3.3相似图形 同步练习 2024-2025学年 湘教版数学九年级上册

十七　相似图形 知识点1　相似图形 1．下列图形不是相似图形的是( ) A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片 B．用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案 C．某人的侧身照片和正面像 D．一棵树与它倒影在水中的像 2．下面给出的图形中，是相似图形的是( ) A．刚买的一副手套的左右两只 B．仅仅宽度不同的两块长方形木板 C．两条边之比都是2∶3的两个直角三角形 D．各有一个角是40°的两个等腰三角形 3．观察下列图形，并填空： 与A相似的有__ __，与B相似的有__ __，与C相似的有__ __． 知识点2　相似三角形的概念及性质 4．如图，在正方形网格上有两个相似三角形，△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为( ) A.105° B．115° C．125° D．135° 5．(2024·张家界质检)若把△ABC的各边扩大到原来的3倍后，得△A′B′C′，则下列结论错误的是( ) A．△ABC∽△A′B′C′ B．△ABC与△A′B′C′的相似比为 C．△ABC与△A′B′C′的对应角相等 D．△ABC与△A′B′C′的相似比为 6．要制作两个形状相同的三角形框架，已知其中一个三角形的三边长分别为3 cm，4 cm，6 cm，另一个三角形的最短边长为4 cm，则它的最长边长为( ) A． cm B．8 cm C． cm D．12 cm 7．如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是相似的图形，点A与点A′、点B与点B′、点C与点C′、点D与点D′分别是对应顶点，已知数据如图所示，求未知边x，y的长度和角α，β的大小． 8．设四边形ABCD与四边形EFGH是相似图形．且A与E，B与F，C与G，D与H是对应点．已知AB＝10，BC＝8，CD＝8，AD＝6，EF＝8，求四边形EFGH的周长． 9．下列命题中的真命题是( ) A．两个矩形相似 B．有一个角相等的两个等腰三角形相似 C．有一个角对应相等的菱形相似 D．各边对应成比例的两个五边形相似 10．在下面给出的五组图形中，相似的有__ __．(只填序号) 11．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫作这个四边形的相似对角线．在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC＝__ __度． 【加固训练】 　 　已知四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是相似的图形，并且点A与点A′、点B与点B′、点C与点C′、点D与点D′分别是对应顶点，已知BC＝4，CD＝3.6，A′B′＝3.3，B′C′＝3，∠B＝75°，∠C＝105°，∠D＝95°，求AB，C′D′的长和∠A′的度数． 12．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长． 13．如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB. (1)求∠APB的大小． (2)说明线段AC，CD，BD之间的数量关系． (选做) 14．一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把△DEF(图乙)第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为1阶分割(如图1)；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连接它们各边的中点所进行的分割，称为2阶分割(如图2)…，依此规则操作下去．n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形(n为正整数)，设此时小三角形的面积为Sn.请写出一个反映Sn－1，Sn，Sn＋1(n>1)之间关系的等式． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 十七　相似图形 知识点1　相似图形 1．下列图形不是相似图形的是(C) A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片 B．用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案 C．某人的侧身照片和正面像 D．一棵树与它倒影在水中的像 【解析】A.同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片，是相似图形，不合题意； B．用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案，是相似图形，不合题意； C．某人的侧身照片和正面像，不是相似图形，符合题意； D．一棵树与它倒影在水中的像，是相似图形，不合题意． 2．下面给出的图形中，是相似图形的是(A) A．刚买的一副手套的左右两只 B．仅仅宽度不同的两块长方形木板 C．两条边之比都是2∶3的两个直角三角形 D．各有一个角是40°的两个等腰三角形 【解析】A.刚买的一副手套的左右两只，形状相同，大小相等，是全等形，符合相似图形的定义，符合题意； B．仅仅宽度不同的两块长方形木板，对应长、宽的比值不相等，不符合相似图形的定义，不符合题意； C．两条边之比都是2∶3的两个直角三角形不一定相似，应该说明是两直角边之比，故本选项错误； D．各有一个角是40°的两个等腰三角形不一定相似，没有说明40°的角是顶角还是底角，故本选项错误． 3．观察下列图形，并填空： 与A相似的有__⑦__，与B相似的有__⑧__，与C相似的有__④__． 【解析】观察图形，根据相似图形的定义可知： 与A相似的图形有⑦； 与B相似的图形有⑧； 与C相似的图形有④. 知识点2　相似三角形的概念及性质 4．如图，在正方形网格上有两个相似三角形，△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为(D) A.105° B．115° C．125° D．135° 【解析】∵△ABC∽△EDF， ∴∠BAC＝∠DEF， 又∵∠DEF＝90°＋45°＝135°， ∴∠BAC＝135°. 5．(2024·张家界质检)若把△ABC的各边扩大到原来的3倍后，得△A′B′C′，则下列结论错误的是(B) A．△ABC∽△A′B′C′ B．△ABC与△A′B′C′的相似比为 C．△ABC与△A′B′C′的对应角相等 D．△ABC与△A′B′C′的相似比为 【解析】A.因为两个三角形的三条对应边的比相等，都为3，所以△ABC∽△A′B′C′，正确； B．由题意可知△ABC与△A′B′C′的相似比为，不是，错误； C．因为△ABC∽△A′B′C′，所以△ABC与△A′B′C′的对应角相等，正确； D．因为相似比即是对应边的比，所以△ABC与△A′B′C′的相似比为，正确． 6．要制作两个形状相同的三角形框架，已知其中一个三角形的三边长分别为3 cm，4 cm，6 cm，另一个三角形的最短边长为4 cm，则它的最长边长为(B) A． cm B．8 cm C． cm D．12 cm 【解析】设另一个三角形的最长边长为x cm，∵两个三角形框架形状相同，∴＝，解得，x＝8. 7．如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是相似的图形，点A与点A′、点B与点B′、点C与点C′、点D与点D′分别是对应顶点，已知数据如图所示，求未知边x，y的长度和角α，β的大小． 【解析】由题可知：β＝∠D′＝∠D＝55°，α＝∠A＝360°－55°－90°－60°＝155°， ∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴＝＝，∴x＝6，y＝15. 8．设四边形ABCD与四边形EFGH是相似图形．且A与E，B与F，C与G，D与H是对应点．已知AB＝10，BC＝8，CD＝8，AD＝6，EF＝8，求四边形EFGH的周长． 【解析】四边形ABCD的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝10＋8＋8＋6＝32， ∵四边形ABCD与四边形EFGH是相似图形， ∴四边形ABCD的周长∶四边形EFGH的周长＝AB∶EF， ∴四边形EFGH的周长＝×32＝25.6. 9．下列命题中的真命题是(C) A．两个矩形相似 B．有一个角相等的两个等腰三角形相似 C．有一个角对应相等的菱形相似 D．各边对应成比例的两个五边形相似 【解析】A.两个矩形，只是对应的角相等，对应边未必成比例，不一定相似，故本选项错误； B．有一个角相等，这个角必须都是顶角或都是底角，否则两个等腰三角形不相似，故本选项错误； C．一个角对应相等的菱形，形状相同，相似，故本选项正确； D．各边对应成比例的两个五边形，各相应的角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误． 10．在下面给出的五组图形中，相似的有__②③__．(只填序号) 【解析】①形状不同，不相似，不符合题意； ②形状相同，大小不同，相似，符合题意； ③形状相同，大小不同，相似，符合题意； ④形状不同，不相似，不符合题意； ⑤形状不同，不相似，不符合题意． 11．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫作这个四边形的相似对角线．在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC＝__145__度． 【解析】∵∠ABC＝70°，BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， 又∵对角线BD是它的相似对角线， ∴△ABD∽△DBC， ∴∠A＝∠BDC，∠ADB＝∠C， ∴∠A＋∠C＝∠ADC， 又∵∠A＋∠C＋∠ADC＝360°－70°＝290°， ∴∠ADC＝145°. 【加固训练】 　 　已知四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是相似的图形，并且点A与点A′、点B与点B′、点C与点C′、点D与点D′分别是对应顶点，已知BC＝4，CD＝3.6，A′B′＝3.3，B′C′＝3，∠B＝75°，∠C＝105°，∠D＝95°，求AB，C′D′的长和∠A′的度数． 【解析】在四边形ABCD中，∠A＝360°－75°－105°－95°＝85°， ∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴AB∶A′B′＝CD∶C′D′＝BC∶B′C′＝4∶3，∠A′＝∠A＝85°， ∵A′B′＝3.3，CD＝3.6， ∴AB＝4.4，C′D′＝2.7. 12．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长． 【解析】∵△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2， ∴＝，即＝，解得DF＝3， ∴EF＝＝＝. 13．如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB. (1)求∠APB的大小． (2)说明线段AC，CD，BD之间的数量关系． 【解析】(1)∵△PCD是等边三角形， ∴∠PCD＝60°， ∴∠A＋∠APC＝60°. ∵△ACP∽△PDB， ∴∠APC＝∠PBD， ∴∠A＋∠B＝60°， ∴∠APB＝120°. (2)∵△ACP∽△PDB， ∴＝. 又∵△PCD是等边三角形， ∴CD2＝AC·BD. (选做) 14．一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把△DEF(图乙)第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为1阶分割(如图1)；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连接它们各边的中点所进行的分割，称为2阶分割(如图2)…，依此规则操作下去．n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形(n为正整数)，设此时小三角形的面积为Sn.请写出一个反映Sn－1，Sn，Sn＋1(n>1)之间关系的等式． 【解析】设△DEF的面积是a， 则Sn－1＝，Sn＝，Sn＋1＝， 根据＝·， 因而Sn－1，Sn，Sn＋1三者之间的表达式是S＝Sn－1·Sn＋1. 学科网（北京）股份有限公司 $$