复数篇-遇见最美的数学系列——考前救急系列

股份有限公司 宁 sir考前救急小册子 复数（选填题） 一、虚部的探究 Ⅰ：虚数单位 i 数 i叫倣虚数单位，它的平方等于 1 ，即 2 1i   ． 注意： i是 1 的一个平方根，即方程 2 1x   的一个根，方程 2 1x   的另一个根是 i ； Ⅱ：复数的摡念 形如 ( , )a bi a b R  的数叫复数，记作： ( , )z a bi a b R   ； 其中： a叫复数的实部， b叫复数的虚部， i是虚数单位． Ⅲ：复数的分类（纯虚数及纯实数） 对于复数 z a bi  ( , )a b R 若 0b  ，则 a bi 为实数，若 0b  ，则 a bi 为虚数，若 0a  且 0b  ，则 a bi 为纯虚数． 分类如下： z a bi  ( , )a b R               时为非纯虚数当 时为纯虚数当 实数 实数 0 0 0 0 a a b b Ⅳ：共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于 0 的两个共 轭复数也叫做共轭虚数．通常记复数 z的共轭复数为 z． 形如： ii bazbaz  二、复数相等求参及范围问题 Ⅰ：两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即：       db ca dicbia 特别地： 0 0a bi a b     ． ①根据复数 a bi 与 c di 相等的定义，可知在 ,a c b d  两式中，只要有一个不成立，那么就有 a bi c di   （ a， , ,b c d R ）． ②一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也 只有当两个复数全是实数时才能比较大小． Ⅱ：复数相等问题的解题策略 ①必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． ②根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题． 股份有限公司 ③如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的． 三、复数的几何意义象限问题 复数的几何意义 Ⅰ：复平面、实轴、虚轴： 如图所示，复数 ( , )z a bi a b R   可用点 ( , )Z a b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 复平面，也叫高斯平面， x轴叫做实轴， y轴叫做虚轴 注意：实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． Ⅱ：复数集与复平面内点的对应关系 复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点与之对应；反过来，复平面内的每一个点， 有唯一的一个复数和它对应． 故  babiaz , 四、复数的模及其应用 Ⅰ：复数的模 设 ( , )OZ a bi a b R    ，则向量OZ  的长度叫做复数 z a bi  的模，记作 | |a bi ． 2 2| | | | 0z OZ a b     Ⅱ：计算模长的步骤： 第一步：根据题干已知条件将复数化为标准形式 z a bi  第二步：标出坐标形式（模长即为坐标到坐标原点的距离） 第三步：勾股定理 五：复数形式的加、减运算 Ⅰ：复数的加法、减法运算法则： 设 1z a bi  ， 2z c di  （ , , ,a b c d R ），我们规定： 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )z z a bi c di a c b d i         2 1 ( ) ( )z z c a d b i     注意：复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样．很明显， 两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形． Ⅱ：复数的加法运算律： 交换律： 1 2 2 1z z z z   结合律： 1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z     股份有限公司 技巧：两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加 法的逆运算．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）． 复数模最值问题秒杀 Ⅰ：工具 如果复数 1z 、 2z 分别对应于向量 1OP  、 2OP  ，那么以 1OP、 2OP 为两边作平行四边形 1 2OPSP ，对角线OS 表示的向量OS  就是 1 2z z 的和所对应的向量．对角线 2 1P P表示的向量 2 1P P  就是两个复数的差 1 2z z 所对应 的向量． 设复数 1z a bi  ， 2z c di  ，在复平面上所对应的向量为 1OZ  、 2OZ  ，即 1OZ  、 2OZ  的坐标形式为 1 ( , )O a bZ   ， 2 ( , )OZ c d  奎屯 王新敞 新疆以 1OZ  、 2OZ  为邻边作平行四边形 1 2OZ ZZ ，则对角线OZ 对应的向量是OZ  ， 由于 1 2 ( , ) ( , ) ( , )OZ OZ OZ a b c d a c b d          ，所以 1OZ  和 2OZ  的和就是与复数 ( ) ( )a c b d i   对 应的向量． Ⅱ秒杀： 1 2| |z z 表示复平面内 1z ， 2z 对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面 内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解． 复数形式的乘除法运算（分数形式秒化解） Ⅰ：乘法运算法则： 设 1z a bi  ， 2z c di  （ , , ,a b c d R ），我们规定： 1 2 ( )( ) ( ) ( )z z a bi c di ac bd bc ad i        2 2 2( i) 2 i( , )a b a b ab a b    R ． 2 2( i)( i) ( , )a b a b a b a b    R ． 2(1 ) 2i i   ． Ⅱ：乘法运算律： （1）交换律：    1 2 3 1 2 3z z z z z z （2）结合律：  1 2 3 1 2 1 3z z z z z z z   （3）分配律：  1 2 3 1 2 1 3z z z z z z z   Ⅲ：分式形式秒化解： 1 2 2 2 2 2 ( )( ) ( )( ) z a bi a bi c di ac bd bc ad i z c di c di c di c d c d               股份有限公司 口诀：分子分别为（竖×相加，交叉之差） 常用公式需记忆① 1 i i   ；② 1 i i 1 i    ；③ 1 1 i i i     ． Ⅳ：①两个复数代数形式乘法的解题步骤： 第一步：首先按多项式的乘法展开． 第二步：再将 2i 换成 1 ． 第三步：然后再讲行复数的加、减运簯． ②两个复数代数形式的除法运算步骤 第一步：首先将除式写为分式． 第二步：再将分子、分母同乘以分母的共轭复数． 第三步：然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 复数范围内解方程（结论） 结论：当一元二次方程中 0  时，在复数范围内有两根且互为共轭复数． 形如：       nim nim cbxax 前提下两根分别为在 002 然后利用韦达定理 正规方法：已知一元二次方程根时，需要将根带入一元二次方程，利用复数相等求解参数