专题02 特殊方法解一元二次方程及根的判别式的应用3大题型-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（河南专用）

专题01 特殊方法解一元二次方程及根的判别式的应用3大题型 题型一 十字交叉相乘法 1．（23-24九年级上·河南周口·期末）如果，那么等于（    ）. A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南南阳·期末）如果，则为（    ）. A．5 B．－6 C．－5 D．6 3．（21-22九年级上·河南鹤壁·期末）多项式可分解为，则a、b的值分别是　　 A．10和 B．和2 C．10和2 D．和 4．（23-24九年级上·河南新郑·期末）下列因式分解结果正确的是(    )． A．10a3+5a2=5a(2a2+a) B．4x2-9=(4x+3)(4x-3) C．a2-2a-1=(a-1)2 D．x2-5x-6=(x-6)(x+1) 5．（23-24九年级上·河南林州·期末）方程的解是 ． 6．（23-24九年级上·河南信阳·期末）已知且，则的值是 ． 7．（23-24九年级上·河南漯河·期末）多项式x2+mx+15可以在整数范围内进行分解，则m= （写出其中一个） 8．（23-24九年级上·河南安阳·期末），反过来可写成．于是，我们得到一个关于二次三项式因式分解的新的公式通过观察可知，公式左边的二次项系数为两个有理数的乘积，常数项也为两个有理数的乘积，而一次项系数恰好为这两对有理数交叉相乘再相加的结果，如图①所示，这种因式分解的方法叫十字交叉相乘法． 示例：因式分解：． 解：由图②可知，． 请根据示例，对下列多项式进行因式分解： (1)； (2)． 9．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）阅读下面的材料：分解因式有一种很重要的方法叫“十字交叉相乘法”，方法的关键是“拆两头，凑中间”，例如，分解因式，方法如下：拆两头，拆为拆为，然后排列如下：交叉相乘积相加得，凑得中间项，所以．利用材料解决问题的策略解答下列问题： (1)解方程： (2)已知，求的值． 题型二 换元法 10．（23-24九年级上·河南焦作·期末）已知实数x满足，则代数式的值是（   ） A．7 B． C．7或 D．或3 11．（23-24九年级上·河南新密·期末）已知方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 12．（23-24九年级上·河南南阳·期末）若，都是实数，且满足，则的值为 ． 13．（23-24九年级上·河南周口·期末）若，则的值为 ． 14．（23-24九年级上·河南太康·期末）已知关于的一元二次方程的两根分别为，，则关于方程的两根分别为 ． 15．（23-24九年级上·河南许昌·期末）阅读材料，解答问题： 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． 或． ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： ． 16．（21-22九年级上·河南郑州·期末）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得；当时，即，解得，所以原方程的解为，；解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为 ，解得，，当时，即，解得，；当时，即，解得，；所以原方程的解为，，，；以上解法称为换元法． 请利用这种方法解方程： (1)； (2)． 17．（23-24九年级上·河南荥阳·期末）阅读材料，回答问题：材料：为解方程，可设，于是原方程可化为，解得，．当时，不合题意舍去；当时，，解得，．故原方程的根为，．请你参照材料给出的解题方法，解下列方程： (1)； (2)． 18．（23-24九年级上·河南商丘·期末）提出问题：为解方程，我们可以令，于是原方程可转化为，解此方程得，（不符合要求，舍去）．当时，，． 原方程的解为，． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题： (1)运用上述换元法解方程：． (2)若实数满足方程，则的值是_______． 19．（23-24九年级上·河南温县·期末）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． 或． ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： ． 题型三 根的判别式的应用 20．（22-23九年级上·河南南阳·期末）一元二次方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 21．（22-23九年级上·河南周口·期末）定义一种新运算“”，对于任意实数，，则有，如．若是关于的方程，则方程的根的情况为（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 22．（23-24九年级上·河南信阳·期末）一元二次方程的根的情况是(    ) A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 23．（23-24九年级上·河南商丘·期末）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24九年级上·河南南阳·期末）对于任意实数k，关于x的方程x2﹣2（k+1）x﹣k2+2k﹣1=0的根的情况为 ． 25．（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）已知关于的方程． (1)若此方程的一个根为，则的值为______； (2)求证：对于任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． 26．（22-23九年级上·河南鹤壁·期末）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根不小于7，求的取值范围． 27．（21-22九年级上·河南南阳·期末）已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)试写出三个的值，使一元二次方程有整数解，并简要说明理由． 28．（21-22九年级上·河南驻马店·期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0． （1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）等腰三角形ABC中，AB=3，若AC、BC为方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的两个实数根，求k的值． 29．（22-23九年级上·河南焦作·期末）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0． （1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根； （2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 特殊方法解一元二次方程及根的判别式的应用3大题型 题型一 十字交叉相乘法 1．（23-24九年级上·河南周口·期末）如果，那么等于（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据多项式乘法去括号，进而得出p的值． 【详解】∵x2-px+q=（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab， ∴p=-（a+b）． 故选D． 2．（23-24九年级上·河南南阳·期末）如果，则为（    ）. A．5 B．－6 C．－5 D．6 【答案】B 【分析】根据题意进而得出关于b的等式进而求出答案． 【详解】∵x2+（a+b）•x+5b=x2-x-30， ∴5b=-30， 解得：b=-6． 故选B． 3．（21-22九年级上·河南鹤壁·期末）多项式可分解为，则a、b的值分别是　　 A．10和 B．和2 C．10和2 D．和 【答案】D 【分析】利用多项式乘法整理多项式进而得出a，b的值. 【详解】解：∵多项式x2-3x+a可分解为（x-5）（x-b）， ∴x2-3x+a=（x-5）（x-b）=x2-（b+5）x+5b， 故b+5=3，5b=a， 解得：b=-2，a=-10． 故选D. 4．（23-24九年级上·河南新郑·期末）下列因式分解结果正确的是(    )． A．10a3+5a2=5a(2a2+a) B．4x2-9=(4x+3)(4x-3) C．a2-2a-1=(a-1)2 D．x2-5x-6=(x-6)(x+1) 【答案】D 【分析】A可以利用提公因式法分解因式(必须分解到不能再分解为止)，可对A作出判断；而B符合平方差公式的结构特点，因此可对B作出判断；C不符合完全平方公式的结构特点，因此不能分解，而D可以利用十字相乘法分解因式，综上所述，即可得出答案. 【详解】A、原式=5a2(2a+1)，故A不符合题意； B、原式=(2x+3)(2x-3)，故B不符合题意； C、a2-2a-1不能利用完全平方公式分解因式，故C不符合题意； D、原式=(x-6)(x+1)，故D符合题意； 故答案为D 5．（23-24九年级上·河南林州·期末）方程的解是 ． 【答案】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：因式分解得，， ∴，， ∴，， 故答案为：，． 6．（23-24九年级上·河南信阳·期末）已知且，则的值是 ． 【答案】或 【分析】利用因式分解法求出关于x、y的关系式，进而可求解． 【详解】解：， ， ，， 解得：，， 且， ， 即的值是或． 故答案为：或． 7．（23-24九年级上·河南漯河·期末）多项式x2+mx+15可以在整数范围内进行分解，则m= （写出其中一个） 【答案】8 【详解】试题分析：把15分成3和5，即原式分解为（x+3）（x+5），即可得到答案． 解：当m=8时，x2+mx+15=（x+3）（x+5）， 故答案为8． 考点：因式分解-十字相乘法等． 8．（23-24九年级上·河南安阳·期末），反过来可写成．于是，我们得到一个关于二次三项式因式分解的新的公式通过观察可知，公式左边的二次项系数为两个有理数的乘积，常数项也为两个有理数的乘积，而一次项系数恰好为这两对有理数交叉相乘再相加的结果，如图①所示，这种因式分解的方法叫十字交叉相乘法． 示例：因式分解：． 解：由图②可知，． 请根据示例，对下列多项式进行因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意给出的因式分解法即可求出答案． 【详解】（1）解：由图1可知，． ； （2）解：由图2可知，． ． 9．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）阅读下面的材料：分解因式有一种很重要的方法叫“十字交叉相乘法”，方法的关键是“拆两头，凑中间”，例如，分解因式，方法如下：拆两头，拆为拆为，然后排列如下：交叉相乘积相加得，凑得中间项，所以．利用材料解决问题的策略解答下列问题： (1)解方程： (2)已知，求的值． 【答案】(1)， (2)的值为4或 【分析】（1）先用十字相乘法分解因式，然后解方程即可； （2）先将原方程变为，得出或，求出的值为4或即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； （2）解：， 因式分解得：， ∴或， 即或， ∵， ∴，， 当时，， 当时，， 综上分析可知，的值为4或． 题型二 换元法 10．（23-24九年级上·河南焦作·期末）已知实数x满足，则代数式的值是（   ） A．7 B． C．7或 D．或3 【答案】A 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，代数式求值．熟练掌握换元法解一元二次方程，代数式求值是解题的关键． 设，，则，可求满足要求解为，然后代值求解即可． 【详解】解：设，， ∴， ， 解得，（舍去）或， ∴， 故选：A． 11．（23-24九年级上·河南新密·期末）已知方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及换元法求方程的解，熟练掌握换元法求方程的解是解题的关键． 令，即可得出，，计算求解即可． 【详解】解：令， 即， ∵方程的解是，， ∴，， ∴或， 解得，， 故选：A． 12．（23-24九年级上·河南南阳·期末）若，都是实数，且满足，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了换元法，因式分解法一元二次方程，根据题意，设，则原式得，根据因式分解法求解即可． 【详解】解：设， ∴，整理得，， 解得，， ∵， ∴， 故答案为：4 ． 13．（23-24九年级上·河南周口·期末）若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查用换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键，注意整体思想的运用．设，则有，再用因式分解法求解得，，再根据，即可求解． 【详解】解：设，则有， ∴， ， 或， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：2． 14．（23-24九年级上·河南太康·期末）已知关于的一元二次方程的两根分别为，，则关于方程的两根分别为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的同解问题，理解方程的解，掌握解法是解题的关键．根据题意将关于方程变形为即可得到或，即可求解． 【详解】解：由得 ， 一元二次方程的两根分别为，， 或， ，； 故答案为：，． 15．（23-24九年级上·河南许昌·期末）阅读材料，解答问题： 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． 或． ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，关键是构造元和设元． 设，则原方程可化为．然后利用因式分解法解该方程，进而求得的值；然后再利用直接开平方法求得的值． 【详解】解：设，则原分式方程可化为， 整理，得， 解得，， 当时，即， 解得， 当时，即， 解得． 综上所述，原方程的解为，． 16．（21-22九年级上·河南郑州·期末）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得；当时，即，解得，所以原方程的解为，；解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为 ，解得，，当时，即，解得，；当时，即，解得，；所以原方程的解为，，，；以上解法称为换元法． 请利用这种方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)，，， 【分析】本题考查了换元法解特殊形式的一元二次方程，因式分解法解一元二次方程； （1）根据方程的特点，设，则原方程化为，解此方程求得y的值，再求得x的值即可； （2）根据方程的特点，设，则原方程化为，解此方程求得y的值，分别代入中，再解一元二次方程，求得x的值即可． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， 解得：，； 当时，即，解得； 当时，即，解得， 所以原方程的解为，； （2）解：设，则原方程化为， 解得：，； 当时，即，解得，； 当时，即，解得，； 所以原方程的解为，，，． 17．（23-24九年级上·河南荥阳·期末）阅读材料，回答问题：材料：为解方程，可设，于是原方程可化为，解得，．当时，不合题意舍去；当时，，解得，．故原方程的根为，．请你参照材料给出的解题方法，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是换元法解一元二次方程和分式方程， （1）设，把原方程化为一元二次方程，解方程可得答案； （2）设，把原方程化为简单的分式方程，解方程即可； 通过阅读掌握换元法的一般步骤是解题的关键，注意一元二次方程和分式方程的解法． 【详解】（1）解：设， ∴原方程可化为， 解得：，， 当时，，即， ∵， ∴此时方程无实数根； 当时，，即， 解得：，， ∴原方程的根为，； （2）设， ∴原方程可化为， 解得：，， 经检验：，都是方程的解， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 经检验：和都是原方程的解， ∴原方程的解为：，． 18．（23-24九年级上·河南商丘·期末）提出问题：为解方程，我们可以令，于是原方程可转化为，解此方程得，（不符合要求，舍去）．当时，，． 原方程的解为，． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题： (1)运用上述换元法解方程：． (2)若实数满足方程，则的值是_______． 【答案】(1)，，， (2)13 【分析】本题考查换元法解高次方程，解一元二次方程，一元二次方程的根的判别式： （1）参照材料中的方法，令，将原方程转化为，即可求解； （2）参照材料中的方法，令，原方程可转化为，求出的值，再利用根的判别式判断是否有实数根，对求出的的值进行取舍，最后作为整体代入即可得出答案． 【详解】（1）解：令，原方程可转化为， 即， 解得，． 当时，，解得，， 当时，，解得，， 原方程的解为，，，． （2）解：令，原方程可转化为， 即， 解得，（不符合要求，舍去）． 当时，，即， ，该方程有解，符合题意， 此时； 当时，，即， ，该方程无实数解，不合题意； 综上可知，的值是13， 故答案为：13． 19．（23-24九年级上·河南温县·期末）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． 或． ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解方程，公式法解方程．依题意，设，则原式为，然后运用因式分解法，公式法分别进行解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，， 设， 则原式为， ∴， 解得， 则或， 当时，即：， ， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， 综上：的解是． 题型三 根的判别式的应用 20．（22-23九年级上·河南南阳·期末）一元二次方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】A 【分析】此题主要考查了利用一元二次方程判别式判定方程的根的情况，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．直接计算方程根的判别式进行判断即可． 【详解】解： ， 该方程无实数根， 故选：A 21．（22-23九年级上·河南周口·期末）定义一种新运算“”，对于任意实数，，则有，如．若是关于的方程，则方程的根的情况为（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，以及根的判别式，根据题意列出的方程，再列出根的判别式，根据根的判别式大小进行判断即可解题． 【详解】解：由题可得：， ， 所以方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 22．（23-24九年级上·河南信阳·期末）一元二次方程的根的情况是(    ) A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 23．（23-24九年级上·河南商丘·期末）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键． 【详解】解：A、，，，，，故方程没有实数根，此选项不符合题意； B、，，，，，故方程有两个不相等的实数根，此选项符合题意； C、，，，，，故方程有两个相等的实数根，此选项不符合题意； D、，，，，，故方程没有实数根，此选项不符合题意； 故选：B． 24．（23-24九年级上·河南南阳·期末）对于任意实数k，关于x的方程x2﹣2（k+1）x﹣k2+2k﹣1=0的根的情况为 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【详解】试题分析：首先确定a=1，b=﹣2（k+1），c=﹣k2+2k﹣1，然后求出△=b2﹣4ac的值，进而作出判断． 解：∵a=1，b=﹣2（k+1），c=﹣k2+2k﹣1， ∴△=b2﹣4ac=[﹣2（k+1）]2﹣4×1×（﹣k2+2k﹣1）=8+8k2＞0 ∴此方程有两个不相等的实数根， 故答案为有两个不相等的实数根． 25．（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）已知关于的方程． (1)若此方程的一个根为，则的值为______； (2)求证：对于任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）把代入原方程求得m的值，进一步求得方程的另一个根即可； （2）只要证明即可； 【详解】（1）解：把代入 得，， 解得，， 故答案为：． （2）证明： ． 因为对于任何实数，总有，所以方程总有两个不相等的实数根． 26．（22-23九年级上·河南鹤壁·期末）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根不小于7，求的取值范围． 【答案】(1)见解析． (2)． 【分析】（1）计算根的判别式的值，利用配方法得到，根据非负数的性质得到，然后根据判别式的意义得到结论； （2）利用求根公式得到，．根据题意得到，即可求得k的取值范围． 【详解】（1）解： ， ∴方程总有实数根； （2）解：∵， ∴， 解方程得：，， 由于方程有一个根不小于7， ∴， 解得：． 27．（21-22九年级上·河南南阳·期末）已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)试写出三个的值，使一元二次方程有整数解，并简要说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)0，2，，理由见解析 【分析】对于（1），先求出b2-4ac，再判断即可； 对于（2），根据求根公式求出方程的解，再根据题意判断． 【详解】（1）证明：原方程整理，得x2-5x+4-p2=0， ∴b2-4ac=（-5）2-4×（4-p2）=4p2+9＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根； （2）0，2，，理由如下： 原方程的解为. ∵一元二次方程有整数解， ∴为大于1的奇数，即3或5或7或···， 当时，； 当时，； 当时，， ··· 所以p的值为0，2，，原方程有整数解． 28．（21-22九年级上·河南驻马店·期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0． （1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）等腰三角形ABC中，AB=3，若AC、BC为方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的两个实数根，求k的值． 【答案】（1）见解析；（2）k=3 【分析】（1）先根据题意求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案； （2）根据△ABC的两边AC、BC的长是这个方程的两个实数根，则3是方程的一个根，代入方程即可求出k的值． 【详解】解：（1）∵△=[﹣(k+1)]2﹣4×1×(2k﹣3) =k2+2k+1﹣8k+12 =(k-3)2+4， ∵无论k为何实数，(k-3)2≥0， ∴(k-3)2+4＞0， ∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）∵AC、BC为方程x2﹣(k+1)x+2k﹣3=0的两个实数根， 由（1）可得，AC≠BC， ∵△ABC为等腰三角形， ∴AC=AB=3或BC=AB=3， ∴方程x2﹣(k+1)x+2k﹣3＝0必有一根为x=3， ∴32﹣3(k+1)+2k﹣3=0， 解得k=3． 29．（22-23九年级上·河南焦作·期末）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0． （1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根； （2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【答案】（1）证明见解析；（2）m=1 【分析】（1）求出一元二次方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可； （2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值． 【详解】解：（1）证明：． ∵不论m为何值，，即． ∴不论m为何值，方程总有实数根． （2）解关于x的一元二次方程，得 ， ∴，． ∵方程的两个根都是正整数， ∴是正整数， ∴或． 又∵方程的两个根不相等， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$