小专题一 求锐角三角函数值的常用方法-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年九年级下册数学（北师大版 陕西专版）

小专题一求锐角三角函数值的常用方法 类型1 定义法求锐角三角函数值 5.(渭南临渭区一模)如图，在Rt△ABC中， 方法指导 ∠ACB=90°，D是AB的中点，过点D作 在直角三角形中，已知任意两边的长可直接求锐 AB的垂线交AC于点E,BC=6,sinA=3, 角三角函数值。 则DE的长为 1.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=12, BC=5,则tanA的值为 A.4 R15 2 C.15 n号 12 D A号 B是 c n号 (第5题图) (第6题图) 2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,AB (4,0),点B的坐标为(0,3)，以点A为圆心， 的垂直平分线MN交AC于点D,连接BD.若 AB的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点 ms∠BDC-号，则BC的长为 ) C,连接BC,则∠ACB的余弦值为( A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm A B.3 C.10 D.30 10 10 7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上 一点AB=5,BD=1,amB= (1)求AD的长： (2)求sin∠BAD的值. (第2题图) (第3题图) 3.如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分 线，DE交AC于点E,连接BE.若BE=9, BC=l0,则tanC的值为 类型2设参数法求锐角三角函数值 方法指导 若已知两边的比值或一个锐角三角函敏值，则可 采用设参数的方法，先用含参数的式子表示出所求锐角 三角函数涉及的边的长，再根据锐角三角函效的公式计 算它们的比值，即可得出锐角三角函数值 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= AC,则 sinB的值为 ( 4.26 B.2 C⑤ D.2 5 5 9名师测控·数学Ⅱ九年级下册(BS) 类型3构造直角三角形法求锐角三角 12.(西安长安区校级三模)如图，在等腰三角 函数值 形ABC中，AB=AC=13,BC=24,点D为 方法指导 BC的中点，DE⊥AB于点E,则sin∠BDE 求锐角三角函数值，当三角形不是直角三角形且 的值为 ( 不能直接转化为其他角时，可以根据已知条件构造直 角三角形解决。（常见的辅助线有作高、作平行线等） A号 &言 C is n号 8.如图，△ABC是周长为36的等腰三角形， 13.如图，在△ABC中，AB-AC=5,BC=8. AB=AC,BC-10,则tanB的值为( 若∠BPC=专∠BAC,则tan∠BPC的值 A c号 为 (第8题图)》 (第9题图) (第13题图) (第14题图) 9.如图，点A,B,C都在正方形网格的格点上， 14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC 小正方形的边长均为1，则sin∠BAC的值 3,sim∠ABC=了，D是边AB上一点，且 为 CD=CA,BE⊥CD,垂足为E,则 A号 B②6 26 c D. 13 sin∠EBD的值为 10.如图，在正方形方格纸中，每个 15.(榆林子洲县期末)如图，在△ABC中， 正方形的边长都相等，A,B, ∠ACB=90°，O是AB的中点，CO=6.5, C,D都在格点处，AB与CD BC=5. 相交于点P,则cos∠APC的 (1)求AC的长： 值为 (2)求cos∠OCA与tanB的值. A号 B25 c号 n写 类型4 等角转换法求锐角三角函数值 方法指导 当所求角的锐角三角函数值不能直接求出，这个 角可以转化为其他角时，可以求转化后与其相等的角 的锐角三角函数值 11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12, BC=5,CD是△ABC的高，则cos∠BCD的 值是 ( A号 B是 c是 (第11题图) (第12题图) 第一章直角三角形的边角关系10∠BAC=30°，∴.sin∠BAC= = AB DP,BP=HD.:AB=2Am,BE=号AB=号 am∠BAC-gC-9∴AB=2BC,AC=SBC ×24=8(cm).易得∠EBH=∠a=10°.∴.在 Rt△BEH中，HE=BE·sin∠EBH=8·sin1o ,DA=AB,∴.∠D=∠DBA.,∠D+∠DBA= ≈8X0.17=1.36(cm),BH=BE·cos∠EBH ∠BAC,.∠D=∠DBA=15°.CD=DA+ =8·cos10°≈8X0.98=7.84(cm),∴.DP=BH AC,DA=AB=2BC,∴.CD=2BC+√3BC=(2+ =7.84cm,HD=DE-HE=27.36-1.36= 3 BC.:'tan D-CD-(23)BC3 BC BC 1 =2 26(cm),∴.BP=HD=26cm..'∠PBF=∠ABF -∠EBH-∠HBP=145°-10°-90°=45°. -√3，∴.tan15°=2-3. ∴.△BPF是等腰直角三角形，∴.PF=BP=26cm, 思维拓展 ∴.DF=DP+PF=7.84+26=33.84(cm).答：DF 14.解：1111(1)过点B作BD⊥AC于点 的长度约为33.84cm. D,则∠ADB=90°.，在Rt△ABD中，sinA= 思维拓展 asA=A品sirA十cosA=(肥) BD BD 12.解：易得四边形BDCG是矩形，∴.CG=BD, (铝)-BDD,:在△ABD中，由勾胶 CD=BG=4.7m.,在Rt△BCG中，∠BCG= 13°，tan∠BCG= 定理，得BD+AD=AB,.sin2A十cos2A=1: 器G=*品 20.4(m).,在Rt△ACG中，∠ACG=22°， (2):sinA=号，∠A为锐角，simA+cosA= am∠AG8器AG=G·an2≈20,4X 1,sA=smA=√1-()- 0.40=8.16(m),.AB=AG+BG=8.16+4.7 3三角函数的计算 12.86≈13(m).答：教学楼AB的高度约为13m 基础过关 小专题一 求锐角三角函数值的常用方法 1.D2.C3.(1)0.45(2)0.52(3)0.64 1.B2C3.24 4.A5.C6.B7.解： (4)-0.784.B5.B6.C7.70°8.解：根 5 据题意，得∠BAC=90°，AB=2.7m,∠ACB= I):在R△ABC中，∠C=90,amB=C 33°，∠DBE=66°，CE=2.2m,DE⊥BC,在 RAARC中，m∠ACB-能BC-= sin 33 子∴可设AC=3,C=4由勾股定理，易得 AB=5.x.AB=5,.5.x=5,解得x=1..AC= 05-5(m,BE=BC-CE=5-2.2=2.8(m. 2.7 3,BC=4.BD=1,∴.CD=BC-BD=4-1=3. ,在Rt△BED中，cOs∠DBE= 儒：BD 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD= √CD十AC=√32+32=3W2;(2)过点D作DE *品≈7m.答：该支架的边BD的长 BE ⊥AB于点E.:Sm=号AB·DE=号BD· 约为7m 能力提升 AC,∴.DE BD:AC-3=号∴sin∠BAD AB 5 9.D10.21 11.解：如图， 过 DE 5 AD3√210 8.C9.B10.B11.A 点B分别作BH⊥DE于点H,BP⊥FC于点P 12.A13.14.3 15.解：(1)∠ACB 又ED⊥CF,.四边形BPDH是矩形，.BH= 90°，O是AB的中点，CO=6.5,∴.AB=2CO= 第2页（共42页） 13.,BC=5,,在Rt△ABC中，由勾股定理，得 为1个单位长度，构造如图③所示的网格图，取格 AC=√AB-B=132-5=12:(2),∠ACB 点D,连接AD,DN.可得AD∥CM,∴.∠CPN =90,0是AB的中点0C=OA=0B=号AB ∠DAN.易知△ADN为直角三角形，且∠ADN =90°.，在Rt△ADN中，AD=10,AN=2V5 ∴∠A=∠OCA,∴cos∠0CA=cOsA= AC12 AB131 cos∠CPN=cos∠DAN=AD=0-2 21 tan B= AC_12 AN 25 BC 5 ∴.∠CPV=45. 4解直角三角形 基础过关 1.C2.45°45°203.解：在Rt△ABC中，由勾 图② 图③ 股定理，得AC=√AB-BC=√(23)2-(3) 5三角函数的应用 =3如A-篇摄-A=0 基础过关 ∠B=90°-∠A=90°-30°=60°.4.C5.C 1.C2.10.43.解：过点C作CD⊥AB于点D, 6.637.解：CD⊥AB,∴∠CDB=90°.在 .∠ADC=∠BDC=90°.由题意，得AB=40×2 R△CBD中，anB=品BD=6,则g=号 =80(km),∠CAB=90°-60°=30°，∠ABC=90° 31 -45°=45°，.AD= .CD=4.在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC= tan∠CAB=3CD,BD= CD AD+CD=√22+4=2√5，∴.AC的长为 tan ABC=CD.AB-AD+BD=80(km), CD 25. ∴√3CD+CD=80,∴.CD=40V3-40≈29.2(km). 能力提升 答：该船在航行过程中与小岛C的最短距离约为 8.D9.310.解：(1)'AM⊥MN,DN⊥MN, 29.2km.4.atan35.解：过点C作CD LAE,交 ∴.∠AMN=∠DNM=90°..AD∥MN, AE的延长线于点D,设BD=xm,AB=10m, ∴.∠DAM=180°-∠AMN=180°-90°=90°， .AD=AB+BD=(x+10)m.:在Rt△BCD .四边形AMND是矩形，'.AD=MN=ME+ EF+FN=20.0+40.0+20.0=80.0(m).答： 中，∠CBD=45,an∠CBD-品CD=BD “大碗”的口径AD的长为80.0m;(2)延长CB交 tan45°=x(m).,在R1△ACD中，∠CAE=42 AM于点G.由题意，得BE=GM=2.4m,BG= ME=20.0m,BG⊥AM,∠EBG=90°，∴.∠ABG m∠CAE-8GD=AD·im42≈0.90x =∠ABE-∠EBG=152°-90°=62°.在 +10)m,.x=0.90(x+10),解得x=90.∴.CD Rt△ABG中，AG=BG·tan∠ABG≈20.0X =90m.,小山顶的水平观景台的海拔高度为 1.88=37.6(m),∴.AM=AG+MG=37.6+2.4 1600m.∴.山顶点C处的海拔高度约为1600十 =40.0(m).答：“大碗"的高度AM的长约为40.0m 90=1690(m).6.6√2 思维拓展 能力提升 11.解：(1)2(2)如图②，取格点B,连接AB, 7.解：(1)设CD=xm.,DE=36m,.CE=CD BN,可得AB∥MC,∴.∠CPN=∠BAN.易知 +DE=(x+36)m..EC⊥AB,.∠BCE= △ABN为直角三角形，且∠ABN=90°.，·在 ∠ACD=90°.在Rt△BCD中，：'tan∠CDB= Rt△ABN中，AB=5,AN=√10，∴.cos∠CPN -s∠BAN-晨-点号：(3设C的长 8S.∠CDB=45,∴BC=CD1am∠CDB=x· AN√10 tan45°=x(m).在Rt△BCE中，，tan∠CEB= 第3页（共42页）