第02讲 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（三类知识点+五大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（沪教版）

第02讲 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（五大题型） 学习目标 1、 了解圆心角、弦心距等概念； 2、 根据教材证明圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的定理及推论； 3、应用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系求解或证明． 一、圆心角与弧的定义 1．圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB. 2．1°的弧的定义 1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图， 要点： (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=. （2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）. 二、弦心距 圆心到弦的距离叫做弦心距.在图27-9中，过圆心O作弦AB的垂线，垂足为C,则垂线段OC的长是弦AB的弦心距. 三、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理： ①定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等. ②推论 圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理有以下推论： 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧(或优弧)、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等. 【即学即练1】如图，点A，B，C，D，E是上的五等分点，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【即学即练2】如图，是的直径，，，求的度数．    【即学即练3】如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：． 题型1：圆心角的概念 【典例1】．下列图形中的角是圆心角的是（　　） A．  B．  C．  D．   【典例2】．如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 题型2：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的定理概念辨析 【典例3】．下列说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的圆心角所对的弦心距相等 C．度数相等的两条弧相等 D．相等的圆心角所对的弧的度数相等 【典例4】．下列四个命题： ①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等； ②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等； ③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等； ④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等． 真命题的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例5】．下列关于圆的说法中，错误的是（    ） A．半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧 B．如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等 C．圆的对称轴是任意一条直径所在的直线 D．拱形不一定是弓形 【典例6】．对于命题：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；②如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等．下列判断正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 题型3：根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系求证 【典例7】．已知：A、B、C、D是⊙O上的四个点，且，求证：AC=BD．    【典例8】．如图，在中，弦与弦相交于点E，且．求证：． 【典例9】．已知，如图，．求证：． 【典例10】．如图，的弦、相交于点，且．求证．    【典例11】．如图，A、B、C、D是上的四点，．求证：．    【典例12】．如图，为的直径，半径，判断 与是否相等，并说明理由．    【典例13】．已知：如图，⊙O中弦．求证：AD=BC． 【典例14】．如图,在⊙O中，弧AC=BC，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E．求证：AD＝BE．   【典例15】．已知：如图，在⊙O中，弦AB与半径OE、OF交于点C、D，AC＝BD，求证： （1）OC＝OD： （2）． 【典例16】．如图，在中，，求证： (1)； (2)． 【典例17】．如图，在中，，，以点O为圆心，的长为半径的交、于点、． (1)求、的度数． (2)如果弦的长为，那么的半径是多少? 【典例18】．如图，过的直径上两点，分别作弦，． 求证：（1）； （2）． 题型4：根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系求解 【典例19】．已知的一条弦把圆的周长分成的两个部分，则弦所对的弧的度数为 ． 【典例20】．如图，为，则弦所对的圆心角度数为 ． 【典例21】．若的半径为，一条弦分为两部分，这条弦所对的圆心角的度数为 ，这条弦的长度为 ． 【典例22】．如图，点 ，，， 在上． （）若，则 ； （）若，则 ． 【典例23】．如图，在中，若，则与的大小关系是： ．（填“>”，“＜”或“=”） 【典例24】．是的直径，点在上，点，是的三等分点，，的度数是 ． 【典例25】．如图，是弧所在圆的圆心．已知点B、C将弧AD三等分，那么下列四个选项中不正确的是（    ） A． B． C． D．． 【典例26】．如图所示，在圆O中，如果（均小于），那么正确的是（   ） A． B． C． D． 题型5：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系与其他几何性质结合 【典例27】．如图，线段，分别为的弦，，，是的平分线，若，则弦长为（    ） A． B． C． D． 【典例28】．如图，点为上三点，，点为上一点，于，，，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【典例29】．如图，四边形内接于，E为延长线上一点，连接，若，且，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【典例30】．如图，以为直径的圆O中，点O为圆心，C为弧的中点，过点C作且．连接，分别交，于点E，F，与圆O交于点G，连接． (1)求证：； (2)连接，，求证：． 一、单选题 1．下列说法中，正确的是（    ） A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等 2．若C、D为半圆AB上三等分点,那么CD:AB为(  ) A．2∶ B．1∶ C．2∶1 D．1∶2 3．下列说法中，不正确的是（    ） A．在同圆或等圆中，若两弧相等，则它们所对的弦相等 B．在同一个圆中，若弦长等于半径，则该弦所对的劣弧的度数为60° C．在同一个圆中，若两弧不等，则优弧所对的圆心角较大 D．若两弧的度数相等，则这两条弧是等弧 4．如图, AB是⊙O的直径, CD是AO的垂直平分线, EF是OB的垂直平分线, 则下列结论正确的是  (  ) A．== B． C． D． 5．结合各自对应图形，给出的相应推理中，其中正确的是（    ） ∵ ∴ （1） ∵ ∴ （2） ∵ ∴ （3） ∵ ∴ （4） A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（4） 6．如图，扇形OAB的圆心角为90°，点C、D是的三等分点，半径OC、OD分别与弦AB交于点E、F，下列说法错误的是( ) A．AE＝EF＝FB B．AC＝CD＝DB C．EC＝FD D．∠DFB＝75° 7．如图，是的两条互相垂直的弦，且，过点O作于点M，于点N．若，则的半径为（    ） A． B．2 C． D．4 8．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且点C为弧BAD的中点，连接CD、CB、OD，CD与AB交于点F．若∠AOD＝100°，则∠ABC的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 9．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG=MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（    ） A．100° B．110° C．115° D．120° 10．如图，在中，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，OA，OB，OC，OD是⊙O的半径， （1）如果∠AOB＝∠COD，那么 ， = ，∠AOC ∠BOD； （2）如果AB＝CD，那么 = ， ； （3）如果=，那么 ， ， ． 12．如图，在两个同心圆中，为60°，则的度数为 ． 13．如图，在中， 弧与弧相等，，则 °． 14．如图，⊙经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为 ． 15．如图，AB为⊙O的直径，△PAB的边PA，PB与⊙O的交点分别为C、D．若，则∠P的大小为 度． 16．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若的度数为35°，则的度数是 ． 17．如图,D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点,CD⊥OA,CE⊥OB,CD= CE, 则弧AC与弧CB弧长的大小关系是 . 18．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4+8，点E为弧AB的中点，C为半径OA上一点，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，若点E′恰好落在半径OB上，则OE′＝ ． 三、解答题 19．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，且AB＝CD，求证：BM＝DM． 20．如图，在⊙O中，弦AD与BC交于点E，且AD＝BC，连接AB、CD． 求证：（1）AB＝CD； （2）AE＝CE． 21．已知：如图所示，AB，CD是的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且，求证：. 22．已知：如图，在⊙O中，弦AB与半径OE、OF交于点C、D，AC＝BD，求证： （1）OC＝OD： （2）． 23．如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在弧MB，弧MD上，且AB＝CD，点M是弧AC的中点． （1）求证：MB＝MD； （2）过O作OE⊥MB于E，OE＝1，⊙O的半径是2，求MD的长． 24．如图所示，以的顶点A为圆心，为半径作圆，分别交，于点E，F，延长交于G． (1)求证：； (2)若劣弧所对圆心角的度数为，求的度数． 25．如图，已知是的直径，点在上，且C是优弧的中点，过点C作于点D． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 26．如图，在扇形AOB中，，C、D是上两点，过点D作交OB于E点，在OD上取点F，使，连接CF并延长交OB于G点． (1)求证：； (2)若C、D是AB的三等分点，： ①求； ②请比较GE和BE的大小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（五大题型） 学习目标 1、 了解圆心角、弦心距等概念； 2、 根据教材证明圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的定理及推论； 3、应用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系求解或证明． 一、圆心角与弧的定义 1．圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB. 2．1°的弧的定义 1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图， 要点： (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=. （2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）. 二、弦心距 圆心到弦的距离叫做弦心距.在图27-9中，过圆心O作弦AB的垂线，垂足为C,则垂线段OC的长是弦AB的弦心距. 三、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理： ①定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等. ②推论 圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理有以下推论： 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧(或优弧)、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等. 【即学即练1】如图，点A，B，C，D，E是上的五等分点，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点A、B、C、D、E是⊙O的五等分点，则每段弧的度数等于72度，弧的度数为72度，由圆周角定理知，弧对的圆周角是弧的度数的一半即可解答． 本题利用了一个周角是360度和圆周角定理，在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半成为解题的关键． 【解析】解：∵点A，B，C，D，E是上的五等分点， ∴弧的度数为72度， ∴． 故选：C． 【即学即练2】如图，是的直径，，，求的度数．    【答案】 【分析】根据圆的性质进行计算即可得． 【解析】解：在中，AB是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的性质，解题的关键是掌握同弧所对的圆心角相等． 【即学即练3】如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定与性质．连接，构建全等三角形和；然后利用全等三角形的对应边相等证得． 【解析】证明：连接． 在中，， ， ，、分别是半径和的中点， ， ， ， ． 题型1：圆心角的概念 【典例1】．下列图形中的角是圆心角的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了圆心角的定义，能熟记圆心角的定义（顶点在圆心上，并且两边与圆相交的角，叫圆心角）是解此题的关键．根据圆心角的定义逐个判断即可． 【解析】解：A．顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意； B．顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：A． 【典例2】．如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆心角的概念，确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是． 【解析】解：根据圆心角的概念，、、的顶点分别是B、A、C，都不是圆心O，因此都不是圆心角．只有B中的的顶点在圆心，是圆心角． 故选：B． 题型2：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的定理概念辨析 【典例3】．下列说法正确的是（   ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的圆心角所对的弦心距相等 C．度数相等的两条弧相等 D．相等的圆心角所对的弧的度数相等 【答案】D 【分析】本题考查了圆形角，弧，弦心距之间的关系，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，相等的圆心角所对的弦心距相等，度数相等的两条弧相等，以及相等的圆心角所对的弧的度数相等逐个判断即可． 【解析】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故A不正确，不符合题意； B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦心距相等， B不正确，不符合题意； C、在同圆或等圆中，度数相等的两条弧相等，故C不正确，不符合题意； D、相等的圆心角所对的弧的度数相等，故D正确，符合题意； 故选：D． 【典例4】．下列四个命题： ①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等； ②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等； ③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等； ④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等． 真命题的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项． 【解析】解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故原说法错误，是假命题，不符合题意； ②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意； ③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意； ④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意， 真命题有3个， 故选：C． 【点睛】考查了真假命题的判断，解题的关键是掌握圆的有关性质，难度不大． 【典例5】．下列关于圆的说法中，错误的是（    ） A．半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧 B．如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等 C．圆的对称轴是任意一条直径所在的直线 D．拱形不一定是弓形 【答案】B 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对A、B进行判断；根据过圆心的直线都为圆的对称轴可对C进行判断；根据拱形与弓形的定义对D进行判断． 【解析】解：A．半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧，所以A选项不符合题意； B．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等，所以B选项符合题意； C．圆的对称轴是任意一条直径所在的直线，所以C选项不符合题意； D．拱形加上跨度为弓形，所以D选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了轴对称． 【典例6】．对于命题：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；②如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等．下列判断正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 【答案】A 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据圆心角、弧、弦的关系定理判断即可． 【解析】解：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，故本小题说法是真命题； ②在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，故本小题说法是假命题 故选：A． 题型3：根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系求证 【典例7】．已知：A、B、C、D是⊙O上的四个点，且，求证：AC=BD．    【答案】详见解析 【分析】先根据可得，再根据同圆中等弧所对的弦相等即得． 【解析】证明：∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查圆心角定理推论，解题关键是熟知同圆或等圆中，等弧所对的弦相等． 【典例8】．如图，在中，弦与弦相交于点E，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系、圆周角定理的推论； 由弦相等得到，推出，得到，再利用等腰三角形的判定得出结论． 【解析】证明：， ， ，即， ， ． 【典例9】．已知，如图，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦心距四者之间的关系，熟知四者之间的的关系是解题的关键．依据弦与相等，则这两条弦所对的劣弧和优弧分别相等，即可解． 【解析】证明：， ， ， 即， ． 【典例10】．如图，的弦、相交于点，且．求证．    【答案】见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的判定．连接，由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立． 【解析】证明：连接．    ∵， ∴ ∴， 即，    ∴， ∴． 【典例11】．如图，A、B、C、D是上的四点，．求证：．    【答案】见解析 【分析】根据，得出，求出，即可证明结论． 【解析】证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角之间的关系，解题的关键是熟练掌握三个量关系定理． 【典例12】．如图，为的直径，半径，判断 与是否相等，并说明理由．    【答案】，理由见解析 【分析】连接，根据等腰三角形的性质和平行线的性质，得出，即可得出答案． 【解析】解：，理由如下： 连接，如图所示：    ∵， ∴， ， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，圆心角性质，解题的关键是作出辅助线，证明． 【典例13】．已知：如图，⊙O中弦．求证：AD=BC． 【答案】见解析 【分析】先根据等弦所对的劣弧相等得到，从而得到，再由等弧所对的弦相等即可得到． 【解析】证明：∵AB=CD， ∴， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了弧与弦之间的关系，解题的关键在于能够熟练掌握等弦所对的劣弧相等，等弧所对的弦相等． 【典例14】．如图,在⊙O中，弧AC=BC，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E．求证：AD＝BE．   【答案】证明见解析 【分析】连接OC．只要证明△COD≌△COE，推出OD=OE即可解决问题； 【解析】解：连接OC，    ∵ ， ∴∠AOC=∠BOC． ∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E， ∴∠CDO=∠CEO=90° 在△COD与△COE中， ∵ ， ∴△COD≌△COE(AAS)， ∴OD=OE， ∵AO=BO， ∴AD=BE． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的性质和判定．熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键． 【典例15】．已知：如图，在⊙O中，弦AB与半径OE、OF交于点C、D，AC＝BD，求证： （1）OC＝OD： （2）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）证明：连接OA，OB，证明△OAC≌△OBD（SAS）即可得到结论； （2）根据△OAC≌△OBD，得到∠AOC＝∠BOD，即可得到结论． 【解析】（1）证明：连接OA，OB， ∵OA＝OB， ∴∠OAC＝∠OBD． 在△OAC与△OBD中， ∵， ∴△OAC≌△OBD（SAS）． ∴OC＝OD． （2）∵△OAC≌△OBD， ∴∠AOC＝∠BOD， ∴． 【点睛】此题考查同圆的半径相等的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形等边对等角的性质，相等的圆心角所对的弧相等的性质，正确引出辅助线证明△OAC≌△OBD是解题的关键． 【典例16】．如图，在中，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解答 (2)见解答 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，解答本题用到的知识点为：同弧所对的圆心角相等，等腰三角形两底角相等等． （1）由，可知，得到，可得结论； （2）根据圆心角、弧、弦的关系由，得到，然后利用等腰三角形底角相等即可得到结论． 【解析】（1）证明：， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， 即． 【典例17】．如图，在中，，，以点O为圆心，的长为半径的交、于点、． (1)求、的度数． (2)如果弦的长为，那么的半径是多少? 【答案】(1)的度数为，的度数为 (2)的半径是 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，先证明为等边三角形，得出，即可得出的度数，求出，即可得出的度数； （2）由等边三角形的性质即可得解． 【解析】（1）解：如图：连接， ， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即的度数为， ∴，即的度数为； （2）解：由（1）可得：为等边三角形， ∵弦的长为， ∴， ∴的半径是． 【典例18】．如图，过的直径上两点，分别作弦，． 求证：（1）； （2）． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析 【分析】（1）连接OC、OF，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到∠A=∠OCA=∠BFC=∠B，等量代换得到∠BFC=∠ACF．根据平行线的性质得到∠AMC=∠ANE．根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解析】解：（1）如图，连接． ， ． ． （2） ， ． ． 又． ． 在和中， ． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 题型4：根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系求解 【典例19】．已知的一条弦把圆的周长分成的两个部分，则弦所对的弧的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，分优弧和劣弧两种情况，结合比例关系进行求解即可． 【解析】解：∵的一条弦把圆的周长分成的两个部分， ∴弦对应的圆心角的度数为：， ∴弦所对的劣弧的度数为，所对的优弧的度数为：， 故答案为：或． 【典例20】．如图，为，则弦所对的圆心角度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，连接，由为可得，据此即可求解，掌握弧、弦、圆心角之间的关系是解题的关键． 【解析】解：连接， ∵为， ∴， ∴弦所对的圆心角度数为， 故答案为：． 【典例21】．若的半径为，一条弦分为两部分，这条弦所对的圆心角的度数为 ，这条弦的长度为 ． 【答案】 /90度 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，根据一条弦分为部分，则分圆心角也为两部分，求出劣弧所对的圆心角，再根据等腰直角三角形的性质即可得出答案． 【解析】解：∵一条弦分为两部分， ∴这条弦所对的圆心角的度数为，这条弦的长度为． 故答案为：，． 【典例22】．如图，点 ，，， 在上． （）若，则 ； （）若，则 ． 【答案】 = = 【分析】本题题考查了圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等，即四者有一个相等，则其它三个都相等． 【解析】解：（1）∵， ∴． 故答案为：=； （2）∵， ∴． 故答案为：=． 【典例23】．如图，在中，若，则与的大小关系是： ．（填“>”，“＜”或“=”） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是利用三角形三边关系得到．如图，连接、，根据题意知，，又由三角形三边关系得到得到：． 【解析】解：如图，连接、， 在中，若， ， 在中，． ． 故答案为：． 【典例24】．是的直径，点在上，点，是的三等分点，，的度数是 ． 【答案】/78度 【分析】本题考查弧，弦，角直角的关系，根据点，是的三等分点，推出，再根据平角的定义，求出的度数即可． 【解析】解：∵点在上，点，是的三等分点， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【典例25】．如图，是弧所在圆的圆心．已知点B、C将弧AD三等分，那么下列四个选项中不正确的是（    ） A． B． C． D．． 【答案】B 【分析】利用三等分点得到，由此判断A；根据AB=BC=CD，得到AB+BC>AC，由此判断B；根据即可判断C；根据，得到，由此判断D． 【解析】解：连接AB、BC，OB， ∵点B、C将弧AD三等分， ∴， ∴，故A选项正确； ∵， ∴AB=BC=CD， ∵AB+BC>AC， ∴AC<2CD，故B选项错误； ∵， ∴，故C选项正确； ∵， ∴∠AOB=∠BOC=∠COD， ∴， ∴，故D选项正确； 故选：B． 【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦定理：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦中有一个量相等，另两个量也对应相等． 【典例26】．如图所示，在圆O中，如果（均小于），那么正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，正确把握相关定理是解题关键． 直接利用圆心角、弧、弦的关系得出各线段、角的关系即可解答． 【解析】解：取的中点，连接， ， ， ∵， ， ， ∵， ∴，故C正确； 故选：C． 题型5：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系与其他几何性质结合 【典例27】．如图，线段，分别为的弦，，，是的平分线，若，则弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，过点作垂直于的延长线，交于，作于，连接，，根据圆内接四边形的性质可得，由平分，可得，，，，再证明，，可得，，则，进而求得，可知，再由勾股定理即可求解，能根据角平分线正确作出辅助线是解此题的关键． 【解析】解：过点作垂直于的延长线，交于，作于，连接，， ∵平分，， ∴，，(圆内接四边形对角互补)， 则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴，则， ∴， 由勾股定理可得：，即：， ∴， 故选：D． 【典例28】．如图，点为上三点，，点为上一点，于，，，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧，弦，圆周角之间的关系，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，在上取一点F，使得，连接，由得到，进而证明，得到，由三线合一定理得到，则． 【解析】解：如图所示，在上取一点F，使得，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【典例29】．如图，四边形内接于，E为延长线上一点，连接，若，且，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，连接，由， 证明四边形是平行四边形，由可证明四边形是菱形，得再证明是等边三角形即可得出结论． 【解析】连接，如图， ∵， ， ∴四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是菱形， ∴， ∵ ∴，即是等边三角形， ∴， ∴, 故选：D 【典例30】．如图，以为直径的圆O中，点O为圆心，C为弧的中点，过点C作且．连接，分别交，于点E，F，与圆O交于点G，连接． (1)求证：； (2)连接，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，根据为半圆的中点可得，根据矩形的判定可得平行四边形为矩形，即可证明； （2）连接，，交于，结合（1）易知四边形为正方形，可证，得，再证垂直平分，进而证明，再根据角度之间的互余关系可得，即可则证明． 【解析】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵为半圆的中点， ∴，即， ∴平行四边形为矩形． ∴， ∴． （2）证明：连接，，交于， 由（1）可知平行四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆的基本性质，矩形、正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 一、单选题 1．下列说法中，正确的是（    ） A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等 【答案】B 【分析】根据圆心角，弦，弧之间的关系判断，注意条件． 【解析】A中，等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆； B中，等弧所对应的弦相等，故选B C中，圆心角相等所对应的弦可能互补； D中，弦相等，圆心角可能互补； 故选B 【点睛】本题考查了圆心角，弧，弦之间的观，此类试题属于难度较大的试题，其中，弦和圆心角等一些基本知识容易混淆，从而很难把握． 2．若C、D为半圆AB上三等分点,那么CD:AB为(  ) A．2∶ B．1∶ C．2∶1 D．1∶2 【答案】D 【分析】根据圆心角定理可得∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，则△OCD为等边三角形，即CD等于半径. 【解析】 ∵C、D为半圆AB上三等分点, ∴∠AOC=∠COD=∠BOD=60°， ∴△OCD为等边三角形， 则CD=OC=AB. 故选D. 【点睛】本题主要考查圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等. 3．下列说法中，不正确的是（    ） A．在同圆或等圆中，若两弧相等，则它们所对的弦相等 B．在同一个圆中，若弦长等于半径，则该弦所对的劣弧的度数为60° C．在同一个圆中，若两弧不等，则优弧所对的圆心角较大 D．若两弧的度数相等，则这两条弧是等弧 【答案】D 【分析】圆心角、弧、弦的关系是在同圆或等圆中发生的，因此在大小不等的两圆中，即使位于两圆中的两弧的度数相等，这两条弧也不是等弧，由此可知答案． 【解析】A. 在同圆或等圆中，若两弧相等，则它们所对的弦相等，此项说法正确，不符合题意； B.在同一个圆中，若弦长等于半径，则该弦所对的劣弧的度数为60°，此项说法正确，不符合题意； C. 在同一个圆中，若两弧不等，则优弧所对的圆心角较大，此项说法正确，不符合题意； D.在大小不等的两圆中，即使位于两圆中的两弧的度数相等，这两条弧也不是等弧，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，掌握圆的有关概念和性质是解题关键，要特别注意题干的要求． 4．如图, AB是⊙O的直径, CD是AO的垂直平分线, EF是OB的垂直平分线, 则下列结论正确的是  (  ) A．== B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，连接AD，OD，DF，OF，BF，根据垂直平分线的性质易证DF=DF=BF，再根据“在同圆或等圆中，所对的弦相等的两段弧是等弧”即可判断. 【解析】如图，连接AD，OD，DF，OF，BF， ∵CD是AO的垂直平分线, EF是OB的垂直平分线, ∴DF=CE=AB，AD=OD，OF=BF， ∴DF=DF=BF， 则==. 故选A. 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，等弧的判定，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 5．结合各自对应图形，给出的相应推理中，其中正确的是（    ） ∵ ∴ （1） ∵ ∴ （2） ∵ ∴ （3） ∵ ∴ （4） A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（4） 【答案】C 【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，即可判断． 【解析】（1）在⊙O中，∵，∴，∴（1）正确； （2）与不是同圆或等圆中的弧，由推不出，∴（2）不正确； （3）∵，∴∴；∴（3）正确； （4）弦与弦不是同圆或等圆中的弦，∴；（4）不正确 故选：C 【点睛】本题考查弧、弦与圆心角的关系，解题的关键是熟练掌握弧、弦、圆心角的关系进行判断正误． 6．如图，扇形OAB的圆心角为90°，点C、D是的三等分点，半径OC、OD分别与弦AB交于点E、F，下列说法错误的是( ) A．AE＝EF＝FB B．AC＝CD＝DB C．EC＝FD D．∠DFB＝75° 【答案】A 【解析】试题分析：利用点C，D是的三等分点，得出AC=CD=DB，∠AOC=∠COD=∠BOD=∠AOB=30°，再求出∠OBA的度数，利用外角求出∠BFD的度数，通过证△AOE≌△BOF，得出OE=OF，则EC＝FD.连接AC，在△ACE中，求证AE=AC，则可证CD=AE=BF，再根据CD>EF得AE、EF、FB 关系. 解：∵点C，D是的三等分点， ∴AC=CD=DB，∠AOC=∠COD=∠BOD=∠AOB=30°， ∴选项B正确； ∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OAB=∠OBA=45°， ∴∠AEC=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°，同理∠DFB=75°， 故选项D正确. ∴∠AEO=∠BFO， 在△AOE和△BOF中，∠AEO=∠BFO，∠AOC=∠BOD，AO=BO， ∴△AOE≌△BOF， ∴OE=OF， ∴EC＝FD,故选项C正确. 在△AOC中，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO=（180°-30°）=75°， ∴∠ACO=∠AEC， ∴AC=AE，同理BF=BD， 又∵AC=CD=BD， ∴CD=AE=BF， ∵在△OCD中，OE=OF，OC=OD， ∴EF<CD, ∴CD=AE=BF>EF，故A错误. 故选A． 7．如图，是的两条互相垂直的弦，且，过点O作于点M，于点N．若，则的半径为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】利用垂径定理，弦、弦心距的关系求得，，证明四边形是正方形，利用勾股定理即可求解． 【解析】解：∵，，， ∴，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， 连接，则． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，正方形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 8．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且点C为弧BAD的中点，连接CD、CB、OD，CD与AB交于点F．若∠AOD＝100°，则∠ABC的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】B 【分析】先根据邻补角的性质求出∠BOD，再根据点C为弧BAD的中点，求出∠BOC的度数，再根据等腰三角形的性质即可求出∠ABC的度数． 【解析】∵∠AOD＝100°， ∴∠BOD=180°-∠AOD＝80°， ∵点C为弧BAD的中点 ∴∠BOC=∠DOC=（360°-80°）=140° ∵OC=OB ∴∠ABC=∠BCO=（180°-140°）=20° 故选B． 【点睛】此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知圆心角、弧的关系． 9．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG=MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（    ） A．100° B．110° C．115° D．120° 【答案】C 【分析】过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，由于DE＝FG＝MN，所以弦的弦心距也相等，所以OB、OC是角平分线，根据∠A＝50°，先求出，再求出，进而可求出∠BOC． 【解析】解：过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K， ∵DE＝FG＝MN， ∴OP＝OK＝OQ， ∴OB、OC平分∠ABC和∠ACB， ，， ∵∠A＝50°， ∴， ∴ ， ∴∠BOC＝ 故选：C． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，角平分线的判定，三角形内角和，角平分线的定义，解题关键是构造出辅助线——弦心距． 10．如图，在中，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系，由逐一分析各选项即可得到答案． 【解析】解：∵， ∴，故A不符合题意； ∴， ∴，故B不符合题意； ∴，故C不符合题意； ∵不一定为的中点， ∴不一定成立，故D符合题意； 故选D 二、填空题 11．如图，OA，OB，OC，OD是⊙O的半径， （1）如果∠AOB＝∠COD，那么 ， = ，∠AOC ∠BOD； （2）如果AB＝CD，那么 = ， ； （3）如果=，那么 ， ， ． 【答案】 AB=CD， ， ， = ， ， ∠AOB=∠COD， AB＝CD， ∠AOB＝∠COD， = 【分析】根据在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等进行解答． 【解析】（1）∵∠AOB=∠COD， ∴AB=CD，=，∠AOC=∠BOD； （2）∵AB=CD， ∴=，∠AOB=∠COD； （3）∵=， ∴AB=CD，∠AOB=∠COD，=． 故答案为AB=CD，，，=，，，∠AOB=∠COD，AB=CD，∠AOB=∠COD，= 【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等． 12．如图，在两个同心圆中，为60°，则的度数为 ． 【答案】60° 【分析】根据圆心角定理可得∠AOB=60°，即∠COD=60°，则的度数为60°. 【解析】∵为60°， ∴∠AOB=60°， ∴∠COD=60°， 则的度数为60°. 故答案为60°. 【点睛】本题主要考查圆心角定理：圆心角的度数和它们对的弧的度数相等． 13．如图，在中， 弧与弧相等，，则 °． 【答案】30 【分析】由弧与弧相等推得弧和弧相等，再根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等，从而求出的度数． 【解析】解：∵弧与弧相等， ∴弧和弧相等， ∴； 故答案为：30． 【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握等弧所对的圆周角相等是解题的关键． 14．如图，⊙经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】利用等腰三角形的性质先求解，，再利用三角形的内角和定理可得，，再求解，从而可得答案. 【解析】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴弧的度数为． 故答案为40． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． 15．如图，AB为⊙O的直径，△PAB的边PA，PB与⊙O的交点分别为C、D．若，则∠P的大小为 度． 【答案】60 【分析】连接OC、OD，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，根据等边三角形的性质解答． 【解析】连接OC、OD， ∵， ∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°， ∵OA=OC，OB=OD， ∴△AOC和△BOD都是等边三角形， ∴∠A=60°，∠B=60°， ∴∠P=60°， 故答案为60． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 16．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若的度数为35°，则的度数是 ． 【答案】105°． 【分析】连接OD、OE，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AOD=35°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可． 【解析】解：连接OD、OE， ∵的度数为35°， ∴∠AOD=35°， ∵CD=CO， ∴∠ODC=∠AOD=35°， ∵OD=OE， ∴∠ODC=∠E=35°， ∴∠DOE=180°-∠ODC-∠E=180°-35°-35°=110°， ∴∠AOE=∠DOE-∠AOD=110°-35°=75°， ∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-75°=105°， ∴的度数是105°． 故答案为105°． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 17．如图,D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点,CD⊥OA,CE⊥OB,CD= CE, 则弧AC与弧CB弧长的大小关系是 . 【答案】相等 【分析】根据直角三角形的判定定理HL，可得出△COD≌△COE，则∠COD=∠COE，再根据在同圆中，相等的圆心角所对的弧也相等得出结论． 【解析】∵CD⊥OA、CE⊥OB， ∴∠CDO=∠CEO=90∘， ∵CD=CE，CO=CO， ∴△COD≌△C0E， ∴∠COD=∠COE， ∴=. 故答案为相等. 【点睛】考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定与性质，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键. 18．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4+8，点E为弧AB的中点，C为半径OA上一点，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，若点E′恰好落在半径OB上，则OE′＝ ． 【答案】 【分析】过点作于，过点作于，连接，如图，设，利用得到，，再利用点为弧的中点得到，所以，，接着证明△，则，，则可列方程，然后解方程求出，从而得到的长． 【解析】解：过点作于，过点作于，连接，如图， 设， ， ，， 点为弧的中点， ， ， ， 线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ，， ， 在和△中 ， △， ，， ， ，解得， ． 故答案为4． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、旋转的性质，解题的关键是在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 三、解答题 19．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，且AB＝CD，求证：BM＝DM． 【答案】详见解析 【分析】连接BD,根据AB＝CD得到＝，再根据公共弧得到＝，再得到∠D＝∠B，再利用等腰三角形的性质即可求解. 【解析】证明：连接BD． ∵AB＝CD ∴＝ ∴－＝－，即＝ ∴∠D＝∠B ∴BM＝DM 【点睛】此题主要考查圆周角的性质，解题的关键是熟知圆的基本性质. 20．如图，在⊙O中，弦AD与BC交于点E，且AD＝BC，连接AB、CD． 求证：（1）AB＝CD； （2）AE＝CE． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）欲证明AB=CD，只需证得＝；（2）连接AC，由＝得出∠ACB=∠CAD，再由等角对等边即可证的AE＝CE. 【解析】证明：（1）∵AD＝BC ∴＝ ∴－＝－ 即＝ ∴AB＝CD （2）连接AC ∵＝ ∴∠ACB＝∠DAC ∴AE＝CE 【点睛】本题考查了圆周角、弧、弦间的关系，注意（2）中辅助线的作法是求解（2）的关键. 21．已知：如图所示，AB，CD是的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且，求证：. 【答案】详见解析 【分析】过点O作于点M.由等腰三角形的性质可证，，从而可得，然后根据相等的圆心角所对的弧相等即可求得结论. 【解析】证明：如图，过点O作于点M. ， . 同理，. . . 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.也考查了等腰三角形三线合一的性质. 22．已知：如图，在⊙O中，弦AB与半径OE、OF交于点C、D，AC＝BD，求证： （1）OC＝OD： （2）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）证明：连接OA，OB，证明△OAC≌△OBD（SAS）即可得到结论； （2）根据△OAC≌△OBD，得到∠AOC＝∠BOD，即可得到结论． 【解析】（1）证明：连接OA，OB， ∵OA＝OB， ∴∠OAC＝∠OBD． 在△OAC与△OBD中， ∵， ∴△OAC≌△OBD（SAS）． ∴OC＝OD． （2）∵△OAC≌△OBD， ∴∠AOC＝∠BOD， ∴． 【点睛】此题考查同圆的半径相等的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形等边对等角的性质，相等的圆心角所对的弧相等的性质，正确引出辅助线证明△OAC≌△OBD是解题的关键． 23．如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在弧MB，弧MD上，且AB＝CD，点M是弧AC的中点． （1）求证：MB＝MD； （2）过O作OE⊥MB于E，OE＝1，⊙O的半径是2，求MD的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系得出即可； （2）根据垂径定理，勾股定理求出ME，进而求出MB即可． 【解析】证明：（1）∵AB＝CD， ∴， 又∵点M是弧AC的中点， ∴， ∴， 即：， ∴MB＝MD； （2）过O作OE⊥MB于E，则ME＝BE，连接OM， 在Rt△MOE中，OE＝1，⊙O的半径OM＝2， ∴ME＝＝＝， ∴MD＝MB＝2ME＝2． 【点睛】本题考查圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理、勾股定理等知识，掌握垂径定理、勾股定理是正确计算的前提． 24．如图所示，以的顶点A为圆心，为半径作圆，分别交，于点E，F，延长交于G． (1)求证：； (2)若劣弧所对圆心角的度数为，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，弧与圆心角的关系等知识点的应用，关键是求出． （1）要证明，则要证明，由等边对等角以及平行四边形性质即可证明； （2）根据劣弧所对圆心角的度数为，得到，于是得到，根据平行四边形的性质即可得到结论． 【解析】（1）解：如图，连接，   为圆心， ， ， 四边形为平行四边形， ， ，， ， ； （2）∵劣弧所对圆心角的度数为， ， ， 四边形为平行四边形， ， ． 25．如图，已知是的直径，点在上，且C是优弧的中点，过点C作于点D． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4 【分析】本题主要考查了弦、弧、圆心角的关系、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）如图：连接，延长交于点H．由弦、弧、圆心角的关系可得，进而得到直线垂直平分，则、，再证可得，即可证明结论； （2）根据三角形中位线的性质可得，设，则，然后根据勾股定理列方程求得R，最后根据线段的和差即可解答． 【解析】（1）解：如图：连接，延长交于点H． 是优弧的中点， ， ， ， 直线垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ， . （2）解：由（1）知， ∴， ． 设，则， ， （舍去）， ． 26．如图，在扇形AOB中，，C、D是上两点，过点D作交OB于E点，在OD上取点F，使，连接CF并延长交OB于G点． (1)求证：； (2)若C、D是AB的三等分点，： ①求； ②请比较GE和BE的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)①∠OGC=90°；②BE＞GE 【分析】（1）先由平行线得出∠COD=∠ODE，再用SAS证△OCF≌△DOE即可； （2）①先由C、D是的三等分点，∠AOB=90°，求得∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，由（1）知△OCF≌△DOE，所以∠OCF=∠DOE=30°，即可由三角形内角和求解； ②由①∠OGC=90°，∠OCF=∠DOE=30°，利用直角三角形的性质和勾股定理即可求得，OF=2，又∠OCF=∠COF=30°，所以CF=OF，又由△OCF≌△DOE，所以OE=CF=OF=2，即可求得，，再比较即可得出结论； 【解析】（1）解：∵DEOC， ∴∠COD=∠ODE， ∵OC=OD，OF=DE， ∴△OCF≌△DOE(SAS)； （2）解：①∵C、D是的三等分点，∠AOB=90°， ∴∠AOC=∠COD=∠BOD=30°， ∵△OCF≌△DOE， ∴∠OCF=∠DOE=30°， ∵∠COG=∠COD+∠DOB=60°， ∴∠OGC=90°． ②∵， ∴， 又∵∠DOE=30°， ∴OF=2， ∵∠OCF=∠COF=30°， ∴CF=OF， ∵△OCF≌△DOE， ∴OE=CF=OF=2， ∴，， ∵， ∴BE＞GE． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，圆的性质，圆心角、弧之间的关系，直角三角形的性质，勾股定理，求出∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，进而求得∠OGC=90°是解题词的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 43 页 学科网（北京）股份有限公司 $$