第1章 直角三角形的边角关系 整合与提升-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年九年级下册数学（北师大版）

第一章整合与提升 高频考点突破。 考点3解直角三角形 考点1锐角三角函数 6.在△ABC中，∠C=90°，tanA=2,则cosA 的值为 ( L在△ABC中，∠C=90°，cosB=号，则sin 的值为 A号 B c D.2 7.如图，在△ABC中， AS B号 c D.2 AB=14,AC=10,点D 2.数学文北中国古代数学家赵爽在 是BC上一点，点M是7 为《周牌算经》作注解时，用4个全 BA延长线上一点.已知am∠CAM=号 等的直角三角形拼成正方形（如 图)并用它证明了勾股定理，这个图被称为 ∠DAB=45°，则AD的长为 “弦图”.若“弦图”中小正方形面积与每个直 8.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D,AB= 角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一 6,AC=5√3，∠A=30° 个锐角，则tana等于 (1)求BD和AD的长； (2)求tanC的值. A.2 c.2 考点2 特殊角的三角函数值 3.2cos60°等于 A.I B.3 C.2 D 4.在锐角三角形ABC中，已知∠A,∠B满足 (血A号+k3-mB=0,则∠C的度数 为 考点4三角函数的实际应用 5.计算： 9.惜境题碓)(2024·湖南)如图，图①为《天工 )x-314+(3)--21+4s30 开物》记载的用于春(chong)捣谷物的工 具一一“碓(du)”的结构简图，图②为其平面 示意图.已知AB⊥CD于点B,AB与水平线 1相交于点O,OE⊥1.若BC=4dm,OB=12 dm,∠BOE=60°，则点C到水平线l的距离 CF为 ,(结果用含根号的式 (2)sin30°-2cos230°+(-tan45)2o25. 子表示)》 图① 图② 第一章 直角三角形的边角关系20 10.新材料国防应用随着我国科学技术的不断 易错点2对三角形的形状考虑不全而致错 发展，科学幻想变为现实，如图①是我国自 2.已知在△ABC中，∠A=45°，AB=4√2， 主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型 BC=5,则△ABC的面积为 后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一，如图 ②是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型 常考题型演练。 的外围测得如下数据，BC=8,CD=2,∠D 1.数学文化第二十四届国 =135,∠C=60°，且AB∥CD,求出垂尾模 际数学家大会会微的设 型轴切面ABCD的面积.（结果保留整数， 计基础是1700多年前 *M2☑ 参考数据：V2≈1.414，N3≈1.732) 中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图，在由 四个全等的直角三角形（△DAE,△ABF, △BCG,△CDH)和中间一个小正方形 EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF 图① 图② ∠BAF,连接BE.设∠BAF=a,∠BEF=A 若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之 比为1：n,tana=tan3,则n等于( A.5 B.4 C.3 D.2 2.情境题地铁站如图①是某地铁站入口的双翼 闸机，如图②，它的双翼展开时，双翼边缘的 端点A与B之间的距离为12cm,双翼的边 缘AC=BD=62cm,且与闸机侧立面夹角 ∠PCA=∠BDQ=30°，当双翼收起时，可以 通过闸机的物体的最大宽度为 阿机箱 闸机箱 图① 图② A.62 cm B.(622+12)cm C.(62√3+12)cm D.74 cm 3.(2024·四川眉山)如图，斜坡 460 CD的坡度i=1:2,在斜坡上 斜rrD 。》易错易混专攻。 有一棵垂直于水平面的大树c 易错点1因斜边不确定漏解而致错 AB,当太阳光与水平面的夹角为60°时，大 1.在Rt△ABC中，若2AB=AC,则cosC= 树在斜坡上的影子BE的长为10m,则大树 AB的高为 m. 21名师测控·数学九年级下册配SD版 4.新背景宇宙科技(2024·河北)中国的探月工5.(2024·重庆A卷)如图，甲、乙两艘货轮同 程激发了同学们对太空的兴趣.某晚，淇淇 时从A港出发，分别向B,D两港运送物资， 在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星 最后到达A港正东方向的C港装运新的物 星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ=4m, 资.甲货轮沿A港的东南方向航行40 n mile 仰角为&：淇淇向前走了3m后到达点D,透 后到达B港，再沿北偏东60°方向航行一定 过点P恰好看到月亮，仰角为3，如图是示意 距离到达C港.乙货轮沿A港的北偏东601 图.已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离 方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东 AB=CD=1.6m,点P到BQ的距离PQ= 30°方向航行一定距离到达C港.（参考数 2.6m,AC的延长线交PQ于点E.(注：图 据：√2≈1.41w3≈1.73，W6≈2.45) 中所有，点均在同一平面内) (1)求A,C两港之间的距离：（结果保留小数 (1)求3的大小及tana的值： 点后一位) (2)求CP的长及sin∠APC的值. (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B,D 两港的时间相同)，哪艘货轮先到达C 港？请通过计算说明. 北 中东 45 60 分 第一章直角三角形的边角关系225三角顾数的应用 =12头餐R4心T中，D=3m:由为霞定.得好+1F=TD,p(k) 蓉：授牌UⅡ的高度的为i,2信相.解，(1)在粉△AC中，∠A=,∠C 基磁过关 十（以户=，解得一.D=6,-1口具答：D处的段直商度为子m(2)斜 品∠B-4品C=C-2如m答：的长为)mm2向题可卸.=月 1.g2(6,3+41nmm:刚. 我灯师P的亚北方向取点上， 城B的技度■It生，议花=.则E=am又∠M下，AF面行 AC×3)-10,BNN-0n在△N，∠N, -M+1-《M+E=(I1+1:,.A-A-F-AN一[-12+2=1 47+12L在R△A曜中，-14m+E=(7十m,n∠ADF=a DNaN·m∠1N-BXm2✉o×从程-k2ml,DmHN-N=10 一民2人8m.容，B,D之的牌再的为2B 第…章整合与提升 在灯塔P的正W方肉廉-一盛，由题意.荐LAB,罩NAA.∠A=∠PA一 商领考点文磁 ∠B=∠报Fm.在b△APC中，AP■0n■，品℃=AP,npI00X -要m.A补-A-E-物-亭-平m,着：基站蜡A的客的为平m一 a9g-mo.在△lp中，l便-一器=iamc这时，B经E 见里后湘 L日上人人A4m点期，)源或1+2唇+4×号-0-23+柱8-0 7解：L∠=,∠-.∠G'--∠u'= 离灯济P约1ndk4日5解，过成C作DE,必AE的第能线于点，业 一不：运动是餐挂上蓝样月由恒下，建长口H,交干点礼A1(思 2原政士-（受）+-1y-受-1=-去金水42是，m D=rm:A=10m,-AD=AB+D=(c+0L在△CD中-∠uD=4, -n45-ml在R△M7D中∠C1E-'.4wAD·mge ∠=同.：E,÷∠n-∠A指-：∠M=,∠DA= 在民△D中，∠A-W,品D-支B言×-1DsD-1,图.2( ∠MC=8.i∠A-w-∠f=-留=1.崔B△AAN中.ADL8m A8上十10m=0十190，解厚1线(D=0L”小的水平观是台 的到拔真度为1m+山顶点C处的再视高度约为1十圆=1m1,飞4，径 ∠-"A-AD:m证axa-Ag(m.dcM-0H+A 得田-0-5g--底雀△C啡m-儡-要 能力规开 之导+9犯一名H以.：2经时小m,摄站肉是律肤上签样. -2司no解：围- P过点A作(D的承视，文D的据长线于点 .解，1(=m=，，（主-D+D-(+36）L,1A. 小题二解直角三角形应用中的“双直角三角形“模型 ∠E-∠D-6,在△度D中.m∠mB-器∠度 1B21L43制：延长(TD交AB干点开，由题毫：得周边形口H为矩后，四 D:m∠CB-m-,在△E中，”m∠A-答∠CE- --在数△H中∠A-9w∠H-wm∠H- F:过点C作AB的廉线，交A出的编民线干点E,易得周边形F是理形，∠D 1..C-B·n∠C第-(g+G1+nr+6-高t置1， -m2以最T*在△gH中，∠ec-,∠-r AH -',FE,℃■AE∠CD■，∠E=∠D-∠BD'-W 那，在△食军中，女，∠a军-r-4二威--号×-，E-号度 朝得1=4，答线很D的长的为4m:2)由1，得D=位=4在△( 中，m∠A-部，∠M-.M-GD:n∠ni-4×X1 m∠H-0-m器器设A-mE-m ■正4n,AB4C+议互4十0(m.答，桶播LB的高度的为59 ER-+外m运面一提解得1i1=出-A+= 9×装-t,a”∠AC-135.∠Aw--∠Ax-10-1- △AF是等限直三角形，D平=AFE■，”aAE.即F+TDAH+ 思推拓烟 71+m=.1e可m,答：起全库顶部点A气如面的币离AB的长内为7L4.C 宽CD2,4y8+2+,A形48-2，品St宁D+围，E 美解：过点作近A,甲山，原足登划为由道鱼，用A=院得.-静m+ 反+6)6解，述点A作AE⊥D干点E由题意，科A=f=m面 ∠AE增，∠CF-r.有心UE中，m∠器E-·m∠E 路△ADEp,∠ED-r,m∠ED-器E保-碧-0，m, 子+行一》4万一礼卷，看尼顺精切直A仪D的面队为礼， 后错根理专效 -时agg×7-6m在△CB时中，m∠E时-高F议 A,∠CE-,m∠C怎EE,r-1-a L号等1：该山 n∠F-30Xm了9×含0-人m%世FD一Hf一4%s.'-F0十 F一函，好十I低0一属0s纸1m,答：从A处的九孔桶到C处的二龙零罪布上开 CD=E+D58十L蒋：信号矫的高度为20+0a1.解，属长BA 常等量量有连 售究度汇为强.1m 交Q的适长线十点C,则∠AQ=根紫画意，料=密m9=多0m在 1,C主人45一15)4解：1由题夏.99LAk--36m,A=1切 6利用三角8数测高 k△xQ中.∠045，(Q-议C-25m1=P0十Q20+22=≤fmk. -01.4m,E-0-4m,AC=-3m,(E-AE-A=1一3-1(m3,E 基健过关 在△eA中，m∠-答-ma,-临x高智-1L预a, Q-Q-2-L.6-Im,∠CEP-9,E-PE,,9-∠E=.在民△AFPE L,用1解：这点B作面LL于直G.在民心L)中∠a-出=的 中，m-m∠-票-子2在C中.E-E-1m∠-0，出 A-仪一AC=25一117=110,25110例m1.等，喜楼AB的奔度约为110m A8·n'-力×令-ml期得四立形国F为知形.六0球-一注m登E R解：能延长F交CH于点N.州∠NF=由题意.每N-F-AF一1,1 白吸定理，得P=(=T中=2(mX过点作甲上AP于点1 FL易得△K下是程直角三角形，（下z,2F一4）m在拉△E于中， E下=AB=在L在的△FN中，H∠下N=同，NN下.设DNFm明NF ”=m∠HaC得十设用-正周A-i+-加- C-N+(D=a+3,.EN=F+NF=B+Ir+a)=x+8m在△第N 中，m∠nEeN-.-N-N·m∠EN-+maa+em 解得-严CH-m在PH中，∠-器 六x-DF+GF-+6+行-21+1行mA号54解：在e△aD中， rL6r十8.解得x12,DN=2m,DH-DN-+N日=2+1,2=且，m ∠D45c30mm-,m∠假T-a×号-防2a 答每n牌底年成)州购雀的有自长片为31里男邮：1》过点公作EF 系.解：1过点作⊥AC,垂是E在△中，∠花= 在k△MD中，∠AD=,D=,m,AD一·n7w, K,通起为点D的转发1-112号-字六设F-m…同F一凸m有 1270982a1%,1A-AD十D-48+24,46=11A,81e10m0,答： RF中，由幻R定理，得正=”干F■√F+Pm”'E8,指m 抢△kE中，∠8E=4,(E-BE▣mm=,×=20vG4n). “东州明“东调背编AB的长约为1057化 -8,r-8,山F-5mF=出m容：NE到水平境属的倪离为8u 层+(E202+20可0201.41-20×25■77,2nm小，A.C两是之间的更 隆力蓝升 2山其长E实AH于点G,期边形AR石为甲B.GFC+下21+16 肉的为7,2n2)甲提控先判达谁，量由如下：如漏， 5,每4解：1)延表AH与水平麓南交于点F,过点D作D且下千点M,过直D作 度1T班款：到装事的依度-1：二微动一言设W-法@，周 0mB=aF2aE-.在△aE中，∠E=r,mLE正 -c·m40×08=,m:.AB=证-F+GE-十可象=4g(m 第4夏（兵2真》 第5尾《共42真) 第5项（朵4X》 港正士方科一点G,重D港正南方月一点F,由递意，厚DE=如.E: =F[20).明象如明所不： ()弯=1时，V-1,厚周H的排 14.解，(1D箱物线y一F+2经过友(1，-2)：一2aX(一1)+2，解周 5∠D=∠ADF=4㎡..∠A=∠ADF+∠(T0=3+=o,在△D 一一1，()粒物视一一（一F十2的时移轴为直线一3.点A(一1，n.B5 中：∠D--∠》--w-.∴T-于A-于×(0区+D-(10 为)在对称轴的情到，气A一1奶)关于对称轴对移的点的坐标为T,云)，？一1<， 二抛物汉开口下..在时形编右测y随#的增人面减小：T.∴为为， +1e后nmil,AD=5(TD=关1102+0=110，+30泛)nmk在 1.左48.(1.2 能力提升 积为L 3C相A.2攻13第h圆鱼.荐=u上-642护++1好y子 二.甲货轮脑行的路程为A+仪=0+轮2w40+切买L打=6料n,乙货轮 限，拓展 15.解：1正直A(14)的坐标代人y2.到=.点A的坐标为(1.1：(2》存在，当 -t墨同一函数。-号--1小+4-1解得。-号小-1小-一开口 航的路W为AD41D=10所+302+1e2+10尾-14+02=21×2,43+0 其=AP,点P的中标g2,0),当4=4P时.点P的生标为厚，D)减(-正，0 同上，对地品直鲤上一1-据点净转蜂1，一.1及解《把点A(一1,0)的坐3代 ×L4=0以nmk364,甲房轮先6C德 当（一AP附，点P的每为(1,0阴，综上所述，商△(AP是等题三角形时，点P的圣 人-一产十4：料0十4解得一一L抛物线所时的雨数表齿式为y 第二章二次函数 -《x-1Y+4(2)在y=-(上一1+4中，◆3=0，創y-及∴气0,31，-1”m 6为1g,0)或w2.成1,0发(1 物视y=一一1+4的对移轴是直线x=1.Dr输，1D=上：AN-1,0): 1二实函数 第2谋时移如y=r和y=a.F十r(a0》的图象与性所 新码过关 基议关 2m,0.2得-m-士+0w0C-山±- 1C2化k04新：由s程一产每得m-一不太6的元 1A2.A3日显，1博点，一)代人=r巾.得u■一4：2由1，得抛物 思维英耀 m-一3≠0， 线y=一r,当0时y商的灌大减小，狂37，”头<大，5D6.C 4解0)在y“-十a中，争，特-十一，解释r=含r■0，得y名 黑解：1由题道，得y=(十十)-2×3=之+52力当一1时y=十9×1= 7.y轴0，蜡大。A集解图象如用 0,0,3就将支A1o,0:3约停标分期代人a+6,利斯得 4当-万时，y一2)十正一9万+2当4=1时，y-+5×1-1L故当形每 =1 边长解增相1m,E-2m时，影形a的由税各0加6f,5亚+2,1接 g-: 建由迪能总，国量点V的坐标为2，n,周N伊=r+(m一ym一#十 能力规升 NA=2一中=1十W,且A平=1+=1g当区V星以AH为粉边的克角兰 项.Cn自11合12解：1)上都率同的半径为，.，即形的月一边长为，m: 角形时：h匀爱宠理，得N十XA=理，厚一6十1山+1十=0解得=1， 展范低到的商供55于S一安+…2立r十n8与r之间的函 -头盛N的生标为(2，)成(8，，存在满足盖件的点X,其坐标为(2,1发2. 的例象弄口月下，村存输为y辅现直坐标为(0，的：二次而数)一2F十3的周象开口句 第4课时形知y=a.r十r十r(a≠0)的国象与性嘴 数关装式为S-r+n2当=2时，5-士×整+5×22十a.等，当上第半 基建过美 下，对蛙为y始，颤点象标为0，：(2)上3 L,C1A1ym-以r十1学+了4A5D6D3,心N解知)：=-x+2 民的平径为2m时：戴离的面青是(2十10m 输力提升 因撞拓国 相D1L,D1以y=一中t【变式】4一学规=一一ta显：：抛物视 十a==(一1)◆4，两数州象的罐克电样为们，3.函数指象如m: B第，油意.料A-巴m,Qra则P-(12-出m,号雀·A山 的而散表达式为一一十4意为2m的院车从正中间圈过，“等一1时)一 宁阳·F"-支×21×12室+上+P--c2山十12)0<A< 十×1十=兰义？南有避造的膜年空少复有。5m的即离.六限高为片一Q =425(m以答，情车的限有现是15m 为<势零增=<4时，5的填自喜国品-<3yG类非我-+山 4B,QC,212,<24:解青0：3)东鹿.理t如下，令r 恩速拓展 -24十日-172，解得n一7，有=-1不合延意，金去入义0G<.÷￥=7不在 14解1D起A-代人y-2山.h=坚，A1,起A61,2代人yx+1,得1- 健力慢升 自度复x的取氧范谓内，四山短AP的程不衡等干2， u×1月+3，最荐a-一1(2把4》代人y2,得2m4,解得1=2位2.4)易 11.A12.23mm13.D2①14解：(1)起点A,0)的标代人ym-Y+ 2二次函数的图象与性质 每进售线y=广中3的俱点C的坐标是0，》..'一汉如一8,53m 第【谋时热物线的认识 2x1a一X1-专×3×学空X1×1一学3图， 设点 +,得-青×g+X8+一6期样”一际g37e-6,在的能标为， 基储过关 G),班一互，：陆指线的时物地为自线上一 一点C的电标为 1.A1AaC4D5A6C7.C表0,0)太向下复解l1-9 ×() (2减小(38,31（一3，一9）一1.小4点C在指物统￥=一F上，《，D在 0=.CM-4-8=5,5w-7Cw-7×%=5 世物线，=P上 美干上铺的对称点为C”,解点的能标为，一3，莲核A突轴干点'，武明 明维买展 使力提外 PA十T量小设直线A的函费表达式是岁-十把C40,一月A(l:2》分常代人 解11在自y=一一2中，当=0时，y=一1，一当y=时，一2 1报D11,52.1菲13解：1》-1y精陵直线=00(2)一1.一1非3图： “,线AC的渊数表选式是y--1,当y一 =0.解得x=一2A《一20).周点1一2.0小：B到0，—2的经标计群代人y一十虹 一<y级4.解，口由周社的体积公式，背V=了知 时，一8一0，呢停一号“点P的坐际是（音） +6>0,利如*边-1c-m肖。-时2x4-8 第3课时形知y=a(一h》”和y=a(x一h》十从a≠D) =一“超物钱的两数表达式为子一2十一少一十.品抛物线的 的图象与社质 时称编是直线一，C4,1,要使△P的周长是小-具题AP+即量小甲可，性 基图过关 接突直线，■1于点P,妇厚”点A与点C美于直线r1对称：由对称性国短 1D1D玉Ⅱ4>&1山线=-1（川-3.230x<-314)-9大 AP+P=+-C,比时△A8P的周长量个.△AHP的周长为AA十C在 第7真（未2真》 第8美（共42真） 第9项（兵42X》