期中押题密卷01【范围：第一章-第二章 基础卷】-2024-2025学年高二数学上学期期期中《考点·题型·密卷》复习讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

期中押题密卷01 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．直线的倾斜角是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在空间四边形中，设分别是，的中点， 则（ ） A． B． C． D． 3．设直线.若，则（    ） A．0或1 B．0或-1 C．1 D．-1 4．已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 5．已知过点与圆：相切的两条直线分别是，若的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 6．已知圆与圆为同心圆，且圆的半径为圆半径的2倍，则（    ） A． B． C． D． 7．（15-16高二上·湖北武汉·期末）在下列命题中： ①若向量共线，则向量所在的直线平行； ②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面； ③若三个向量两两共面，则向量共面； ④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线和直线的交点为，则过点且与和距离相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 10．已知M为圆C：上的动点，P为直线l：上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．直线l与圆C相切 B．直线l与圆C相离 C．|PM|的最大值为 D．|PM|的最小值为 11．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（    ） A． B．直线与所成角的余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．存在实数使得 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．圆心为直线与直线的交点，且过原点的圆的标准方程是 ． 13．已知在正四棱台中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 . 14．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为． (1)求直线的方程； (2)若边上的中线所在的直线方程为，求的值． 16．圆心在曲线（）上的圆与轴相切，且被直线截得的弦长为． （1）求圆的方程； （2）求过点且与该圆相切的直线方程． 17．如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为菱形，且，点为棱DP的中点. (1)在棱BC上是否存在一点，使得∥平面PAN？如果存在，确定点N的位置，如果不存在，请并说明理由； (2)若二面角的余弦值为时，求棱DP的长度，并求点A到平面BCM的距离． 18．已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上. （1）求圆M的方程； （2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值. 19．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． (1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，，求的最大值； (3)已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中押题密卷01 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．直线的倾斜角是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率可确定直线的倾斜角. 【详解】由得，所以该直线的斜率为：. 设直线倾斜角为，则，且，所以. 故选：C 2．如图，在空间四边形中，设分别是，的中点， 则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的平行四边形法则得出，再由平面向量的三角形加法运算法则即可得出结果. 【详解】解：由题可知，分别是，的中点， 根据平面向量的平行四边形法则，可得， 再由平面向量的三角形加法法则，得出： . 故选：C. 3．设直线.若，则（    ） A．0或1 B．0或-1 C．1 D．-1 【答案】A 【分析】由两直线垂直可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 【详解】因为，则， 解得或. 故选：A. 4．已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】考虑截距是否为0，分两种情况求解，求出直线斜率，即可求得答案. 【详解】由题意设直线与x轴交点为，则与y轴交点为， 当时，直线过原点，斜率为，故方程为； 当时，直线的斜率， 故直线方程为，即， 故选：D 5．已知过点与圆：相切的两条直线分别是，若的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得该圆圆心，半径，借助切线定义可得 【详解】，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为M，N， ，则， 则，故， 故为钝角，则. 故选：D. 6．已知圆与圆为同心圆，且圆的半径为圆半径的2倍，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆的标准方程确定圆的圆心坐标和半径，进而利用圆的一般方程得到关于的方程组，从而得解. 【详解】由题可知圆的圆心为，半径为2， 又圆与圆为同心圆，半径为4， 所以，解得. 故选：A. 7．（15-16高二上·湖北武汉·期末）在下列命题中： ①若向量共线，则向量所在的直线平行； ②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面； ③若三个向量两两共面，则向量共面； ④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据向量共线，共面的性质逐一分析每个选项. 【详解】对于①，若向量共线，则向量所在的直线平行，也可能共线，故①错误； 对于②，由于向量可以平移，两个向量一定共面，故②错误； 对于③，任意两个向量自然是两两共面，三个向量则不一定共面，例如空间直角坐标系轴所在的向量两两共面，但是显然轴不共面，故③错误； 对于④，若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立，故④错误. 于是四个选项都是错的. 故选：A 8．在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的四点共面的定理，得出系数的关系，再借助基本不等式求出最小值. 【详解】∵， ∴． ∵， ∴． ∵四点共面， ∴，即． ∵，当且仅当时，等号成立， ∴的最小值为1． 故选：C 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线和直线的交点为，则过点且与和距离相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】分类讨论所求直线与直线AB平行或所求直线过线段AB的中点两种情况，结合点斜式即可得解. 【详解】依题意，联立，解得，即， 直线AB的斜率为，线段AB的中点坐标为， ①若所求直线与直线AB平行时，则所求直线的方程为，即； ②若所求直线过AB的中点时，则所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； 综上所述，所求直线方程为或. 故选：BD. 10．已知M为圆C：上的动点，P为直线l：上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．直线l与圆C相切 B．直线l与圆C相离 C．|PM|的最大值为 D．|PM|的最小值为 【答案】BD 【分析】根据圆心到直线l得距离，可知直线l与圆C相离； ∵P、M均为动点，对|PM|先固定点P可得，再看不难发现， 即． 【详解】圆C：得圆心,半径 ∵圆心到直线l：得距离 ∴直线l与圆C相离 A不正确，B正确； C不正确，D正确； 故选：BD． 11．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（    ） A． B．直线与所成角的余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．存在实数使得 【答案】BD 【分析】建立空间直角坐标系，求出，对于A，计算的值即可判断；对于B，计算的值即可判断；对于C，先计算得，接着计算，再由和平面且结合锥体体积公式即可计算求解；对于D，由计算求出即可得解. 【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 对于A，，故与不垂直，故A错误； 对于B，， 所以直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，由上，所以， 所以即，又， 所以， 因为，又由正方体性质可知平面即平面， 所以，故C错误； 对于D，若存在实数使得， 则， 所以，所以，故D正确. 故选：BD. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．圆心为直线与直线的交点，且过原点的圆的标准方程是 ． 【答案】． 【分析】由，求得圆心，再根据圆过原点，求得半径即可. 【详解】由，可得，即圆心为， 又圆过原点， 所以圆的半径， 故圆的标准方程为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，属于基础题. 13．已知在正四棱台中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】利用向量的线性运算求得，根据向量的夹角公式可求异面直线与所成角的余弦值. 【详解】， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 14．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】可得直线分别过定点和且垂直，可得设，则，,,则，利用正弦函数的性质求值域即可． 【详解】由题意可知，动直线，经过定点， 动直线即，经过定点， 时，动直线和动直线的斜率之积为， 时，也垂直， 所以两直线始终垂直，又P是两条直线的交点， ， ． 设，则，， 由且，可得， ， ， ， ， ， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：因为，设，则，，则，即可求得的取值范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为． (1)求直线的方程； (2)若边上的中线所在的直线方程为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）设点，求出线段的中点的坐标，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，可得出点的坐标，再将点的坐标代入直线的方程，即可求出实数的值. 【详解】（1）解：由条件知边上的高所在的直线的斜率为，所以直线的斜率为， 又因为，所以直线的方程为，即. （2）解：因为点在轴上．所以设，则线段的中点为， 点在直线上，所以，得，即， 又点在直线上，所以，解得． 16．圆心在曲线（）上的圆与轴相切，且被直线截得的弦长为． （1）求圆的方程； （2）求过点且与该圆相切的直线方程． 【答案】（1）（2）或 【分析】（1）由圆心在直线上，设出圆心坐标，再根据圆与轴相切，可得半径与圆心纵坐标绝对值相等，利用弦心距、半径、半弦长构成的直角三角形求解即可． （2）分直线斜率存在与不存在两种情况，表示出所求直线，根据圆心到直线的距离等于半径求解即可． 【详解】（1）设圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离， 而， 即， 解得（舍去）， 故所求圆的方程为 （2）当切线的斜率不存在时，因为过点，其方程为，圆心到直线的距离为，满足题意． 当切线斜率存在时，设切线为，即， 圆心，半径， ， 解得． 当切线的斜率存在时，其方程为， 即． 故切线方程为或． 17．如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为菱形，且，点为棱DP的中点. (1)在棱BC上是否存在一点，使得∥平面PAN？如果存在，确定点N的位置，如果不存在，请并说明理由； (2)若二面角的余弦值为时，求棱DP的长度，并求点A到平面BCM的距离． 【答案】(1)存在，点为的中点 (2)；点A到平面BCM的距离为 【分析】（1）取的中点，可得平面∥平面PAN，根据面面平行的性质可得∥，进而可得结果； （2）建系标点，设，分别求平面BCM、平面PCD的法向量，根据面面夹角求得a，进而可求点到面的距离. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为分别为的中点，则∥， 且平面PAN，平面PAN，可得∥平面PAN， 又因为∥平面PAN，，平面， 可得平面∥平面PAN， 且平面平面，平面平面，可得∥， 由题意可知：∥，则为平行四边形， 可得，即点为的中点， 所以棱BC上是存在一点，使得∥平面PAN，此时点为的中点. （2）取的中点，连接， 由题意可知：为等边三角形，则， 且∥，可得， 又因为底面ABCD， 则可以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 可得， 设平面BCM的法向量，则， 令，则，可得， 且平面PCD的法向量， 由题意可得：，解得（舍负）， 可得，， 所以点A到平面BCM的距离. 18．已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上. （1）求圆M的方程； （2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设圆的方程为：，由已知列出方程组，解之可得圆的方程； （2）由已知得四边形的面积为，即有，又有.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，根据点到直线的距离公式可求得答案. 【详解】解：（1）设圆的方程为：， 根据题意得， 故所求圆M的方程为： ； （2）如图， 四边形的面积为，即 又，所以， 而，即. 因此要求的最小值，只需求的最小值即可， 的最小值即为点到直线的距离 所以， 四边形面积的最小值为. 19．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． (1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，，求的最大值； (3)已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，和 【分析】（1）代入和的公式，即可求解； （2）首先设，代入，求得点的轨迹，再利用数形结合，结合公式，结合余弦值，即可求解； （3）首先求的最小值，分和两种情况求的最小值，对比后，即可判断直线方程. 【详解】（1）， ， ； （2）设，由题意得：， 即，而表示的图形是正方形， 其中、、、． 即点在正方形的边上运动，，， 可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值． 因此，点有如下两种可能： ①点为点，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，取， 则． 因为，所以的最大值为． （3）易知，设，则 当时，，则，，满足题意； 当时，， 由分段函数性质可知， 又且恒成立，当且仅当时等号成立． 综上，满足条件的直线有且只有两条，和． 【点睛】关键点点睛：本题第二问为代数问题，转化为几何问题，利用数形结合，易求解，第3问的关键是理解，同样是转化为代数与几何相结合的问题. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$