3.4.1相似三角形的判定 同步练习 2024-2025学年 湘教版数学九年级上册

十八　相似三角形的判定(第1课时) 知识点1　利用平行线判定三角形相似 1．如图，△ABC中，DE∥AB，DE与AC，BC的交点分别为D，E，若＝，则等于( ) A． B． C． D．. 2．(2023·哈尔滨中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，A，B，C，D把OE五等分，且AA′∥BB′∥CC′∥DD′∥EE′，若EE′＝20 cm，那么B′B＝__ __ __；DD′＝__ __ __． 知识点2　相似三角形判定定理1 4．如图，▱ABCD中，∠DEF＝∠A，DE∶EA＝2∶3，EF＝6，则CD的长为( ) A．15 B．10 C．8 D．16 5．如图，若∠BAD＝∠CAE，∠E＝∠C，则__ __∽__ __． 6．(2024·岳阳质检)如图，∠ADE＝∠B，若AE＝1，AC＝DE＝2，则BC的长为__ __． 7．如图，在△ABC中，四边形DBFE是平行四边形．求证：△ADE∽△EFC. 8．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC上一点，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C. 求证：△ABF∽△EAD. 9．(2023·湘西州中考)如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，则CD的长是( ) A．14 B．12.4 C．10.5 D．9.3 10．如图，在△ABC中，AB＝15 cm，AC＝12 cm，AD是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AC的延长线于点E，那么CE等于( ) A．32 cm B．24 cm　　 C．48 cm　　 D．64 cm 11．如图，已知菱形ABCD的边长为3，延长AB到点E，使BE＝2AB，连接EC并延长交AD的延长线于点F，则DF的长为__ __． 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N.若AC＝2，则MN的长为__ __． 13．(2023·南京中考)如图，AC与BD交于点O，OA＝OD，∠ABO＝∠DCO，E为BC延长线上一点，过点E作EF∥CD，交BD的延长线于点F. (1)求证△AOB≌△DOC； (2)若AB＝2，BC＝3，CE＝1，求EF的长． 【加固训练】 如图，点M是AB上一点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G. (1)求证：△AMF∽△BGM； (2)请你再写出两对相似三角形． (选做) 14．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P，AE＝CF. (1)求证：AF＝BE，并求∠APB的度数． (2)若AE＝2，试求AP·AF的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 十八　相似三角形的判定(第1课时) 知识点1　利用平行线判定三角形相似 1．如图，△ABC中，DE∥AB，DE与AC，BC的交点分别为D，E，若＝，则等于(B) A． B． C． D． 【解析】∵DE∥AB，＝， ∴△CDE∽△CAB，∴＝＝. 2．(2023·哈尔滨中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为(B) A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】∵DE∥BC， ∴＝， ∵AD＝2，BD＝3，AC＝10，∴＝， ∴AE＝4. 3．如图，A，B，C，D把OE五等分，且AA′∥BB′∥CC′∥DD′∥EE′，若EE′＝20 cm，那么B′B＝__8__cm__；DD′＝__16__cm__． 【解析】∵A，B，C，D把OE五等分，且AA′∥BB′∥CC′∥DD′∥EE′， ∴OA′＝A′B′＝B′C′＝C′D′＝D′E′， ＝，＝，又EE′＝20 cm， ∴B′B＝20×＝8(cm). DD′＝20×＝16(cm). 知识点2　相似三角形判定定理1 4．如图，▱ABCD中，∠DEF＝∠A，DE∶EA＝2∶3，EF＝6，则CD的长为(A) A．15 B．10 C．8 D．16 【解析】∵∠DEF＝∠A，∠EDF＝∠ADB， ∴△DEF∽△DAB， ∴EF∶AB＝DE∶DA＝2∶5， ∴6∶AB＝2∶5，∴AB＝15， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝15. 5．如图，若∠BAD＝∠CAE，∠E＝∠C，则__△ABC__∽__△ADE__． 【解析】∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE. 又∵∠E＝∠C，∴△ABC∽△ADE. 6．(2024·岳阳质检)如图，∠ADE＝∠B，若AE＝1，AC＝DE＝2，则BC的长为__4__． 【解析】∵∠ADE＝∠B，∠EAD＝∠CAB， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝，∴＝， ∴BC＝4. 7．如图，在△ABC中，四边形DBFE是平行四边形．求证：△ADE∽△EFC. 【证明】∵四边形DBFE是平行四边形， ∴DE∥BC，EF∥AB， ∴∠CEF＝∠A，∠AED＝∠C， ∴△ADE∽△EFC. 8．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC上一点，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C. 求证：△ABF∽△EAD. 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAF＝∠AED，且∠C＋∠D＝180°， 又∵∠BFE＋∠BFA＝180°，∠BFE＝∠C， ∴∠BFA＝∠D， ∴△ABF∽△EAD. 9．(2023·湘西州中考)如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，则CD的长是(C) A．14 B．12.4 C．10.5 D．9.3 【解析】∵EB＝1.6，BC＝12.4， ∴EC＝EB＋BC＝14， ∵AB⊥EC，∴∠ABE＝90°， ∵∠C＝90°，∴∠ABE＝∠C， 又∵∠E＝∠E， ∴△ABE∽△DCE，∴＝， 即＝， 解得：CD＝10.5. 10．如图，在△ABC中，AB＝15 cm，AC＝12 cm，AD是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AC的延长线于点E，那么CE等于(C) A．32 cm B．24 cm　　 C．48 cm　　 D．64 cm 【解析】如图： ∵AD是∠BAC的外角平分线， ∴∠EAD＝∠MAD， ∵DE∥AB， ∴∠EDA＝∠MAD，∠BAC＝∠CED， ∴∠EAD＝∠EDA，∴ED＝EA， ∵在△ABC与△CED中， ∠BAC＝∠CED，∠BCA＝∠ECD， ∴△ABC∽△EDC， ∴＝， ∵AB＝15 cm，AC＝12 cm， 设ED＝15k，∴CE＝12k， ∴ED＝15k＝EA＝EC＋CA＝12k＋12， ∴3k＝12，∴k＝4， ∴CE＝12k＝48(cm). 11．如图，已知菱形ABCD的边长为3，延长AB到点E，使BE＝2AB，连接EC并延长交AD的延长线于点F，则DF的长为__1.5__． 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴DC∥AE，∴△DFC∽△AFE， ∴＝， ∵BE＝2AB，AB＝3，∴BE＝6，AE＝9， ∴＝， ∴DF＝1.5. 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N.若AC＝2，则MN的长为____． 【解析】∵∠ACB＝90°，BD⊥CB，MN⊥CB， ∴AC∥MN∥BD，∠CNM＝∠CBD， ∴∠MAC＝∠MBD，∠MCA＝∠MDB＝∠CMN， ∴△MAC∽△MBD，△CMN∽△CDB， ∴＝＝，＝， ∴＝， ∴＝，∴MN＝. 13．(2023·南京中考)如图，AC与BD交于点O，OA＝OD，∠ABO＝∠DCO，E为BC延长线上一点，过点E作EF∥CD，交BD的延长线于点F. (1)求证△AOB≌△DOC； (2)若AB＝2，BC＝3，CE＝1，求EF的长． 【解析】(1)在△AOB和△DOC中， ， ∴△AOB≌△DOC(AAS)； (2)由(1)得：△AOB≌△DOC， ∴AB＝DC＝2， ∵BC＝3，CE＝1，∴BE＝BC＋CE＝4， ∵EF∥CD，∴△BCD∽△BEF， ∴＝，即＝， 解得：EF＝. 【加固训练】 如图，点M是AB上一点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G. (1)求证：△AMF∽△BGM； (2)请你再写出两对相似三角形． 【解析】(1)∵∠DME＝∠A＝∠B＝α， ∴∠AMF＋∠BMG＝180°－α， ∵∠A＋∠AMF＋∠AFM＝180°， ∴∠AMF＋∠AFM＝180°－α， ∴∠AFM＝∠BMG， ∴△AMF∽△BGM； (2)∵∠D＝∠D，∠DMG＝∠DBM. ∴△DMG∽△DBM， 同法可证：△EMF∽△EAM. (选做) 14．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P，AE＝CF. (1)求证：AF＝BE，并求∠APB的度数． (2)若AE＝2，试求AP·AF的值． 【解析】(1)∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC，∠C＝∠CAB＝60°， 又∵AE＝CF， 在△ABE和△CAF中， ∴△ABE≌△CAF(SAS)， ∴AF＝BE，∠ABE＝∠CAF. 又∵∠APE＝∠BPF＝∠ABP＋∠BAP， ∴∠APE＝∠BAP＋∠CAF＝60°. ∴∠APB＝180°－∠APE＝120°. (2)∵∠C＝∠APE＝60°，∠PAE＝∠CAF， ∴△APE∽△ACF， ∴＝，即＝， 所以AP·AF＝12. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 十九　相似三角形的判定(第2课时) 知识点　相似三角形的判定定理2 1．(2024·郴州质检)如图，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中，不能判定△APC和△ACB相似的条件是( ) A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．AC2＝AP·AB D．AB·CP＝AP·CB 2．如图，在△ABC中，D为AB上一点，若AC2＝AD·AB，则( ) A．△ADC∽△CBD B．△BDC∽△BCA C．△ADC∽△ACB D．无法判断 3．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是( ) A．∠A＝55°，∠D＝35° B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8 C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8 D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9 4．在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，如果AD＝2，DB＝1，AE＝4，EC＝2，那么的值为__ __． 5．(2024·上海质检)一个直角三角形的两条边分别为4和8，另一个直角三角形的两条边分别为3和6，那么这两个直角三角形__ __(选填“一定”“不一定”或“一定不”)相似． 6．已知：如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠ACD，AB＝6，BC＝4，AC＝5，CD＝7，则AD的长为__ __． 7．如图，∠1＝∠2，＝，求证：∠C＝∠D. 8．如图，已知AD·AC＝AB·AE，∠DAE＝∠BAC. 求证：∠DBA＝∠ECA. 9．(2024·怀化期末)如图，每个小网格均为正方形网格，带阴影部分的三角形中与△A1B1C1相似的是( ) 【加固训练】 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，要使Rt△ABC和Rt△DEF相似，只要( ) A．＝ B．＝ C．AB·DE＝BC·EF D．＝ 10．已知△ABC中，D，E分别在AB，AC上，下列条件中，能推断△ADE与△ABC相似的有( ) ①∠BDE＋∠C＝180°； ②AD·AB＝AE·AC； ③AD·BC＝AB·DE； ④∠A＝90°，且＝. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【加固训练】 　 　如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以点C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是( ) A．(6，0) B．(6，3) C．(6，5) D．(4，2) 11．(2024·娄底质检)如图，△ABC中，∠B＝65°，AB＝3，BC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( ) 12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，N是AC上的点，且AN＝AB，连接BN，作AD⊥BN于D，点M是BC上的动点，则当BM＝__ __时，△BMD∽△BCN. 13．如图，四边形ABCD，CDEF，EFGH都是正方形，则△ACF∽__ __，∠1＋∠2＝__ __°. 【加固训练】 (2024·湘潭期末)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝. (1)求证：△ADF∽△ACG； (2)若＝，求的值． 14．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD，BE交于点O，连接D，E. (1)依题意补全图形． (2)△OAB与△OED相似吗？说明理由． (选做) 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上移动(点D不与点B，C重合)，满足∠EDF＝∠B，且点E，F分别在边AB，AC上． (1)求证：△BDE∽△CFD. (2)连接EF，当点D移动到BC的中点时，求证：FD平分∠EFC. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 十九　相似三角形的判定(第2课时) 知识点　相似三角形的判定定理2 1．(2024·郴州质检)如图，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中，不能判定△APC和△ACB相似的条件是(D) A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．AC2＝AP·AB D．AB·CP＝AP·CB 【解析】当∠ACP＝∠B时，∵∠A＝∠A， ∴△ACP∽△ABC； 当∠APC＝∠ACB时，∵∠A＝∠A， ∴△ACP∽△ABC； 当AC2＝AP·AB时， 即＝，且∠A＝∠A， ∴△ACP∽△ABC， 当AB·CP＝AP·CB时， 即＝，而∠A＝∠A， 所以不能判定△APC和△ACB相似． 2．如图，在△ABC中，D为AB上一点，若AC2＝AD·AB，则(C) A．△ADC∽△CBD B．△BDC∽△BCA C．△ADC∽△ACB D．无法判断 【解析】∵AC2＝AD·AB，∴＝， ∵∠A＝∠A，且∠A为AD，AC和AB，AC的夹角，∴△ADC∽△ACB. 3．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是(C) A．∠A＝55°，∠D＝35° B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8 C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8 D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9 【解析】A.相似：∵∠A＝55°，∴∠B＝90°－55°＝35°，∵∠D＝35°，∴∠B＝∠D， ∵∠C＝∠F，∴△ABC∽△EDF； B．相似：∵AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8， ∴＝，∵∠C＝∠F，∴△ABC∽△DEF； C．有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似； D．相似：由题意AB＝10，AC＝8，可得BC＝6， ∵DE＝15，EF＝9， ∴DF＝12，∴＝＝， ∵∠C＝∠F，∴△ABC∽△DEF. 4．在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，如果AD＝2，DB＝1，AE＝4，EC＝2，那么的值为____． 【解析】如图，∵AD＝2，DB＝1，AE＝4，EC＝2， ∴＝＝， 又∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝＝. 5．(2024·上海质检)一个直角三角形的两条边分别为4和8，另一个直角三角形的两条边分别为3和6，那么这两个直角三角形__不一定__(选填“一定”“不一定”或“一定不”)相似． 【解析】这两个直角三角形不一定相似． 理由如下： 当一个直角三角形的两条直角边长分别为4和8时，①另一三角形两直角边长分别为3和6，由于＝，则两个直角三角形相似；②另一三角形一直角边长为3，斜边长6，不相似； 当一个直角三角形的斜边长为8，直角边长为4时，根据勾股定理得另一直角边长＝4，①另一三角形一直角边长为3，斜边长6，由于＝，则两个直角三角形相似；②另一三角形两直角边长分别为3和6，不相似， 综上，这两个直角三角形不一定相似． 6．已知：如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠ACD，AB＝6，BC＝4，AC＝5，CD＝7，则AD的长为____． 【解析】∵＝＝，＝， ∴＝， 又∵∠B＝∠ACD， ∴△ABC∽△DCA， ∴＝，即＝， ∴AD＝. 7．如图，∠1＝∠2，＝，求证：∠C＝∠D. 【证明】∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠CAE＝∠2＋∠CAE， ∴∠BAC＝∠EAD，∵＝， ∴△BAC∽△EAD，∴∠C＝∠D. 8．如图，已知AD·AC＝AB·AE，∠DAE＝∠BAC. 求证：∠DBA＝∠ECA. 【证明】∵AD·AC＝AB·AE， ∴＝， ∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAE－∠BAE＝∠BAC－∠BAE， 即∠DAB＝∠EAC， ∴△ADB∽△AEC， ∴∠DBA＝∠ECA. 9．(2024·怀化期末)如图，每个小网格均为正方形网格，带阴影部分的三角形中与△A1B1C1相似的是(B) 【解析】因为△A1B1C1中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等． 【加固训练】 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，要使Rt△ABC和Rt△DEF相似，只要(B) A．＝ B．＝ C．AB·DE＝BC·EF D．＝ 【解析】∵在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∠C＝∠F＝90°，∴当＝时，设＝＝k，则AB＝kDE，BC＝kEF， ∴AC＝＝kDF，∴＝， ∴Rt△ABC∽Rt△DEF. 10．已知△ABC中，D，E分别在AB，AC上，下列条件中，能推断△ADE与△ABC相似的有(C) ①∠BDE＋∠C＝180°； ②AD·AB＝AE·AC； ③AD·BC＝AB·DE； ④∠A＝90°，且＝. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】由题意可知，∠A是△ADE与△ACB的公共角， ①∵∠BDE＋∠C＝180°，∠ADE＋∠BDE＝180°， ∴∠ADE＝∠C，利用“两组角对应相等，两三角形相似”得到△ADE与△ACB相似；②由AD·AB＝AE·AC得到＝，可以利用“两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似”得到△ADE与△ACB相似；③由AD·BC＝AB·DE可得到＝，公共角不是夹角，不能得到△ADE与△ACB相似；④∵＝，∠A＝90°，∴＝，利用“两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似”得到△ADE与△ABC相似，综上所述，能判断△ADE与△ABC相似的是①②④，共3个． 【加固训练】 　 　如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以点C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是(B) A．(6，0) B．(6，3) C．(6，5) D．(4，2) 【解析】△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝3，AB∶BC＝2.当点E的坐标为(6，0)时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝1，则AB∶BC＝CD∶DE，△CDE∽△ABC，选项A不符合题意； 当点E的坐标为(6，3)时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝2，则AB∶BC≠CD∶DE，△CDE与△ABC不相似，选项B符合题意； 当点E的坐标为(6，5)时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝4，则AB∶BC＝DE∶CD，△EDC∽△ABC，选项C不符合题意； 当点E的坐标为(4，2)时，∠ECD＝90°，CD＝2，CE＝1，则AB∶BC＝CD∶CE，△DCE∽△ABC，选项D不符合题意． 11．(2024·娄底质检)如图，△ABC中，∠B＝65°，AB＝3，BC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C) 【解析】A.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B．阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C．两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意； D．两三角形对应边成比例(6－5)∶(3－1)＝1∶2＝3∶6，且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意． 12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，N是AC上的点，且AN＝AB，连接BN，作AD⊥BN于D，点M是BC上的动点，则当BM＝__5__时，△BMD∽△BCN. 【解析】若△BMD∽△BCN，则需DM∥CN， ∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8， ∴BC＝＝10， ∵AN＝AB，AD⊥BN于D，∴BD＝DN， ∵DM∥CN，∴BM＝BC＝5， ∴当BM＝5时，△BMD∽△BCN. 13．如图，四边形ABCD，CDEF，EFGH都是正方形，则△ACF∽__△GCA__，∠1＋∠2＝__45__°. 【解析】(1)设正方形的边长为a， AC＝＝a， ∵＝＝，＝＝， ∴＝， ∵∠ACF＝∠ACF， ∴△ACF∽△GCA； (2)∵△ACF∽△GCA， ∴∠1＝∠CAF， ∵∠CAF＋∠2＝45°， ∴∠1＋∠2＝45°. 【加固训练】 (2024·湘潭期末)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝. (1)求证：△ADF∽△ACG； (2)若＝，求的值． 【解析】(1)∵∠AED＝∠B， ∠DAE＝∠CAB， ∴△AED∽△ABC， ∴∠ADF＝∠C， 又∵＝， ∴△ADF∽△ACG； (2)∵△ADF∽△ACG， ∴＝， ∵＝，∴＝， 又∵AG＝AF＋FG， ∴＝. 14．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD，BE交于点O，连接D，E. (1)依题意补全图形． (2)△OAB与△OED相似吗？说明理由． 【解析】(1)依题意补全图形如图所示： (2)△OAB与△OED相似，理由如下： ∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∵∠C＝∠C， ∴△ADC∽△BEC，∴∠DAC＝∠EBC， 又∵∠BOD＝∠AOE，∴△BOD∽△AOE， ∴OB∶AO＝OD∶OE， ∵∠AOB＝∠EOD， ∴△AOB∽△EOD. (选做) 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上移动(点D不与点B，C重合)，满足∠EDF＝∠B，且点E，F分别在边AB，AC上． (1)求证：△BDE∽△CFD. (2)连接EF，当点D移动到BC的中点时，求证：FD平分∠EFC. 【证明】(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C， ∵∠BED＝180°－∠B－∠BDE， ∠CDF＝180°－∠EDF－∠BDE， ∵∠EDF＝∠B，∴∠BED＝∠CDF， ∴△BDE∽△CFD. (2)∵△BDE∽△CFD，∴＝， ∵点D是BC的中点，∴BD＝CD， ∴＝， ∵∠EDF＝∠C，∴△DEF∽△CDF， ∴∠DFE＝∠CFD，∴FD平分∠EFC. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二十　相似三角形的判定(第3课时) 知识点1　相似三角形的判定定理3 1．(2024·娄底期末)已知△ABC三边长是，3，，与△ABC相似的三角形三边长可能是( ) A．1，， B．1，， C．1，， D．1，， 2．甲三角形的三边长分别为9，6，12，乙三角形的三边长分别为4，6，8，则这两个三角形( ) A．一定不相似 B．不一定相似 C．一定相似 D．无法判断是否相似 3．(2024·苏州期中)在△ABC中，AB＝8，AC＝6，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，当＝__ __时，△ABC∽△DEF. 4．判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由． 知识点2　相似三角形的判定定理的综合应用 5．下列两个三角形不相似的是( ) A．一个三角形的两个角分别是40°，80°；另一个三角形的两个角分别是60°，80° B．一个三角形的三边长分别是4 cm，6 cm，8 cm；另一个三角形的三边长分别是12 cm，18 cm，21 cm C．一个三角形的两边长分别是2 cm和5 cm，夹角是40°；另一个三角形的两边长分别是3 cm和7.5 cm，夹角是40° D．各有一个角是120°的两个等腰三角形 6．(2024·邵阳质检)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝9，BD＝4，那么BC＝__ __． 7．如图，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分别是AB，A′B′上一点，＝，当＝＝时，求证△ABC∽△A′B′C′. 8．如图，在4×4的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有( ) A．1个 B．2个　　　 C．3个　　　 D．4个 9.如图，△ABC中，AB＝12，AC＝15，D为AB上一点，且AD＝AB，在AC上取一点E，使以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE等于__ __． 10．已知：在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6. (1)如果DE＝10，那么当EF＝__ __， FD＝__ __时，△DEF∽△ABC； (2)如果DE＝10，那么当EF＝__ __， FD＝__ __时，△FDE∽△ABC. 11．已知AD为∠BAC的平分线，EF为AD的垂直平分线，求证：FD2＝FB·FC. 12．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且＝＝， (1)求证：AC2＝BC·CD； (2)若AD是△ABC的中线，求的值． (选做) 13．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题： (1)试证明△ABC是直角三角形． (2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由． (3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点，并且与△ABC相似． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二十　相似三角形的判定(第3课时) 知识点1　相似三角形的判定定理3 1．(2024·娄底期末)已知△ABC三边长是，3，，与△ABC相似的三角形三边长可能是(A) A．1，， B．1，， C．1，， D．1，， 【解析】∵△ABC三边长是，3，， ∴△ABC三边长的比为∶∶3＝1∶∶， ∴与△ABC相似的三角形三边长可能是1，，. 2．甲三角形的三边长分别为9，6，12，乙三角形的三边长分别为4，6，8，则这两个三角形(C) A．一定不相似 B．不一定相似 C．一定相似 D．无法判断是否相似 【解析】∵甲三角形的三边长分别为9，6，12，乙三角形的三边长分别为4，6，8， ∴＝＝＝，∴这两个三角形一定相似． 3．(2024·苏州期中)在△ABC中，AB＝8，AC＝6，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，当＝__2__时，△ABC∽△DEF. 【解析】∵在△ABC中，AB＝8，AC＝6，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，∴AB∶DE＝2∶1，AC∶DF＝2∶1，若BC∶EF＝2∶1，则△ABC∽△DEF. 4．判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由． 【解析】△ABC∽△DEF. 理由如下：∵AC＝3，BC＝3.5，AB＝4，DF＝1.8，EF＝2.1，DE＝2.4，∴＝＝＝， ∴△ABC∽△DEF. 知识点2　相似三角形的判定定理的综合应用 5．下列两个三角形不相似的是(B) A．一个三角形的两个角分别是40°，80°；另一个三角形的两个角分别是60°，80° B．一个三角形的三边长分别是4 cm，6 cm，8 cm；另一个三角形的三边长分别是12 cm，18 cm，21 cm C．一个三角形的两边长分别是2 cm和5 cm，夹角是40°；另一个三角形的两边长分别是3 cm和7.5 cm，夹角是40° D．各有一个角是120°的两个等腰三角形 【解析】A.一个三角形的两个角分别是40°，80°，则另一个内角为60°，而另一个三角形的两个角分别是60°，80°，这两个三角形相似； B．一个三角形的三边长分别是4 cm，6 cm，8 cm；另一个三角形的三边长分别是12 cm，18 cm，21 cm，三边不成比例，这两个三角形不相似； C．根据两边对应成比例且夹角相等知这两个三角形相似； D．各有一个角是120°的两个等腰三角形，由于两个等腰三角形的底角均为30°，据此可知两个三角形相似． 6．(2024·邵阳质检)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝9，BD＝4，那么BC＝__2__． 【解析】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ACB＝∠CDB＝90°， ∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC， ∴＝，即＝， 解得BC＝2. 7．如图，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分别是AB，A′B′上一点，＝，当＝＝时，求证△ABC∽△A′B′C′. 【证明】∵＝，∴＝， ∵＝＝， ∴＝＝， ∴△ADC∽△A′D′C′，∴∠A＝∠A′， ∵＝，∴△ABC∽△A′B′C. 8．如图，在4×4的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有(D) A．1个 B．2个　　　 C．3个　　　 D．4个 【解析】第1个网格中两个三角形对应边的比例满足＝＝，所以这两个三角形相似； 第2个网格中两个三角形对应边的比例满足＝＝，所以这两个三角形相似； 第3个网格中两个三角形对应边的比例满足＝＝＝，所以这两个三角形相似； 第4个网格中两个三角形对应边的比例满足＝＝，所以这两个三角形相似． 9.如图，△ABC中，AB＝12，AC＝15，D为AB上一点，且AD＝AB，在AC上取一点E，使以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE等于__10或6.4__． 【解析】由题意得△ABC∽△ADE，或△ABC∽△AED， ∴＝或＝， ∵AD＝AB，AB＝12， ∴AD＝8，∵AC＝15，∴＝或＝， 解得AE＝10或6.4. 10．已知：在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6. (1)如果DE＝10，那么当EF＝__12.5__， FD＝__15__时，△DEF∽△ABC； (2)如果DE＝10，那么当EF＝__12__， FD＝__8__时，△FDE∽△ABC. 【解析】(1)∵当＝＝时， △DEF∽△ABC； 又∵AB＝4，BC＝5，CA＝6，DE＝10， ∴＝＝，解得EF＝12.5，FD＝15； ∴当EF＝12.5，FD＝15时， △DEF∽△ABC； (2)∵当＝＝时，△FDE∽△ABC， 又∵AB＝4，BC＝5，CA＝6，DE＝10， ∴＝＝，解得FD＝8，EF＝12， ∴当EF＝12，FD＝8时，△FDE∽△ABC. 11．已知AD为∠BAC的平分线，EF为AD的垂直平分线，求证：FD2＝FB·FC. 【证明】∵AD为∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠DAC， ∵EF为AD的垂直平分线，∴FA＝FD， ∴∠FAD＝∠FDA， ∵∠FAB＝∠FAD＋∠BAD，∠FCA＝∠ADC＋∠DAC，∴∠FCA＝∠FAB， 又∵∠AFC＝∠BFA，∴△AFC∽△BFA， ∴＝，∴FA2＝FC·FB， ∴FD2＝FB·FC. 12．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且＝＝， (1)求证：AC2＝BC·CD； (2)若AD是△ABC的中线，求的值． 【解析】(1)∵＝＝， ∴△BAD∽△ACE， ∴∠B＝∠EAC，又∠ACB＝∠DCA， ∴△ABC∽△DAC，∴＝， ∴AC2＝BC·CD； (2)∵∠ADC是△ABD的外角，∠CED是△ACE的外角， ∴∠ADC＝∠B＋∠BAD，∠CED＝∠CAE＋∠ECA， 由(1)可知，∠B＝∠EAC，∠BAD＝∠ECA， ∴∠ADC＝∠CED，∴CE＝CD， ∵AD是△ABC的中线，∴BC＝2CD， ∴BC＝2CE，由(1)得：AC2＝BC·CD， ∴AC2＝2CE·CE， ∴＝，即＝. (选做) 13．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题： (1)试证明△ABC是直角三角形． (2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由． (3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点，并且与△ABC相似． 【解析】(1)根据勾股定理，得AB＝2，AC＝，BC＝5， ∴AB2＋AC2＝BC2.∴△ABC为直角三角形． (2)△ABC和△DEF相似．理由： 根据勾股定理，得AB＝2，AC＝，BC＝5， DE＝4，DF＝2，EF＝2. ∵＝＝＝， ∴△ABC∽△DEF. (3)如图所示，△P2P4P5即为所求． 学科网（北京）股份有限公司 $$