小专题二 解直角三角形应用中的“双直角三角形”模型-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年九年级下册数学（北师大版 陕西专版）

小专题二解直角三角形应用中的 =CN=DN+CD=(x+3)m,..EN=EF+NF “双直角三角形”模型 =5+(x+3)=(x+8)m.在Rt△DEN中， 1.B2.1023.解：连接BD交延长交EF于点 :tan∠DEN=P∠DEN=3I,∴DN=EN G,交PQ于点H.由题意，得AB=CD=EG= ·tan∠DEN=(x+8)·tan31°≈0.6(x十8)m, HP=1.6m,EF⊥BG,QP⊥BH,AC=BD= ∴.x=0.6(x+8),解得x=12..DN=12m, 4 m,CE=DG=21 m,PQ=64 m,..QH=QP- ∴.DH=DN+NH=12+1.2=13.2(m).答：标 PH=64-1.6=62.4(m)..在Rt△BQH中， 语牌底部点D到地面的距离DH的长约为 ∠QBH1-21.3,am∠QBH-8÷BH- 13.2m. 9.解：过点F作FH⊥AB于点H. am2盟3入8器话160mDH=BH-BD QH ,AB⊥BG,FG⊥BG,.四边形BGFH为矩形 .BH=FG=1.6m,BG=HF.设AB=xm.由 160-4=156(m)..EF⊥BG,QP⊥BH, 题意，得∠CED=∠AEB,∠CDE=∠ABE= ∴.∠FGD=∠QHD=90°.，∠FDG=∠QDH, △FGD△QHD.品-品-器， 90∴△CDEn△ABE.是-0.即品 .FG=8.4,∴.EF=FG+EG=8.4+1.6= BEBE=0.5ar m,:HF=BG=GD+DE+BE 10(m).答：玄奘法师铜像EF的高度约为10m =4.15+0.85+0.5x=(5+0.5x)m..在 4.C5.(9十6√3)6.解：过点A作AE⊥CD于 Rt△AFH中，∠AFH=40°，AH=AB-BH=(x- 点E.由题意，得AB=DE=20m.在Rt△ADE 1.6)mtan40°=二=二.6≈0.84，解得x HF5+0.5.x 中，∠EAD=30°，tan∠EAD= 0AE= =10.答：喷泉景观AB(含底座)的高度约为 R50 20 10m. 10.解：CD⊥DE,AB⊥DE,.∠CDE 3 =205(m).在Rt△AEC中， =∠ABE=90°.设BF=xm.在Rt△ABF中， 3 ∠CAE=45m∠CAE-.CE=AE· ∠AFB=50.2,am∠AFB=4P.AB=BF tan50.2°≈1.2.x(m).,∠CDE=∠ABE=90°， tan45°=20/3×1=20w3(m),∴.CD=CE+DE =(20√3+20)m.答：信号塔的高度为(20√3十 ∠E=∠E△CDE∽△MBE,∴部- 20)m.7.解：由题意，得∠CAD=30°，∠AEB= .'BE=BF+EF=(+7.5)m,DE=DF+EF= 53.13°，CD=15W3m,DE=15m.在Rt△ACD 16.5+7.5=24m紧=5，解得 中，∠CAD=30°，CD=15√3m,tan∠CAD= 12.5.∴.AB=1.2×12.5=15(m).答：学校旗杆 品AD= CD=153 的高度AB约为15m. an30° =45(m).:在 第一章整合与提升 3 高频考点突破 Rt△ABE中，AE=AD-DE=45-15=30(m), 1.B2.B3.解：.∠C=90°，AB=8,BC=4, ∠AEB=581S,an∠AEB=Ae.AB=AE .由勾股定理，得AC=√AB一BC=√8一4 ·tam53.13≈30×号=40(m.答：甲楼的高度 co.an A-C- AB 8 AB约为40m.8.解：能.延长EF交CH于点 4-3 N,则∠CNF=90°.由题意，得NH=BF=AE= 4334.C575°6.解：1)原式=1+9 1.2m,EF=AB=5m.在Rt△CFN中， ∠CFN=45°，.CN=NF.设DN=xm,则NE -23+4×9=10-25+23=10:(2)原式 2 第5页（共42页）小专题二解直角三角形应用中的“双直角三角形”模型 类型1 “母抱子”型 此时小明距铜像21m.通过手机查阅大雁塔 模型归纳 的高度约为64m,小明的眼睛距地面的高度 旋转 约为1.6m,请根据以上数据求出玄奘法师 铜像EF的高度.（参考数据：sin21.3°≈ 0.36,cos21.3°≈0.93，tan21.3°≈0.39) 1.(赦材P1g“做一做”变式)如图，长4m的楼 梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼 梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾 斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的 长为 ( ) A.23m B.26m C.(2√3-2)m D.(2√6-2)m 42 (第1题图) (第2题图) 2.如图，在天竺山附近的小山AB的顶部有 座通讯塔BC,点A,B,C位于同一直线上. 在地面P处，测得塔顶C的仰角为42°，塔底 B的仰角为35°.已知通讯塔BC的高度为 29m,则小山AB的高度为 m.(结果 取整数，参考数据：tan35°≈0.70，tan42°≈ 0.90) 类型2“背靠背”型 3.土文把大雁培)(2024·西安碑林区校级模 模型归纳 拟)大雁塔是西安的标志性建筑，也是世界 文化遗产，在大雁塔南广场有一座玄奘法师 △平移 DCC万 铜像.五一期间，酷爱数学的小明和小亮来 西安游玩，他俩站在玄奘法师的铜像前，想 旋转 利用数学知识测量这座铜像的高度.于是， 4.南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁， 他们找来测量工具如图所示进行测量.小明 小芳同学在校外实践活动中对其开展测量 站在点A处，用侧倾器测得大雁塔PQ的塔 活动.如图，在桥外一点A测得大桥主架与 顶Q的仰角为21.3°，接着小明向前走了4m 至点C处，此时视线正好被铜像EF挡住了 水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶 大雁塔（即点D,F,Q三点共线），小亮测得 端D的仰角为B,已知测量点与大桥主架的 17名师测控·数学Ⅱ九年级下册(BS) 水平距离AB=a,则此时大桥主架的顶端离 是53.13°，小明站在乙楼顶部C处测得甲楼 水面的高度CD为 ( 底部A处的俯角是30°，已知乙楼的高CD A.asin a十asin3 B.acos a+acos B 是15√3m,DE的距离是15m,请你根据以 C.atan a+atanβ D.a 上数据计算甲楼的高度AB.(参考数据： tan a tanβ m5813号e5双13号m5813 c30 (第4题图) (第5题图) 5.如图，拦水坝的横截面为梯形ABCD,AD∥ BC,AD=3m,坝高AE=DF=6m,坡角 建筑垃圾 a=45°，3-30°，则BC的长为 m 6.如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测 信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的 仰角为45°.已知教学楼AB的高度为20m, 求信号塔的高度.（结果保留根号） 8.如图，学校教学楼上悬挂一块高为3m的标 语牌，即CD=3m,数学活动课上，小明和小 红要测量标语牌的底部点D到地面的距离， 测角仪支架高AE=BF=1.2m,小明在E 处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红 在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°， AB=5m,依据他们测量的数据能否求出标 语牌底部点D到地面的距离DH的长？若 能，请写出计算过程；若不能，请说明理由 (图中点A,B,C,D,E,F,H在同一平面上 参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86， tan31°≈0.60) 类型3“拥抱”型 模型归纳 待么D小滑 ® 方向下样 45 B( 7.如图，已知甲楼和乙楼之间有建筑垃圾，小 明想通过学习的知识测量甲楼的高度AB, 小明站在点E处测得甲楼顶部B处的仰角 第一章直角三角形的边角关系18 类型4综合类型 10.项目式学习(2024·榆林榆阳区校级模拟) 9.匹士文化何尊(2024·咸阳模拟)何尊出土于 某数学兴趣小组将测量学校旗杆的高度作 宝鸡，是最早记录“中国”一词的青铜器.在 为一次实践活动，活动报告如下： 宝鸡南站广场，有一座“何尊”造型的喷泉景 活动目的 测量学校旗杆的高度 观.周末小明和同学游览时想测量该喷泉景 活动工具 测角仪、皮尺等测量工具 观AB(含底座)的高度，小明先站在水平地 甲同学眼睛位于教学楼的顶端C处时， 面上的点D处，同学在点B,D之间的水平 观察得到地面上的点E、旗杆顶端A、 地面上放置一个平面镜并来回移动，当平面 教学楼顶端C在一条直线上，乙同学在 镜移动到点E时，小明刚好在平面镜内看到 测量方案 点E处做好标记，并移动到，点F处，用 景观的顶端A,此时测得DE=0.85m,小明 测角仪测得旗杆顶端A的仰角∠AFB 跟睛到地面的距离CD是1.7m:然后小明 的度数，已知点D,B,F,E在同一水平 后退4.15m,在点G处用测角仪测得景观顶 直线上，CD⊥DE,AB⊥DE 端A处的仰角为40°，测角仪FG=1.6m已 CD=18 m.DF=16.5 m,EF=7.5 m, 知点G,D,E,B在同一水平线上，AB,CD, 已知数据 ∠AFB=50.2 FG都与GB垂直.请根据以上信息，求出喷 泉景观AB(含底座)的高度.（结果保留整 sin50.2°≈0.77，c0s50.2°≈0.64， 参考数据 数，参考数据：sin40°≈0.64，c0s40°≈0.77， tan50.2°≈1.20 tan40°≈0.84) 请你根据以上活动报告，计算学校旗杆的 高度AB. aa口 40 50.27 19名师测控·数学Ⅱ九年级下册(BS