小专题二 解直角三角形应用中的“双直角三角形”模型-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年九年级下册数学（北师大版）

5三角顾数的应用 =12头餐R4心T中，D=3m:由为霞定.得好+1F=TD,p(k) 蓉：授牌UⅡ的高度的为i,2信相.解，(1)在粉△AC中，∠A=,∠C 基磁过关 十（以户=，解得一.D=6,-1口具答：D处的段直商度为子m(2)斜 品∠B-4品C=C-2如m答：的长为)mm2向题可卸.=月 1.g2(6,3+41nmm:刚. 我灯师P的亚北方向取点上， 城B的技度■It生，议花=.则E=am又∠M下，AF面行 AC×3)-10,BNN-0n在△N，∠N, -M+1-《M+E=(I1+1:,.A-A-F-AN一[-12+2=1 47+12L在R△A曜中，-14m+E=(7十m,n∠ADF=a DNaN·m∠1N-BXm2✉o×从程-k2ml,DmHN-N=10 一民2人8m.容，B,D之的牌再的为2B 第…章整合与提升 在灯塔P的正W方肉廉-一盛，由题意.荐LAB,罩NAA.∠A=∠PA一 商领考点文磁 ∠B=∠报Fm.在b△APC中，AP■0n■，品℃=AP,npI00X -要m.A补-A-E-物-亭-平m,着：基站蜡A的客的为平m一 a9g-mo.在△lp中，l便-一器=iamc这时，B经E 见里后湘 L日上人人A4m点期，)源或1+2唇+4×号-0-23+柱8-0 7解：L∠=,∠-.∠G'--∠u'= 离灯济P约1ndk4日5解，过成C作DE,必AE的第能线于点，业 一不：运动是餐挂上蓝样月由恒下，建长口H,交干点礼A1(思 2原政士-（受）+-1y-受-1=-去金水42是，m D=rm:A=10m,-AD=AB+D=(c+0L在△CD中-∠uD=4, -n45-ml在R△M7D中∠C1E-'.4wAD·mge ∠=同.：E,÷∠n-∠A指-：∠M=,∠DA= 在民△D中，∠A-W,品D-支B言×-1DsD-1,图.2( ∠MC=8.i∠A-w-∠f=-留=1.崔B△AAN中.ADL8m A8上十10m=0十190，解厚1线(D=0L”小的水平观是台 的到拔真度为1m+山顶点C处的再视高度约为1十圆=1m1,飞4，径 ∠-"A-AD:m证axa-Ag(m.dcM-0H+A 得田-0-5g--底雀△C啡m-儡-要 能力规开 之导+9犯一名H以.：2经时小m,摄站肉是律肤上签样. -2司no解：围- P过点A作(D的承视，文D的据长线于点 .解，1(=m=，，（主-D+D-(+36）L,1A. 小题二解直角三角形应用中的“双直角三角形“模型 ∠E-∠D-6,在△度D中.m∠mB-器∠度 1B21L43制：延长(TD交AB干点开，由题毫：得周边形口H为矩后，四 D:m∠CB-m-,在△E中，”m∠A-答∠CE- --在数△H中∠A-9w∠H-wm∠H- F:过点C作AB的廉线，交A出的编民线干点E,易得周边形F是理形，∠D 1..C-B·n∠C第-(g+G1+nr+6-高t置1， -m2以最T*在△gH中，∠ec-,∠-r AH -',FE,℃■AE∠CD■，∠E=∠D-∠BD'-W 那，在△食军中，女，∠a军-r-4二威--号×-，E-号度 朝得1=4，答线很D的长的为4m:2)由1，得D=位=4在△( 中，m∠A-部，∠M-.M-GD:n∠ni-4×X1 m∠H-0-m器器设A-mE-m ■正4n,AB4C+议互4十0(m.答，桶播LB的高度的为59 ER-+外m运面一提解得1i1=出-A+= 9×装-t,a”∠AC-135.∠Aw--∠Ax-10-1- △AF是等限直三角形，D平=AFE■，”aAE.即F+TDAH+ 思推拓烟 71+m=.1e可m,答：起全库顶部点A气如面的币离AB的长内为7L4.C 宽CD2,4y8+2+,A形48-2，品St宁D+围，E 美解：过点作近A,甲山，原足登划为由道鱼，用A=院得.-静m+ 反+6)6解，述点A作AE⊥D干点E由题意，科A=f=m面 ∠AE增，∠CF-r.有心UE中，m∠器E-·m∠E 路△ADEp,∠ED-r,m∠ED-器E保-碧-0，m, 子+行一》4万一礼卷，看尼顺精切直A仪D的面队为礼， 后错根理专效 -时agg×7-6m在△CB时中，m∠E时-高F议 A,∠CE-,m∠C怎EE,r-1-a L号等1：该山 n∠F-30Xm了9×含0-人m%世FD一Hf一4%s.'-F0十 F一函，好十I低0一属0s纸1m,答：从A处的九孔桶到C处的二龙零罪布上开 CD=E+D58十L蒋：信号矫的高度为20+0a1.解，属长BA 常等量量有连 售究度汇为强.1m 交Q的适长线十点C,则∠AQ=根紫画意，料=密m9=多0m在 1,C主人45一15)4解：1由题夏.99LAk--36m,A=1切 6利用三角8数测高 k△xQ中.∠045，(Q-议C-25m1=P0十Q20+22=≤fmk. -01.4m,E-0-4m,AC=-3m,(E-AE-A=1一3-1(m3,E 基健过关 在△eA中，m∠-答-ma,-临x高智-1L预a, Q-Q-2-L.6-Im,∠CEP-9,E-PE,,9-∠E=.在民△AFPE L,用1解：这点B作面LL于直G.在民心L)中∠a-出=的 中，m-m∠-票-子2在C中.E-E-1m∠-0，出 A-仪一AC=25一117=110,25110例m1.等，喜楼AB的奔度约为110m A8·n'-力×令-ml期得四立形国F为知形.六0球-一注m登E R解：能延长F交CH于点N.州∠NF=由题意.每N-F-AF一1,1 白吸定理，得P=(=T中=2(mX过点作甲上AP于点1 FL易得△K下是程直角三角形，（下z,2F一4）m在拉△E于中， E下=AB=在L在的△FN中，H∠下N=同，NN下.设DNFm明NF ”=m∠HaC得十设用-正周A-i+-加- C-N+(D=a+3,.EN=F+NF=B+Ir+a)=x+8m在△第N 中，m∠nEeN-.-N-N·m∠EN-+maa+em 解得-严CH-m在PH中，∠-器 六x-DF+GF-+6+行-21+1行mA号54解：在e△aD中， rL6r十8.解得x12,DN=2m,DH-DN-+N日=2+1,2=且，m ∠D45c30mm-,m∠假T-a×号-防2a 答每n牌底年成)州购雀的有自长片为31里男邮：1》过点公作EF 系.解：1过点作⊥AC,垂是E在△中，∠花= 在k△MD中，∠AD=,D=,m,AD一·n7w, K,通起为点D的转发1-112号-字六设F-m…同F一凸m有 1270982a1%,1A-AD十D-48+24,46=11A,81e10m0,答： RF中，由幻R定理，得正=”干F■√F+Pm”'E8,指m 抢△kE中，∠8E=4,(E-BE▣mm=,×=20vG4n). “东州明“东调背编AB的长约为1057化 -8,r-8,山F-5mF=出m容：NE到水平境属的倪离为8u 层+(E202+20可0201.41-20×25■77,2nm小，A.C两是之间的更 隆力蓝升 2山其长E实AH于点G,期边形AR石为甲B.GFC+下21+16 肉的为7,2n2)甲提控先判达谁，量由如下：如漏， 5,每4解：1)延表AH与水平麓南交于点F,过点D作D且下千点M,过直D作 度1T班款：到装事的依度-1：二微动一言设W-法@，周 0mB=aF2aE-.在△aE中，∠E=r,mLE正 -c·m40×08=,m:.AB=证-F+GE-十可象=4g(m 第4夏（兵2真》 第5尾《共42真) 第5项（朵4X》小专题二解直角三角形应用中的“双直角三角形”模型 类型1 “母抱子”型 的仰角∠ACD=18.4°：然后沿CVN方向继续 模型归纳 飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD= 平移 37°，当到达点A正上方的点E处时，测得 AE=9 m. 【数据应用】已知图中各点均在同一竖直平面 平移 内，E,A,B三点在同一直线上.请根据上述数 据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB B D 的长.（结果精确到1m.参考数据：sin37°≈ 1.(教材Pg“做一做”变式)如图，长4m的楼 0.60,cos37≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈ 梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼 0.32,cos18.4°≈0.95，tan18.4°0.33) 梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾 斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的 长为 A.23m B.2√6m C.(2√3-2)m D.(26-2)m 东 (第1题图) (第2题图)》 2.(教材P1习题T4变式)如图，海中有一个小 岛A,一艘轮船由西向东航行，在点B测得小 岛A在北偏东60°方向上：航行12 n mile到达 点C,这时测得小岛A在北偏东30°方向上 小岛A到航线BC的距离是 n mile. (3≈l.73,结果精确到0.1 n mile) 3.(2024·山西)【研学实践】为重温解放军东 渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动.同 学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在 了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D 扫描仪采集纪念碑的相关数据。 【数据采集】如图，点A是纪念碑顶部一点， AB的长表示点A到水平地面的距离.航模 从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞 行至距离地面20m的点C处时，测得点A 17名师测控·数学九年级下册配SD版 类型2“背靠背”型 类型3“拥抱”型 模型归纳 模型归纳 平移 将△门沿 C 旋转 4.南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁， 小芳同学在校外实践活动中对其开展测量 活动.如图，在桥外一点A测得大桥主架与 7.“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅 水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶 游新特色.某数学兴趣小组用无人机测量奇 端D的仰角为3，已知测量点与大桥主架的 楼AB的高度，测量方案如下：如图，先将无 水平距离AB=a,则此时大桥主架的顶端离 人机垂直上升至距水平地面225m的点P 水面的高度CD为 处，测得奇楼顶端A的俯角为15°，再将无人 A.asin aHasin B B.acos aHacos B 机沿水平方向飞行200m到达点Q,测得奇 楼底端B的俯角为45°，求奇楼AB的高度. C.atan aHatan B D.-ata tan a tan B (结果精确到1m,参考数据：sin15°≈0.26， c0s15≈0.97，tan15≈0.27) (第4题图) (第5题图) 5.如图，拦水坝的横截面为梯形ABCD,AD∥ BC,AD=3m,坝高AE=DF=6m,坡角 a=45°，8-30°，则BC的长为 m 6.如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测 信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的 仰角为45°.已知教学楼AB的高度为20m, 求信号塔的高度.（结果保留根号）》 15 0 8.如图，学校教学楼上悬挂一块高为3m的标 语牌，即CD=3m,数学活动课上，小明和小 红要测量标语牌的底部点D到地面的距离， 测角仪支架高AE=BF=1.2m,小明在E 处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红 在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°， AB=5m,依据他们测量的数据能否求出标 语牌底部点D到地面的距离DH的长？若 第一章直角三角形的边角关系18 能，请写出计算过程；若不能，请说明理由.10.学科物理)(2024·贵州)小星学习解直角 (图中点A,B,C,D,E,F,H在同一平面上， 三角形知识后，结合光的折射规律进行了 参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86， 如下综合性学习. tn31°≈0.60) 【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置 在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处 田 投射到底部B处，人射光线与水槽内壁AC 的夹角为∠A: F45 田田 IT 第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中 点E处时，停止注水.（直线NV为法线， AO为入射光线，OD为折射光线) 【测量数据】如图，点A,B,C,D,E,F,O, N,N'在同一平面内，测得AC=20cm, ∠A=45°，折射角∠D0N=32°. 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数 据，解答下列问题： (1)求BC的长： (2)求B,D之间的距离.（结果精确到 0.1cm,参考数据：sin32°≈0.52， 类型4综合类型 cos32°≈0.84，tan32°≈0.62) 9.如图，一楼房AB后有一假山CD,CD的坡 度i=1：2,山坡坡面上点E处有一休息亭， 测得假山山脚与楼房水平距离BC=24m, N D B 与亭子距离CE=8V5m,小丽从楼房房顶A 处测得E的俯角为43°. (1)求点E到水平地面的距离： (2)求楼房AB的高度.（结果精确到0.1m, 参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73， tan43°≈0.93) 43 水平地面 19名师测控·数学九年级下册配SD版