精品解析：河北省邯郸市武安市第一中学2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题

高三年级期中数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号、填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求出集合A，然后由交集运算可得. 【详解】解不等式，得， 所以. 故选：B 2. 若复数满足（是虚数单位），则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法运算计算可得，再由模长公式即可得出结果. 【详解】依题意可得， 所以. 故选：C 3. 已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 4. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 21 B. 19 C. 12 D. 42 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的基本量运算，找出和，再根据等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】记公差为，由题， 故， ， 故选：A. 5. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，计算出 ，再根据向量的坐标运算法则计算出点P的坐标. 【详解】因为, 所以 ， 将向量顺时针方向旋转，即逆时针旋转， 得到 化简得 ， 所以P点坐标为； 故选：C. 6. 已知数列的前项和为，其中，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，采用构造数列的方法，，则可以确定数列为等比数列，然后进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即，所以． 故选：C. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可． 【详解】由已知可得， 解得 ， ， ， ， 故选：D． 8. 已知正四棱台下底面边长为，若内切球的体积为，则其外接球表面积是（ ） A. 49π B. 56π C. 65π D. 130π 【答案】C 【解析】 【分析】作出正四棱台及其内切球的轴截面，求出正四棱台的上底面边长，再求出外接球半径即可得解. 【详解】正四棱台下底面边长，设其内接球半径为，则，解得， 取的中点，则四边形内切圆是正四棱台内接球的截面大圆， 则四边形是等腰梯形，，而， ，整理得，而，则， 设为正四棱台外接球球心，为该球半径，则， 令分别为正四棱台上下底面的中心，则，， ，， 当球心在线段时，，解得，球的表面积为； 当球心在线段的延长线时，，无解， 所以所求外接球表面积是. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 如图，在正方体中，分别为棱的中点，点是面的中心，则下列结论正确的是（ ） A. 四点共面 B. 平面被正方体截得的截面是等腰梯形 C. 平面 D. 平面平面 【答案】BD 【解析】 【分析】可得过三点的平面为一个正六边形，判断A；分别连接和，截面是等腰梯形，判断B；分别取的中点，易证显然不平行平面，可判断C；平面，可判断D. 【详解】对于A：如图经过三点的平面为一个正六边形，点在平面外，四点不共面，选项A错误； 对于B：分别连接和，则平面即平面，截面是等腰梯形，选项B正确； 对于C：分别取的中点，则平面即为平面， 由正六边形，可知，所以不平行于， 又平面，所以，所以平面， 所以不平行于平面，故选项错误； 对于D：因为是等腰三角形，， ，， 是的中点，易证，由正方体可得平面， 平面，又平面，， 平面，平面， 平面，平面平面故选项D正确． 故选：BD． 10. 已知函数，则（ ） A. 的一个对称中心为 B. 的图象向右平移个单位长度后得到的是奇函数的图象 C. 在区间上单调递增 D. 若在区间上与有且只有6个交点，则 【答案】BD 【解析】 【分析】代入即可验证A，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B，利用整体法即可判断C，由求解所以根，即可求解D. 【详解】对于A，由，故A错误； 对于B，的图象向右平移个单位长度后得： ，为奇函数，故B正确； 对于C，当时，则，由余弦函数单调性知，在区间上单调递减，故C错误； 对于D，由，得，解得或， 在区间上与有且只有6个交点， 其横坐标从小到大依次为：， 而第7个交点的横坐标为， ，故D正确. 故选：BD 11. 我们知道正.余弦定理推导的向量法，是在中的向量关系的基础上平方或同乘的方法构造数量积，进而得到长度与角度之间的关系.如图，直线与的边，分别相交于点，，设，，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用余弦定理可判断A；利用正弦定理和正弦的和差公式可判断B；利用特殊值可判断C错误；设，在两边同乘向量，根据数量积定义即可判断D. 【详解】对A，由余弦定理知，， ， 上述三个等式相加得，A正确； 对B，因为， 所以，B正确； 对C，当时，式子左边，右边， 由得， 此时，只有当时，等式才成立，由于角的任意性，所以等式不一定恒成立，C错误； 对D，设，则， 则， 因为，所以， 即， 整理得，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合中的三个实数，按一定顺序排列后可以排成一个等差数列和一个等比数列，则_____________． 【答案】5 【解析】 【分析】由已知可得是与的等比中项，求得，然后分，再结合等差中项的概念列式求解与的值，即可求解. 【详解】因为，所以是与的等比中项，则， 若，则为与的等差中项，可得，解得，， 所以； 若，则为与的等差中项，可得，解得，， 所以； 综上所述：. 故答案为：5. 13. 已知函数在上是增函数，且，则的取值的集合为______. 【答案】 【解析】 【分析】由可得，由函数在上是增函数可得，然后对的取值逐一验证，然后可得取值. 【详解】由可知，，得， 所以， 又函数在上是增函数， 所以，即，所以， 所以，的可能取值为. 当时，由解得， 经检验，时不满足题意； 当时，由解得， 经检验，时满足题意. 所以，的可能取值为. 故答案为： 【点睛】本题综合考查了三角函数的单调性、最值、周期之间的关系，关键在于能从已知中发现周期的所满足的条件，然后根据周期确定的可能取值，再通过验证即可求解. 14. 已知点为扇形的弧上任意一点，且，若，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可. 【详解】方法一：设圆的半径为1，由已知可设为轴的正半轴，为坐标原点，过O点作x轴垂线为y轴建立直角坐标系， 其中，其中， 由， 即，整理得， 解得， 则， 所以. 方法二：设，如图，当位于点或点时，三点共线，所以； 当点运动到的中点时，，所以 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）若角的平分线交于点，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解； （2）利用正弦定理得出，再由余弦定理求出，，再根据三角形的面积建立等式求解． 【小问1详解】 由， 根据正弦定理可得， 则， 所以，整理得， 因为均为三角形内角，所以， 因此，所以． 【小问2详解】 因为是角的平分线，， 所以在和中，由正弦定理可得，， 因此，即，所以， 又由余弦定理可得，即， 解得，所以． 又，即， 即，所以． 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，， ，，，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）因为平面平面，，平面平面，平面， 可得平面，则， 又因为，，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，可证，结合可证线面垂直； （2）作辅助线，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连结，， 因为，所以， 且 平面，平面 平面，平面平面， 所以平面，且平面，所以， 又因为，所以， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令 ，则，可得， 则， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为. 17. 已知等比数列的各项均为正数，成等差数列，且满足，等差数列数列的前项和． （1）求数列和的通项公式： （2）设的前项和，求证：． 【答案】（1）， （2）证明：由（1）得，， 所以 ， ，， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列，等比数列的基本量运算列式求解； （2）由（1）可得，利用裂项相消法求和得证. 【小问1详解】 由题，设数列的公比为（），的公差为， 由，即， 解得，， 又，即， 解得，. 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为. 【小问2详解】 略 18. 分别过椭圆的左、右焦点作两条平行直线，与C在x轴上方的曲线分别交于点． （1）当P为C的上顶点时，求直线PQ的斜率； （2）求四边形的面积的最大值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）结合图形，易得，求得的斜率，由直线与椭圆的方程联立，求得点，即得直线PQ的斜率； （2）结合图形，由对称性可知，四边形是平行四边形，四边形的面积是面积的一半，设直线的方程，并与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出和点到直线的距离，得到四边形的面积函数式，利用换元和对勾函数的单调性即可求得面积的最大值. 【小问1详解】 由可知,椭圆上顶点为，即, 直线的斜率为，则直线的方程为：， 将其代入整理得，，解得，或， 因点在x轴上方,故得点，于是直线PQ的斜率为：； 【小问2详解】 如图，设过点的两条平行线分别交椭圆于点和， 利用对称性可知，四边形是平行四边形，且四边形的面积是面积的一半. 显然这两条平行线的斜率不可能是0（否则不能构成构成四边形），可设直线的方程为 代入，整理得：，显然， 设，则， 于是， ， 点到直线的距离为， 则四边形的面积为， 令，则，且，代入得，， 因函数在上单调递增，故，当时，取得最小值为4，此时. 19. 我们称复数列为广义等差的，若实数列和均为等差数列． （1）若等比复数列（即）是广义等差的，证明：； （2）已知，若复数列为广义等差的，求的所有可能值； （3）若复数列是广义等差的，且，证明：对于任意实数，复数列中至多存在两项，使得． 【答案】（1）证明：若等比复数列（即）是广义等差的，设， 则实数列和均为等差数列，设它们的公差分别为， 要证，只需证，只需证， 由题意 ， 从而； 综上所述，命题得证； （2） （3）证明：一方面：若复数列是广义等差的，且，设，， 由题意中至少有一个不为0， 则由等差数列的几何意义可知，点列必定分布在某一条确定的直线上， 另一方面：对于任意实数，若，设， 则， 由椭圆的定义可知点列必定分布在某一给定的椭圆上， 结合以上两方面，且由直线与椭圆的位置关系可知，直线与椭圆最多有两个不同的交点， 这意味着，对于任意实数，复数列中至多存在两项，使得． 【解析】 【分析】（1）由题意只需证明，结合以及复数运算即可得证； （2）先由（1）中结论可得，求出对应的的可能值，再验证是否满足即可； （3）根据等差数列的几何意义以及椭圆的定义、复数模的概念，以及直线与椭圆的位置关系即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则， 所以等比复数列为广义等差的， 由（1）可知，事实上结合（1）的分析过程可得更一般的结论： ， 在这里，我们先考虑方程或， 即或， 而当时，满足， 由以上分析，这表明复数列为广义等差的，故符合题意； 当时，， 这意味着，而这与矛盾，故复数列不为广义等差的，故不符合题意， 综上所述，满足题意的所有的取值是； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于将复数、等差数列的几何意义与直线和椭圆的位置关系结合起来，由此即可顺利得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级期中数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号、填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足（是虚数单位），则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 21 B. 19 C. 12 D. 42 5. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的前项和为，其中，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正四棱台下底面边长为，若内切球的体积为，则其外接球表面积是（ ） A. 49π B. 56π C. 65π D. 130π 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 如图，在正方体中，分别为棱的中点，点是面的中心，则下列结论正确的是（ ） A. 四点共面 B. 平面被正方体截得的截面是等腰梯形 C. 平面 D. 平面平面 10. 已知函数，则（ ） A. 的一个对称中心为 B. 的图象向右平移个单位长度后得到的是奇函数的图象 C. 在区间上单调递增 D. 若在区间上与有且只有6个交点，则 11. 我们知道正.余弦定理推导的向量法，是在中的向量关系的基础上平方或同乘的方法构造数量积，进而得到长度与角度之间的关系.如图，直线与的边，分别相交于点，，设，，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合中的三个实数，按一定顺序排列后可以排成一个等差数列和一个等比数列，则_____________． 13. 已知函数在上是增函数，且，则的取值的集合为______. 14. 已知点为扇形的弧上任意一点，且，若，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）若角的平分线交于点，求的长． 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，， ，，，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知等比数列的各项均为正数，成等差数列，且满足，等差数列数列的前项和． （1）求数列和的通项公式： （2）设的前项和，求证：． 18. 分别过椭圆的左、右焦点作两条平行直线，与C在x轴上方的曲线分别交于点． （1）当P为C的上顶点时，求直线PQ的斜率； （2）求四边形的面积的最大值． 19. 我们称复数列为广义等差的，若实数列和均为等差数列． （1）若等比复数列（即）是广义等差的，证明：； （2）已知，若复数列为广义等差的，求的所有可能值； （3）若复数列是广义等差的，且，证明：对于任意实数，复数列中至多存在两项，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $