精品解析：2024--2025学年北师大版八年级上册数学期中模拟试题

北师大版九年级上册期中模拟测试数学试题（1）（1-3章） 考试时间:120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 点所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列四组数中，是勾股数的一组是（　　） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 3，3，4 D. 4. 如图．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ） A. B. C. D. 5. 若为正整数，且满足估算，则的值为（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 6. 如图，中，，于点D，，，则的长为（　　） A. 10 B. C. D. 5 7. 如图，正方形被分成两个小正方形和两个长方形，如果两个小正方形的面积分别是和，那么两个长方形的面积和为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知点，点Q在x轴下方，且轴．若，则点Q的坐标为（ ） A B. C. D. 9. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（ ）米 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11. 若点与点关于原点对称，则____________． 12. 如图，数轴上点表示的数为，化简的值是______． 13. 如图，长为橡皮筋放置在轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升到D，则橡皮筋被拉长了______． 14. 把 中根号外面的因式移到根号内的结果是___． 15. 如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：①．②．③过点B作于点I，延长交于点J，则．④若J是中点，则．其中正确的结论有______．（只填写序号） 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. 计算：． 17. 如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，圆柱高为15cm，底面半径为，蚂蚁爬行最短路线长为多少？ 18. 计算∶ （1） （2） 19. 在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．如图中的P，Q两点即为“等距点”． （1）已知点A的坐标为，在点， ，中，为点A的“等距点”的是____________； （2）若，两点为“等距点”，求k的值． 20. 阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分． 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如： ，即，的整数部分为2，小数部分为． 请解答： （1）的整数部分是________，小数部分是________； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （3）已知，其中x是整数，且，求的值． 21. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是_____； （2）若点与点关于原点对称，则点的坐标为______； （3）已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标． 22. 观察下图，每个小正方形的边长均为1． （1）图中阴影部分（正方形）的面积是___________，边长是___________； （2）作图：在数轴上作出边长的对应点P（要求保留作图痕迹）； （3）在（2）题的数轴上表示1的点记为M，点N也在这条数轴上且，直接写出点N表示的数． 23. 如图，在中，，，，是的边上的高，为垂足，且，. （1）试判断的形状，并说明理由； （2）求的长. 24 已知：，， （1）当时，写出值______（用科学记数法表示结果）； （2）当时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是______．（直接写出答案） （3）嘉淇发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请通过计算说明理由． 25. ，，点D在线段上，点F在射线上，连接，作交射线于E，． （1）如图1，当时，时，求的大小； （2）当，时， ①如图2．连长，当，求的长； ②若，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版九年级上册期中模拟测试数学试题（1）（1-3章） 考试时间:120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判别．最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数中不能含有分母；②被开方数不能含有开得尽的因数或因式．根据最简二次根式的定义，依次作出判断即可． 【详解】解：A．是最简二次根式，故该选项正确； B．，被开方数含有开的尽的因数，故该选项错误； C．被开方数含有开的尽的因数，故该选项错误； D．，被开方数含有分母，故该选项错误． 故选：A． 2. 点所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系点的坐标，根据平面直角坐标系象限特点即可求解，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】解：所在象限为第二象限， 故选：． 3. 下列四组数中，是勾股数的一组是（　　） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 3，3，4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数的定义：都是正整数且满足，满足勾股数的定义即符合题意． 【详解】解：A、，不符合题意，故该选项是错误的； B、，符合题意，故该选项是正确的； C、，不符合题意，故该选项是错误的； D、都不是正整数，不符合题意，故该选项是错误的； 故选：B． 4. 如图．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为m，则，故，在直角中利用勾股定理即可求解，找到直角三角形，利用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意可知， ， 设的长为，则， ∴， 在直角中， 又∵， 解得：， 故选：B． 5. 若为正整数，且满足估算，则的值为（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算，先根据二次根式的混合运算法则进行计算，再进行无理数的估算，即可得出结果． 【详解】解：， ∵，即：， ∴， ∴， 故选C． 6. 如图，中，，于点D，，，则的长为（　　） A. 10 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，等面积法的应用，熟练的证明是解本题的关键．利用勾股定理先求解，再利用可得答案． 【详解】解：∵， ，， ∴， ∵于点， ∵， ∴， 故选B． 7. 如图，正方形被分成两个小正方形和两个长方形，如果两个小正方形的面积分别是和，那么两个长方形的面积和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是实数的运算，先根据两个小正方形的面积分别是和求出正方形的边长，进而可得出长方形的长和宽，进而得出结论． 【详解】解：两个小正方形的面积分别是和， 两个小正方形的边长分别为和， 两个长方形的长是，宽是， 两个长方形的面积和． 故选：C． 8. 在平面直角坐标系中，已知点，点Q在x轴下方，且轴．若，则点Q的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，根据垂直x轴的点的横坐标相同，纵坐标相差的绝对值是两点的距离求解即可． 【详解】解：∵点，点Q在x轴下方，且轴．若， ∴点Q的坐标为, 故选：B． 9. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数是非负数是解题的关键．根据非负性求出的值即可得到答案． 详解】解：由题意得：， 解得， ， ， ， 故选B． 10. 如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（ ）米 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题及勾股定理的应用，可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．正确利用立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，连接， 此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程， ∵米，米，点到的距离是米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴这只蚂蚁的最短行程应该是米． 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11. 若点与点关于原点对称，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标性质：横纵坐标分别互为相反数，进而得出、的值．也考查了代数式求值． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ， 故答案为：． 12. 如图，数轴上点表示的数为，化简的值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质．由数轴知，即可得，据此依据二次根式的性质化简可得． 【详解】解：由数轴知， 则， ∴原式 ， 故答案为：5． 13. 如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升到D，则橡皮筋被拉长了______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，根据中点得到，结合即可得到答案； 详解】解：由题意可得， ，， ∵点C是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 14. 把 中根号外面因式移到根号内的结果是___． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，熟知二次根式的性质是解题的关键． 15. 如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：①．②．③过点B作于点I，延长交于点J，则．④若J是中点，则．其中正确的结论有______．（只填写序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．首先根据题意证明出，进而得到，即可判断①；过点F作交延长线于点O，证明出，得到，然后利用三角形面积公式即可得到，即可判断②；过点A作交的延长线于点P，过点C作，证明出，得到，同理得到，得到，然后证明出，得到，即可判断③；延长交于，过作于，过作于，同理可得：，可得，证明，证明，可得，从而可得结论； 【详解】解：∵在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 如图所示，过点F作交延长线于点O， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∵，， ∴， 同理可得：， ∴，故②正确； 如图所示，过点A作交的延长线于点P，过点C作， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 同理可证，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故③正确； 延长交于，过作于，过作于， ∵为中点； 同理可得：， ∴，， ∴，而， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，而， ∴；故④正确． 故答案为：①②③④． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，零次指数幂，负指数幂，绝对值，掌握相关定义是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，圆柱高为15cm，底面半径为，蚂蚁爬行的最短路线长为多少？ 【答案】蚂蚁爬行的最短路线长为． 【解析】 【分析】本题主要考查圆柱的侧面展开图和勾股定理．将圆柱的侧面展开，然后利用勾股定理即可求得最短路线． 【详解】解：展开之后如图，此时的长度即为最短路线长， 此时，， ∴ ， 答：蚂蚁爬行的最短路线长为． 18 计算∶ （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）根据二次根式的性质化简，再合并即可； （2）利用二次根式的除法和乘法法则计算即可求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 19. 在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．如图中的P，Q两点即为“等距点”． （1）已知点A的坐标为，在点， ，中，为点A的“等距点”的是____________； （2）若，两点为“等距点”，求k的值． 【答案】（1）E、F； （2）1或2 【解析】 【分析】（1）根据等距点的定义即可解决； （2）分两种情况，根据等距点的定义，列式建立方程解决即可． 【小问1详解】 ∵到x、y轴的距离中最大值为3， ∴与A点是“等距点”的点是E、F. 故答案为：E、F； 【小问2详解】 ，两点为“等距点”， ①时，则或， 解得（舍去）或． ②若时，则，解得：或（舍去）． 根据“等距点”的定义知，或符合题意． 即k的值是1或2． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中坐标与图形性质，解一元一次不等式组，读懂题目中的定义，理解定义是解决问题的关键． 20. 阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分． 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如： ，即，的整数部分为2，小数部分为． 请解答： （1）的整数部分是________，小数部分是________； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （3）已知，其中x是整数，且，求的值． 【答案】（1）7；． （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查的是求无理数的整数部分、小数部分和实数的运算，掌握求无理数的取值范围是解决此题的关键． （1）先求出的取值范围即可解题； （2）先求出和的取值范围，即可求出a，b的值，代入即可解题； （3）先求出的取值范围，即可求出的整数部分和小数部分，从而求出x和y，从而求出结论． 【小问1详解】 解：∵，即， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴，， ∴． 21. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是_____； （2）若点与点关于原点对称，则点的坐标为______； （3）已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标． 【答案】（1）作图见解析，4 （2） （3）点坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用描点法在平面直角坐标系中描出即可得到，在网格中求出三角形面积即可得到答案； （2）根据关于原点对称点的坐标特征即可得到答案； （3）根据网格中三角形面积的求法，列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：在平面直角坐标系中描点，如图所示： 将放在矩形中求面积，如图所示： ； 故答案为：4； 【小问2详解】 解：点与点关于原点对称，如图所示： ， 点坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图所示： ∵为轴上一点，若的面积为4， ∴ ， 设，则，即或， ∴点的横坐标为：或， P点坐标为：或． 【点睛】本题考查网格中作三角形、网格中求三角形面积、点关于原点对称、由网格中三角形面积求点的坐标等知识，熟练掌握网格中三角形面积的求法是解决问题的关键． 22. 观察下图，每个小正方形的边长均为1． （1）图中阴影部分（正方形）的面积是___________，边长是___________； （2）作图：在数轴上作出边长的对应点P（要求保留作图痕迹）； （3）在（2）题的数轴上表示1的点记为M，点N也在这条数轴上且，直接写出点N表示的数． 【答案】（1）17， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）图中阴影部分（正方形）的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积；利用勾股定理即可求出边长； （2）先过数轴上表示4的点作垂线，再以数轴上表示4的点为圆心、1半径画弧，在数轴上方交垂线于点，然后设数轴上表示0的点为点，以点为圆心、长为半径画弧，交数轴于点，由此即可得； （3）设点表示的数为，利用数轴的性质建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 解：图中阴影部分（正方形）的面积是， 边长是， 故答案为：17，． 【小问2详解】 解：如图，点即为所求． ． 【小问3详解】 解：如图，设点表示的数为， 由题意得：， 解得， 所以点表示的数为． ． 【点睛】本题考查了勾股定理、实数与数轴，熟练掌握实数与数轴的关系是解题关键． 23. 如图，在中，，，，是的边上的高，为垂足，且，. （1）试判断的形状，并说明理由； （2）求的长. 【答案】（1）是直角三角形； （2）． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理的应用． （1）根据勾股定理先求出，再利用勾股定理的逆定理判断即可； （2）由是的边上的高，利用面积法计算即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， 根据勾股定理， ∵， ∴是直角三角形； 【小问2详解】 解：∵是的边上的高， ∴， ∴． 24. 已知：，， （1）当时，写出的值______（用科学记数法表示结果）； （2）当时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是______．（直接写出答案） （3）嘉淇发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】（1） （2） （3）正确，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理，科学记数法，熟练掌握勾股定理及逆定理，科学记数法的计算方法进行求解是解决本题的关键． （1）根据题意可得，，把代入计算，并应用科学记数法表示方法表示即可； （2）先求解，再证明，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，计算可得，应用勾股定理的逆定理即可得出答案． 【小问1详解】 解：， 当时， 原式 ； 故答案为：； 【小问2详解】 ∵，，， 当时， ∴，，， ∴， ∴， ∴这个三角形的面积是； 故答案为：24； 【小问3详解】 嘉淇的发现正确，理由如下： ， ， 当n取大于1的整数时，a、b、c为一组勾股数． 25. ，，点D在线段上，点F在射线上，连接，作交射线于E，． （1）如图1，当时，时，求的大小； （2）当，时， ①如图2．连长，当，求的长； ②若，直接写出的长． 【答案】（1） （2）①；②， 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质求解，再利用三角形的外角的性质可得答案； （2）①证明，可得，再利用勾股定理求解即可；②如图，过作于，当在的右边时，利用勾股定理，可得，与等面积法可得，可得，，证明，从而可得答案；当在的左边时，如图，同理可得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 ①∵，， ∴， ∵，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（负根舍去）； ②如图，过作于，当在的右边时， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：， 而，， ∴， ∴， 当在的左边时，如图， 同理可得：，，， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，熟练的证明需要的两个三角形全等是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$