第3章圆的基本性质（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

第3章 圆的基本性质（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点一．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点二．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点三．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 知识点四．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 知识点五．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点六．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点七．相交弦定理 （1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）． 几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理）　　（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．　　　　几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）． 知识点八．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点九．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点十．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 知识点十一．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 知识点十二．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 知识点十三．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点十四．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 1、 逻辑推理——解决圆中的证明题 【例题1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，．求证：四点在同一个圆上．    【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，是弦，C是的中点，于点E．求证：． 【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的直径，，点是半圆上一动点，且与点分别在的两侧． (1)如图1，若，求的度数； (2)求证：． 【变式3】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，A，P，B，C是上的四个点，，交于点E． (1)判断的形状，证明你的结论； (2)①若P是的中点，求证：； ②若点P在上移动，判断是否成立，证明你的结论 2、 数学建模——利用构建方程模型求得线段的长度 【例题2】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，飞云江五桥外边沿呈圆弧状，已知弦，弓形的高度，则该桥的外边沿所在圆的半径长为（  ）    A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）中华饮食文化源远流长，“大碗面”是中华特色美食之一，图②是从正面看到的一个“大碗”（图①）的形状示意图．弧是的一部分，D是弧的中点，连接，与弦交于点C，连接，．已知，碗深，则的半径为（    ） A．12cm B．13cm C．16cm D．18cm 【变式2】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，为的直径，弦于点，若，，则的半径为 ． 【变式3】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图为一圆弧形钢梁，该钢梁的拱高为，跨径为． (1)作出该圆弧所在圆的圆心； (2)求这钢梁圆弧的半径长． 3、 分类讨论思想 【例题3】（2024九年级上·吉林·专题练习）已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知的半径为1，则长为的弦所对的圆周角的度数为(   ) A． B． C．或 D．无法确定 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是 的直径， 于点， 若 ，， 则的长为 ． 【变式3】（2024九年级·全国·专题练习）已知：的半径为，，是的两条弦，，，，求和之间的距离． 4、 直观想象——求不规则图形的面积 【例题4】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知矩形，的半径为3，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，正方形的边长为1；将其绕顶点按逆时针方向旋转一定角度到的位置，使得点落在对角线上，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在边长为2的正方形中，先以点为圆心，的长为半径画弧，再以边的中点为圆心，长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是 （结果保留）． 【变式3】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点求； (1)求弧的长； (2)求阴影部分的面积． 热点1：垂径定理与勾股定理的综合应用 【例题1】（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（    ） A．4 B． C．5 D． 【变式1】（2021·山东淄博·中考真题）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是（    ） A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸 【变式2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在中，直径于点E，，则弦的长为 ． 【变式3】（2023·浙江湖州·中考真题）如图，是的半径，弦于点D，连接．若的半径为，的长为，则的长是 ． 热点2：旋转的性质的应用 【例题2】（2024·四川广元·中考真题）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上，若，，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【变式1】（2024·天津·中考真题）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·江苏盐城·中考真题）如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时， ． 【变式3】（2024·北京·中考真题）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.    (1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 热点3：圆心角与圆周角的综合应用 【例题3】（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，是的直径，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·湖南·中考真题）如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（2024·陕西·中考真题）如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是 ．    【变式3】（2023·湖北武汉·中考真题）如图，都是的半径，．      (1)求证：； (2)若，求的半径． 热点4：圆周角综合定理的应用 【例题4】（2024·湖北·中考真题）如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024·江苏常州·中考真题）如图，是的直径，是的弦，连接．若，则 ． 【变式3】（2024·北京·中考真题）如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则    热点5：正多边形的计算 【例题5】（2024·四川·中考真题）如图，正六边形内接于，，则的长为（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式1】（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·浙江杭州·中考真题）如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则 ．    【变式3】（2022·辽宁营口·中考真题）如图，在正六边形中，连接，则 度． 热点6：弧长与扇形面积的计算 【例题6】（2024·贵州·中考真题）如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·山东青岛·中考真题）如图，是上的点，半径，，，连接，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，已知正六边形的边长为2，以点E为圆心，长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为 ． 【变式3】（2022·浙江衢州·中考真题）如图，是以为直径的半圆上的两点，，连结． (1)求证：． (2)若，，求阴影部分的面积． 一、单选题 1．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）在中，弦长为，圆心到的距离为，则的半径为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知是圆内接等腰三角形，它的底边长是8，若圆的半径是5，则的面积是（    ） A．32或16 B．32或8 C．8或16 D．24或32 3．（2024九年级上·吉林·专题练习）如图，是的直径，点和点是上的两点且位于直径的两侧．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，连接、，若，则的度数为（   ）度． A．15 B．25 C．35 D．45 5．（24-25九年级上·贵州·期中）如图，在中，①分别以弦的端点A，B为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点M；②作直线交于点N．若，则（　　） A．10 B．3 C．8 D．6 6．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，，现以三角形的一条边为直径作圆，圆与另外两条边所在的直线交于点D，E（D，E不与的顶点重合），则的长为（    ） A．或 B．或 C．或2π D．或 7．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在中，，，．以A为圆心为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是（   ）    A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约为，则的长约为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（22-23九年级上·广东湛江·期中）已知：如图，是的弦，的半径为5，于点D，交于点C，且，那么的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 二、填空题 11．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接，若，则等于 ． 12．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，为⊙O的弦，，则弦所对的圆周角的度数为 ． 13．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，弦垂直平分，是上一点，则等于 ．    14．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，为的直径，C为上半圆的一个动点，于点E，的角平分线交于点D．且的半径为5，连结，则 ；若弦的长为6，则 ． 15．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，为的内接三角形，O为圆心，于点D，于点E，若，则 ． 16．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）已知等边三角形的边长为4，点是边上的动点，将绕点逆时针旋转得到，则的形状为 ，点是边的中点，连接，则的最小值为 ． 17．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，则点到的距离是 ． 18．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，为的直径，为上半圆的一个动点，于点，的角平分线交于点．且的半径为5，连接，则 ；若弦的长为6，则 ． 三、解答题 19．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知正六边形的外接圆圆心为，半径． (1)求正六边形的边长； (2)求的长度． 20．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图所示，是的一条弦，，垂足为，交于点，点在上． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 21．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，的半径，是弦，是上一点，且，．求的度数． 22．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，点在上，顺次连接，且，． (1)求的度数； (2)若的半径为2，求的面积． 23．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，为的直径，，垂足为点F，．    (1)求度数； (2)求阴影部分的面积． 24．（2024九年级上·北京·专题练习）按要求画出图形： (1)作关于原点中心对称的图形得到； (2)作绕点逆时针旋转得到．且求出点到所经过的路线长． 25．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，请在网格图中进行下列操作； (1)利用网格作出该圆弧所在圆的圆心点的位置，并写出点的坐标为______； (2)求出弓形的面积． 26．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，内接于，为直径，的平分线交于点，交于点，于点，且交于点，连结、． (1)求证：； (2)求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 圆的基本性质（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点一．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点二．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点三．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 知识点四．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 知识点五．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点六．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点七．相交弦定理 （1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）． 几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理）　　（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．　　　　几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）． 知识点八．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点九．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点十．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 知识点十一．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 知识点十二．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 知识点十三．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点十四．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 1、 逻辑推理——解决圆中的证明题 【例题1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，．求证：四点在同一个圆上．    【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，圆的确定，熟练掌握知识点是解题的关键．连接，先由勾股定理得出的长度，再根据勾股定理逆定理得出，取的中点O，连接，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可证明． 【详解】证明：连接，      ∵， ∴， 又， ， ， 取的中点O，连接， ∴， ∴点在同一个圆上． 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，是弦，C是的中点，于点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，圆的弧，弦关系定理，圆周角定理等知识点，连接，过点C作于点F，先证出，得出，再证出，最后利用线段的和差关系即可得证，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】连接，过点C作于点F， 是的中点， ， ， ， 又， ， ， ∵， ， ， ． 【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的直径，，点是半圆上一动点，且与点分别在的两侧． (1)如图1，若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接，利用直径所对的圆周角是直角求出，从而可得，再根据已知，求出，进而求出答案； （2）过点作，交的延长线于点，利用手拉手模型﹣旋转性全等，证明，从而可得，，进而得到是等腰直角三角形，即可解答． 【详解】（1）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）证明：过点作，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（ASA）， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，A，P，B，C是上的四个点，，交于点E． (1)判断的形状，证明你的结论； (2)①若P是的中点，求证：； ②若点P在上移动，判断是否成立，证明你的结论 【答案】(1)是等边三角形，证明见解析 (2)详见解析；成立，证明见解析 【分析】（1）根据圆周角定理得到，，根据等边三角形的判定定理证明； （2）①证明垂直平分，得到为直径，根据三线合一和含30度角的直角三角形的性质，得到，即可得证； ②在上截取，得到为等边三角形，证明，根据全等三角形的性质，结合图形证明即可． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： 由圆周角定理得，，， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：①∵P是的中点， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴垂直平分， ∴为直径，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②成立，理由如下： 在上截取， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，中垂线的判定，含30度角的直角三角形，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 2、 数学建模——利用构建方程模型求得线段的长度 【例题2】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，飞云江五桥外边沿呈圆弧状，已知弦，弓形的高度，则该桥的外边沿所在圆的半径长为（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由题意可得，设圆的半径为，则有，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，设点为拱桥的圆心，则垂直平分，      ∵，，， ∴， 设圆的半径为， 则， ∴， ∴， ∴圆的半径长为， 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）中华饮食文化源远流长，“大碗面”是中华特色美食之一，图②是从正面看到的一个“大碗”（图①）的形状示意图．弧是的一部分，D是弧的中点，连接，与弦交于点C，连接，．已知，碗深，则的半径为（    ） A．12cm B．13cm C．16cm D．18cm 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，首先利用垂径定理的推论得出，再设的半径为，则，在中根据勾股定理列出方程，求出即可． 【详解】解:∵是的一部分，D是的中点，， ∴. ， 设的半径为，则， 在中，∵， ∴.， ∴， ∴， 即的半径为， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，为的直径，弦于点，若，，则的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．连接，设的半径为，根据垂径定理求出，根据勾股定理列式计算，得到答案． 【详解】解：连接， 设的半径为，则， ，为的直径，， ， 由勾股定理得，， 即， 解得，， 则的半径为5， 故答案为：5． 【变式3】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图为一圆弧形钢梁，该钢梁的拱高为，跨径为． (1)作出该圆弧所在圆的圆心； (2)求这钢梁圆弧的半径长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查作图应用与设计作图，垂径定理，勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （）在上取一点，连接，作线段，的垂直平分线交于点，点即为所求； （）过点作于点交一点．连接．设，利用勾股定理构建方程求解； 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：过点作一点交一点，连接， 设， ， ， 在中，， ， ， 这钢梁圆弧的半径长为． 3、 分类讨论思想 【例题3】（2024九年级上·吉林·专题练习）已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握并灵活运用垂径定理和勾股定理是解题的关键． 根据垂径定理和勾股定理，分别计算位于点的两侧时的长即可． 【详解】解：根据题意，作图1和图2，连接． 如图1、是直径，， ， 圆的半径为， 在中利用勾股定理，得， ， 在中利用勾股定理，得； 如图2、， ， 在中利用勾股定理，得． 综上，的长为或． 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知的半径为1，则长为的弦所对的圆周角的度数为(   ) A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理；根据题意画出图形，由垂直于，利用垂径定理得到为的中点，求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出，确定出三角形为等腰直角三角形，同理三角形为等腰直角三角形，确定出度数，利用圆周角定理以及圆内接四边形对角互补即可求出与的度数． 【详解】解：如图所示，   ， 为的中点，即， 在中，，， 根据勾股定理得：，即， 为等腰直角三角形， ， 同理， ， 与都是的圆周角， ， ∵四边形是圆内接四边形， ， 弦所对的圆周角为或， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是 的直径， 于点， 若 ，， 则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查勾股定理和垂径定理的应用，根据题意做出图形是本题的解题关键，注意分类讨论．结合垂径定理和勾股定理，在中，求得的长，则或，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接， 的直径， ， 于点， ， 在中，， ， 如图： 同理，可求得， 此时， 故的长是或， 故答案为：或． 【变式3】（2024九年级·全国·专题练习）已知：的半径为，，是的两条弦，，，，求和之间的距离． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，分两种情况进行讨论：①弦和在圆心同侧；②弦和在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时，如图1所示， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图2所示， ，， ，， ， ，， ； 综上所述：和之间的距离为或． 4、 直观想象——求不规则图形的面积 【例题4】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知矩形，的半径为3，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，根据矩形的性质可以求得的度数，然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面积． 【详解】矩形， ， ∵的半径为3， 图中阴影部分的面积是：， 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，正方形的边长为1；将其绕顶点按逆时针方向旋转一定角度到的位置，使得点落在对角线上，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质及旋转的性质，等腰三角形的判定；依据为等腰直角三角形，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：正方形的边长为1，将其绕顶点按逆时针方向旋转一定角度到位置，使得点落在对角线上， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在边长为2的正方形中，先以点为圆心，的长为半径画弧，再以边的中点为圆心，长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是 （结果保留）． 【答案】 【分析】该题主要考查了扇形面积计算，解题的关键是掌握扇形面积计算公式并能够正确表示出阴影部分面积． 根据题意有， 然后根据扇形的面积公式：和圆的面积公式分别计算扇形和半圆的面积即可． 【详解】解：根据题意得，， ，， ， 故答案为： 【变式3】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点求； (1)求弧的长； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查扇形的面积、等腰三角形的性质、弧长的计算，掌握扇形的面积和弧长的计算公式及等腰三角形的性质、平行线的判定与性质是解题的关键． （1）连接，利用等腰三角形的性质和平行线的判定与性质求出，再由弧长公式计算弧的长； （2）利用扇形和三角形的面积公式，根据“阴影部分的面积扇形的面积的面积”计算即可． 【详解】（1）解： 连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长， 弧的长是． （2）解： ， 阴影部分的面积是． 热点1：垂径定理与勾股定理的综合应用 【例题1】（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，弦的长为8，圆心O到的距离， ∴，， 在中，， 故选：B． 【变式1】（2021·山东淄博·中考真题）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是（    ） A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸 【答案】D 【分析】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由可求出，再设出圆的半径为，表示出，根据勾股定理建立关于的方程，解方程直接可得的值，即为圆的直径． 【详解】解：如图，连接， ，，且寸， 寸， 设圆的半径的长为，则， ， ， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ，化简得：， 即， 寸， 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确添加辅助线构造直角三角形是关键． 【变式2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在中，直径于点E，，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 由垂径定理得，设的半径为，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 【变式3】（2023·浙江湖州·中考真题）如图，是的半径，弦于点D，连接．若的半径为，的长为，则的长是 ． 【答案】3 【分析】根据垂径定理可得的长，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了垂径定理和勾股定理．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧． 热点2：旋转的性质的应用 【例题2】（2024·四川广元·中考真题）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上，若，，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得，，，推出是等腰直角三角形，，过点A作于点H，得到，利用勾股定理求出的长． 【详解】解：由旋转得，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形，， 过点A作于点H， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】（2024·天津·中考真题）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的． 【详解】解：记与相交于一点H，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∵ ∴在中， ∴ 故D选项是正确的，符合题意； 设 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵不一定等于 ∴不一定等于 ∴不一定成立， 故B选项不正确，不符合题意； ∵不一定等于 ∴不一定成立， 故A选项不正确，不符合题意； ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴ 故C选项不正确，不符合题意； 故选：D 【变式2】（2024·江苏盐城·中考真题）如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时， ． 【答案】或 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的性质的综合，掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质可得的值，作，根据平行线的性质可得是等腰直角三角形，可求出的长，在直角中，根据勾股定理可求出的长度，由此即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴在中，， ∵将绕点旋转得到， ∴， ∴，，， 如图所示，过于点， ∵∥， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 在中，， ∴， 当点D运动点F′时，此时， 同理可得，， ∴ 故答案为：或． 【变式3】（2024·北京·中考真题）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.    (1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，则，故，再根据等角的余角相等即可得到，故，最后等量代换出，即点是的中点； （2）在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，可证明，则，，则，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得到，则，而，故可等量代换出． 【详解】（1）证明：连接，    由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点； （2）解：， 在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 热点3：圆心角与圆周角的综合应用 【例题3】（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，是的直径，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出． 由圆周角定理得到，由邻补角的性质求出． 【详解】解：， ， ． 故选：D． 【变式1】（2024·湖南·中考真题）如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理可知，即可得到答案． 【详解】根据题意，圆周角和圆心角同对着， ， ， ． 故选：C． 【变式2】（2024·陕西·中考真题）如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是 ．    【答案】/90度 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理可得，结合三角形内角和定理，可证明，再根据等腰三角形的性质可知，由此即得答案． 【详解】是所对的圆周角，是所对的圆心角， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式3】（2023·湖北武汉·中考真题）如图，都是的半径，．      (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由圆周角定理得出，，再根据，即可得出结论； （2）过点作半径于点，根据垂径定理得出，证明，得出，在中根据勾股定理得出，在中，根据勾股定理得出，求出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ， ． （2）解：过点作半径于点，则， ， ∴， ， ， ， 在中， ， 在中，， ， ，即的半径是．      【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆周角定理． 热点4：圆周角综合定理的应用 【例题4】（2024·湖北·中考真题）如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查尺规作图，圆周角定理，熟练掌握角平分线的作图步骤以及圆周角定理是解答本题的关键．由圆周角定理得到，由直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可求得答案． 【详解】解：是半圆的直径， ， ， ， 由题意得，为的平分线， ． 故选：． 【变式1】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及三角形的外角性质．先根据垂径定理，求得，利用圆周角定理求得，再利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵半径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（2024·江苏常州·中考真题）如图，是的直径，是的弦，连接．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式3】（2024·北京·中考真题）如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则    【答案】55 【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由垂径定理得到，由得到，故． 【详解】解：∵直径平分弦， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 热点5：正多边形的计算 【例题5】（2024·四川·中考真题）如图，正六边形内接于，，则的长为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到，得到为等边三角形，进而得到，判断出为等边三角形是解题的关键． 【详解】解： ∵是正六边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 故选：C． 【变式1】（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，对顶角的性质，直角三角形的性质，连接，设与相交于点，由圆的内接正多边形的性质可得，，即得，即可由圆周角定理得，进而由三角形内角和定理得，再由直角三角形两锐角互余得到，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，设与相交于点， ∵正四边形和正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】（2023·浙江杭州·中考真题）如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则 ．    【答案】2 【分析】连接，首先证明出是的内接正三角形，然后证明出，得到，，进而求解即可． 【详解】如图所示，连接，    ∵六边形是的内接正六边形， ∴， ∴是的内接正三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， 又∵， ∴， ∴， 由圆和正六边形的性质可得，， 由圆和正三角形的性质可得，， ∵， ∴． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【变式3】（2022·辽宁营口·中考真题）如图，在正六边形中，连接，则 度． 【答案】30 【分析】连接BE，交CF与点O，连接OA，先求出，再根据等腰三角形等边对等角的性质，三角形外角的性质求解即可． 【详解】 连接BE，交CF与点O，连接OA， 在正六边形中， ， ， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 热点6：弧长与扇形面积的计算 【例题6】（2024·贵州·中考真题）如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长，根据弧长公式∶求解即可． 【详解】解∵，， ∴的长为， 故选∶C． 【变式1】（2024·山东青岛·中考真题）如图，是上的点，半径，，，连接，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定义，扇形的面积，连接，由圆周角定理可得，进而得，再根据扇形的面积计算公式计算即可求解，掌握圆周角定理及扇形的面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，已知正六边形的边长为2，以点E为圆心，长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多形的内角和和内角以及弧长公式，根据六边形是正六边形，根据正多边内角和等于，求出内角，再根据弧长公式即可得出答案． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∴， 故答案为： 【变式3】（2022·浙江衢州·中考真题）如图，是以为直径的半圆上的两点，，连结． (1)求证：． (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到∠ACD＝∠DBA，根据 ∠CAB＝∠DBA得到∠CAB＝∠ACD，进而得到结论； （2）连结OC，OD，证明所求的阴影部分面积与扇形的面积相等，继而得到结论． 【详解】（1）证明：∵=， ∴∠ACD＝∠DBA，      又∠CAB＝∠DBA， ∴∠CAB＝∠ACD，   ∴； （2）解：如图，连结OC，OD． ∵∠ACD＝30°， ∴∠ACD＝∠CAB＝30°， ∴∠AOD＝∠COB＝60°, ∴∠COD＝180°-∠AOD-∠COB＝60°． ∵， ∴S△DOC=S△DBC，                              ∴S阴影=S弓形COD+S△DOC=S弓形COD+S△DBC=S扇形COD， ∵AB＝4， ∴OA＝2， ∴S扇形COD=．                       ∴S阴影=． 【点睛】本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定，掌握定理以及公式是解题的关键． 一、单选题 1．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）在中，弦长为，圆心到的距离为，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，连接，作，根据垂径定理和勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图：连接，作， ∵圆心到的距离为， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理可得：的半径， 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知是圆内接等腰三角形，它的底边长是8，若圆的半径是5，则的面积是（    ） A．32或16 B．32或8 C．8或16 D．24或32 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆，等腰三角形的性质和勾股定理等知识的综合应用，分类讨论是解答本题的关键；已知是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，若过A作底边的垂线，则所在直线必过圆心O；在中，由勾股定理可求出的长，进而可求出的面积，需注意本题的分锐角和钝角三角形两种情况． 【详解】解：如图①，过A作于D，则必过点O，连接， 在中，， 由勾股定理得：，则， ； 如图②， 同（1）可求得，则， ， 综上，的面积是32或8， 故选：B． 3．（2024九年级上·吉林·专题练习）如图，是的直径，点和点是上的两点且位于直径的两侧．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握并灵活运用圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理求出的度数，从而求出的度数即可． 【详解】解：， ， 是直径， ， ． 故选：A． 4．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，连接、，若，则的度数为（   ）度． A．15 B．25 C．35 D．45 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理、直径的性质等知识，连接，利用直径的性质，可知，根据角的和差求出，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．（24-25九年级上·贵州·期中）如图，在中，①分别以弦的端点A，B为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点M；②作直线交于点N．若，则（　　） A．10 B．3 C．8 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图，作线段的垂直平分线，圆的基本知识，勾股定理，掌握这些知识点是关键；由作图知，垂直平分，则；由勾股定理即可求解． 【详解】解：由作图知，垂直平分， ∴； 在中，； 故选：D． 6．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，，现以三角形的一条边为直径作圆，圆与另外两条边所在的直线交于点D，E（D，E不与的顶点重合），则的长为（    ） A．或 B．或 C．或2π D．或 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，等腰三角形的性质等，分两种情况讨论，作出图形，根据等腰三角形的性质，利用圆周角定理求得∠DOE的度数，然后求得圆O的半径，利用弧长公式求得即可． 【详解】解：如图1，以为直径作，交于D，交、的延长线于点D、E，连接、， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，O是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 如图2，以为直径作，交于D，交的延长线于E，连接、， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 综上，的长为或， 故选：A． 7．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在中，，，．以A为圆心为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式、三角形内角和定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握扇形面积公式是解题的关键． 在中，根据直角三角形的性质可得、，再根据勾股定理可得，最后根据计算即可解答． 【详解】解：∵中，，，， ∴，， ∴, ． 故选：D． 8．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约为，则的长约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆的性质和等边三角形的判定与性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键． 连接与交于点，证明为等边三角形，从而，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接与交于点， ∵为正六边形， ， ∴为等边三角形， ， ∵正六边形的周长约为， ， ， 故选：A． 9．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，正方形及等边三角形的性质、圆周角定理和弧的度数，根据圆周角定理求出所对的圆心角的度数是解决本题的关键． 由，，已知图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形，求得，则所对的圆心角为，所以的度数为． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴，， ∵已知图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形， ∴， ∵是所对的圆周角， ∴所对的圆心角等于， ∴的度数为， 故选B． 10．（22-23九年级上·广东湛江·期中）已知：如图，是的弦，的半径为5，于点D，交于点C，且，那么的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识．连接，根据垂径定理得到，利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵于点D， ∴， 在中，， 即， 解得：. ∴ 故选：C． 二、填空题 11．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接，若，则等于 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，先由垂径定理得到E为的中点，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵是的直径，弦， ∴E为的中点，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 故答案为：16． 12．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，为⊙O的弦，，则弦所对的圆周角的度数为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．首先根据，可得，然后根据三角形的内角和定理，求得，最后根据圆周角定理，求出弦所对的圆周角是多少即可． 【详解】解：， ， ， 弦所对的圆周角的度数是：； 弦所对的优弧的度数为：， 弦所对的圆周角的度数是：； 综上，弦所对的圆周角的度数是或， 故答案为：或． 13．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，弦垂直平分，是上一点，则等于 ．    【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出是等边三角形，由圆周角定理推出，．由线段垂直平分线的性质推出，得到是等边三角形，因此，由圆周角定理推出，，即可得到． 【详解】解：连接，   垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ， 是圆的直径， ， ． 故答案为：． 14．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，为的直径，C为上半圆的一个动点，于点E，的角平分线交于点D．且的半径为5，连结，则 ；若弦的长为6，则 ． 【答案】 【分析】如图1，连接，由是的角平分线，可得，由，可得，则，，，由勾股定理得，；如图1，过点A作于点F，由，可得，由勾股定理得，，可求，由勾股定理得，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图1，连接． ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，； 如图1，过点A作于点F， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 由勾股定理得，， 解得，， 由勾股定理得， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理，圆周角定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理，圆周角定理是解题的关键． 15．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，为的内接三角形，O为圆心，于点D，于点E，若，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了三角形中位线判定和性质，圆的垂径定理，熟记相关定理是解题的关键．由于点，于点，根据垂径定理可得，根据三角形中位线定理可得，即可得出结论． 【详解】解：∵为的内接三角形，于点，于点， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：10． 16．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）已知等边三角形的边长为4，点是边上的动点，将绕点逆时针旋转得到，则的形状为 ，点是边的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 等边三角形 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质，即可得到，，，可得的形状，当时，的长最小，再根据勾股定理，即可得到的最小值． 【详解】解：如图，由旋转可得，，， 是等边三角形， 又， ， 点是边的中点， ， 当时，的长最小， 此时，， ， ， 的最小值是， 故答案为：等边三角形，． 17．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，则点到的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的旋转、直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半．解决本题的关键是作辅助线构造一个含角的直角三角形，然后再利用直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半求解． 【详解】解：如下图所示 连接，过点作于点， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 在中，， 点到的距离是． 故答案为： ． 18．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，为的直径，为上半圆的一个动点，于点，的角平分线交于点．且的半径为5，连接，则 ；若弦的长为6，则 ． 【答案】 【分析】连接、，过点作交于点，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质证明，在中利用勾股定理求出即可；利用圆周角定理求出，从而证明是等腰直角三角形，进而求出、的值，在中利用勾股定理求出，从而由计算出即可． 【详解】解：连接、，过点作交于点，如下图， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， 又∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∵，且， 即，解得， 在中，利用勾股定理，得， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键． 三、解答题 19．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知正六边形的外接圆圆心为，半径． (1)求正六边形的边长； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，关键是掌握弧长公式，正多边形的性质． （1）求出正六边形的中心角，得到是等边三角形，得到； （2）求出的度数，由弧长公式即可求出的长． 【详解】（1）解：连接，，， ∵正六边形的外接圆圆心为， ∴，， ∴是等边三角形， ， 即正六边形的边长； （2）∵， ， ， 的长． 20．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图所示，是的一条弦，，垂足为，交于点，点在上． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆周角定理的推论，垂径定理和勾股定理，关键是掌握并熟练应用以上知识点． （1）由垂径定理得，由圆周角定理推论可求； （2）由垂径定理得，应用勾股定理即可计算． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴， ∴； （2）（2）∵， ∴， 在中，由勾股定理可得 ， ∴， ∴， ∴． 21．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，的半径，是弦，是上一点，且，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理与外角的性质． 连接，由得到，由得到，从而，由得到，进而即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 22．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，点在上，顺次连接，且，． (1)求的度数； (2)若的半径为2，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆中弧、弦、角的关系，垂径定理以及勾股定理等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据即可求解； （2）求出的度数可得，过点作交于点，连接，分别求出即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ． （2）解：∵，， ∴， ， 如图，过点作交于点，连接， 则过， 由（1）可得． 因为 ∴是等边三角形， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴． 23．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，为的直径，，垂足为点F，．    (1)求度数； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理、扇形的面积计算等知识点，利用解直角三角形的知识求出的度数是解答本题的关键． （1）如图：连接，根据垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的性质可得，再结合对顶角相等可得，最后运用三角形内角和即可解答； （2）如图：连接，根据（1）可求出，在中，由三角形的性质以及勾股定理可得、，然后根据即可解答． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵为的直径，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，，解得：．    （2）解：如图：连接， 由（1）知，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 24．（2024九年级上·北京·专题练习）按要求画出图形： (1)作关于原点中心对称的图形得到； (2)作绕点逆时针旋转得到．且求出点到所经过的路线长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题主要考查了作图-旋转变换、中心对称变换、求弧长等知识，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和中心对称的性质． （1）分别作出关于原点对称的对应点，顺次连接即可； （2）分别作出绕点逆时针旋转的对应点，再顺次连接，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求． 点旋转到所经过的路线是弧， ∵，， ∴的长， ∴点到所经过的路线长是． 25．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，请在网格图中进行下列操作； (1)利用网格作出该圆弧所在圆的圆心点的位置，并写出点的坐标为______； (2)求出弓形的面积． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理以及扇形面积的计算： （1）根据网格和正方形的性质，分别作出两条弦的垂直平分线，两条中垂线的交点即为圆心，进而得到坐标； （2）利用网格以及勾股定理和逆定理得到以及半径，根据弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积进行计算即可； 掌握扇形面积的计算方法，理解垂径定理是解题的关键． 【详解】（1）解：连接，分别作两条弦的垂直平分线，交点即为点D，如图所示： ， 则点， 故答案为：； （2）解：连接，如图所示： ， 由图可得， ， ， ∵， ∴是直角三角形，即， ∴， ， 则弓形的面积=． 26．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，内接于，为直径，的平分线交于点，交于点，于点，且交于点，连结、． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再利用等弧所对的圆周角相等可得，然后利用等量代换即可解答； （2）根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用同角的余角相等可得，然后利用三角形外角的性质可得，从而可得，最后根据等角对等边，即可解答． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ； （2）证明：为的直径， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，三角形外角的性质，等角对等边等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$