5 三角函数的应用-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年九年级下册数学（北师大版 陕西专版）

5 三角函数的应用 ②基础过关。逐点击破 知识点2仰角、俯角在三角函数中的应用 知识点1方位角在三角函数中的应用 4.如图，小王在水平地面上的点A 1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东50°方 处测得塔顶点D的仰角为B,已 知点A到塔底的水平距离AB= 向，距离灯塔4 n mile的点A处.如果海轮 a,DB⊥BA,则塔高DB为 沿正南方向航行到灯塔的正东方向，那么海 ( 5.(2024·陕西)如图，一座小山顶的水平观景 轮航行的距离AB的长是 A.4 n mile B.4sin50°n mile 台的海拔高度为1600m,小明想利用这个 观景台测量对面山顶点C处的海拔高度.他 C.4cos50°n mile D.4tan50°n mile 在该观景台上选定了一点A,在点A处测得 北 点C的仰角∠CAE=42°，再在AE上选一点 B,在点B处测得点C的仰角a=45°， 东 AB=10m.求山顶点C处的海拔高度.（小 (第1题图) (第2题图) 明的身高忽略不计，参考数据：sin42°≈ 2.如图，海中有一个小岛A,一艘轮船由西向 0.67,c0s42°≈0.74，tan42≈0.90) 东航行，在点B测得小岛A在北偏东60°方 向上，航行12 n mile到达点C,这时测得小 岛A在北偏东30°方向上，则小岛A到航线 BC的距离是 n mile.(参考数据： √3≈l.73,结果精确到0.1 n mile) 3.某次军事演习中，一艘船以40km/h的速度 向正东方向航行，在出发地A测得小岛C在 它的北偏东60°方向，2h后到达B处，测得 小岛C在它的北偏西45°方向，求该船在航 行过程中与小岛C的最短距离.（结果精确 到0.1km,参考数据：2≈1.41，W3≈1.73) 北 50 知识点3坡角问题 6.(教材P0随堂练习T2 变式)如图，某市在建 高铁的某段路基横断面为梯形ABCD,DC∥ AB,BC长为6m,坡角3=45°，AD的坡角 a=30°，则AD的长为 m.(结果保留 根号) 13名师测控·数学Ⅱ九年级下册(BS) 网能力提升0整合运用 思维拓展。学科素养 7.(2024·天津)综合与实践活动中，要用测角 8.(2024·西安桥区校级一模)如图，我国某 仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度 海域上有A,B两个小岛，B在A的正东方 (如图①).某学习小组设计了一个方案：如 向.有一艘渔船在点C处捕鱼，在A岛测得 图②，点C,D,E依次在同一条水平直线上， 渔船在东北方向上，在B岛测得渔船在北偏 DE=36m,EC⊥AB,垂足为点C.在D处测 西60的方向上，且测得B,C两处的距离为 得桥塔顶部B的仰角（∠CDB)为45°，测得 202 n mile. 桥塔底部A的俯角（∠CDA)为6°，又在E (1)求A,C两处的距离： 处测得桥塔顶部B的仰角（∠CEB)为31° (2)突然，渔船发生故障，而滞留C处等待救 (1)求线段CD的长： 援.此时，在D处巡逻的救援船立即以 (2)求桥塔AB的高度.（结果取整数，参考数 40 n mile/h的速度沿DC方向前往C 据：tan31°≈0.6，tan6°≈0.1) 处，测得D在小岛A的北偏西15°方向上 距A岛30 n mile处.求救援船到达C处 所用的时间.（结果保留根号） 图① 图②@ 第一章直角三角形的边角关系1413.,BC=5,,在Rt△ABC中，由勾股定理，得 为1个单位长度，构造如图③所示的网格图，取格 AC=√AB-B=132-5=12:(2),∠ACB 点D,连接AD,DN.可得AD∥CM,∴.∠CPN =90,0是AB的中点0C=OA=0B=号AB ∠DAN.易知△ADN为直角三角形，且∠ADN =90°.，在Rt△ADN中，AD=10,AN=2V5 ∴∠A=∠OCA,∴cos∠0CA=cOsA= AC12 AB131 cos∠CPN=cos∠DAN=AD=0-2 21 tan B= AC_12 AN 25 BC 5 ∴.∠CPV=45. 4解直角三角形 基础过关 1.C2.45°45°203.解：在Rt△ABC中，由勾 图② 图③ 股定理，得AC=√AB-BC=√(23)2-(3) 5三角函数的应用 =3如A-篇摄-A=0 基础过关 ∠B=90°-∠A=90°-30°=60°.4.C5.C 1.C2.10.43.解：过点C作CD⊥AB于点D, 6.637.解：CD⊥AB,∴∠CDB=90°.在 .∠ADC=∠BDC=90°.由题意，得AB=40×2 R△CBD中，anB=品BD=6,则g=号 =80(km),∠CAB=90°-60°=30°，∠ABC=90° 31 -45°=45°，.AD= .CD=4.在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC= tan∠CAB=3CD,BD= CD AD+CD=√22+4=2√5，∴.AC的长为 tan ABC=CD.AB-AD+BD=80(km), CD 25. ∴√3CD+CD=80,∴.CD=40V3-40≈29.2(km). 能力提升 答：该船在航行过程中与小岛C的最短距离约为 8.D9.310.解：(1)'AM⊥MN,DN⊥MN, 29.2km.4.atan35.解：过点C作CD LAE,交 ∴.∠AMN=∠DNM=90°..AD∥MN, AE的延长线于点D,设BD=xm,AB=10m, ∴.∠DAM=180°-∠AMN=180°-90°=90°， .AD=AB+BD=(x+10)m.:在Rt△BCD .四边形AMND是矩形，'.AD=MN=ME+ EF+FN=20.0+40.0+20.0=80.0(m).答： 中，∠CBD=45,an∠CBD-品CD=BD “大碗”的口径AD的长为80.0m;(2)延长CB交 tan45°=x(m).,在R1△ACD中，∠CAE=42 AM于点G.由题意，得BE=GM=2.4m,BG= ME=20.0m,BG⊥AM,∠EBG=90°，∴.∠ABG m∠CAE-8GD=AD·im42≈0.90x =∠ABE-∠EBG=152°-90°=62°.在 +10)m,.x=0.90(x+10),解得x=90.∴.CD Rt△ABG中，AG=BG·tan∠ABG≈20.0X =90m.,小山顶的水平观景台的海拔高度为 1.88=37.6(m),∴.AM=AG+MG=37.6+2.4 1600m.∴.山顶点C处的海拔高度约为1600十 =40.0(m).答：“大碗"的高度AM的长约为40.0m 90=1690(m).6.6√2 思维拓展 能力提升 11.解：(1)2(2)如图②，取格点B,连接AB, 7.解：(1)设CD=xm.,DE=36m,.CE=CD BN,可得AB∥MC,∴.∠CPN=∠BAN.易知 +DE=(x+36)m..EC⊥AB,.∠BCE= △ABN为直角三角形，且∠ABN=90°.，·在 ∠ACD=90°.在Rt△BCD中，：'tan∠CDB= Rt△ABN中，AB=5,AN=√10，∴.cos∠CPN -s∠BAN-晨-点号：(3设C的长 8S.∠CDB=45,∴BC=CD1am∠CDB=x· AN√10 tan45°=x(m).在Rt△BCE中，，tan∠CEB= 第3页（共42页） 器∠CEB=3IBC=CE·am∠CEB=a =(x-4)m.,'在Rt△CEF中，∠CEF=60°， +36)·tan31°≈0.6(x+36)(m),.x=0.6(x+ am∠CEF-票∴-，解得=6+2点 36),解得x=54.答：线段CD的长约为54m: .CF=(6+23)m,∴.DC=DF+CF=15+6+ (2)由(1)，得CD=BC=54m.在Rt△CDA中， 23=(21+23m.3.5,54解：过点E作 am∠CDA=S∠CDA=6,AC=CD: 2 EF⊥CD,交CD的延长线于点F.,'在Rt△DFE tan∠CDA-54×tan6°≈54×0.1=5.4(m). 中，∠EDF=∠a=53°，∴.tan∠EDF=tan53°= .AB=AC+BC=5.4+54≈59(m).答：桥塔AB 的高度约为59m. 票≈会设EF=rm则DF=3mCF= 思维拓展 CD+DF=(15+3.x)m,由题意，得∠ABC= 8.解：(1)过点C作CE⊥AB于点E.由题意，得 ∠EFC=90°，∠ACB=∠ECF,∴.△CFE∽ BC=20√2 n mile,∠CBE=90°-60°=30°， △CBA…设-票85华解得=5 ∠CAE=90°-45°=45，.CE=号BC=3× 经检验，x=5是原方程的根..EF=4×5= 20(m).答：塔顶E到水平地面的距离约为20m. 20√2=10√2(n mile),△AEC是等腰直角三角 能力提升 形.在Rt△AEC中，sin∠CAE=CE 5.556.解：由题意，知∠BGF=90°-37°=53°， CE_102 CE=1 m,DC=2 m,EF=9 m,GF=12 m.. sin 45 =20(n mile).答：A,C两处的距离 Z Rt△BGF中，GF=12m,∠BGF=53°， 2 为20 n mile:(2)过点D作DF⊥AC于点F,,'在 &部.BF=GF·an∠BGF= tan∠BGF=B Rt△ADF中，AD=30 n mile,∠DAF=45°+15 12tan53°≈12×专=16(m),.BC=BF-CE =60,AF=AD·c0s∠DAF=30X2- EF=16一1一9=6(m).太阳光线是平行光线， .AC∥DE,∴.∠ACB=∠DEC.又，∠ABC= 15(mile),DF=AD·sin∠DAF-30X5 ∠DCE=90.△ABCADCE.提0S,即 153(n mile),.'CF=AC-AF=20-15= 5(n mile).在Rt△CDF中，由勾股定理，得CD= _名，AB=12.答：古建筑AB的高约为12m 6 1 DF2+CF=W√(153)2+5=10W7(n mile). 思维拓展 10v7÷40=(h.答：救援船到达C处所用的时 7.解：(1)CG⊥CD,.∠ACG=90°.，∠AGC =32°，∴.∠GAC=90°-∠AGC=90°-32°=58°： 间为 (2)该运动员能挂上篮网.理由如下：延长OA,ED 交于点M.,OA⊥OB,∴.∠AOB=90°.，DE∥ 6利用三角函数测高 OB,∴.∠DMA=∠AOB=90°..∠GAC=58, 基础过关 ∴.∠DAM=∠GAC=58°，∴.∠ADM=90° 1.B2.解：过点B作BG⊥AM于点G.由题意， ∠DAM=90°-58°=32°.，'在Rt△ADM中，AD 得在Rt△ABG中，∠a=30°，AB=30m,∴.BG= =0.8m,sin∠ADM= 0AM=AD· AB·sin30°=号×30=15(m).易得四边形 sin32°≈0.8×0.53=0.424(m),.OM=OA+ BGDF为矩形，.DF=BG=15m.设BF=xm. AM=2.5+0.424=2.924(m).2.924<3,.该 易得△BCF是等腰直角三角形，∴.CF=xm,EF运动员能挂上篮网. 第4页（共42页）