第4章 相似三角形 微专题突破《专题10 相似三角形判定的综合》课件 2024—2025学年浙教版数学九年级上册

让天下学子共享优质教育！ 专题10 相似三角形判定的综合 微专题突破 浙教版 九年级上册 解：∵AB2＝AD·AC， 又∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB， ∴∠C＝∠ABD＝40°. 【教材母题】 (教材P136作业题第5题) 如图，在△ABC中，D是AC上一点．已知AB2＝AD·AC，∠ABD＝40°.求∠C的度数. 题型探究 【变式1】 1．如图，D为△ABC的边AB上一点，AD＝2，BD＝6，AC＝4.求证：△ACD∽△ABC. 题型探究 证明：∵AD＝2，BD＝6， ∴AB＝8， 又∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC. 题型探究 【变式2】2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点E，点F在边AB上，连结CF交线段BE于点G，CG2＝EG·DG，连结EF.求证： (1)∠ACF＝∠ABD. (2)EF·CG＝EG·BC. 题型探究 证明：(1)∵CG2＝EG·DG， 又∵∠EGC＝∠CGD， ∴△GEC∽△GCD， ∴∠GCE＝∠GDC. ∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠GDC， ∴∠ACF＝∠ABD. 题型探究 (2)∵∠ABD＝∠ACF， ∠BGF＝∠CGE， 题型探究 1. 如图，在△ABC中，点D在AB上，下列条件中，能使△CBD 和△ABC相似的是(　　) A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C．AC2＝AD·AB D．BC2＝BD·BA D 学以致用 2. 如图的图形及各个选项均是由边长为1的小正方形 组成的网格，三角形的顶点均在小正方形的顶点上， 则阴影部分与△ABC相似的是(　　) A A B C D 学以致用 3. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD. (1)求证：DE＝AF. (2)若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF·CE. 学以致用 证明：(1)∵AD∥BC， ∴∠ACF＝∠DAC. 又∵∠FAC＝∠ADE，AC＝AD， ∴△ACF≌△DAE(ASA)， ∴AF＝DE. 学以致用 (2)∵△ACF≌△DAE，∴∠AFC＝∠DEA， ∴∠AFB＝∠DEC. 又∵∠ABC＝∠CDE，∴△ABF∽△CDE， 又∵DE＝AF，∴AF2＝BF·CE. 学以致用 4. 如图，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DCE＝90°，点E在线段AC上，BC，DE相交于点F，连结BE，BD，过点E作EH⊥BD，垂足为H，交BC于点G. 学以致用 证明：(1)∵△ABC，△CDE是等腰直角三角形， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°， ∠CED＝∠CDE＝45°， ∴∠CFE＝180°－∠ACB－∠CED＝90°. 学以致用 (2)由(1)，得∠CFE＝90°， ∴CF⊥DE，∴∠BFD＝∠EFG＝∠BHE＝90°. 又∵∠BGH＝∠EGF， ∴∠DBF＝∠FEG，∴△EFG∽△BFD. 学以致用 (3)如答图，作BQ∥AC，交EH的延长线于点Q， 设∠DBF＝∠FEG＝α， 由(1)知，BC是DE的垂直平分线， ∴BE＝BD，∴∠EBF＝∠DBF＝α， 学以致用 ∴∠AEB＝∠ACB＋∠EBF＝45°＋α， ∠CEH＝∠CED＋∠FEG＝45°＋α， ∴∠AEB＝∠CEH，∴∠Q＝∠QBE， 学以致用 5. 如图，在正方形ABCD中，点E在边BC，CD上运动(不与正方形顶点重合).作射线AE，将射线AE绕点A逆时针旋转45°，交射线CD于点F，过点E作EG⊥AF，垂足为G，连结DG. (1)求∠GDC的度数． 备用图 学以致用 解：(1)分情况讨论： ①当点E在BC边上时，如答图1，过G点作MN⊥AD于点M，交BC于点N， ∴∠AMG＝∠DMG＝∠GNE＝∠GNC＝90°， ∴四边形CDMN是矩形， ∴∠AGM＋∠MAG＝90°. ∵EG⊥AF，∴∠AGE＝90°， ∴∠AGM＋∠EGN＝90°， ∴∠EGN＝∠MAG. 答图1 学以致用 ∵∠EAF＝45°，∴△AEG是等腰直角三角形， ∴AG＝EG，∴△AMG≌△GNE(AAS)， ∴AM＝GN. ∵AM＋MD＝GN＋MG，∴MD＝MG， ∴△MDG为等腰直角三角形， ∴∠MDG＝45°，∴∠GDC＝45°； 学以致用 ②当点E在CD边上时，如答图2，过点G作GN⊥DF于点N，延长NG交BA延长线于点M， ∴四边形ADNM是矩形， 同理可得△AMG≌△GNE(AAS)， ∴GN＝AM＝DN， ∴△NDG为等腰直角三角形， ∴∠GDN＝45°， ∴∠GDC＝180°－45°＝135°. 综上所述，∠GDC的度数为45°或135°. 答图2 学以致用 (2)当点F在CD的延长线上时，点E在CD边上． 学以致用 ∵CE＝CD，∴EF＝DF＝DE. ∵BH＝DH，EH⊥BD， ∴BE＝DE，∴EF＝BE. (2)在(1)的条件下，当点F在 边CD的延长线上，且DF＝ DG时，求的值． $$