天津市新华中学2024届高三上学期第二次月考数学试题

新华中学2024届高三年级第一学期第二次月考 数学学科 本试题分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分,用时120分钟。 将自己的姓名、准考号填写在答题卡上。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第 卷 一、单选题(本大题共9小题,共45.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项) 1.设全集,集合,,则( ) A. B. C. D. 2.“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.函数的部分图象如图所示,则的解析式可能是( ) A. B. C. D. 4.设,是空间两条不同的直线,,是空间两个不同的平面给出下列四个命题: 若,,,则;若,,,则; 若,,,则;若,,,,则. 其中正确命题的个数是( ) A. B. C. D. 5.设函数,若,,,则,,的大小为( ) A. B. C. D. 6.已知数列的前项和为,且,则( ) A. B. C. D. 7.已知四棱锥的体积为,侧棱底面,且四边形是边长为的正方形,则该四棱锥的外接球的表面积为( ) A. B. C. D. 8.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,抛物线的准线交双曲线于,两点,交双曲线的渐近线于、两点,若则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 9.已知函数的部分图像如图,将函数的图像所有点的横坐标伸长到原来的倍,再将所得函数图像向左平移个单位长度,得到函数的图像,则下列关于函数的说法正确的个数为( ) 点是图像的一个对称中心;是图像的一条对称轴; 在区间上单调递增; 若,则的最小值为; A. B. C. D. 第 卷 二、填空题(本大题共6小题,共30.0分) 10.已知是虚数单位,复数满足,则 . 11.若斜率为的直线与轴交于点,与圆相切于点,则 . 12.在三棱锥中,线段上的点满足,线段上的点满足,则三棱锥和三棱锥的体积之比为 . 13.若,且,则此时 ,的最小值为 . 14.在平面四边形中,,,向量在向量上的投影向量为,则 ;若,点为线段上的动点,则的最小值为 . 15.设,函数恰有三个零点,则的取值集合为 . 三、解答题(本大题共5小题,共75.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.本小题分 已知,,分别为三个内角,,的对边,且. 求; 若,求的值; 若的面积为,,求的周长. 17.本小题分 如图,在四棱锥中,平面,底面是直角梯形,其中,,,,为棱上的点,且. 求证:平面; 求点到平面的距离; 设为棱上的点不与,重合,且直线与平面所成角的正弦值为,求的值. 18.本小题分 已知椭圆过点,且离心率为 求椭圆的方程; 若过原点的直线与椭圆交于两点,且在直线上存在点,使得为等边三角形,求直线的方程. 19.本小题分 等差数列的前项和为,数列是等比数列,满足,,,. 求数列和的通项公式; 若数列满足,求数列的前项和; 求的最大值和最小值. 20.本小题分 已知函数. 当时,求曲线在点处的切线方程; 求的单调区间; 若函数有两个极值点,求证:.