天津市第七中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

天津七中2024~2025学年度第一学期第一次月考 高一数学 一、单选题：(本题共10小题，每小题3分，共30分) 1.下列关系中，正确的是( ) 2. 已知集合 且 则实数为( ) 3.设全集 集合 则集合 = ( ) 4.命题 的否定是( ) 5. 已知全集 集合 , 则图中阴影部分所表示的集合为( ) 6.设集合 则集合的真子集的个数为( ) 7.集合之间的关系是( ) 8.设 若的充分不必要条件, 则实数的取值范围是( ) 为真命题的充分必要条件是( ) 10. 已知均为实数，下列不等关系推导不成立的是( ) 二、填空题：(本题共6小题，每小题4分，共24分) 11.若全集则集合A的真子集有 个. 12.已知集合 则的 条件. (填“充分”或“必要”) 13.已知集合则实数的取值范围是 14.已知集若成立的一个充分不必要条件,则实数m的取值范围是 . 15.给出下列命题： ②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0； ④存在一个四边形，它的对角线互相垂直. 上述命题的否定中，真命题的序号为 . 16.已知正数 的最小值是 . 三、解答题：(本题共5小题，共46分) 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.因式分解：(本小题8分) 20.(本小题8分) 已知: 全集 (1)若 (2)若 求：实数的取值 范围. 21.(本小题 10分) 已知是“关于的方程 至少有一个负根”的充要条件，求的值. 22.(本小题10 分)已知存在 使 为假命题. (1)求实数的取值集合； (2)设为非空集合. 若成立的充分非必要条件, 求实数a的取值范围. 23.(本小题10 分)已知，使 为假命题 (1)求实数 的取值集合B; (2)设为非空集合，若 的充分不必要条件，求实数的取值范围. 24.(本小题10分) 如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙足够长)的矩形育苗区.设育苗区的长为x米，宽为y米. (1)若育苗区面积为36平方米，则x，y为何值时，所用篱笆总长最小? (2)若使用的篱笆总长为30米，求 的最小值. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$数学答案和解析 1.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查常用数集以及元素与集合的关系，是基础题. 【解答】 解：A:2任N+,A错误 B:2EZ,B错误 C:π年Q,C正确： D:5∈N,D错误 故选C 2.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查了集合中元素的性质和元素与集合的关系，属于基础题。 由3∈A,则m=3或m2-2m+3=3,得出m的值，再由集合中元素的互异性检验即可. 【解答】 解：当m=3时，则m2-2m+3=6,此时集合A={0,3,6),符合要求， 当m2-2m+3=3时，得m=0或m=2,而当m=0时，A={0,0,3}不符合要求， 而当m=2时，A={0,2,3),符合题意， 综上可知：m=3或m=2, 故选：C 3.【答案】C 【解析】【分析】 本题主要考查集合的补集、两个集合的交集的定义和求法，属于基础题。 根据补集的定义求得CuA,再根据两个集合的交集的定义，求得(CuA)∩B。 【解答】 解：全集U=R,集合A={x|-1≤x<1),B={-2,-1,0,12, ÷CuA={xx≥1或x<-1, ÷(CuA)nB={-2,1,2}. 故选C 4.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查存在量词命题的否定，属于基础题. 根据存在量词命题的否定为全称量词命题，即可求出结果， 【解答】 解：因为存在量词命题的否定为全称量词命题， 所以命题“3x∈R,x2+2x+2<0”的否定是： x∈R,x2+2x+2≥0. 故选C. 5.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查Venn图表达集合的关系及运算，属于基础题 根据Venn图分析可得阴影部分表示AnCuB,然后直接求解即可. 【解答】 解：由题知，A={x∈Nx<5}={0,12,3,4},B={13,5,7,8, CB={(0,2,4,6}, 阴影部分表示AnCuB, 则AnCuB={0,2,4}· 故选：A 6.【答案】C 【解析】【分析】 本题主要考查了集合中元素的性质以及集合的真子集个数的问题，属于一般题. 结合集合中元素的性质以及集合的真子集个数的求法进行求解即可. 【解答】 解：由题意可知，集合M={5,6,7,8,集合中有4个元素， 则集合M的真子集有24-1=15个， 故选C. 7.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查集合的关系，属于中档题. 化简已知式子可得集合之间的关系. 【解答】 解：由M={xx=3k-2=3(k-1)+1,k∈Z, k-1表示整数，所以M=P, S={zz=3·2m+1,m∈Z},2m表示偶数， 所以S至P=M, 故选C 8.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查充分必要条件，属于基础题 由P是q的充分不必要条件，小范围推出大范围. a<或a<，可得结果 (a+1≥1(a+1>1 【解答】 解：p:<x<1;q:a<x<a+1,且n是q的充分不必要条件， :{a<或a< 01 (a+1>1(a+1>1 解得：0≤a≤》 故选：B 9.【答案】B 【解析】【分析】 本题主要考查了求命题成立的充要条件、不等式存在性或恒成立问题，考查了转化化归思想，涉及命题的真假判 定，属于基础题 将命题为真命题的等价条件转化为存在x∈L,2小a2≤-1成立。进一步分离变量后等价转化为加≤（动）x xe1,2,求出-在[1,2上最大值即可。 【解答】 解：若“3x∈[1,21，ax2+1≤0”成立， 则等价为存在xe[1,2],ax2≤-1成立， 等价于a≤（)nmx "xe[1,2] x2e[1,4,-之e-1,-, 即a<- 即命题“3xe[1,2,ax2+1≤0”为真命题的充要条件为a≤-年 故选B. 10【答案】D 【解析】【分析】 本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题。 对于ABC,利用不等式的性质即可判断：对于D,举反例判断. 【解答】 解：对于A,利用不等式的对称性易知，若a>b,则b<a,故A正确： 对于B,ac2>bc2,说明c2>0,则a>b,故B正确： 对于C,利用不等式的可加性易知，若a>b,c>d,则a+c>b+d,故C正确： 对于D,取a=3,b=0,c=-1,d=-2,满足条件，但ac<bd,故D错误. 故选：D. 12.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了基本不等式在最值中的应用，矩形的面积的求法，属于基础题， 可设菜园的长为x,宽为y,由题意可得：x+2y=L.利用基本不等式即可得出xy的最大值. 【解答】 解：由题意可设菜园的长为x(墙所对的边)，宽为y 则x+2y=L,面积S=xy. 因为x+2y≥2√2xy, 所以xy≤x+222 当且仅当x=2y=克即x=乞y=时，等号成立， 2 所以Smax=8 故选A. 13.【答案】7 【解析】【分析】 本题主要考查补集的运算及集合中元素个数与集合的真子集个数的关系，属于基础题， 利用集合中含n个元素，其真子集的个数为2”一1个，求出集合的真子集的个数. 【解答】 解：全集U={0,1,2,3,且CuA={2, 则A={0,13] 集合A的真子集共有23一1=7个. 故答案为7. 14.【答案】充分 【解析】【分析】 本题考查充分条件、必要条件，根据充分条件、必要条件的定义进行判断即可. 【解答】 解：{x-2≤x≤2}可以推出{x-3≤x≤2}，故“x∈A”是“xEB”的充分条件： {x-3≤x≤2)不一定推出{x一2≤x≤2，故“x∈A”是“x∈B”的必要性不成立， 所以“x∈A”是“x∈B”的充分条件. 故答案为充分。 15.【答案】-3<a<-1 【解析】【分析】 本题考查并集及其运算，关键是明确两集合端点值间的关系，是基础题， 由已知结合两集合端点值间的关系列关于α的不等式组，求解不等式组得答案. 【解答】 解：yS=xlx<-1或x>5,T={xa<x<a+8,aeR),且SUT=R, …侣千835解得：-3<a<-1 故答案为-3<a<-1. 16.【答案】m>1 【解析】解：由x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件， 得：A全B, 即贺+132即m>1, 故答案为：m>1. 由充分必要条件与集合的关系得：A至B,列方程组运算得解 本题考查了充分必要条件与集合的关系，属简单题。 17.【答案】①②③ 【解析】【分析】 本题考查的是全称量词命题和存在量词命题的否定，属于基础题 分别根据全称量词命题和存在量词命题的否定的真假关系即可得出答案， 【解答】 解：①命题“x∈N,x3>x2为假命题，当x=1时，x3=x2,其命题的否定为真命题，所以①要选： ②命题“所有可以被5整除的整数，末位数字都是0”为假命题，因为所有可以被5整除的整数，末位数字也有可 能是5，其命题的否定为真命题，所以②要选： ③命题"3红∈R,x2-x+1<0,”为假命圈，因为x2-x+1=x2-x++星=x-}+>0,其命题的 否定为真命题，所以③要选： ④命题“存在一个四边形，它的对角线互相垂直”为真命题，其命题的否定为假命题，不选。 综上可得以上命题的否定中，真命题的序号为：①②③， 故答案为①②③， 18.【答案】9 【解析】【分析】 本题考查由基本不等式求最值或取值范围，属于基础题。 【解答】 解：x+y=1, +=x+0G+的=1+4++号 x>0,y>0.>0,5>0, +≥2=4 y.4x. 5+2+29. x y x+y=1, 当且仅能-多x=号y=到等号度立 y min=9. 19.【答案】解：(1)ax2-4ay2=a(x2-4y2)=a(x+2y)(x-2y) (2)3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2 (3)3x2-x-2=(3x+2)(x-1). (4)10x2+21x+8=(2x+1)(5x+8). (5)12x2-11xy-15y2=(3x-5y)(4x+3y) 【解析】(1)本题考查了因式分解的知识，原式提取公因式，再根据平方差公式分解即可： (②)本题考查了因式分解的知识，原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可. (3)本题考查了因式分解的知识，直接运用x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)分解因式得出即可： (4)本题考查了因式分解的知识，ax2+bx+c(a≠0)型的式子的因式分解的关键是把二次项系数a分解成两个因数 a1,az的积a1·a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2,并使a1c2+a2G正好是一次项b,那么可以直接 写成结果：ax2+bx+c=(a1x+c)(a2x+c2): (⑤)本题考查了因式分解的知识，原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可. 20.【答案】解：(1)x2+x)2-8(x2+x)+12=(x2+x-6)(x2+x-2) =(x+3)(x-2)(x+2)(x-1). o{2。”@海 x=2y+2③ 把③代入①，整理，得8y2+8y=0, 即y0y+1)=0. 解得y=0,y2=-1. 把y1=0代入③，得x1=2: 把y2=-1代入③，得x2=0. 所以原方程组的解为列二品{方：1 【解析】本题考查因式分解以及二元二次方程组的解法，难度一般. 21.【答案】解：集合A={xx2-4>0}={xx>2或x<-2: (1)若a=1时，B={xx≤1， 所以AnB={xx>2或x<-2)n{xx≤1)={xx<-2: AUB={xx>2或x<-2}U{xx≤1)={xx>2或x≤1： (2)全集U=R,CuA={x-2≤x≤2，B={xx≤a 若CuASB,得到集合A的补集是集合B的子集， ÷a22. 实数a的取值范围a≥2. 【解析】本题考查二次不等式的解法，集合的基本运算，考查了集合的包含关系判断及应用，属于基础题. (1)利用一元二次不等式解出集合A,以及Q=1时的集合B,利用交集、并集的运算法则求出AnB,AUB: (2)求出A的补集，然后由CUA B得到集合A的补集是集合B的子集，即集合A的补集包含在集合B中，即可求出a 的取值范围. 22.【答案】解：“关于x的方程ax2+2(a-1)x+a-1=0至少有一个负根”的情况有： ()当a=0时，方程-2x-1=0,解得x=-2符合题意. (2)当a≠0时，方程有实根的充要条件是判别式4=4(a-1)2-4a(a-1)≥0，解得a≤1且a≠0. ①当a=1时，方程x2=0的两根均为零，不合题意： ②当0<a<1时，方程ax2+2(a-1)x+a-1=0有两个异号根， ③当a<0时，方程ax2+2(a-1)x+a-1=0有两个负根。 综上所述，”a<1“是”方程ax2+2(a-1)x+a-1=0至少有一个负根“的充要条件，所以m=1. 【解析】本题主要考查了充要条件，属于中档题。 对字母a是否等于零进行讨论，可得结果。 23.【答案】解：(1)存在x∈R,使mx2-4x+2=0为假命题， 则任意x∈R,mx2-4x+2中0为真命题， 即关于x的方程mx2-4x+2=0无解， 当m=0时，方程有解x=之故不成立， 当m≠0时，△=16-8m<0,解得m>2, 所以实数m的取值集合B={mm>2. (2)A={x3a<x<a+2)为非空集合， 则a+2>3a,解得a<1, 因为x∈A是x∈B成立的充分非必要条件， 所AcB,则财a2 解得号5a<1, 故a的取值范围为al子<a<1 【解析】本题考查真假命题的应用、充分非必要条件的应用以及根据集合的关系求参数的范围，属于中档题， (1)将条件转化为关于x的方程mx2-4x+2=0无解，再对m分类讨论，得到n的不等式，确定m的取值范围，得 到集合B, (2)x∈A是xEB成立的充分非必要条件，得到AcB,再结合A为非空集合，得到a的不等式组，解得a的取值范 围。 24.【答案】解：(1)由题意得xy=36,所用篱笆总长为x+2y. 因为x+2y22√2xy=2×V2×36=122, 当且仅当x=2y时，即x=6V2,y=3V2时等号成立. 所以育苗区的长x为6V2m,宽y为3V2m时，所用篱笆总长最小. (2)由题意得，x+2y=30, 曾-+号=+的x+20=动5+经+约≥动5+2段=高 y 当且仅当多=务即x=y=10时等号成立， 所以的最小值是品 y 【解析】本题考查基本不等式求最值，是中档题. (1)由题意得xy=36,利用基本不等式求最值即可： (2)由题意得，x+2y=30,利用基本不等式求最值即可.