精品解析：广东省深圳市宝安区2024-2025学年上学期九年级期中数学复习训练试卷

2024-2025学年第一学期深圳市宝安区九年级期中数学复习训练试卷 一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列几何体中，主视图是三角形的为（　　　） A. B. C. D. 2. 一元二次方程经过配方后,可变形为 （ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，直线AC和DF被，，所截，AB＝8，BC＝12，EF＝9，则DE的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. “敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从，，三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知：如图，，以O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以推算出a大约是（ ） A. 12 B. 9 C. 4 D. 3 7. 如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB=2m，树影BC=3m，树与路灯的水平距离BP=4.5m．则路灯的高度OP为（ ） A. 3m B. 4m C 4.5m D. 5m 9. 如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 10. 如图，在矩形中，点F是边上的一点，把矩形沿折叠，点C落在边上的点E处，，点M是线段上的动点，连接，过点E作的垂线交于点N，垂足为H．以下结论：①；②；③；④=．其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本大题共5个小题．每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上． 11. 若，则的值为__________． 12. 一个不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，经过大量摸球试验发现摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中黄球大约有______个． 13. 如图，已知路灯离地面的高度AB为4.8m，身高为1.6m的小明站在D处的影长为2m，那么此时小明离电杆AB的距离BD为_____m． 14. 如图，在一幅长80cm，宽50cm的长方形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，则金色纸边的宽为_____cm． 15. 如图，四边形ABCD是正方形，AB＝6，E是BC中点，连接DE，DE的垂直平分线分别交AB、DE、CD于M、O、N，连接EN，过E作EF⊥EN交AB于F．下列结论中，正确结论是 ______．（填序号） ①△BEF∽△CNE；②MN＝3；③BF＝AF；④△BEF的周长是12． 三、解答题：本大题共6个小题，共55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. 解方程： （1） （2）， 17. 如图，在△ABC中，AB=AC，DBC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=∠B. （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若AC=12，BC=11，CE=2，求BD的长. 18. 为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息， 请解答下列问题： （1）本次被调查学生有______名，补全条形统计图； （2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是______； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？ 19. 已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB=7m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC=4m． （1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影； （2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为8m，计算DE的长． 20. 今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 21. 在中，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段向点B方向运动，如果点P的速度是，点O的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动（）．设运动时间为t秒，求： （1）用含t的代数式表示，； （2）当t为多少时，的长度等于？ （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 22. （1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目： 如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO：CO=1：3，求AB的长． 经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）． 请回答：∠ADB=　 　°，AB=　 　． （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期深圳市宝安区九年级期中数学复习训练试卷 一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列几何体中，主视图是三角形的为（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别判断出各选项中的几何体的主视图，即可得出答案. 【详解】解：A、圆锥的主视图是三角形，故本选项符合题意； B、球的主视图是圆，故本选项不符合题意； C、长方体的主视图是长方形，故本选项不符合题意； D、三棱柱的主视图是长方形，故本选项不符合题意； 故选：A. 【点睛】本题考查了简单几何体三视图，熟知常见几何体的主视图是解本题的关键. 2. 一元二次方程经过配方后,可变形为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先移项，然后利用完全平方公式配方即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了运用配方法解一元二次方程，灵活运用完全平方公式进行配方是解答本题的关键． 3. 如图，直线，直线AC和DF被，，所截，AB＝8，BC＝12，EF＝9，则DE的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例可知，代值求解即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵AB＝8，BC＝12，EF＝9， ∴，解得DE＝6， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，读懂题意，结合图形得到相应比例求解是解决问题的关键． 4. “敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从，，三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场所的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图如图： 共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场所的结果数为3， ∴小刚、小强两人恰好选择同一场馆的概率, 故选：B． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率． 5. 已知：如图，，以O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】将点E（-4，2）的坐标同时乘以或-即可求得点E′的坐标 【详解】根据题意可知，点E的对应点E′的坐标是E（-4，2）的坐标同时乘以或-，所以点E′的坐标为（-2，1）或（2，-1）． 故选D． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键． 6. 在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以推算出a大约是（ ） A. 12 B. 9 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于频率． 【详解】解：∵a个球中红球有3个，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在， ∴， ∴． 故选：A． 7. 如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，画出示意图，易得F，进而可得，代入数据求解即可得答案． 【详解】解：根据题意做出示意图，则，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴（负值舍去）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键． 8. 如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB=2m，树影BC=3m，树与路灯的水平距离BP=4.5m．则路灯的高度OP为（ ） A. 3m B. 4m C 4.5m D. 5m 【答案】D 【解析】 【分析】根据在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变建立等量关系即可求解． 【详解】解：在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变： ∵当树高AB=2m，树影BC=3m，且BP=4.5m ∴ ，代入得： ∴m 故选：D 【点睛】本题考查利用相似三角形测高，掌握同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变是解题关键． 9. 如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出=2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解． 详解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF， ∴△ABF∽△GDF， ∴=2， ∴AF=2GF=4， ∴AG=6． ∵CG∥AB，AB=2CG， ∴CG为△EAB的中位线， ∴AE=2AG=12． 故选D． 点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键． 10. 如图，在矩形中，点F是边上的一点，把矩形沿折叠，点C落在边上的点E处，，点M是线段上的动点，连接，过点E作的垂线交于点N，垂足为H．以下结论：①；②；③；④=．其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质以及相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握勾股定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．利用矩形的折叠相关知识，先用勾股定理求出，设，结合和利用勾股定理列出方程可求出，从而判定③错误，利用一线三直角模型可证明，从而判定①正确，利用相似三角形的性质可知，而，从判定故②错误，作，证明，可判断故④正确，从而得解． 【详解】由矩形的性质得：，，， 由折叠的性质得，，， 在中，， ∴， 设， ∴， 在中，， 解得，即，故③错误； 在矩形中，， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故②错误； 作， 则四边形 是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故正确的有①④，共两个． 故选B． 二、填空题：本大题共5个小题．每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上． 11. 若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质．根据分比定理“如果，那么、”解答．熟练掌握分比定理是解题的关键． 【详解】解：， ． 故答案为：． 12. 一个不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，经过大量摸球试验发现摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中黄球大约有______个． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．设袋子中黄球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个红球的概率为，由此根据概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：设袋子中黄球约有x个， ∵通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在附近， ∴从袋子中随机摸出一个红球的概率为， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴袋子中黄球约有15个， 故答案为：15． 13. 如图，已知路灯离地面的高度AB为4.8m，身高为1.6m的小明站在D处的影长为2m，那么此时小明离电杆AB的距离BD为_____m． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意得△ABC∽△EDC，相似三角形成比例得解． 【详解】∵△ABC∽△EDC， ∴，，CB=6，BD=6-2=4． 故BD为4m． 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是清楚相似三角形的性质． 14. 如图，在一幅长80cm，宽50cm的长方形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，则金色纸边的宽为_____cm． 【答案】5． 【解析】 【分析】利用等量关系应该是：（风景画的长+2个纸边的宽度）×（风景画的宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设金色纸边的宽为xcm，由题意得 （80+2x）（50+2x）=5400， 解得：x1=5，x2=-70（舍去） 答：金色纸边的宽为5cm ． 故答案为：5 【点睛】此题考查一元二次方程的实际运用，利用矩形的面积计算方法建立方程是解决问题的关键． 15. 如图，四边形ABCD是正方形，AB＝6，E是BC中点，连接DE，DE垂直平分线分别交AB、DE、CD于M、O、N，连接EN，过E作EF⊥EN交AB于F．下列结论中，正确结论是 ______．（填序号） ①△BEF∽△CNE；②MN＝3；③BF＝AF；④△BEF周长是12． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由∠BFE＝∠CEN，∠B＝∠C即可证得△BEF∽△CNE，即可判断①正确；根据三角形面积公式即可判断②正确；求得BF＝4，即可得到BF＝2AF，即可判断③错误；根据勾股定理求得EF，即可求△BEF的周长是12，即可判断④正确；即可求解． 详解】解：∵EF⊥EN， ∴∠FEN=90°， ∴∠BEF+∠CEN＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=∠DCB=90°， ∴∠BEF+∠BFE＝90°， ∴∠BFE＝∠CEN， ∵∠B＝∠C， ∴△BEF∽△CNE，故①正确； ∵四边形ABCD是正方形，AB＝6，E是BC中点， ∴CD=AB=BC＝6， ∴CE=BE＝3， ∴， ∵MN垂直平分BE， ∴，EN＝DN， 设DN＝x，则EN＝x，CN＝6﹣x，连接MD， ∵， ∴，解得， ∴， ∵， ∴，即， ∴，故②正确； ∵△BEF∽△CNE， ∴， ∵BE＝CE＝3，， ∴， ∴BF＝4， ∴AF＝6﹣4＝2， ∴BF＝2AF，故③错误； ∵BE＝3，BF＝4， ∴EF＝5， ∴△BEF的周长＝3+4+5＝12，故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件． 三、解答题：本大题共6个小题，共55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. 解方程： （1） （2）， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解； （2）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解： 或 解得：； 【小问2详解】 解： ， 或 解得：． 17. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=∠B. （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若AC=12，BC=11，CE=2，求BD的长. 【答案】（1）见解析 （2）3或8 【解析】 【分析】（1）由AB=AC，可证得△ABD∽△DCE； （2）由（1）根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长． 【小问1详解】 ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵∠ADC=∠B+∠BAD ∠ADC=∠ADE+∠CDE ∵∠ADE=∠B ∴∠BAD=∠CDE ∴△ABD∽△CDE 【小问2详解】 ∵AB=AC，AC=12 ∴AB=12 由（1）知，△ABD∽△CDE ∴= 即= ∴BD=3或8 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据两角相等，两三角形相似的判定定理证明即可． 18. 为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息， 请解答下列问题： （1）本次被调查的学生有______名，补全条形统计图； （2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是______； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？ 【答案】（1）100，见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）用选择篮球的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数：求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可； （2）用选择羽毛球的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以360度即可； （3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意得本次被调查的学生人数（人）， 喜爱足球的人数为：（人）， 条形图如图所示， 故答案为：100； 【小问2详解】 解：“羽毛球”人数所占比例为：， 所以，扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数， 故答案为：； 【小问3详解】 解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用字母A，B，C，D表示，根据题意画树状图如下：     ∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种， ∴P（甲、乙两人被选中）． 19. 已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB=7m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC=4m． （1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影； （2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为8m，计算DE的长． 【答案】（1）详见解析；（2）DE=14m． 【解析】 【分析】（1）根据同一时刻的光线互相平行,作平行线即可, （2）利用三角形相似,列出比例式即可解题. 【详解】解：（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影． （2）∵AC∥DF， ∴∠ACB=∠DFE． ∵∠ABC=∠DEF=90° ∴△ABC∽△DEF． ∴AB：DE=BC：EF， ∵AB=7m，BC=4m，EF=8 ∴7：4=DE：8 ∴DE=14（m）． 【点睛】本题考查了平行投影,属于简单题,熟悉同一时刻物长与影长的比值相同是解题关键. 20. 今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 【答案】（1） （2）应降价5元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设四、五这两个月销售量的月平均增长百分率为，根据三月份销售256件，五月份的销售量达到400件，列出方程进行求解即可； （2）设降价元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设四、五这两个月销售量的月平均增长百分率为，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 答：四、五这两个月销售量的月平均增长百分率为； 【小问2详解】 设降价元，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：应降价5元． 21. 在中，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段向点B方向运动，如果点P的速度是，点O的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动（）．设运动时间为t秒，求： （1）用含t的代数式表示，； （2）当t为多少时，的长度等于？ （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】（1）CQ=2t cm，CP=(20-4t)cm，0≤t≤5； （2）2； （3）3或． 【解析】 【分析】(1)先由运动知，CQ=2tcm，CP=(20-4t)cm，再确定出0≤t≤5； (2)利用勾股定理得出，解方程，即可得出结论； (3)分①△CPQ∽△CAB和②△CPQ∽△CBA，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论． 【小问1详解】 由运动知，AP=4tcm，CQ=2tcm， AC=20cm，CP=(20-4t)cm， 点P在AC上运动， 4t≤20，即t≤5， 点Q在BC运动， 2t≤15， t≤7.5， 0≤t≤5， 故答案为：CQ=2t cm，CP=(20-4t)cm，0≤t≤5； 【小问2详解】 在Rt△PCQ中，根据勾股定理得， ， ， 解得：或(舍去)， 故答案为：2； 【小问3详解】 以点C，P，Q为顶点的三角形与相似，且∠C=∠C=90°， ∴①△CPQ∽△CAB， ， ， t=3， ②△CPQ∽△CBA， ， ， ， 即当t为3或时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似， 故答案为：3或． 【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 22. （1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目： 如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO：CO=1：3，求AB的长． 经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）． 请回答：∠ADB=　 　°，AB=　 　． （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长． 【答案】（1）75；4；（2）CD=4． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°，结合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角对等边可得出AB=AD=4，此题得解； （2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出AE=4，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解． 【详解】解：（1）∵BD∥AC， ∴∠ADB=∠OAC=75°． ∵∠BOD=∠COA， ∴△BOD∽△COA， ∴． 又∵AO=3， ∴OD=AO=， ∴AD=AO+OD=4． ∵∠BAD=30°，∠ADB=75°， ∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB， ∴AB=AD=4． 故答案为75，4 （2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示． ∵AC⊥AD，BE∥AD， ∴∠DAC=∠BEA=90°． ∵∠AOD=∠EOB， ∴△AOD∽△EOB， ∴． ∵BO：OD=1：3， ∴． ∵AO=3， ∴EO=， ∴AE=4． ∵∠ABC=∠ACB=75°， ∴∠BAC=30°，AB=AC， ∴AB=2BE． 在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即（4）2+BE2=（2BE）2， 解得：BE=4， ∴AB=AC=8，AD=12． 在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，即82+122=CD2， 解得：CD=4． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出OD的值；（2）利用勾股定理求出BE、CD的长度． 第1页/共1页 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