2 30°， 45° ，60°角的三角函数值-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年九年级下册数学（北师大版 陕西专版）

230°，45°，60°角的三角函数值 ②基础过关。逐点击破 知识点3特殊角的三角函数值的简单 知识点1特殊角的三角函数值 应用 7.如图，某研究性学习小组为测量学校A与 1.sin30的值为 河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选 A号 B号 c 一点C,测得∠A=60°，∠C=90°，AC= 2.(教材P,随堂练习T1变式)3tan45°的值等 2km.据此，可求得学校与工厂之间的距离 于 ( AB等于 A.2 km B.3 km A.3 B.3V3 C.1 D.3 3.比较大小：sin60 tan30°.（选填“>” C.23 km D.4 km “<”或“=”) 4.计算： 30 (1)6sin60°+2tan45°-4cos60°： (第7题图) (第8题图) 8.(西安雁塔区校级期末)如图，一名滑雪运动 员沿着倾斜角为30°的斜坡，从A处滑行至 B处.已知AB=100m,则这名滑雪运动员 的高度下降了 m 9.情愧题天桥)如图，有一座天桥，高AB为 5m,BC是通向天桥的斜坡，∠ACB=45°， (2)2sin45°+4cos230°-tan60. 市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的 底端C延伸到D处，使∠D=30°，求CD的 长度.（结果精确到0.01m,参考数据： √2≈1.414，√3≈1.732) 知识点2 根据三角函数值求锐角 5.已知∠a为锐角，且sina=2,则∠a的度数 为 ( A.30° B.45° C.60° D.90 【变式】若cosa=0.5,则锐角a的度数为 6.(2024·西安雁塔区校级一模)在△ABC中， 若mA-+(受-osB)2=0,则∠C 的度数是 5名师测控·数学！九年级下册(S) 网能力提升0整合运用 ②思维拓展。学科素养 10.如果一个三角形三个内角度数的比为 14.探究应用阅读下面的材料，先完成填空，再 1:2:3,那么这个三角形最小角的正切值 按要求答题， 为 sin30°= c n 2,c0s30°=3 ,则sin230°+ A号 B c0s230°= 11.如图，将三角尺的直角顶点放置在直线AB 上的点O处，使斜边CD∥AB,则∠a的余 sin45°= 号os45=竖则mr45十 弦值是 ( c0s245°= 30 sin60°= 号.os60°=2则ir60+ c0s260°= +40** A司 R号 c号 n号 观察上述等式，猜想：对任意锐角A,都有 12.类计算法定义一种运算： sin2A十cos2A= sin(a+B)=sin a cos B+cos a sin B, (1)如图，在锐角三角形ABC中，利用三角 sin(a-B)=sin a cos B-cos a sin B. 函数的定义及勾股定理证明你的猜想： 例如：当a=45°，3=30时，sin(45°+30)= (2)已知∠A为锐角(cosA>0),且sinA= 号×号+号×名中2，则m15的值 2 2 4 号求cosA的值。 为 13.(西安碑林区校级期未)学习完特殊角的三 角函数，爱思考的小明同学想探究一下 tan15°的值.他的做法是：如图，先画 Rt△ABC,使得∠C=90°，∠BAC=30°.再 延长CA到点D,使DA=AB,连接BD.你 能根据小明的做法，求出tan15°的值吗？ 请你试一试. 30 第一章直角三角形的边角关系6参考答案 第一章直角三角形的边角关系 2 ×6×8=24.∴.△ABC的周长为24，面积为24. 1锐角三角函数 能力提升 第1课时锐角的正切 10.D11.D12.1213.解：(1)过点B作BC⊥ 基础过关 1.C【变式】C2.B3.解：在Rt△ABC中，由 OA于点C.B0=5,sin∠BOA=3,5C 5…OB 勾股定理，得AC=√AB-BC=√202一12严= BC-3.在Rt△OBC中，由勾股定理，得OC 3 16(cm..tn A-C-号-是amB=瓷-9 =√OB一BC=√52一3=4，.点B的坐标为 3· 4.C5.A6.A7.8 (4,3):(2)25 5 能力提升 思维拓展 8.A9B【变式B10.21Ⅱ.-1+⑤ 14.解：(1)，在Rt△ABC中，∠C=90°，.sinA 2 12.解：过点A作AE⊥BC于点E,过点D作DF %-,mB-%-:62:在△MC LBC于点R.由题意，得1amC-S=之，CD 中，∠C-90mA=8C=号amB=瓷 龄 10m,∠B=45°，AD=6m.易证四边形AEFD是 :(3)由(1)，得sinA=cosB,由(2)，得tanA· 矩形，∴.AE=DF,EF=AD=6m.设DF=xm, 则CF=2xm.在Rt△CFD中，由勾股定理，得 anB=1:(00号 DF+CF2=CD,即x2+(2.x)2=10,解得x= 2 30°，45°，60°角的三角函数值 2√5（负值已舍去）.∴.DF=2√5m,CF=4√5m, 基础过关 AE=25m.,∠AEB=90°，∠B=45°，.BE 1.C2.D3.>4.解：1)原式=6×5+2×1 2 AE=25m,∴.BC=BE+EF+CF=2√5+6+ 4√5=(6√5+6)m.即BC的长为(65+6)m. 4X =35+2-2=3v3,(2)原式=2×号+ 思维拓展 13.解：(1)√3(2)在Rt△ABC中，tanA BC 4x() -(w3)2=√2+3-3=√2.5.A AC 线 【变式】60° 6.105°7.D8.509.解：在 cot A-C-4 BC 3 Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=45°，AB= 第2课时 锐角的正弦、余弦 5 m,.AC= tan ZACB=号=5m.在 AB 基础过关 Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠D=30°，∴.AD 1.A2B3.A4号 5.B6.C7.B8.B AB=点=5V3(m.∴CD=AD-AC=5V3- tan D 3 9.解：在Rt△ABC中，，∠C=90°，cosA= AC AB 3 5≈5×1.732-5=3.66(m).答：CD的长度约为 号，AC=6,AB=10.由勾股定理，得BC- 3.66m. AB-AC=√/10-6=8，∴.CA=AB+ 能力提升 AC+BC=10+6+8=24,S△Mx= 2AC·BC= 10.C11.A 12.6-2 13.解：，∠C=90 第1页（共42页） ∠BAC=30°，∴.sin∠BAC= = AB DP,BP=HD.:AB=2Am,BE=号AB=号 am∠BAC-gC-9∴AB=2BC,AC=SBC ×24=8(cm).易得∠EBH=∠a=10°.∴.在 Rt△BEH中，HE=BE·sin∠EBH=8·sin1o ,DA=AB,∴.∠D=∠DBA.,∠D+∠DBA= ≈8X0.17=1.36(cm),BH=BE·cos∠EBH ∠BAC,.∠D=∠DBA=15°.CD=DA+ =8·cos10°≈8X0.98=7.84(cm),∴.DP=BH AC,DA=AB=2BC,∴.CD=2BC+√3BC=(2+ =7.84cm,HD=DE-HE=27.36-1.36= 3 BC.:'tan D-CD-(23)BC3 BC BC 1 =2 26(cm),∴.BP=HD=26cm..'∠PBF=∠ABF -∠EBH-∠HBP=145°-10°-90°=45°. -√3，∴.tan15°=2-3. ∴.△BPF是等腰直角三角形，∴.PF=BP=26cm, 思维拓展 ∴.DF=DP+PF=7.84+26=33.84(cm).答：DF 14.解：1111(1)过点B作BD⊥AC于点 的长度约为33.84cm. D,则∠ADB=90°.，在Rt△ABD中，sinA= 思维拓展 asA=A品sirA十cosA=(肥) BD BD 12.解：易得四边形BDCG是矩形，∴.CG=BD, (铝)-BDD,:在△ABD中，由勾胶 CD=BG=4.7m.,在Rt△BCG中，∠BCG= 13°，tan∠BCG= 定理，得BD+AD=AB,.sin2A十cos2A=1: 器G=*品 20.4(m).,在Rt△ACG中，∠ACG=22°， (2):sinA=号，∠A为锐角，simA+cosA= am∠AG8器AG=G·an2≈20,4X 1,sA=smA=√1-()- 0.40=8.16(m),.AB=AG+BG=8.16+4.7 3三角函数的计算 12.86≈13(m).答：教学楼AB的高度约为13m 基础过关 小专题一 求锐角三角函数值的常用方法 1.D2.C3.(1)0.45(2)0.52(3)0.64 1.B2C3.24 4.A5.C6.B7.解： (4)-0.784.B5.B6.C7.70°8.解：根 5 据题意，得∠BAC=90°，AB=2.7m,∠ACB= I):在R△ABC中，∠C=90,amB=C 33°，∠DBE=66°，CE=2.2m,DE⊥BC,在 RAARC中，m∠ACB-能BC-= sin 33 子∴可设AC=3,C=4由勾股定理，易得 AB=5.x.AB=5,.5.x=5,解得x=1..AC= 05-5(m,BE=BC-CE=5-2.2=2.8(m. 2.7 3,BC=4.BD=1,∴.CD=BC-BD=4-1=3. ,在Rt△BED中，cOs∠DBE= 儒：BD 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD= √CD十AC=√32+32=3W2;(2)过点D作DE *品≈7m.答：该支架的边BD的长 BE ⊥AB于点E.:Sm=号AB·DE=号BD· 约为7m 能力提升 AC,∴.DE BD:AC-3=号∴sin∠BAD AB 5 9.D10.21 11.解：如图， 过 DE 5 AD3√210 8.C9.B10.B11.A 点B分别作BH⊥DE于点H,BP⊥FC于点P 12.A13.14.3 15.解：(1)∠ACB 又ED⊥CF,.四边形BPDH是矩形，.BH= 90°，O是AB的中点，CO=6.5,∴.AB=2CO= 第2页（共42页）