第1章 直角三角形的边角关系(随堂反馈)-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年九年级下册数学（北师大版）

第一章直角三角形的边角关系 1锐角三角函数 第1课时锐角的正切 知识梳理 ①在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做 ∠A的 ,记作 ②梯子的倾斜程度与tanA的关系：tanA的值越大，梯子越 ③正切也经常用来描述山坡的坡度，坡面的 与 的比称为坡度（或 坡比). 当堂练习 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,AB=5,则tanA的值是 A号 B c 2.若Rt△ABC的各边都扩大为原来的4倍，则锐角A的正切值 ) A.扩大为原来的4倍 B.不变 C缩小为原来的子 D.以上都不对 B 3.如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3m,tan∠BAC= 专，则梯子的顶端B到地面的距离BC为 m. 4.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD,背水坡的坡度为1：√3，已知背水坡 的长AB=10m,求拦水坝的高度. :3 B 1 第2课时锐角的正弦、余弦 知识梳理 ①在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之 确定，∠A的 与 的比叫做∠A的正弦，记作 ；∠A的 与 的比叫做∠A的余弦，记作 :锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三 角函数. ②梯子的倾斜程度与sinA,cosA的关系：sinA的值越大，梯子越 ;cosA的值越小， 梯子越 当堂练习 1.在△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=3,则cosA的值是 A是 B号 c D.告 2.如图，点A为∠α边上的任意一点，AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,下列用线段比表 示cosa的值，错误的是 A.BC RA c把 n是 B (第2题图) (第4题图) 3.在△ABC中，∠C=90°，若tanA=号，则sinB的值为 4,如图，在R△ABC中，∠C=90,AM是BC边上的中线，sin∠CAM=号，则tanB的值 为 5.如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC的中点，且BC=10cm,△ABC的周长为36cm, 求∠B的正弦值. ·2· 230°，45°，60°角的三角函数值 知识梳理 特殊角的三角函数值： 三角函数 三角函数值 sin a cos a tan a 角a 30 45 60 图象记忆法 60 45911 B<30 人45” 3 B 当堂练习 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1,AC=√3，那么∠B的度数是 A.15 B.45 C.30° D.60° 2.计算： (1)(-2)2-2sin30°= ;(2)-tan60°= 3.已知一个斜坡的坡度=1：√3，那么该斜坡的坡角的度数是 4.如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD,坝顶宽AD=6m,坝 单位：m 高是20m,背水坡AB的坡角为30°，迎水坡CD的坡度为1：2， 20 那么坝底BC的长为 m.(结果保留根号) 5已知∠a是锐角，且sna十15)=号求8-4cos。一（红-3.14+iama+(分）》的值 ·3· 3三角函数的计算 知识梳理 ①用科学计算器求三角函数值，要用到 和 键 ②已知三角函数值求角度，要用到sin、cos、tan键的第二功能“ ”和 键 当堂练习 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=3224',则tanB约等于 A.1.5757 B.0.9845 C.0.7964 D.2.2057 2.已知cosa=0.2534,则锐角α约为 ( A.14.7° B.14°7 C.75.3 D.753 3.若∠A为锐角，且sinA=寻，则 A.0°<∠A<30° B.30°<∠A<45 C.45<∠A<60° D.60°<∠A<90 4.如图，在斜坡屋顶的设计图中，AB=AC,屋顶的宽度l为10m,坡角a为35°，则斜坡屋 顶的高度h为 m.(结果精确到0.1m) 5.某动物园中的猴山上有一段路，每前进100m,路面就上升4m,则猴山上这段路的坡角 约为 .(精确到1) 6.用计算器探究. (1)tan1°·tan89°= ,tan2°·tan88°= …,tan44°·tan46=,tan45°. tan45°= (2)依据(1)，你所发现的规律是：当a为锐角时，tana·tan =1.并用一句话总 结规律： (3)用上面的规律计算：tan1°·tan2°·tan3°·…·tan88°·tan89°= 4· 4解直角三角形 知识梳理 ①由直角三角形中 的元素，求出所有 元素的过程，叫做解直角三角形. ②解直角三角形常用的边角关系 设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则有： (1)三边之间的关系：a2十b=c2(勾股定理)： (2)锐角之间的关系：∠A十∠B=90°； (3)边角之间的关系：sinA=名，cosA=名，amA=名sinB-名，cosB=名，anB=2 当堂练习 1如图，在△ABC中，∠A=30,amB=受，AC=23,则AB的长是 A.4 B.3+5 C.5 D.2+23 3 430 (第1题图) (第3题图) (第4题图) 2.在△ABC中，∠C=90°，如果AB=2,BC=1,那么∠A的度数是 A.30° B.45 C.60° D.75 3.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，顶点为格点.若△ABC的 顶点均是格点，则cos∠BAC的值是 A B.10 c D 45 4.如图，在△ABC中，∠A=30°，BC=3,AC=2√3，则AB的长为 5.如图，在R△ABC中，∠C=90,点D是BC边上的一点，CD=6,Os∠ADC=号， tanB=号，求BD的长」 ·5· 5三角函数的应用 知识梳理 ①方位角一般指正北或正南方向与目标方向线所成的锐角. ②应用解直角三角形的知识解决实际问题的关键是如何将实际问题转化为解直角三角形 问题，由于实际问题中往往设有直角三角形，因此合理构造直角三角形是解题的关键. 当堂练习 1.如图，为了测楼房BC的高，在距离楼房10m的A处，测得楼顶B的仰角为a,那么楼房 BC的高为 ( ) 10 A.10tan a m B1 -m C.10sin a m D. m tan a sin a 北 B甲楼 459 45T口 100m 乙楼( 60 3 ◇ 1a E: 30 7777777777777777777771777777 (第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图) 2.如图，在高出海平面100的悬崖顶A处，观察海平面上的一艘小船B,并测得它的俯 角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC的长度为 m 3.如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向 上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船要到达 离灯塔M距离最近的位置，则还需继续航行的时间是 min. 4.如图，在甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，在甲楼顶部B处测得乙楼底部 D处的俯角是45°.已知乙楼的高CD=20m,则甲楼的高AB是 ,(结果保留 根号) 5.如图，热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部B处的仰角为30°，看这 栋楼底部C处的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高？ (3≈1.732，结果精确到0.1m) 7777 ·6· 6利用三角函数测高 知识梳理 ①测量倾斜角可以用测倾器.简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成. ②测量底部可以到达的物体的高度时所得到的数学模型如图①所示，这时物高满足的 关系式为h=ltana十a. 图① 图② ③测量底部不可以到达的物体的高度时所得到的数学模型如图②所示，这时物高h满足 的关系式为h= btan atan B+a. tan B-tan a 当堂练习 1.如图，王师傅在楼顶上点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°.若水平距离 BD=10m,楼高AB=24m,则树CD高约为 A.5 m B.6 m C.7 m D.8m 60 24m 10m B (第1题图) (第2题图) 2.如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆 底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°.若旗杆与教学楼的距离为9，则旗 杆AB的高度是 m.(结果保留根号) 3.在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实 践活动.如图，在测点A处安置测倾器，量出其高度AB=1.5,测得旗杆顶端D的仰角 ∠DBE=32°，量出测点A到旗杆底部C的水平距离AC=20m.根据测量数据，求旗杆CD 的高度.（结果精确到0.1m,参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62） B-132-.- ·7·网，2纸解，(1年周，莲接0 出D为的中成，5命 痛堂塔习 6利用三角函数测高 L心上n44有，进点A作正1实干孩E内超8，得是-法设AE- 当登陈司 B.C高第十)人解：：∠A=∠=∠C'=,,因边形A为电形，.呢 则E-m在民么45中，由表定厘.算A形-F十AE,厚1甲一Wr严+ 一A-勿，(Y--1im在△D中.∠m-,保m1证-5 -..CAD=∠L:0n=4抢.∠A=∠A..∠AD=∠A, ,解图r=5.答，世本摸的高度为5血 《DAED上(L于(D的米是图G》司F的影商.AB=期： 第2谋时机角的正弦，命狱 ∴5-×m这×几超-已，(T-笔+述-1.方+12=33( 如织核理 签：斯杆（中的高度的为1.9鱼 六-B-一Bm2)生m,进点D作国上AD于点众YDA=DF,六∠F 0对边斜边血A第边韩边=A@限 第二章二次函数 ∠B么向(，周∠AD-∠BD以.∠F-∠AD=∠n∠F+∠BAD+ 当堂练习 】二汉园数 ∠-.8P=时，∠P=D,∠f=∠4D=CD=3,∠f0 2∠孩4D-矿，F一X作△XF中，由匀段定理，得F一+F,甲 LDC1空4子5解：“A=D为E的中业AD度又 划识硫理 y=✉+Ar十 1星=(U+43,,D=6(黄值已家去么7在◆0中，（小《D■6 -10,△K玲周长为花mA得-立X36-1-am以D为食的中点. 当堂体习 D-宁仪支×0一，在灯△AD电，h白最安烈.荐DUF一面 1C2D人y一广十8r二次4解型影整皇，特二0解程m=, ÷5一5em+5n-+p-a+a,k解，y --可-8me从-怨-提 2根斯题意，得好一南≠0，m0且w中1.反解，限解呢意，得=士一03w— 一4r+3()万法一，是德m,C,P,过点A作AD⊥于点D, -的)(2一，博》=一+2一460，它老我千r特次而数， 交P干点E,如答图①，在y=一4十3中，令0，得yw3,义04 230,45,60角的三角8数值 2二次涩数的图象与性质 0,马得3,0，，=，∠C=,△AD是等量直角三 布困心 如织镜理 第1谋时慰物线的认识 角目.A(1O1.B8,O1:,X2.I3.∠PB=∠A易蓝△K△日D,AD 吉g要9要1晋青8 划识度理 -6,B5,2,耳桌释直线CE的网数表沾文为y青十女由青十门-广 海堂辉可 0风表持点连线日发物浅y最低0<0周物线￥<00 1D2.1112一百3.3r4.《46+03反解，∠e是线角，日ma十1 当量临习 一2.新斜-舍表有-昌P(号雪》方进二连挂 LD2D1D4y轴4《-2,45解，1》当y=一2时，一=-. P,过点B作D香直于x箱，交P于点D,如整图色无= -号-0g-c-做六原式--mr-11u+m5 士豆，2=22，，时本直的宽为2互m:(2)“术m宽为1，六1=2或上一2， △B为等覆直角三角形，∴∠业=∠A度了，：∠我W 产(82-×g-1+1+多8厦--1+1÷8 y一一子一一4.品引一4：比明水离梨桥顶落的见离为1丝 ∠A,'-C,.△A12△AsA》,∴D-A-8,.D(3- 容丽酒 第2课时形y一a和y一x十（≠0）的离象与性盾 2五可求斜线少的函数表逃式为一一子+鱼一子+一一+1，解得 3三角8故的计算 建识魔理 加识梳理 0用间相同相同O相同相同不同上下 -0务去h一兰2P(学号)在时将轴上存食一点Q,将线段 0,nosm8w下un1IFT 省堂习 Q很点Q明时什能站了，能点P峰好幕在里餐线上，库由下：点P 盗堂塔两 LD2C3m>24子425.解，别。 抛物线y一2日 酸转的耐位点为厂，分肉件特况时论，D内点P在点Q上本时，连传南 1.A2G人A41,55g6(11、11【29-)一个相角的正切 Q:Q.过点P作PW⊥对移箱于K:过直P'作P丁⊥号称物于丁，如 若① 鱼与它的余角的正好道的乘务1)门 骑相@.“号普}封释销为直线一8,2W一号-1一票径衣G一%特线段 4解直角三角形 如织植理 Q侵点Q时针装转r释线夏Q.∠QP=r,FPQ-PQ.4∠Q5=r 0已短未划 2T-∠wT,∠kQ-0=∠PTO..△PkQa△IP(ANS..T=N0 出常练习 十1的对轴是y城，顶点象标是(D,1:抛物线)y—一2了的对阵轴是y编，家点生积 mQT-K子，P气m+2,一小，"点严倍好清存粗物戏上(m+- 1C名A4C4+气解：在△D中，m∠A-鼎-音，D-, 是0,02 6m+22+3-4,解得m-于m-子角去202号)@ A 男r草-6由句限定现异-心D。D可在 第3谋时琴如y=r一)和y=a(r一h)十(a≠0) 等直Q在直P上方时，性接QPQ.P平：过点P作PW⊥对移编于盛 的田象与性喷 W.荐猫红.幽围可特，点，严关于直线上一2对袋.A”是尊腰中中 当爱临习 L1A2.A玉向上线x=4《4.)4向右平移1个单长度，再序上平修个 直角三角竖，一4PW,40w是等磨直角三角形.六QW-门W-号， 0=14. 单位长度5根，1y=1式x十y一：3y=一一 @(工，是)球士深迷，离任条件纳点Q的第标为，号)国（巴，） 5三角团数的应用 第4课时形如y一4r+x十c(≠0)的图象与社黄 烛识镜理 随堂反馈答案 临蜜塔习 LA2.10的天1特4.别，3表鲜过点A作AD1于点D,由题夏，特∠且) 盒如线r-盘（去如) 第一章直角三角形的边角关系 当堂部习 1锐角三角②数 -r.∠AD-D-谢m在△D中，D-D:m∠g》-- L.C头D人柱458解(1)2点x3.0》在相物浅y=广一2十c上..一十 第1课时锐角的正切 0a).霍△AD中，D=AD,n∠CADm1BX,3=(mk.C=D -,师得一-玉∴一-5广3--L点A的缘标为1，一h点A在 知识棱罐 +D=40石+10石m10江10关1,22雪1,1m人.容，这格高便的高度的为 在线)一4上品1一￥“一，解释u=5,2由1：得y一一8：◆年.得y 0注切nA0数0册直夜度水平发生 277,1m --3,4m0.3%0-0a7+4=8学=18.A证-0-1+[-8《- 第37夏兵2宽 第38美（共2真） 第3的直（兵2）