3.1.1椭圆及其标准方程同步练习-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第一册

3.1.1　椭圆及其标准方程（同步练习） 一、选择题 1.点P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2为该椭圆的两个焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　) A.13 B.1 C.7 D.5 2.若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(　　) A.(0，＋∞) B.(0,2) C.(1，＋∞) D.(0,1) 3.已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是(　　) A.＋x2＝1 B.＋y2＝1或x2＋＝1 C.＋y2＝1 D.以上都不对 4.设P为椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则|PF1|·|PF2|的最大值是(　　) A.4 B.6 C.9 D.12 5.椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为(　　) A.± B.± C.± D.± 6.方程＋＝1表示椭圆的充要条件是(　　) A.m∈(－4，－1) B.m∈(－4，－1)∪(－1,2) C.m∈(－4,2) D.m∈(－1，＋∞) 7.已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是(　　) A.＋＝1(x≠0) B.＋＝1(x≠0) C.＋＝1(x≠0) D.＋＝1(x≠0) 8.(多选)设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹可能是(　　) A.圆 B.线段 C.椭圆 D.直线 9.(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3,0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是(　　) A.当a＝2时，点P的轨迹不存在 B.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3 C.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6 D.当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆 二、填空题 10.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为_________________ 11..椭圆C：＋y2＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上异于左、右顶点的任意一点，PF1，PF2的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为4，则△PF1F2的周长是________ 12.已知椭圆C：＋＝1，点M与椭圆C的焦点不重合．若点M关于椭圆C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在椭圆C上，则 |AN|＋|BN|＝______ 13.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦点为F1，F2，如果椭圆C上存在一点P，使得·＝0，且△PF1F2的面积等于6，则实数b的值为________，实数a的取值范围为________ 三、解答题 14.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点； (3)经过点P，Q. 15.已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． 16.已知椭圆M与椭圆N：＋＝1有相同的焦点，且椭圆M过点. (1)求椭圆M的标准方程； (2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标． 参考答案及解析： 一、选择题 1.D 解析：由已知得a＝4，|PF2|＝2a－|PF1|＝8－3＝5. 2.D 解析：∵方程x2＋ky2＝2，即＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，∴>2，故0<k<1. 3.A 解析：设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，由题意得 解得所以此椭圆的标准方程为＋x2＝1. 4.C 解析：|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，|PF1|·|PF2|≤＝9，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝3时取等号． 5.D 解析：∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)， ∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3，∵点P在椭圆上，∴＋＝1，即y2＝，∴y＝±. ∴点M的纵坐标为±. 6.B　解析：方程＋＝1表示椭圆的充要条件是解得m∈(－4，－1)∪(－1,2)．故选B． 7.B　解析：由题意得|BC|＝8，故|AB|＋|AC|＝12＞|BC|．所以顶点A的轨迹是以B(0，－4)，C(0,4)为焦点的椭圆(去掉点(0，－6)，(0,6))．设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则a＝6，c＝4，所以b2＝a2－c2＝20．故椭圆的方程为＋＝1(x≠0)． 8.BC 9.AC 解析：当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确； 当a＝4时，2a＝8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确； 当a＝3时，2a＝6＝|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误． 二、填空题 10.答案：＋x2＝1 解析：由已知2a＝8,2c＝2，所以a＝4，c＝，所以b2＝a2－c2＝16－15＝1. 又椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋x2＝1. 11.答案：4＋2 解析：因为M，O，N分别为F1P，F1F2，PF2的中点，所以MO∥PN，|MO|＝|PN|，则四边形OMPN是平行四边形，所以|MP|＝|ON|，由四边形OMPN的周长为4可知，|PF1|＋|PF2|＝2(|PM|＋|PN|)＝4，即2a＝4，所以a＝2，则c＝＝，于是△PF1F2的周长是2a＋2c＝4＋2. 12.答案：12 解析：如图，设MN的中点为G，G在椭圆C上， 因为点M关于椭圆C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|， 所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12. 13.答案：，[2，＋∞)　 解析：由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a．又·＝0，△PF1F2的面积等于6， ∴|PF1|·|PF2|＝6，即|PF1|·|PF2|＝12．由(|PF1|＋|PF2|)2＝4a2，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2， 可得4c2＋24＝4a2，∴b＝．由基本不等式得(|PF1|＋|PF2|)2≥4|PF1|·|PF2|，当且仅当|PF1|＝|PF2|时，等号成立，即4a2≥4×12，又a＞0，∴a≥2．∴a的取值范围为[2，＋∞)． 三、解答题 14.解：(1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以解得 所以所求的椭圆的标准方程为＋x2＝1. (2)由题意得椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由椭圆的定义知，2a＝＋ ＝2，即a＝， 又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (3)①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 依题意，有解得 由a>b>0，知不符合题意，故舍去； ②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 依题意，有解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 15.解：由已知得a＝2，b＝，所以c＝＝＝3，从而|F1F2|＝2c＝6， 在△F1PF2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.① 由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4，即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.② 由①②得|PF1|·|PF2|＝4. 所以＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝. 16.解：(1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2,0)，(2,0)， 设椭圆M的方程为＋＝1(a>b>0)，则化简并整理得5b4＋11b2－16＝0， 故b2＝1或b2＝－(舍去)，a2＝5， 故椭圆M的标准方程为＋y2＝1. (2)由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×4×|y0|＝1，解得y0＝±. 又＋y＝1，所以x＝，x0＝±， 所以点P有4个，它们的坐标分别为，，，. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$