4.2 正切 同步练习 2024-2025学年湘教版九年级数学上册

二十八　正切 知识点1　正切 1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则∠A的正切值为(D) A． B． C． D． 【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝＝，∴设BC＝3x，AB＝5x， 由勾股定理得：AC＝＝4x， ∴tan A＝＝＝，即∠A的正切值为. 2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tan A＝，则BC的长为(B) A．2 B．6 C．8 D．10 【解析】设BC＝3x，∵tan A＝， ∴＝，∴AC＝4x，由勾股定理得， BC2＋AC2＝AB2，即(3x)2＋(4x)2＝102， 解得x＝2，∴BC＝3x＝6. 3．(2024·永州质检)如图，在4×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB的值为(C) A． B． C．2 D．3 【解析】∵每个小正方形的边长都是1， ∴AB＝2，AC＝，BC＝，则AB2＋BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形， ∴tan ∠ACB＝＝2. 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC∶BC＝1∶2，则tan A＝__2__． 【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°， AC∶BC＝1∶2，∴tan A＝＝2. 5.已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在小正方形的顶点上，求tan ∠ADC的值． 【解析】根据题意可得，AC＝BC＝，CD＝CE＝，AD＝BE＝5， ∴△ACD≌△BCE.∴∠ADC＝∠BEC. ∴tan ∠ADC＝tan ∠BEC＝. 知识点2　锐角三角函数的计算 6．(2024·常德期中)下面结论中正确的是(B) A．sin 60°＝ B．tan 60°＝ C．sin 45°＝ D．cos 30°＝ 【解析】A.sin 60°＝；C.sin 45°＝；D.cos 30°＝，选项A，C，D错误． 7．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则∠B的度数是(C) A．30° B．45° C．60° D．75° 【解析】∵tan 30°＝， ∴∠A＝30°， ∴∠B＝90°－∠A＝60°. 8．在Rt△ABC中，∠α为锐角，且sin (α－15°)＝，则tan α的值为(C) A． B． C．1 D． 【解析】∵sin (α－15°)＝， ∴α－15°＝30°，∴α＝45°，∴tan α＝1. 9．计算：2sin 60°－tan 60°＋cos 45°＝____． 【解析】原式＝2×－＋× ＝－＋＝. 10．求下列各式的值． (1)sin 45°·cos 45°＋tan 60°·sin 60°； (2)sin 30°－tan245°＋tan230°－cos60°. 【解析】(1)原式＝×＋×＝＋＝2； (2)原式＝－12＋×－ ＝－1＋－＝－. 11．在△ABC中，∠C＝90°，3BC＝4AC，则下列结论正确的是(C) A．sin A＝ B．cos A＝ C．tan A＝ D．tan B＝ 【解析】在△ABC中，∠C＝90°，3BC＝4AC，所以＝＝tan A，设BC＝4k，则AC＝3k，AB＝＝5k，所以sin A＝＝， cos A＝＝，tan B＝＝. 12．(2024·娄底质检)如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tan A的值是(D) A． B． C．2 D． 【解析】如图所示，连接BD.则BD＝，AD＝2，AB＝， ∴AD2＋BD2＝AB2， ∴△ADB为直角三角形， ∴tan A＝＝＝. 【加固训练】 　 　如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为(B) A． B． C． D． 【解析】过C点作CD⊥AB，垂足为点D. 根据旋转性质可知，∠B′＝∠B. 在Rt△BCD中，tan B＝＝， ∴tan B′＝tan B＝. 13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝42°，BC＝3，则AC的长为__8.16__．(用科学计算器计算，结果精确到0.01) 【解析】tan 42°≈0.900 4，≈0.900 4，AC≈8.16. 14．在△ABC中，若＋(－tan B)2＝0，则∠C的度数是__75°__． 【解析】∵＋(－tan B)2＝0， ∴sin A－＝0，－tan B＝0，则sin A＝，tan B＝，∴∠A＝45°，∠B＝60°， ∴∠C＝180°－∠A－∠B＝75°. 15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB长为5，S△ABC＝6，则tan A＋tan B的值为____． 【解析】在Rt△ABC中，BC2＋AC2＝AB2＝25， tan A＝，tan B＝， ∵S△ABC＝6，即BC×AC＝6，∴BC×AC＝12. ∴tan A＋tan B＝＋＝＝. 16．(2024·邵阳质检)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上的一点，CD＝3，AD＝BD＝5.求∠A的三角函数值． 【解析】在Rt△BCD中，∵CD＝3，BD＝5， ∴BC＝＝＝4， 又AC＝AD＋CD＝8， ∴AB＝＝＝4， 则sin A＝＝＝， cos A＝＝＝， tan A＝＝＝. 17．(2023·广东中考)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB. (1)若AE＝1，求△ABD的周长； (2)若AD＝BD，求tan ∠ABC的值． 【解析】(1)如图，连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F，∴BD＝CD， C△ABD＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋DC＝AB＋AC，∵AB＝CE，∴C△ABD＝AC＋CE＝AE＝1， 故△ABD的周长为1. (2)设AD＝x，则BD＝3x， ∵BD＝CD， ∴AC＝AD＋CD＝4x， 在Rt△ABD中， AB＝＝＝2x. ∴tan ∠ABC＝＝＝. (选做) 18．如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tan B＝. (1)求BC的长； (2)利用此图形求tan 15°的值．(精确到0.1，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2) 【解析】(1)过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图1所示： 在Rt△ADC中，AC＝4， ∵∠C＝150°，∴∠ACD＝30°， ∴AD＝AC＝2， CD＝AC·cos 30°＝4×＝2， 在Rt△ABD中，tan B＝＝＝， ∴BD＝16，∴BC＝BD－CD＝16－2. (2)在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM，如图2所示： ∵∠ACB＝150°， ∴∠AMC＝∠MAC＝15°， tan 15°＝tan ∠AMD＝＝＝＝2－≈0.3. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二十八　正切 知识点1　正切 1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则∠A的正切值为( ) A． B． C． D． 2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tan A＝，则BC的长为( ) A．2 B．6 C．8 D．10 3．(2024·永州质检)如图，在4×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB的值为( ) A． B． C．2 D．3 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC∶BC＝1∶2，则tan A＝__ __． 5.已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在小正方形的顶点上，求tan ∠ADC的值． 知识点2　锐角三角函数的计算 6．(2024·常德期中)下面结论中正确的是( ) A．sin 60°＝ B．tan 60°＝ C．sin 45°＝ D．cos 30°＝ 7．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则∠B的度数是( ) A．30° B．45° C．60° D．75° 8．在Rt△ABC中，∠α为锐角，且sin (α－15°)＝，则tan α的值为( ) A． B． C．1 D． 9．计算：2sin 60°－tan 60°＋cos 45°＝____． 10．求下列各式的值． (1)sin 45°·cos 45°＋tan 60°·sin 60°； (2)sin 30°－tan245°＋tan230°－cos60°. 11．在△ABC中，∠C＝90°，3BC＝4AC，则下列结论正确的是( ) A．sin A＝ B．cos A＝ C．tan A＝ D．tan B＝ 12．(2024·娄底质检)如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tan A的值是( ) A． B． C．2 D． 【加固训练】 　 　如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为( ) A． B． C． D． 13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝42°，BC＝3，则AC的长为__ __．(用科学计算器计算，结果精确到0.01) 14．在△ABC中，若＋(－tan B)2＝0，则∠C的度数是__ __． 15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB长为5，S△ABC＝6，则tan A＋tan B的值为__． 16．(2024·邵阳质检)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上的一点，CD＝3，AD＝BD＝5.求∠A的三角函数值． 17．(2023·广东中考)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB. (1)若AE＝1，求△ABD的周长； (2)若AD＝BD，求tan ∠ABC的值． (选做) 18．如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tan B＝. (1)求BC的长； (2)利用此图形求tan 15°的值．(精确到0.1，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2) 学科网（北京）股份有限公司 $$