答：每月的增长率是． （2）解：设使用新设备y个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，依题意有， 解得． 答：使用新设备12个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润． 14．（23-24九年级上·河南安阳·期末）为加快数字化城市建设，规范居民安全用电行为，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个，随着居民对智能充电桩需求量的增加，到第三个月新建充电桩432个． (1)求这三个月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率； (2)若市场上有A，B两种充电桩，A种充电桩的价格是每个0.5万元，B种充电桩的价格是每个0.6万元．该市决定再追加购买A，B两种充电桩共100个，且A种充电桩的个数不超过B种充电桩的个数，求本次追加购买最少花费多少钱？ 【答案】(1)这三个月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为20% (2)本次追加购买最少花费55万元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，根据题意找到关系式列出方程或函数式是解题的关键； （1）设这三个月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x．根据题意列出方程并求解即可； （2）设购买A种充电桩a个，则购买B种充电桩个．由题意可确定a的取值范围；设本次追加购买共花费w元，列出关于a的一次函数式，利用一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设这三个月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x． 由题意，得方程：． 化简，得， 解得（舍去）． 答：这三个月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为20%． （2）解：设购买A种充电桩a个，则购买B种充电桩个． 根据题意，得，解得． 设本次追加购买共花费w元，则； ∵， ∴w随a的增大而减小． ∴当时，w有最小值，此时． 答：本次追加购买最少花费55万元． 15．（23-24九年级上·河南郑州·期末）第届亚运会于年月日至月日在杭州举行．某商店以每件元的价格购进亚运会吉祥物挂坠，以每件元的价格出售．据统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件． (1)求该吉祥物挂坠两个月销售量的月均增长率； (2)经市场预测，该吉祥物挂坠月份的销售量将与月份持平，商店为回馈顾客，决定降价促销，调查发现，该吉祥物挂坠的售价每降价元，月销售量就会增加件．那么每件售价定为多少元时，该吉祥物挂坠月份的销售利润可达到元． 【答案】(1)； (2)元． 【分析】（）设该吉祥物挂坠两个月销售量的月均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （）设每件售价定为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据总利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解方程即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设该吉祥物挂坠两个月销售量的月均增长率为， 根据题意得，， 解得，(不符合题意，舍去)， 答：该吉祥物挂坠两个月销售量的月均增长率为； （2）解：设每件售价定为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得，， 整理得，， 解得，(不符合题意，舍去)， 答：每件售价定为元时，该吉祥物挂坠月份的销售利润可达到元． 16．（23-24九年级上·河南南阳·期末）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某商店以每件8元的价格购进亚运会吉祥物挂坠，以每件14元的价格出售．据统计，10月份的销售量为256件，12月份的销售量为400件． (1)求该吉祥物挂坠10月份到12月份销售量的月平均增长率； (2)从2024年元月份起，商场决定降价促销回馈顾客，经调查发现，该吉祥物挂坠每降价0.5元，月销售量就会增加20件．则该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达1560元？ 【答案】(1)该吉祥物挂坠10月份到12月份销售量的月平均增长率为 (2)该吉祥物售价为元时，月销售利润达1560元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设该吉祥物挂坠10月份到12月份销售量的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程求解即可得出答案； （2）设该吉祥物降价元，则每件的销售利润为元，销售量为件，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设该吉祥物挂坠10月份到12月份销售量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 该吉祥物挂坠10月份到12月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该吉祥物降价元，则每件的销售利润为元，销售量为件， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， （元）， 该吉祥物售价为元时，月销售利润达1560元． 17．（23-24九年级上·河南开封·期末）某市按照《关于切实做好2024年初中毕业升学体育考试工作的通知》的要求，跳绳项目为必选项目．某体育用品店销售一种跳绳，4月份销售150条，6月份销售216条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该跳绳销售量的月增长率； (2)若此种跳绳的进价为30元／条．经过市场调研，当售价为40元／条时，月销售量为600条，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10条，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，求该跳绳的实际售价． 【答案】(1)跳绳销售量的月增长率为； (2)该跳绳的实际售价为50元条． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设跳绳销售量的月增长率为，利用该跳绳6月份的销售量该跳绳4月份的销售量该跳绳销售量的月增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该跳绳的实际售价为元条，则每条的销售利润为元，月销售量为条，利用总利润每条的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． 【详解】（1）解：设跳绳销售量的月增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：跳绳销售量的月增长率为； （2）解：设该跳绳的实际售价为元条，则每条的销售利润为元，月销售量为条， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽可能让顾客得到实惠， ． 答：该跳绳的实际售价为50元条． 题型三 动态几何问题 18．（21-22九年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当的面积为时，则点P运动的时间是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使的面积为，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：设动点P，Q运动t秒，能使的面积为， 则BP为(8-t)cm，BQ为2tcm，由三角形的面积公式列方程得 (8-t)×2t=15， 解得t1=3，t2=5（当t2=5，BQ=10，不合题意，舍去） ∴动点P，Q运动3秒，能使的面积为． 故选A． 19．（23-24九年级上·河南信阳·期末）如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．利用时间路程速度，可求出点，到达终点所需时间，当运动时间为秒时，，，根据的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：，． 当运动时间为秒时，，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 点的运动时间是． 故选：A． 20．（21-22九年级上·河南鹤壁·期末）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 秒时，的面积是． 【答案】2或3 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为t 秒，则，，利用三角形的面积计算公式，结合的面积是，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动时间为t 秒，则，， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴2或3秒时，的面积是． 故答案为：2或3． 21．（21-22九年级上·河南濮阳·期末）中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ________， ________（用含t的代数式表示）； (2)是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当时，使得的面积为 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、三角形面积公式，理解题意，正确列出代数式和一元二次方程是解此题的关键． （1）根据路程速度时间表示出、，再由即可得到答案； （2）利用三角形的面积公式得出方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， ， 故答案为：，； （2）解：由题意得：， 解得：，， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，使得的面积为． 22．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，同时出发，，的运动速度均为．    (1)那么运动几秒时，它们相距？ (2)的面积能等于60平方厘米吗？为什么？ 【答案】(1)9秒或12秒 (2)不能，理由见解析 【分析】（1）设运动秒时，，两点相距15厘米，利用勾股定理结合，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）设运动秒时，的面积等于60平方厘米，利用三角形的面积公式可得出关于的一元二次方程，由根的判别式可得出原方程无解，即的面积不能等于60平方厘米． 【详解】（1）解：设运动秒时，，两点相距15厘米， 依题意，得：， 解得：，， 运动9秒或12秒时，，两点相距15厘米； （2）的面积不能等于60平方厘米，理由如下： 设运动秒时，的面积等于60平方厘米， 依题意，得：， 整理，得：， ， 原方程无解，即的面积不能等于60平方厘米． 23．（23-24九年级上·河南安阳·期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts． (1)BP＝ 　 　cm；BQ＝ 　 　cm；（用t的代数式表示） (2)D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？ 【答案】(1)（12﹣2t）；4t (2)t＝2或4 【分析】（1）根据速度×时间=路程，列出代数式即可； （2）如图，过点D作DH⊥BC于H，利用三角形中位线定理求得DH的长度；然后根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可． 【详解】（1） 根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm， 所以BP＝（12﹣2t）cm． 故答案是：（12﹣2t）；4t． （2） 如图，过点D作DH⊥BC于H， ∵∠B＝90°，即AB⊥BC， ∴AB∥DH， 又∵D是AC的中点， ∴BH=BC＝12cm，DH是△ABC的中位线， ∴DHAB＝6cm， 根据题意，得（12﹣2t）（24﹣4t）×62t×12＝40， 整理，得t2﹣6t+8＝0， 解得：t1＝2，t2＝4， 即当t＝2或4时，△PBQ的面积是40cm2． 题型四 营销问题 24．（22-23九年级上·河南登封·期末）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1)该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为 (2)当该吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系是解题的关键． （1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，根据增长率问题的等量关系列方程求解即可； （2）设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润为8400元列方程求解即可． 【详解】（1）解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：当该吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元． 25．（22-23九年级上·河南郑州·期末）一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． (1)设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ (3)商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由． 【答案】(1)， (2)每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元； (3)商家不能达到平均每天盈利1800元，理由见解析 【分析】（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件列出代数式即可解答； （2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合需要让利于顾客即可解答； （3）设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，再根据根与系数的关系即可解答． 【详解】（1）解：设每件衣服降价x元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元． 故答案为：，． （2）解：设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 又∵需要让利于顾客， ∴． 答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元． （3）解：商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下： 设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：． ∵， ∴此方程无解，即不可能每天盈利1800元． 26．（22-23九年级上·河南鹤壁·期末）“美好”汽车销售公司4月份销售某品牌汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量之间有如下关系：若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的进价为13.5万元，每多售出1辆，所有售出的汽车进价每辆降低0.05万元．月底汽车生产厂家根据销售公司的销售量一次性返利给销售公司：若当月销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.25万元；若当月销售量在10辆以上，每辆返利0.5万元． (1)若“美好”公司当月销售3辆汽车，则每辆汽车的进价为________万元； (2)如果“美好”公司把该品牌汽车的售价定为14万元/辆，并计划当月盈利6万元，那么需要销售多少辆汽车？（提示：盈利＝销售利润＋返利） 【答案】(1) (2)当销售6部汽车时，当月可盈利6万元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意，正确的列出方程，是解题的关键． （1）根据每多售出1辆，所有售出的汽车进价每辆降低0.05万元，列出算式进行计算即可； （2）设需要售出x部汽车，分和两种情况，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为13.5万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.05万元/部， ∴若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为：（万元）； 故答案为：； （2）设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润为：（万元）． 当，根据题意，得， 整理，得， 解得（不合题意，舍去），． 当时，根据题意，得， 整理，得， 解得（不合题意，舍去），， 因为，所以舍去． 所以当销售6部汽车时，当月可盈利6万元． 27．（23-24九年级上·河南漯河·期末）河南胡辣汤制作技艺入选国家级非物质文化遗产代表性项目．得益于发达的网络销售模式，这种特色美食逐渐走出河南，畅销全国．某淘宝批发网店通过市场调研发现（整箱售卖）：若每箱胡辣汤料的利润为50元时，则平均每月可卖600箱：不考虑其他因素，每箱降价1元，平均每月就可以多卖20箱．为了尽快清库存，该网店决定采取适当的降价措施． (1)若该淘宝店销售胡辣汤料的一个月总利润是31500元，则该网店每箱降价多少元？设每箱降价x元，那么每箱的销售利润为__________元，则每月销售量为__________箱．请你列出方程求解． (2)该淘宝店想一个月的销售总利润达到33000元，请你通过计算说明是否能够达到；若不能达到，则一个月可达到的最大总利润为多少？ 【答案】(1)，降价15元 (2)总利润不能达到33000元，最大总利润为32000元 【分析】本题考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是理清题意，列出正确的一元二次方程． （1）根据题意列出正确的一元二次方程求解即可． （2）根据题意列出正确的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设每箱降价x元，那么每箱的销售利润为元，则每月销售量为箱， ， 或， ∵为了尽快清库存，该网店决定采取适当的降价措施， ∴ 答：该网店每箱降价15元． 故答案为． （2）解：令， ， ， 此方程无解，故一个月的销售总利润不能达到33000元． 该淘宝店想一个月的销售总利润 ， ∴当，该淘宝店一个月可达到的最大总利润为32000元． 28．（23-24九年级上·河南郑州·期末）第届亚运会于年月日至月日在杭州举行．某商店以每件元的价格购进亚运会吉祥物挂坠，以每件元的价格出售．据统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件． (1)求该吉祥物挂坠两个月销售量的月均增长率； (2)经市场预测，该吉祥物挂坠月份的销售量将与月份持平，商店为回馈顾客，决定降价促销，调查发现，该吉祥物挂坠的售价每降价元，月销售量就会增加件．那么每件售价定为多少元时，该吉祥物挂坠月份的销售利润可达到元． 【答案】(1)； (2)元． 【分析】（）设该吉祥物挂坠两个月销售量的月均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （）设每件售价定为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据总利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解方程即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设该吉祥物挂坠两个月销售量的月均增长率为， 根据题意得，， 解得，(不符合题意，舍去)， 答：该吉祥物挂坠两个月销售量的月均增长率为； （2）解：设每件售价定为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得，， 整理得，， 解得，(不符合题意，舍去)， 答：每件售价定为元时，该吉祥物挂坠月份的销售利润可达到元． 29．（22-23九年级上·河南驻马店·期末）2023年杭州亚运会吉祥物为“宸宸”，据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“宸宸”，该工厂连续两个月增加生产量后四月份生产720个“宸宸”． (1)求平均每月的增长率是多少？ (2)已知某商店“宸宸”平均每天可销售20个，每个盈利20元，在每个降价幅度不超过8元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利700元，则每个“宸宸”应降价多少元？ 【答案】(1)平均每月的增长率是 (2)每个“宸宸”应降价元 【分析】本题考查一元二次方程得实际应用． （1）设平均每月的增长率是，根据二月份共生产500个“宸宸”，该工厂连续两个月增加生产量后四月份生产720个“宸宸”，列出方程进行求解即可； （2）设每个“宸宸”应降价元，根据总利润等于单个利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 读懂题意，找准等两关系，正确得列出方程，是解题的关键． 【详解】（1）解：设平均每月的增长率是，由题意，得：， 解得：（负值已舍掉）； 答：平均每月的增长率是； （2）设每个“宸宸”应降价元，由题意，得： ， 解得：或（不合题意，舍去）； 答：每个“宸宸”应降价元． 30．（22-23九年级上·河南周口·期末）某商店于今年三月初以每件40元的进价购进一批水磨年糕，当年糕售价为每件60元时，三月份共销售192件．四、五月该批年糕销售量持续走高，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到300件． (1)求四、五两个月销售量的平均增长率； (2)从六月份起，在五月份的基础上，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经市场调查发现，该年糕每件降价1元，月销售量增加20件．在顾客获得最大实惠的前提下，当年糕每件降价多少元时，商场六月仍可获利为6080元？ 【答案】(1) (2)每件降价4元 【分析】（1）设四、五两个月销售量的平均增长率为，根据三月份销量与五月份销量的关系列一元二次方程，即可求解； （2）当年糕每件降价m元时，月销量为件，单件利润为元，根据总利润等于销量乘以单件利润列一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：设四、五两个月销售量的平均增长率为， 由题意知：， 解得或（舍）， 故四、五两个月销售量的平均增长率为； （2）解：设当年糕每件降价m元时，商场六月仍可获利为6080元， 由题意知：， 整理得：， 解得或， 要使顾客获得最大实惠， ， 即在顾客获得最大实惠的前提下，当年糕每件降价4元时，商场六月仍可获利为6080元． 31．（22-23九年级上·河南·期末）第届世界杯足球赛已于年月日在卡塔尔开幕，其吉祥物“拉伊卜”也深受人们的喜爱．河南某超市在年月份售出个“拉伊卜”，随着世界杯开幕的临近，“拉伊卜”在之后两个月的销售量持续走高，在售价不变的基础上，月份的销售量达到了个． (1)求“拉伊下”在，两个月销售量的月平均增长率； (2)若每个“拉伊卜”的进价为元，原售价为元，该超市计划在年月进行降价促销，经调查发现，若“拉伊卜”的价格在原售价的基础上每降价元，销售量可在月份的基础上增加个，当每个“拉伊卜”降价多少元时，在月份出售“拉伊卜”可获利元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）设“拉伊下”在，两个月销售量的月平均增长率为，根据增长率问题列出一元二次方程，解方程即可求解． （2）设“拉伊卜”降价元时，在月份出售“拉伊卜”可获利元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设“拉伊下”在，两个月销售量的月平均增长率为． 根据照意，得． 解得，（舍去）． ． 答：“拉伊下”在，两个月销售量的月平均增长率为． （2）设“拉伊卜”降价元时，在月份出售“拉伊卜”可获利元． 根据题意，得， 整理，得． 解得，（舍去）． 答：当每个“拉伊卜”降价元时，在12月份出售“拉伊卜”可获利元． 题型五 其它应用题型 32．（23-24九年级上·河南信阳·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有人患了流感，设每轮传染中平均每人传染的人数为人，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：．本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 【详解】解：依题意得， 故选：C． 33．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出（    ）小分支． A．8 B．9 C．2 D．8或2 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，如果设每个支干分出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x个，小分支的数量为个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91就可以列出方程，求解即可． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支，则， 解得：（舍去）， ∴每个支干长出9个小分支． 故选：B． 34．（21-22九年级上·河南商丘·期末）参加夏季篮球联赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛56场．设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设参加比赛的球队有x支，根据“每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛56场”即可列出方程． 【详解】设参加比赛的球队有x支，由题意得 ， 故选：B． 35．（22-23九年级上·河南商丘·期末）如图，是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为161，那么根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为161，列出方程即可． 【详解】解：根据图表可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为，则最大数为， 根据题意得出：， 故选：B． 36．（23-24九年级上·河南信阳·期末）某校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是36个，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支，以及1个主干上的主干、支干和小分支的总数是36个，列出一元二次方程即可．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：1个主干上有x个支干，个支干上共有个小分支， ∴可列方程为：； 故选C． 37．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）水果店花1000元进了一批水果，按利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，于是又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利400元．若两次打折的折扣相同，设每次打折，（打折，即按原价的十分之出售．）根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用，即可得出关于的一元二次方程，即可得到答案．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D． 38．（23-24九年级上·河南周口·期末）某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），若比赛共进行了28场，则参赛的班级有 个． 【答案】8 【分析】本题考查一元二次方程的实际运用，设参赛的班级有个，根据“每两班之间都赛一场，比赛共进行了28场，”列式求解，即可解题． 【详解】解：设参赛的班级有个， 由题意可得，， 整理得，解得，（不合题意，舍去）， 故答案为：． 39．（23-24九年级上·河南郑州·期末）“感受绿茵魅力，传播足球文化”，2023河南省校园足球文化节隆重举行．本次采用单循环赛制（每两队之间赛一场），若计划安排36场比赛，则需要邀请 个球队参加． 【答案】9 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设需要邀请个球队参加，利用比赛的总场数参数队伍数（参赛队伍数，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设需要邀请个球队参加， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 需要邀请9个球队参加． 故答案为：9 40．（22-23九年级上·河南周口·期末）某商店于今年三月初以每件40元的进价购进一批水磨年糕，当年糕售价为每件60元时，三月份共销售192件．四、五月该批年糕销售量持续走高，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到300件． (1)求四、五两个月销售量的平均增长率； (2)从六月份起，在五月份的基础上，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经市场调查发现，该年糕每件降价1元，月销售量增加20件．在顾客获得最大实惠的前提下，当年糕每件降价多少元时，商场六月仍可获利为6080元？ 【答案】(1) (2)每件降价4元 【分析】（1）设四、五两个月销售量的平均增长率为，根据三月份销量与五月份销量的关系列一元二次方程，即可求解； （2）当年糕每件降价m元时，月销量为件，单件利润为元，根据总利润等于销量乘以单件利润列一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：设四、五两个月销售量的平均增长率为， 由题意知：， 解得或（舍）， 故四、五两个月销售量的平均增长率为； （2）解：设当年糕每件降价m元时，商场六月仍可获利为6080元， 由题意知：， 整理得：， 解得或， 要使顾客获得最大实惠， ， 即在顾客获得最大实惠的前提下，当年糕每件降价4元时，商场六月仍可获利为6080元． 41．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）根据某风景区的旅游信息，公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元．你能确定参加这次旅游的人数吗？ 　　　 如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元 如果人数超过30人，每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元 【答案】参加旅游的人数40人． 【分析】本题考查了一元二次方程的一；设有x人参加这次旅游，根据题意了得出，根据题意列出一元二次方程，解方程，根据实际问题验证即可求解． 【详解】解：设有x人参加这次旅游， ∵， ∴参加人数， 依题意得：， 解得：，， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意． 答：参加旅游的人数40人． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$