专题04 圆的方程5考点复习指南（讲+练）-【题海探秘】2024-2025学年高二上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019选择性必修第一册）

2024-2025高二上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019选择性必修第一册） 专题04 圆的方程5考点复习指南 知识点1：圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 知识点2：点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: 几何法:设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 知识点3：圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心， 以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 知识点4：常见圆的方程的设法 分类 标准方程的设法 一般方程的设法 圆心在原点 过原点 圆心在轴上 圆心在轴上 与轴相切 与轴相切 注：（1）圆心为，半径为的圆的参数方程为其中 为参数，一般取. （2）以，为直径端点的圆的方程为. （3）二元二次方程表示圆，则 知识点5：圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心， 点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 知识点6：与圆有关的最值问题的求解方法 （1）借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题. （2）建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值. （3）求解形如|PM|＋|PN|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路： ①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决. 知识点7：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： （1）直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； （2）定义法，根据圆、直线等定义列方程； （3）几何法，利用圆的几何性质列方程； （4）代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式. 考点1 圆的标准方程 1．（23-24高二上·天津·期中）以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津南开·期中）已知点，，，则外接圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24高二上·浙江杭州·期中）过和两点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·北京·期中）经过原点和点且圆心在直线上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·广东江门·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 考点2 圆的一般方程 7．（23-24高二上·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（18-19高一下·浙江·期末）圆心为且过原点的圆的一般方程是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·浙江·期中）若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 11．（19-20高二上·浙江宁波·期中）过三点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 12．（21-22高二·全国·课后作业）与圆同圆心，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 考点3 点与圆的位置关系 13．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知圆，则下列点在圆C内的是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·广东惠州·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值无关 15．（23-24高二上·重庆·期中）若点在圆外，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）若点在圆的外部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二上·安徽合肥·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点4 与圆有关的最值问题 18．（18-19高一下·浙江宁波·期中）已知点，设，分别是直线和圆上的动点，则的最小值为 A． B． C． D． 19．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知曲线，则的最大值，最小值分别为（　　） A．＋2，－2 B．＋2， C．，－2 D．，    20．（2023高三·全国·专题练习）设点是圆：上的动点，定点，则的最大值为 ． 21．（2023高三·全国·专题练习）已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上. (1)求的最大值和最小值； (2)求x＋y的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值. 22．（19-20高二上·浙江·期中）已知直线与圆相交于点，且（为坐标原点）． （1）求圆的标准方程； （2）若，点分别是直线和圆上的动点，求的最小值及求得最小值时的点的坐标． 考点5 圆的轨迹问题 23．（2021高二·江苏·专题练习）从原点O引圆的切线，当m变化时，切点P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 24．（21-22高二上·广东东莞·期中）已知线段的端点的坐标是，端点在上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高二下·全国·课堂例题）已知点，，动点满足．则动点的轨迹方程 . 26．（21-22高二上·福建福州·期中）已知点P(1，0)与圆C：，设Q为圆C上的动点，则线段PQ的中点M的轨迹方程为 . 27．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期中）在平面直角坐标系中，已知、，动点M满足 (1)求M的轨迹方程； (2)设，点N是MC的中点，求点N的轨迹方程； 28．（21-22高二上·河北沧州·阶段练习）如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD的长分别为12和，高为6． (1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程； (2)若线段MN的端点N的坐标为，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程． 一、单选题 1．（23-24高二下·安徽·期末）若圆：和圆：的交点为A，B，则线段的中垂线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 3．（23-24高二下·江西·阶段练习）以直线：和：的交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高三下·重庆·阶段练习）德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定理”（也称“米勒定理”）：若点是的边上的两个定点，C是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点C时，最大．在平面直角坐标系中，已知点，，点F是y轴负半轴的一个动点，当最大时，的外接圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 5．（23-24高二下·上海·期中）已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 6．（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·宁夏银川·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作（圆锥曲线论）是古代世界的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两个定点距离之比为常数且的点的轨迹为圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知.动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．相离 C．内切 D．相交 8．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知点为圆：外一动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·河北唐山·期末）线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（    ） A．2 B．4 C． D． 10．（23-24高二上·山西·期末）已知半径为1的圆经过点，其圆心到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C．2 D．3 11．（23-24高二上·北京大兴·期末）过点且被圆截得的弦长最大的直线方程为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高二上·福建福州·期末）直线过定点Q，若为圆上任意一点，则的最大值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．2 14．（23-24高二上·贵州黔南·期中）已知圆：，过点可作两条直线与圆相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（20-21高二上·北京丰台·期末）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 16．（23-24高二上·湖南长沙·期末）直线，圆．则直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B．4 C． D． 17．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知曲线，则“”是“曲线是圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．（23-24高二上·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．（2024·河南·一模）已知圆，则下列说法错误的是（    ） A．点在圆外 B．直线平分圆 C．圆的周长为 D．直线与圆相离 20．（23-24高二上·广西·期末）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高二上·四川成都·期末）若直线平分圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D．或 22．（23-24高二上·江苏南通·期中）圆C：关于直线对称圆的方程为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高二上·福建福州·期末）已知圆上动弦的长为，若圆上存在点P恰为线段的中点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知直线与圆相交于两点，点为圆上一动点，则面积的最大值为（     ） A． B． C． D． 25．（2024·北京·三模）已知，若点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 26．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知是坐标原点，过抛物线上异于的点作抛物线的切线交轴于点，则的外接圆方程为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高二上·广西桂林·期末）已知点，、是圆上的两个动点，且满足，为线段的中点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知O为坐标原点，P是直线上一动点，Q是圆上一动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 30．（2023·安徽·模拟预测）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，点在圆上，则点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高二上·广西·阶段练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试着在边上找一点，使得最大”.如图，其结论是：点为过两点且和射线相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，点在轴上移动，当取得最大值时，该圆的方程是（    ）    A． B． C． D． 32．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”在这首诗中含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图，在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为,河岸所在直线方程为,将军从点处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所在区域即回到军营，则这个将军所经过的最短路程为（    ）    A． B． C． D．   33．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知线段的长度为4，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则面积的最大值为（    ） A． B．8 C． D． 二、多选题 34．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆M外 B．圆M的半径为3 C．圆M关于对称 D．直线截圆M的弦长为 35．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知圆，动直线过点，下列结论正确的是（    ） A．当与圆相切于点时， B．点到圆上点的距离的最大值为5 C．点到圆上点的距离的最小值为2 D．若点在上，与圆相交于点，则 36．（23-24高二下·江苏南京·期中）点关于直线的对称点在圆内，则实数可以为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 37．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知点是圆上的动点，则下面说法正确的是（    ） A．圆的半径为2 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为6 38．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知圆的圆心坐标为，则关于圆的说法正确的是（    ） A． B．圆与圆有且仅有2条公切线 C．直线被圆截得的弦长为 D．圆在点处的切线方程为 三、填空题 39．（2023·广东茂名·一模）过四点、、、中的三点的一个圆的方程为 （写出一个即可）. 40．（23-24高二下·云南玉溪·期中）过三点的圆的标准方程是 . 41．（2024·陕西安康·模拟预测）已知直线与均与相切，点在上，则的方程为 . 42．（23-24高二上·云南昆明·期末）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中记载有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼奥斯圆.已知点，圆，在圆上存在点满足，则 .（写出满足条件的一个的值即可） 43．（23-24高二下·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，已知是圆上的一点，是圆上的两点，则的最大值为 . 四、解答题 44．（23-24高二上·湖南永州·期末）的顶点是，，． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求过点A，B，C的圆方程． 45．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两点，求． 46．（23-24高二上·河北保定·期末）已知点在圆上运动，，点为线段MN中点． (1)求点的轨迹方程； (2)已知，求的最大值． 47．（13-14高二上·重庆·期末）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于 (1)求圆的方程； (2)当时，求直线的方程． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025高二上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019选择性必修第一册） 专题04 圆的方程5考点复习指南 知识点1：圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 知识点2：点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: 几何法:设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 知识点3：圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心， 以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 知识点4：常见圆的方程的设法 分类 标准方程的设法 一般方程的设法 圆心在原点 过原点 圆心在轴上 圆心在轴上 与轴相切 与轴相切 注：（1）圆心为，半径为的圆的参数方程为其中 为参数，一般取. （2）以，为直径端点的圆的方程为. （3）二元二次方程表示圆，则 知识点5：圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心， 点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 知识点6：与圆有关的最值问题的求解方法 （1）借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题. （2）建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值. （3）求解形如|PM|＋|PN|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路： ①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决. 知识点7：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： （1）直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； （2）定义法，根据圆、直线等定义列方程； （3）几何法，利用圆的几何性质列方程； （4）代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式. 考点1 圆的标准方程 1．（23-24高二上·天津·期中）以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意确定圆的半径，即可求解. 【详解】解：由题意，圆心坐标为点，半径为， 则圆的方程为． 故选：D． 2．（23-24高二上·天津南开·期中）已知点，，，则外接圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件可得是直角三角形，求出圆的圆心与半径，写出圆的标准方程即可． 【详解】由题 得是直角三角形，且， 所以圆的半径为，圆心为， 所以外接圆的方程为. 故选：B. 3．（23-24高二上·浙江杭州·期中）过和两点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出以为直径的圆的方程可得正确的选项. 【详解】 设过和两点的圆的圆心为，半径为， 则， 故，当且仅当为中点时等号成立， 故过和两点的圆的面积最小时直径为， 此时圆的圆心为，故其标准方程为， 故选：C. 4．（23-24高三上·北京·期中）经过原点和点且圆心在直线上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接验证圆心是否在已知直线上以及圆是否过原点与点． 【详解】由已知只有选项A中圆心和B中圆心在已知直线上，CD的圆心不在已知直线上， 代入原点和点的坐标得，只有A中圆过原点和点， 故选：A． 5．（23-24高二上·广东江门·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算圆心关于直线对称的点是，得到圆方程. 【详解】圆，圆心为，半径为2， 设圆心关于直线对称的点是， 则，解得. 则所求圆的方程为. 故选：D 6．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用中点坐标公式得到圆心，再利用两点距离公式求得直径，从而得到圆的方程. 【详解】因为，， 所以的中点坐标为，，则半径为， 则以线段为直径的圆的方程为. 故选：A. 考点2 圆的一般方程 7．（23-24高二上·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若二元二次方程表示圆，则必须满足. 【详解】由， 得， 即, 解得 故选： 8．（23-24高二上·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程表示圆的条件求出参数的取值范围，即可判断. 【详解】若方程表示圆， 则， 解得， 又，所以或， 即程表示的圆的个数为. 故选：B 9．（18-19高一下·浙江·期末）圆心为且过原点的圆的一般方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得圆的标准方程，化简即可求得该圆的一般方程. 【详解】原点与的距离为， 则圆心为半径为的圆的方程为， 则该圆的一般方程是 故选：D 10．（23-24高二上·浙江·期中）若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点坐标写出以为直径的圆的方程即可. 【详解】直线与两坐标轴的交点为， 则， 则以为直径的圆半径为，圆心即为中点坐标为， 所以以为直径的圆的方程为， 化简得：. 故选：A 11．（19-20高二上·浙江宁波·期中）过三点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出圆的一般方程，代入点坐标，计算得到答案. 【详解】设圆的方程为，将A，B，C三点的坐标代入方程， 整理可得，解得， 故所求的圆的一般方程为， 故选：D． 12．（21-22高二·全国·课后作业）与圆同圆心，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设所求圆的方程为，利用点求得，从而确定正确答案. 【详解】依题意，设所求圆的方程为， 由于所求圆过点，所以， 解得，所以所求圆的方程为． 故选：B 考点3 点与圆的位置关系 13．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知圆，则下列点在圆C内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将每一个点的坐标代入圆方程求解验证即可. 【详解】对于A，因为，所以点在圆外，所以A错误， 对于B，因为，所以点在圆上，所以B错误， 对于C，因为，所以点在圆上，所以C错误， 对于D，因为，所以在圆内，所以D正确. 故选：D 14．（23-24高二上·广东惠州·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值无关 【答案】A 【分析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【详解】， 在圆外， 故选：A. 15．（23-24高二上·重庆·期中）若点在圆外，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，结合点与圆的位置关系分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径， 若点在圆外，则， 解得或，所以实数的取值范围是. 故选：C. 16．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）若点在圆的外部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程表示圆的方程以及点在圆外分别列出关于的不等式，由此求解出的取值范围. 【详解】因为方程表示圆， 所以，即， 又因为点在圆的外部， 所以，即， 所以， 故选：C. 17．（23-24高二上·安徽合肥·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由方程表示圆可得，再由点在圆外即可得，求得实数的取值范围是. 【详解】易知圆可化为，可得，即； 又在圆外部，可得，解得； 可得. 故选：B. 考点4 与圆有关的最值问题 18．（18-19高一下·浙江宁波·期中）已知点，设，分别是直线和圆上的动点，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】求出点A关于直线x+y+2=0的对称点，将已知问题转化为对称点到圆上的最小值问题，根据圆的几何条件，圆外的点到圆上的点的最小值等于该点到圆心的距离减去半径． 【详解】由于点关于直线x+y+2=0的对称点为A′(−2,−3)， 则|PA|+|PQ|=|PA′|+|PQ|≥|A′Q|， 圆圆心C（1，1），半径r=1， 又A′到圆上点Q的最短距离为|A′C|−r=， 故选：A 【点睛】本题考查点、直线与圆的距离问题，点与圆心的距离d，点到圆的最小距离等于d-r，最大距离为d+r，本题属于中等题. 19．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知曲线，则的最大值，最小值分别为（　　） A．＋2，－2 B．＋2， C．，－2 D．， 【答案】C 【分析】由题意可得曲线表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，表示半圆上的动点与点的距离，作出图象，结合图象求解即可． 【详解】由，可知，， 且有，表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，如图所示：    又因为表示半圆上的动点与点的距离， 又因为， 所以的最小值为， 当动点与图中点重合时，取最大值， 故选：C． 20．（2023高三·全国·专题练习）设点是圆：上的动点，定点，则的最大值为 ． 【答案】10 【分析】求出的坐标，表示出其模，根据P在圆上用x替换y，根据x的范围即可求出最大值. 【详解】由题意知，， 所以， 由于点是圆上的点,故其坐标满足方程， 故， 所以. 由圆的方程，易知， 所以当时，的值最大，最大值为. 故答案为：10 21．（2023高三·全国·专题练习）已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上. (1)求的最大值和最小值； (2)求x＋y的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值. 【答案】(1)最大值为－2＋，最小值为－2－ (2)最大值为－1，最小值为－－1 (3)最大值为＋1，最小值为－1 【分析】（1）可视为点(x，y)与原点连线的斜率，设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，分析即得解； （2）设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距，求解即可； （3）＝，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差. 【详解】（1）可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率. 设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即＝1，解得k＝－2＋或k＝－2－ ∴的最大值为－2＋，最小值为－2－. （2）设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距， ∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距. 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1， 解得t＝－1或t＝－－1. ∴x＋y的最大值为－1，最小值为－－1. （3）＝，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差. 又圆心到定点(－1，2)的距离为， ∴的最大值为＋1，最小值为－1. 22．（19-20高二上·浙江·期中）已知直线与圆相交于点，且（为坐标原点）． （1）求圆的标准方程； （2）若，点分别是直线和圆上的动点，求的最小值及求得最小值时的点的坐标． 【答案】（1）（2）， 【分析】（1）圆的方程化为标准方程，得圆心，再根据，直线与直线垂直求解. （2）先求点关于直线的对称点， 由，当三点共线时，求最小值. 【详解】（1），得圆心， 直线与直线垂直， 又，所以， 所以圆心，圆的方程为：， 经验证符合 （2）设点关于直线的对称点 则解得， 如图所示： 又 ，直线的方程为， 由，解得得，所以 【点睛】本题主要考查圆的方程的求法和利用对称性求线段和的最小值，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 考点5 圆的轨迹问题 23．（2021高二·江苏·专题练习）从原点O引圆的切线，当m变化时，切点P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图知，设，表示出三个线段的长度，代入等式整理即得． 【详解】根据题意画出示意图， 设圆心为C， 切点P的坐标为，则， ，，， 故点P的轨迹方程为 故选：A 24．（21-22高二上·广东东莞·期中）已知线段的端点的坐标是，端点在上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出，的坐标，确定动点之间坐标的关系，利用端点在圆上运动，可得中点的轨迹方程． 【详解】设线段的中点坐标为，点坐标为． ∵的坐标是， ∴，， ∵端点在圆上运动， ∴， ∴，， ∴线段的中点的轨迹方程是． 故选：B． 25．（23-24高二下·全国·课堂例题）已知点，，动点满足．则动点的轨迹方程 . 【答案】 【分析】根据题意，设点，由得方程，化简整理即可. 【详解】设，由得， 化简可得动点的轨迹方程为：. 故答案为： 26．（21-22高二上·福建福州·期中）已知点P(1，0)与圆C：，设Q为圆C上的动点，则线段PQ的中点M的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设,表示出，代入圆C，整理化简即可求得. 【详解】设,因为线段PQ的中点为M, 点P(1，0)，所以. 因为Q为圆C上的动点,所以,即, 即M的轨迹方程. 故答案为： 27．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期中）在平面直角坐标系中，已知、，动点M满足 (1)求M的轨迹方程； (2)设，点N是MC的中点，求点N的轨迹方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据向量数量积求解即可得答案； （2）设，，进而根据相关点法求解即可； 【详解】（1）设，则， 所以，即 所以M的轨迹方程为. （2）设，， 因为点N是的中点， 所以，即， 又因为在上， 所以，即. 所以点N的轨迹方程为. 28．（21-22高二上·河北沧州·阶段练习）如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD的长分别为12和，高为6． (1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程； (2)若线段MN的端点N的坐标为，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意，由可建立关于b的方程，解出b，进而得到半径的值，即可写出结果． （2）设，因为点P是线段MN的中点，根据中点坐标公式，把点M的坐标用设x，y表示再代入圆E的方程，整理即可得到点P的轨迹方程． 【详解】（1）设圆心，由题意知：，， 由得：，解得， ∴半径，则 综上，圆E的方程为． （2）设，由P是线段MN的中点，由中点坐标公式得：， 代入，化简得， ∴P的轨迹方程为． 一、单选题 1．（23-24高二下·安徽·期末）若圆：和圆：的交点为A，B，则线段的中垂线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出两个圆的圆心，利用相交两圆的对称性即可求得相交弦的中垂线方程. 【详解】由可得，，圆心为， 由可得，，圆心为， 根据圆的对称性可知，即线段的中垂线， 故其方程为：，即. 故选：B. 2．（23-24高二下·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据圆的一般式方程的充要条件为，代入运算求解即可. 【详解】由题意可得：，解得或， 所以方程表示圆的充要条件是或. 故选：D. 3．（23-24高二下·江西·阶段练习）以直线：和：的交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出交点，得到圆心坐标，由点到直线距离得到半径，从而得到圆的方程. 【详解】联立方程组，解得，即所求圆的圆心坐标为， 所以圆心到直线的距离， 故所求圆的方程为． 故选：A 4．（22-23高三下·重庆·阶段练习）德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定理”（也称“米勒定理”）：若点是的边上的两个定点，C是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点C时，最大．在平面直角坐标系中，已知点，，点F是y轴负半轴的一个动点，当最大时，的外接圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由米勒定理知当最大时，的外接圆与轴负半轴相切，再由点和的坐标得出半径和圆心横坐标，设圆心为，由圆上点到圆心的距离为半径列出方程，得出，即可写出圆的方程． 【详解】由米勒定理知当最大时，的外接圆与轴负半轴相切，此时圆心位于第四象限， 因为点，， 所以圆心在直线上， 又圆与轴负半轴相切， 所以圆的半径为3， 设圆心为，， 则，解得， 又， 所以 所以的外接圆的方程是， 故选：A．    5．（23-24高二下·上海·期中）已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【答案】C 【分析】利用点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系求解. 【详解】圆心到直线的距离， 若点在圆上， 则，所以， 则直线与圆相切，故A正确; 若点在圆内， 则，所以， 则直线与圆相离，故B正确； 若点在圆外， 则，所以， 则直线与圆相交， 故C错误； 若点在直线上， 则，即，所以直线与圆相切， 故D正确， 故选：C． 6．（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将圆的一般化为标准方程，再结合点在圆外，得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】由题意得，圆的标准方程为， 故，， 又点在圆外，所以， ，或， 所以m的取值范围为． 故选：D. 7．（23-24高二上·宁夏银川·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作（圆锥曲线论）是古代世界的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两个定点距离之比为常数且的点的轨迹为圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知.动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．相离 C．内切 D．相交 【答案】D 【分析】设，应用两点距离公式和已知条件求得动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，再由圆心距与半径的关系判断位置关系即可. 【详解】设，则，整理得， 所以动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 而的圆心为，半径为， 由于和的距离，则， 所以动点的轨迹与圆的位置关系是相交. 故选：D 8．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知点为圆：外一动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知结合直线与圆相切的性质可得四边形为正方形，，，然后结合两点间的距离公式即可求解． 【详解】设， 因为，与圆相切， 所以，，，， 又， 所以四边形为正方形， 所以，则， 即动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以动点的轨迹方程为． 故选：A． 9．（23-24高二上·河北唐山·期末）线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用几何法直接求出轨迹方程，进而由圆的面积公式求解. 【详解】，设为线段中点， ，设，则，即． 则线段中点的轨迹是以坐标原点为圆心，2为半径的圆； 故线段中点的轨迹所围成图形的面积为. 故选：D 10．（23-24高二上·山西·期末）已知半径为1的圆经过点，其圆心到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】设圆的圆心为，即可得到圆的圆心的轨迹方程，求出点到直线的距离，即可得解. 【详解】设圆的圆心为，则，即圆的圆心的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 其中点到直线的距离， 则圆心到直线的距离的最大值为. 故选：D 11．（23-24高二上·北京大兴·期末）过点且被圆截得的弦长最大的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的性质可知所求直线即为过圆心的直线，结合直线的截距式方程求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为， 显然圆的最大弦长为直径，所求直线即为过圆心的直线， 可得直线方程为，即. 故选：B. 12．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求得圆C的一般方程，进而得到圆C的标准方程. 【详解】设圆C的方程为，则圆心， 则有，解之得, 则有圆C的方程为，即 故选：C 13．（23-24高二上·福建福州·期末）直线过定点Q，若为圆上任意一点，则的最大值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．2 【答案】B 【分析】求出直线定点坐标、圆心坐标、半径，再由点与圆的圆心之间的距离加半径求解 【详解】由，得， 所以直线过定点， 由，知圆心坐标，半径为2， 所以到圆心的距离为，则在圆内， 则的最大值为， 故选：B 14．（23-24高二上·贵州黔南·期中）已知圆：，过点可作两条直线与圆相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到，求出的大范围，再由点在圆外，得到点到圆心的距离大于半径，从而求出参数的取值范围. 【详解】圆：，即， 则圆心为，半径，且，则， 又过点可作两条直线与圆相切，所以点在圆外， 所以，解得或， 综上可得实数的取值范围是. 故选：D 15．（20-21高二上·北京丰台·期末）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【分析】求出两圆的圆心和半径，得到，得到两圆外切. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆，故圆心，半径为， 则， 所以圆与圆的位置关系是外切. 故选：D 16．（23-24高二上·湖南长沙·期末）直线，圆．则直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，可得直线过圆心,从而可求解. 【详解】圆的标准方程为,直线过圆心, 所以直线被圆所截得的弦长等于直径长度4. 故选:B． 17．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知曲线，则“”是“曲线是圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据圆的定义列出不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 若曲线是圆，所以，所以或， 所以“”是“曲线是圆”的充分不必要条件. 故选：A. 18．（23-24高二上·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若二元二次方程表示圆，则必须满足. 【详解】由， 得， 即, 解得 故选： 19．（2024·河南·一模）已知圆，则下列说法错误的是（    ） A．点在圆外 B．直线平分圆 C．圆的周长为 D．直线与圆相离 【答案】D 【分析】根据方程可知圆心和半径，结合圆的性质和周长公式逐项分析判断. 【详解】由可知圆心坐标为，圆的半径为1． 对于选项A：由点到圆心的距离 所以点在圆外，故A正确； 对于选项B：因为圆心在直线上， 所以圆关于直线对称，故B正确； 对于选项C，圆的周长为，故C正确； 对于选项D，因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相切，故D错误． 故选：D． 20．（23-24高二上·广西·期末）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出两直线的交点坐标，利用该交点到圆心的距离小于半径列式，解不等式可得结果. 【详解】由，得，则两直线与的交点为， 依题意得，解得. 故选：B. 21．（23-24高二上·四川成都·期末）若直线平分圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】列出所满足的条件，由直线过圆心求得的值. 【详解】可化为，则， 又直线平分圆， 则直线经过圆心. 代入直线得，解得或. 因为不满足，故 故选：C. 22．（23-24高二上·江苏南通·期中）圆C：关于直线对称圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的方程化为标准方程，得出圆心、半径.根据已知求出对称点的坐标，即可得出答案. 【详解】将圆的方程化为标准方程可得，， 所以，圆心，半径. 设， 由已知可得，，解得， 所以，圆的圆心为，半径， 所以，圆的方程为. 故选：D. 23．（23-24高二上·福建福州·期末）已知圆上动弦的长为，若圆上存在点P恰为线段的中点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件利用几何法求得点P的轨迹方程，再转化为两个圆有公共点列式求解即可. 【详解】由圆的弦长为可知中点P到的距离即为， 所以动点P的轨迹为以为圆心，半径为1的圆，其轨迹方程为， 又圆上存在点P，则圆与圆有公共点， 圆的圆心为，半径为3，则，即， 解得或，即. 故选：C 24．（23-24高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知直线与圆相交于两点，点为圆上一动点，则面积的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】圆心到直线的距离为，由求出，面积的最大值即为到直线的距离的最大值，求解即可. 【详解】圆心到直线的距离为， 所以， 直线与圆相交于两点， 设到直线的距离为， 面积的最大值即为的最大值，即 面积为. 故选：A. 25．（2024·北京·三模）已知，若点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先确定的轨迹以及直线过的定点，再根据圆的性质特点求最值. 【详解】由可得点的轨迹为以线段为直线的圆，圆心为，半径为， 又直线，其过定点， 故距离的最大值为. 故答案为：C 26．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知是坐标原点，过抛物线上异于的点作抛物线的切线交轴于点，则的外接圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得的坐标，再利用待定系数法即可求得的外接圆的一般方程. 【详解】设过抛物线上异于的点的切线为， 又交轴于点，则， 则，整理得， 则，即 则有，可化为 解之得，则，则 设的外接圆方程为， 则，解之得 的外接圆方程为，即.    故选：A 27．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出的坐标，利用相关点法求解出的轨迹方程. 【详解】设， 由题意可知，所以， 又因为， 所以， 化简可得， 所以的轨迹方程为， 故选：A. 28．（23-24高二上·广西桂林·期末）已知点，、是圆上的两个动点，且满足，为线段的中点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，点在以原点为圆心，半径为的圆上运动，利用圆的几何性质可知，当为射线与圆的交点时，取最大值，即可得解. 【详解】如下图所示： 圆的圆心为原点，半径为， 因为、是圆上的两个动点，且满足，为线段的中点， 由垂径定理可知，，则， 所以，点在以原点为圆心，半径为的圆上运动， 则. 当且仅当为射线与圆的交点时，等号成立， 故的最大值为. 故选：B. 29．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知O为坐标原点，P是直线上一动点，Q是圆上一动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先画出图形，找出点关于直线的对称点，结合三角形三边关系即可求解. 【详解】如图所示： 设点与点关于直线对称， 则，解得，即， 所以， 其中分别为圆的圆心和半径， 等号成立当且仅当分别与重合，其中分别为线段与直线和圆的交点， 综上所述，的最小值为. 故选：C. 30．（2023·安徽·模拟预测）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，点在圆上，则点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合点在直线上，求出切点弦AB的方程，确定其所经过的定点，确定当时，C到直线AB的距离最大，M到直线AB的距离也最大，即可求得答案. 【详解】根据题意，设点，则， 过点作圆的切线，切点分别为A，B， 则有，，则点A，B在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为，半径， 则其方程为，变形可得， 联立，可得圆D和圆O公共弦为：， 又由，则有，变形可得， 则有，可解得，故直线恒过定点， 点在圆上，， 当时，C到直线AB的距离最大，M到直线AB的距离也最大， 则点到直线距离的最大值为. 故选:B. 31．（23-24高二上·广西·阶段练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试着在边上找一点，使得最大”.如图，其结论是：点为过两点且和射线相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，点在轴上移动，当取得最大值时，该圆的方程是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出线段的垂直平分线，依题意圆的圆心在直线上， 故设该圆圆心为，又因为该圆与轴相切，所以圆的半径，根据，得到方程求出的值，即可得解. 【详解】由题意可知，点为过两点且和轴相切的圆的切点，线段中点坐标为，又， 所以线段的垂直平分线方程为， 所以以为弦的圆的圆心在直线上， 故设该圆圆心为，又因为该圆与轴相切，所以圆的半径， 又，所以，解得或， 当时，是钝角，故舍去. 所以此时圆的方程为.    故选：C 32．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”在这首诗中含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图，在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为,河岸所在直线方程为,将军从点处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所在区域即回到军营，则这个将军所经过的最短路程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出关于直线的对称点为，然后将距离和转化成圆外一点到圆上一点距离最值问题求解即可. 【详解】    如图，设将军去河岸的B点喝水，回到军营的C点，所以需求出最小值即可， 圆的圆心为，半径， 设关于直线的对称点为，则，解得， 所以，此时， 所以“将军饮马”的最短路程为． 故选：D． 33．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知线段的长度为4，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则面积的最大值为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系,可得的轨迹方程为圆，数形结合高的最大值为圆的半径，可解问题. 【详解】以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系， 设，且， 由，得， 化简得的轨迹方程为圆，半径， 如下图，有． 故选：A    二、多选题 34．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆M外 B．圆M的半径为3 C．圆M关于对称 D．直线截圆M的弦长为 【答案】BC 【分析】由圆的方程求圆心和半径，判断BC，再根据点与圆的位置关系判断A，由直线与圆的相交弦公式判断D． 【详解】圆的方程为， 圆心为，半径为，B正确， 圆心在直线上，圆关于对称，C正确， ,时,，点在圆内，A错误， 圆心到直线的距离为， 直线截圆的弦长为，D错误， 故选：BC． 35．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知圆，动直线过点，下列结论正确的是（    ） A．当与圆相切于点时， B．点到圆上点的距离的最大值为5 C．点到圆上点的距离的最小值为2 D．若点在上，与圆相交于点，则 【答案】AB 【分析】结合切线长公式计算可判断A项，运用圆上的点到圆外一定点的距离的最大值为，最小值为（为圆心到圆外定点的距离）可判断B项、C项，运用圆内弦长公式计算可判断D项. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径为2， 对于A项，如图所示，    则，故A项正确； 对于B项，    如图所示，点到圆上点的距离的最大值为，故B项正确； 对于C项，    如图所示，点到圆上点的距离的最小值为，故C项错误． 对于D项，    直线的方程为，则点到直线的距离， 所以，故D项错误． 故选：AB. 36．（23-24高二下·江苏南京·期中）点关于直线的对称点在圆内，则实数可以为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】BC 【分析】利用轴对称的性质，算出点关于直线的对称点的坐标，然后根据点在圆内建立关于的不等式，解出的取值范围，即可得到本题的答案． 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，得，即， 若点在圆内，则，解得：． 对照各个选项，可知B、C两项符合题意． 故选：BC． 37．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知点是圆上的动点，则下面说法正确的是（    ） A．圆的半径为2 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为6 【答案】BCD 【分析】对于A：直接将圆的一般方程化为标准方程来判断；对于B：将转化为点和坐标原点连线的斜率来求解；对于C：，求出点与的距离的最大值然后代入即可；对于D：令，代入圆的方程，消去，然后利用求解. 【详解】对于A：圆的标准方程为，其半径为，A错误； 对于B：，其表示点和坐标原点连线的斜率， 当过的直线与圆相切时，分别取最大和最小， 设过的直线为， 则，解得，故的最小值为，B正确； 对于C：， 其中表示点与的距离， 则的最大值为， 则，C正确； 对于D：令，则，代入圆的方程得 ， 整理得， 得，解得， 即的最大值为6，D正确. 故选：BCD. 38．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知圆的圆心坐标为，则关于圆的说法正确的是（    ） A． B．圆与圆有且仅有2条公切线 C．直线被圆截得的弦长为 D．圆在点处的切线方程为 【答案】AD 【分析】对于A，由圆心坐标列方程求出参数即可判断；对于B，判断两圆的位置关系即可；对于C，由点到直线的距离公式结合圆的弦长公式即可判断；对于B，发现点与点都在直线上，由此即可判断. 【详解】对于A，由题意圆即圆的圆心坐标为， 所以，解得，所以，故A正确； 对于B，由A可知的圆心、半径分别为， 圆的圆心、半径分别为， 所以圆心距满足，即两圆外切， 所以圆与圆有且仅有3条公切线，故B错误； 对于C，的圆心、半径分别为， 点到直线的距离为， 所以线被圆截得的弦长为，故C错误； 对于D，易得点在圆上， 而点与点都在直线上，即该点处切线斜率为0， 所以圆在点处的切线方程为，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 39．（2023·广东茂名·一模）过四点、、、中的三点的一个圆的方程为 （写出一个即可）. 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用圆的一般式方程求过三点的圆. 【详解】过，，时，设圆的方程为， 则，解得， 圆的方程是：，即； 同理可得： 过、、时，圆的方程是：； 过，，时，圆的方程是：； 过，，时，圆的方程是：. 故答案为：.（、、、写其中一个即可） 40．（23-24高二下·云南玉溪·期中）过三点的圆的标准方程是 . 【答案】 【分析】首先设出圆的标准方程，再代入3点，即可求解. 【详解】设圆的标准方程为， 得，得， 所以圆的标准方程是. 故答案为： 41．（2024·陕西安康·模拟预测）已知直线与均与相切，点在上，则的方程为 . 【答案】 【分析】根据两直线平行以及之间的距离可得半径，根据为切点，联立直线方程可得另一个切点，即可求解圆心为. 【详解】由于直线与平行，且均与相切， 两直线之间的距离为圆的直径，即， 又在上，所以为切点， 故过且与垂直的直线方程为， 联立， 所以与相切于点， 故圆心为与的中点，即圆心为， 故圆的方程为， 故答案为： 42．（23-24高二上·云南昆明·期末）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中记载有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼奥斯圆.已知点，圆，在圆上存在点满足，则 .（写出满足条件的一个的值即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】根据动点轨迹定义求出轨迹方程，依题意得出两圆有公共点，由两圆位置关系的判定方法可求得的取值范围，在其中任意取值即得. 【详解】 不妨设点，因满足，则，化简得：， 即点的轨迹方程为，依题意点又在圆上, 如图，两圆必有公共点，须使，（由图知圆C半径），而， 解得：.故可取区间内的任何数. 故答案为：3（答案不唯一） 43．（23-24高二下·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，已知是圆上的一点，是圆上的两点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，则当点到点的距离最短，并且、与圆相切（、为切点）时，取得最大值，利用锐角三角函数求出此时的值，即可得解. 【详解】圆圆心为，半径， 圆圆心为，半径， 因为是圆上的一点，，是圆上的两点， 可知点到点的距离最短，并且、与圆相切（、为切点）时，取得最大值， 此时点在线段与圆的交点， 又，所以，则， 所以，所以的最大值为． 故答案为：． 四、解答题 44．（23-24高二上·湖南永州·期末）的顶点是，，． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求过点A，B，C的圆方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的斜率，得到边上的高所在直线的斜率，点斜式求出直线方程，得到答案； （2）设出圆的一般方程，待定系数法进行求解. 【详解】（1）直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率为， 故边上的高所在直线的方程为，即； （2）设圆的方程为， 将，，代入得 ，解得， 故圆的方程为. 45．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两点，求． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设出圆的方程，利用相切和圆心满足的条件可求答案； （2）求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可得答案. 【详解】（1）设圆的方程为，则． 因为圆与轴相切于点，所以， 所以，故圆的标准方程为． （2）由（1）知，圆心为,半径为4， 因为圆心到直线的距离为，所以． 46．（23-24高二上·河北保定·期末）已知点在圆上运动，，点为线段MN中点． (1)求点的轨迹方程； (2)已知，求的最大值． 【答案】(1) (2)89 【分析】（1）设点，用表示出的坐标，代入圆的方程即可； （2）利用两点距离公式表示，结合的关系及范围可求结论. 【详解】（1）设点，因为为中点， ，于是有， 因为点在圆上运动， 所以， 代入得， 化简得， 所以点的轨迹方程为； （2） 因为，所以 所以的最大值为89． 47．（13-14高二上·重庆·期末）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于 (1)求圆的方程； (2)当时，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)由题意知点到直线距离公式可确定圆A半径，带入到圆的标准方程可求得圆的方程； (2) 过A做，由垂径定理可知圆心到直线，设出直线，可分为斜率存在和斜率不存在两种情况，解之可得直线方程 【详解】（1）易知到直线的距离为圆A半径r， 所以， 则圆A方程为 （2）过A做,由垂径定理可知，且， 在中由勾股定理易知 当动直线斜率不存在时，设直线的方程为， 经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知， 显然合题意， 当动直线斜率存在时，过点，设方程为：， 由到距离为知得， 代入解之可得， 所以或为所求方程． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$