期中押题密卷04【范围：第一章-第三章 培优卷】-2024-2025学年高二数学上学期期期中《考点·题型·密卷》复习讲义（人教A版2019必修第一册）

期中押题密卷04 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 2．在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D．【答案】A 3．已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 6．已知是直线上一点，，分别是圆和上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 8．P是椭圆C：（）上一点，、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（    ） A． B． C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点是圆上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值是0 B．的最大值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 10．如图，双曲线的左右焦点分别为和，点、分别在双曲线的左、右两支上，为坐标原点，且，则下列说法正确的有（    ）    A．双曲线的离心率 B．若且，则的渐近线方程为 C．若，则 D．若，则 11．如图，在棱长为2的正方体中，是棱BC的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．若是棱的中点，则过A，M，N的平面截正方体所得的截面图形的周长为 C．若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为 D．若CN与平面所成的角为，则 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知过原点的一条直线l与圆C：相切，且与曲线在第一象限相交于点P.若，则实数m的值为 ． 13．在如图所示的平行六面体中，已知，，，N为上一点，且.若，则的值为 .    14．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与交于A，B两点．若的面积是面积的2倍，则的离心率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为. (1)求直线的方程和点C的坐标； (2)求的面积． 16．如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.    (1)证明：平面； (2)证明：平面平面BEF； (3)求二面角的正弦值. 17．已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，且. (1)求的值； (2)过点作两条互相垂直的直线，分别与圆交于不同于点的两点，若，求直线的方程. 18．设抛物线的焦点为，经过点的动直线交抛物线于两点，且． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线平分线段，求直线的倾斜角； (3)若点M是抛物线的准线与轴的交点，在轴上是否存在定点，对任意过点的直线与抛物线交于两点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由， 19．已知双曲线的右焦点，渐近线方程． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点F的直线l与双曲线C的右支交于A、B两点，交y轴于点P，若，，求证：为定值； (3)在（2）的条件下，若点Q是点P关于原点O的对称点，求面积的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中押题密卷04 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故D项正确. 故选：D 2．在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求直线与的方向向量，利用向量夹角公式求夹角； 【详解】以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， ，，所以，， 所以， 故选：A. 3．已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解. 【详解】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C 4．设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值； 方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出； 方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出． 【详解】方法一：设，所以， 由，解得：， 由椭圆方程可知，， 所以，，解得：， 即，因此． 故选：B． 方法二：因为①，， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即． 故选：B． 方法三：因为①，， 即②，联立①②，解得：， 由中线定理可知，，易知，解得：． 故选：B． 【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大． 5．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算可得，从而得出，再根据向量的数量积运算，即可求出的值. 【详解】解：，，， ，，， 由图可知，， ， 所以的值为. 故选：B. 6．已知是直线上一点，，分别是圆和上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合点关于直线的对称可知的最小值，再根据圆上的点到直线距离的最值可得的最小值. 【详解】圆，则圆心，， 圆，则圆心，， 因为，则两圆心在直线的同侧． 又圆心到直线的距离， 圆心到直线的距离， 则两圆在直线的同侧且与直线相离，如图所示， 圆心关于直线的对称点为， 则，解得，，所以， 所以，当且仅当、、三点共线时等号成立； 即的最小值为. 故选：C． 7．已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案. 【详解】如图，    因为，不妨设渐近线方程为，即， 所以， 所以. 设,则，所以，所以. 因为,所以，所以，所以， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为 故选：D 8．P是椭圆C：（）上一点，、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，由题意得出是等腰直角三角形，列方程组得到含的齐次方程求解离心率即可. 【详解】如图，设，，延长交于A， 由题意知，O为的中点，故为中点， 又，即，则， 又由，则是等腰直角三角形， 故有，化简得，即， 代入得， 即，由所以， 所以，. 故选：C. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点是圆上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值是0 B．的最大值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】由可看成与原点间的连线的斜率，设，结合直线与圆有交点，求得 的值，可判定A正确，B不正确；由表示点到原点的距离，结合圆的性质，可判定C错误；设，结合直线与圆有公共点，列出不等式，求得的范围，可判定D正确. 【详解】由圆，可化为， 可得圆心坐标为，半径， 当时，可看成与原点间的连线的斜率， 设，即，所以直线与圆M有交点， 由，解得， 所以的最小值为，无最大值，所以A正确，B不正确； 由表示点到原点的距离， 又由，所以的最大值为， 即的最大值为，所以C错误； 设，可得， 当直线与圆有公共点时，则，解得， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：AD. 10．如图，双曲线的左右焦点分别为和，点、分别在双曲线的左、右两支上，为坐标原点，且，则下列说法正确的有（    ）    A．双曲线的离心率 B．若且，则的渐近线方程为 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据渐近线夹角范围得离心率范围判断A，利用三角形面积求得的坐标，代入双曲线方程即可求解渐近线判断B，在双曲线上取B关于原点的对称点M，连接，先证，再结合条件得，从而得判断C，在上取一点使得，先证，再结合条件得，从而，判断D. 【详解】对于A，，两渐近线夹角小于，， ，A正确； 对于B，时，为等腰直角三角形，， 又点在双曲线上，代入双曲线方程得即，， 渐近线方程为，B错误； 对于C，在双曲线上取B关于原点的对称点M，连接，，，. ，，又，. 又，为中点，，必有，，三点共线， 为角平分线，，C正确； 对于D，在上取一点使得，，， ，，又，， ，，D正确.    故选：ACD 11．如图，在棱长为2的正方体中，是棱BC的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．若是棱的中点，则过A，M，N的平面截正方体所得的截面图形的周长为 C．若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为 D．若CN与平面所成的角为，则 【答案】AD 【分析】对于A,根据线面平行可知，点到平面的距离为定值，继而可判定；对于B,根据题意画出截面图，计算即可；对于C，作出图形，根据题意建立方程组，解出即可；对于D，建立空间直角坐标系，利用空间向量求得的表达式，进一步计算求范围即可. 【详解】对于A,连接,因为, 平面,平面, 所以平面,    又点是棱上的动点（含端点）， 所以点到平面的距离为定值，设为， 则，为定值，故A正确； 对于B,如图， 四边形为过A，M，N的平面截正方体所得的截面图形，    因为平面平面, 且平面平面, 且平面平面, 根据面面平行的判断定理知，， 又因为为中点，所以为四等分点， 则四边形的周长为： , 故B错误； 对于C,如图所示，连接,取的中点为, 连接，设外接圆圆心为,外接球球心为, 连接,则,    在中，设其外接圆半径为， 由正弦定理知，， 所以，即， 依题易得,故, 弦所对的圆周角相等，故四点共圆， 则, 设外接球半径为,过作,交于, 则在中，, 即,① 在中，, 即,② 联立①②，解得, 故外接球的表面积为, 故C错误； 对于D，以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系，    则, 则, 设平面的法向量， 则， 令，则，故， 则, , 当时，， 当时， ， 当且仅当时等号成立， 又， 综上可知，，故D正确， 故选：AD. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知过原点的一条直线l与圆C：相切，且与曲线在第一象限相交于点P.若，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意不妨设切线方程为，由直线与圆相切可求得，又l过第一象限，所以，进而求得，代入直线求解可得 【详解】易知圆过原点的切线斜率存在， 不妨设切线方程为，所以，解得， 又l过第一象限，所以， 故切线l的方程为， 因为点P在l上，可设点P的坐标为， 又，解得， 所以点P的坐标为， 又点P在曲线上，代入，得， 故答案为： 13．在如图所示的平行六面体中，已知，，，N为上一点，且.若，则的值为 .    【答案】/ 【分析】设，，，以构成空间的一个基底，根据，可得，将分别用表示，再根据数量积得运算律即可得解. 【详解】设，，， 则构成空间的一个基底， 设， 因为， 所以， 因为，， 所以，即， 即，解得. 故答案为：. 14．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与交于A，B两点．若的面积是面积的2倍，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】由的面积是面积的2倍，得到，由此设，分别在和中利用余弦定理，即可找出的关系，即可求得答案. 【详解】如图，由的面积是面积的2倍，可得， 不妨设，，，则，． 在中，,由， 得，整理得①． 在中，,由， 得，整理得②， ①+②得，将该式代入②， 整理得，即， 故的离心率为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为. (1)求直线的方程和点C的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)，， (2). 【分析】（1）设点的坐标是，由的中点在直线上，求得点的坐标，再求出点关于直线的对称点即可求得直线的方程，联立方程组求出点坐标. （2）利用两点间距离公式及点到直线距离公式求出三角形面积. 【详解】（1）由点在上，设点的坐标是，则的中点在直线上， 于是，解得，即点， 设关于直线的对称点为，则有，解得，即， 显然点在直线上，直线的斜率为， 因此直线的方程为，即， 由，解得，则点， 所以直线的方程为，点C的坐标为.    （2）由（1）得，点到直线的距离， 所以的面积. 16．如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.    (1)证明：平面； (2)证明：平面平面BEF； (3)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答. （2）法一：由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.法二：过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，设，所以由求出点坐标，再求出平面与平面BEF的法向量，由即可证明； （3）法一：由（2）的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.法二：求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可. 【详解】（1）连接，设，则，，， 则， 解得，则为的中点，由分别为的中点，    于是，即，则四边形为平行四边形， ，又平面平面， 所以平面. （2）法一：由（1）可知，则，得， 因此，则，有， 又，平面， 则有平面，又平面，所以平面平面. 法二：因为，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 在中，， 在中，， 设，所以由可得：， 可得：，所以， 则，所以，， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则，所以， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则，所以， ， 所以平面平面BEF；    （3）法一：过点作交于点，设， 由，得，且， 又由（2）知，，则为二面角的平面角， 因为分别为的中点，因此为的重心， 即有，又，即有， ，解得，同理得， 于是，即有，则， 从而，， 在中，， 于是，， 所以二面角的正弦值为.      法二：平面的法向量为， 平面的法向量为， 所以， 因为，所以， 故二面角的正弦值为. 17．已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，且. (1)求的值； (2)过点作两条互相垂直的直线，分别与圆交于不同于点的两点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）作出图形后利用勾股定理求解即可. （2）利用等面积法求解即可. 【详解】（1）由题意可知圆的圆心为，半径. 因为，所以，从而， 即，两边平方整理得， 又因为，所以. （2）由（1）知圆，点在圆上， 又因为，所以线段为圆的直径，即直线过圆心， 显然直线的斜率不为0，设其方程为， 点到直线的距离为. 根据三角形的面积公式可得. 所以，解得， 所以直线的方程为或. 18．设抛物线的焦点为，经过点的动直线交抛物线于两点，且． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线平分线段，求直线的倾斜角； (3)若点M是抛物线的准线与轴的交点，在轴上是否存在定点，对任意过点的直线与抛物线交于两点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由， 【答案】(1) (2)或 (3)，此时点的坐标为 【分析】（1）设直线，与抛物线方程联立，利用，即可求解； （2）根据（1）的结果，求线段的中点，再代入直线，即可求直线的斜率，最后根据倾斜角与斜率的关系，即可求解； （3）首先过点的直线与抛物线方程联立，并利用韦达定理表示，即可判断是否存在定点的坐标. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 所以设直线，，，联立 ，得， 所以，，得， 所以抛物线的标准方程为； （2）由（1）可知，， 设点是线段的中点，则由， ， 由题意可得点在直线上，所以， 即，解得：或， 设直线的倾斜角为，则，或， 又，所以直线的倾斜角为或； （3）点的坐标为， 过点的直线设为，，, 联立，得， ，得或， ，， 设 ， 当时，必须且只需，（常数）， 此时点的坐标为. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是利用韦达定理表示,并借助抛物线和韦达定理进行化简. 19．已知双曲线的右焦点，渐近线方程． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点F的直线l与双曲线C的右支交于A、B两点，交y轴于点P，若，，求证：为定值； (3)在（2）的条件下，若点Q是点P关于原点O的对称点，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据双曲线渐近线方程及求得，写出双曲线方程； （2）联立直线：与双曲线方程得韦达定理，由，用表示，将韦达定理代入后计算为定值； （3）将表示为的函数，分析单调性求范围. 【详解】（1）依题意，，渐近线方程． 所以，又因为，解得：， 所以双曲线的方程为. （2） 由（1）知，双曲线的渐近线方程为， 依题意，直线的斜率存在，且， 设直线的方程为：， 由，消去并整理得：，设， 则， 而点，则， 因为，则有，即，同理， 所以，为定值. （3）由（2）知，点，，， 因为，令，而函数在上单调递减，即， 因此，所以. 所以三角形的面积的取值范围. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$