专题04 二次函数的应用重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题04 二次函数的应用重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 利用二次函数求图形问题 题型二 利用二次函数求图形运动问题 题型三 利用二次函数求拱桥问题 题型四 利用二次函数求销售问题 题型五 利用二次函数求投球问题 题型六 利用二次函数求喷水问题 题型七 利用二次函数求增长率问题 题型八 铅垂高、水平宽求面积最值问题 题型九 二次函数销售问题中的捐赠类问题（含参） 题型十 二次函数中角度计算问题（45°等） 知识点01 二次函数的应用 1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。 2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。 3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。 4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。 6.写出答案。 【经典例题一 利用二次函数求图形问题】 【例1】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）某学校农场打算用40米长的篱笆围成长方形的向日葵基地．设长方形的长为x米，面积为S（平方米）． (1)用含x的代数式表示S； (2)当时，求向日葵基地的面积． 1．如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为． (1)写出与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？ 2．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） (1)设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 3．如图，利用一面墙（墙长28米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为x米． (1)若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长； (2)矩形围栏面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，诸说明理由； (3)矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在请说明理由． 【经典例题二 利用二次函数求图形运动问题】 【例2】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接，设运动时间为，的面积为S． (1)用含t的代数式表示______；______． (2)点D运动至何处时，？ (3)点D运动过程中，的最大值是多少？ 1．如图，在中，．点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动．当点到达点时，停止运动．设点运动的时间为的面积为， (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质： ； (3)结合函数图象，直接写出当时，则的取值范围是 ． 2．如图，在中，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为，四边形的面积为． (1)求S与t满足的函数关系式； (2)四边形的面积能不能达到？请说明理由． 3．图1，在中，，．点以的速度从点出发沿匀速运动到；同时，点以（）的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，与的函数图象如图2所示． (1)______，______，补全函数图象； (2)求出当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于； (3)连接，交于点，求平分时的值． 【经典例题三 利用二次函数求拱桥问题】 【例3】（22-23九年级上·浙江台州·期中）为促进经济发展，方便居民出行，某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，隧道最高点P离路面的距离为6米，宽度为12米． (1)求该抛物线的解析式； (2)若隧道内设双向行车道，并且中间有一条宽为1米的隔离带，如果一货运汽车装载某大型设备后高为4米，宽为3.5米，按如图所示的平面直角坐标系这辆货车能否安全通过？为什么？ 1．图1是合肥逍遥津公园内的一座拱桥，跨度为，拱顶离地面高，拱桥的形状可以近似地看成一条抛物线．    (1)以的中点为坐标原点建立如图2所示的平面直角坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式； (2)当水面宽度小于或等于时，需要采取紧急措施，禁止游客进入．现在水面距离拱顶为，是否需要采取紧急措施？并说明理由． 2．如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面的距离为． (1)求出抛物线的解析式； (2)在距离地面高处，隧道的宽度是多少？ (3)如果该隧道为单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高m、宽，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 3．如图1是一座圆弧型拱桥侧面示意图．水面宽与桥长均为24米，桥拱顶部离水面的距离为8米，以桥拱顶部为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系． (1)求圆弧型桥拱所在圆的半径； (2)如图2，桥面上方有3根高度均为4米的支柱，，，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面的距离为1米． ①求出轴右侧一条钢缆抛物线的函数表达式； ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求经过钢缆最低点的彩带的长度． 【经典例题四 利用二次函数求销售问题】 【例4】（23-24八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 【素材一】每年春季，是凤梨的旺季．某水果店热销一批凤梨，其进价为每个5元，当售价为25元时，平均每天可以卖出120个． 【素材二】经市场调研发现：售价每上涨1元/个，每天要少卖出5个；售价每下降1元/个，每天可多卖出10个． 【素材三】“五一”假期将至，该水果店计划只调整一次售价，以获得更高利润． 【任务一：分析变量关系】 若涨价2元/个，则平均每天销售数量为__________个； 若设降价x元/个，则平均每天销售数量为__________个（用含x的代数式表示）． 【任务二：探索调整方案】 该水果店如何调整售价，才能使每天的利润达到2520元？ 【任务三：拟定最优方案】 为保证凤梨的最佳风味，该水果店决定采取适当的降价措施，尽快减少库存，应如何调整售价才能使每天的利润最高？ 1．某批发商出售一种成本价为10元/件的商品，市场调查发现，该商品每周的销售量（件）与销售价（元/件）满足一次函数．这种商品每周的销售利润为元． (1)求与的函数关系式； (2)商家为了盘活资金，减少库存，要确保这种商品每周的销售量不少于180件，若这种商品每周的销售利润为2000元，则该商品每周的销售量是多少？ 2．某款网红产品很受消费者喜爱，每个产品的进价为40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天的销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． (1)直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围． (2)将产品的销售单价定为多少元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ (3)该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，求销售单价的值． 3．又到了板栗飘香的季节，为提高大家购买的积极性，销售板栗的顺发果业每天拿出元现金，作为红包发给购买者．已知板栗每日销售量与销售单价（元）满足关系：．当每日销售量低于时，成本价格为元；当每日销售量不低于时，成本价格为元；在销售中销售单价不低于成本价格且不高于元．设销售板栗的日获利为（元）． (1)当日销售量不低于时，的取值范围是______； (2)请求出日获利与销售单价之间的函数关系式； (3)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？ 【经典例题五 利用二次函数求投球问题】 【例5】（2024·浙江台州·二模）有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌的距离．现以点M为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（）表示球与点M之间的水平距离，y（）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，段抛物线可以看作是由段抛物线向左平移得到．    (1)当时， ①求b的值； ②求点A，B之间的距离； (2)已知段抛物线的最大高度为，且它的形状与段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a的值． 1．16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． (1)求出a，b的值； (2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭第一级运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 2．小明和小红两人在课余时间打羽毛球，羽毛球的飞行路线可近似看成抛物线形状．某一时刻小明发出一球，在如图所示的体系中，设小明的击球出手点为P， 当球运行到距OP的水平距离为4m时，球达到最高点 ．已知球网距原点5m． (1)求抛物线的解析式； (2)若小红站在距球网1m远的C处，求小红的球拍距地面（即）多高时，球拍的上边缘正好与球接触？ 3．鹰眼技术助力厦门世界杯亚洲区预选赛，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点，守门员位于点，的延长线与球门线交于点，且点，均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离与离地高度的鹰眼数据如表： 5 10 15 20 25 3 4.5 5 4.5 3 (1)求关于的函数解析式； (2)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度2.6m时，视为防守成功．若一次防守中，守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明． 【经典例题六 利用二次函数求喷水问题】 【例6】（2024·浙江杭州·一模）某公园有一个喷水池，中心的可升降喷头垂直于地面，喷出的水柱形状呈抛物线．如图是喷水池喷水时的截面图，以喷水池中心O为原点，水平方向为x轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，设喷头A的坐标为，抛物线的函数表达式中二次项系数为a． (1)当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米． ①若，求第一象限内水柱的函数表达式（无需写取值范围）． ②求含c的代数式表示a． (2)为了美化公园，对喷水设备进行改造，使a与c之间满足，且当水平距离为6米时，水柱达到最大高度．求改造后水柱达到的最大高度． 1．如图，某城区公园有直径为的圆形水池，水池边安有排水槽，在正中心O处修喷水装置，喷出的水流呈抛物线状，当水管高度在处时，距离水平距离处喷出的水流达到最大高度为． (1)求抛物线解析式，并求水流落地点B到点O的距离（即线段的长）； (2)距离水平距离多远的E点处，放置高为的景观射灯使水流刚好到点F？ 2．为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系． (1)求出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； (2)待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，判断水流是否到达点处，并说明理由； (3)若消防员从点前进米到点（水流从点射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点处，直接写出的值， ．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同） 3．护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为，设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底所在的水平方向为轴，处所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，原点为，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为． (1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离； (3)给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？ 【经典例题七 利用二次函数求增长率问题】 【例7】（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 1．某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 2．2022年第一季度我省总值约为10000亿元，第三季度的总值约为11025亿元． (1)假定第二季度、第三季度我省总值的增长率相同，求这个增长率； (2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的总值能否突破12000亿元？并说明理由． 3．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【经典例题八 铅垂高、水平宽求面积最值问题】 【例8】如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，作直线． (1)求点，，的坐标； (2)是直线上方抛物线上一点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标； (3)是抛物线对称轴上一点，当时，直接写出点的坐标． 1．如图，抛物线与y轴交于点A，直线与x轴交于点．若点P为抛物线上的动点，且在直线上方，当面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值．    2．如图，抛物线与坐标轴交于点O，B两点，直线与抛物线交于点A，B两点，已知点B的坐标为． (1)求b和k的值； (2)求出点A的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，当面积最大时，求出点M的坐标，并求出面积的最大值． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，，其对称轴与x轴交于点M． (1)求此抛物线的解析式和对称轴； (2)连接，在直线下方的抛物线上，是否存在一点N，使的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题九 二次函数销售问题中的捐赠类问题（含参）】 【例9】某专卖店专营某产品，根据总部要求市场销售单价在25元到45元之间．专卖店在销售该产品的过程中发现：销售该产品的成本（单位：元）与销售件数（单位：件）成正比例．同时每天的销售件数与销售价格（单位：元/件）之间满足一次函数关系．如表记录了该专卖店某4天销售A产品的数据． 销售价格（单位：元/件） 25 30 32 38 销售件数（单位：件） 35 30 28 22 销售成本（单位：元） 210 180 168 132 (1)直接写出与之间的函数关系式； (2)若一天的销售利润为，当销售价格为多少时，最大？最大值是多少？ (3)该专卖店以每件返现元的办法促销，发现在销售规律不变的情况下，当元/件时，一天可获得的利润为600元，求的值． 1．教师节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为50元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于52%．分析教师节同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）（x为整数）近似的满足一次函数关系，数据如表：（注：利润率=利润/成本） 销售单价x（元、件） … 60 70 75 … 每天销售量y（件） … 240 180 150 … (1)求y与x的函数关系式； (2)试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润； (3)花店承诺：每销售一件鲜花礼盒就捐赠n元（）给“希望工程”．若扣除捐赠后的日利润随着销售单价x的增大而增大，请直接写出n的取值范围是 ． 2．电商小李在抖音平台上对一款成本单价为10元的商品进行直播销售，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售出700件，销售单价每上涨10元，每天销售量就减少200件，设此商品销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）． (1)求y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若销售该商品每天的利润为7500元，求该商品的销售单价； (3)小李热心公益事业，决定每销售一件该商品就捐款m元（）给希望工程，当每天销售最大利润为6000元时，求m的值． 3．某商场经销一种儿童玩具，该种玩具的进价是每个元，经过一段时间的销售发现，该种玩具每天的销售量y（个）与每个的售价x（元）之间的函数关系如图所示．    (1)求y关于x的函数关系式，并求出当某天的销售量为个时，该玩具的销售利润； (2)每天的销售量不低于个的情况下，若要每天获得的销售利润最大，求该玩具每个的售价是多少？最大利润是多少？ (3)根据物价部门规定，这种玩具的售价每个不能高于元．该商场决定每销售一个这种玩具就捐款n元（），捐款后发现，该商场每天销售这种玩具所获利润随售价的增大而增大，求n的取值范围． 【经典例题十 二次函数中角度计算问题（45°等）】 【例10】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求a，b的值； (2)点M是抛物线对称轴上一点，已知为等腰三角形，请求出点M的坐标； (3)若点P为抛物线上的一个动点，是否存在点P使，如果存在，请求出点P的横坐标，如果不存在，请说明理由； 1．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P为第一象限内抛物线上一点．若点E的坐标为，且，求点P的坐标． 2．如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)P是抛物线上一动点（不与点C重合），直线交对称轴于点，连接，当时，求直线的解析式． 3．如图1，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，过B、C两点作直线． (1)求a的值． (2)如图1，将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点P在抛物线上，且请直接写出直线的表达式． 46．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）如图，抛物线经过点，与y轴交于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，若点P是y轴正半轴上一点，且是等腰三角形，求点的坐标． 47．（24-25八年级上·上海·阶段练习）某种新产品进价是元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系． 每件售价（元） 每日销售量（件） (1)请你根据上表所给数据表述出每件售价提高的数量（元）与日销售量减少的数量（件）之间的关系； (2)在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划：每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到； (3)每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到最大值？ 48．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)为第一象限抛物线上一点，的面积与的面积相等，求点的坐标． 49．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），如果分别从同时出发，设运动的时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）． (1)求与之间的函数关系式； (2)求自变量的取值范围； (3)四边形的面积能否等于，若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 50．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动．不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧．图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为，水柱最高点离地面．图3是某一时刻时，水柱形状的示意图．为喷水管，B为水的落地点，记长度为喷泉跨度． (1)在图2中，以O为原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式. (2)在图3中，若喷水管最高可伸长到，求出喷泉跨度的最小值． 51．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图1是一座圆弧型拱桥侧面示意图．水面宽与桥长均为24米，桥拱顶部离水面的距离为8米，以桥拱顶部为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系． (1)求圆弧型桥拱所在圆的半径； (2)如图2，桥面上方有3根高度均为4米的支柱，，，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面的距离为1米． ①求出轴右侧一条钢缆抛物线的函数表达式； ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求经过钢缆最低点的彩带的长度． 52．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）某服装公司的某种运动服进价为每件60元，每月的销量y（件）与售价x（元）存在一次函数关系，部分数据信息如表： 售价x（元/件） 100 110 120 130 月销量y（件） 200 180 160 140 (1)月销量是 ．（请用含x的式子表示） (2)设销售该运动服的月利润为W元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？ (3)该公司决定每销售一件运动服，就捐赠元利润给希望工程，物价部门规定该运动服售价不得超过120元． 若月销售最大利润是8800元，求a的值． 53．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，小明利用围墙的一段（围墙最长可利用8米），再砌三面墙，围成一个矩形菜园，并在段留有1米宽的门（该处不消耗墙的材料），现在已经备足可以砌15米长的墙的材料． (1)要使菜园的面积为30平方米，不计墙的厚度，求段的长． (2)请问为多长时，可以使围成的矩形菜园面积达到最大值，并求出最大值． 54．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，，连接和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴上是否存在一点使得的周长最小，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 55．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)在x轴上找一点E，使的值最小，求出此时点E的坐标，并求的最小值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 56．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，已知二次函数经过点和点， (1)求该二次函数的解析式； (2)如图，若一次函数经过、两点，直接写出不等式的解； (3)点是抛物线的对称轴上一点，当的值最小时，求点的坐标． 57．（24-25九年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． (1)求，，三点的坐标； (2)在函数的图象上，连接，，的面积是的面积的倍，求点的坐标； (3)在函数的图象上，在轴正半轴上，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点的坐标． 58．（24-25九年级上·天津·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)P是抛物线上一动点（不与点C重合），直线交对称轴于点，连接，当时，求直线的解析式． 59．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）为缓解停车难的问题，太阳山小区利用一块长方形空地建一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为，宽为，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为． (1)求通道的宽是多少米； (2)该停车场共有64个车位，据调查发现：当每个车位的月租金为400元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元时，就会少租出1个车位． ①当每个车位的月租金上涨时，停车场的月租金收入会超过27000元吗？ ②当每个车位的月租金上涨时，停车场会有部分车位空置，所以物业部门拟把这些空置车位提供给到附近办事的人临时停车，经过调查发现每个空置车位每天平均收入10元（每月按30天算），则每个车位月租金上涨多少元时，停车场的总收入最高，最高是多少？ 60．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）已知：如图，抛物线与轴交于，两点，与直线交于，两点．     (1)求的长． (2)在轴上是否存在一点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图，点是第三象限内直线下方的抛物线上的点，过点作轴的垂线，交轴于点，交直线于点，若点恰为线段的三等分点，求出点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次函数的应用重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 利用二次函数求图形问题 题型二 利用二次函数求图形运动问题 题型三 利用二次函数求拱桥问题 题型四 利用二次函数求销售问题 题型五 利用二次函数求投球问题 题型六 利用二次函数求喷水问题 题型七 利用二次函数求增长率问题 题型八 铅垂高、水平宽求面积最值问题 题型九 二次函数销售问题中的捐赠类问题（含参） 题型十 二次函数中角度计算问题（45°等） 知识点01 二次函数的应用 1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。 2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。 3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。 4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。 6.写出答案。 【经典例题一 利用二次函数求图形问题】 【例1】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）某学校农场打算用40米长的篱笆围成长方形的向日葵基地．设长方形的长为x米，面积为S（平方米）． (1)用含x的代数式表示S； (2)当时，求向日葵基地的面积． 【答案】(1) (2)100平方米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，求二次函数值，解题的关键是求出函数解析． （1）根据长方形面积公式求出二次函数解析式； （2）把代入求出函数值即可． 【详解】（1）解：设长方形的长为x米，则宽为米，则： ． （2）解：把代入得： （平方米）． 答：向日葵基地的面积为100平方米． 1．如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为． (1)写出与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，面积有最大值为． 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是找到所给面积的等量关系，易错点是根据栅栏长得到矩形长的代数式． （1）利用矩形面积公式列式即可求出； （2）利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：， ； 由矩形面积公式得： ， ， ， ； （2）解：， ， 当时，S随的增大而增大， ， 当时，S有最大值为， 答：当时，面积有最大值为． 2．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） (1)设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 【答案】(1)， (2)自行车车棚的长为，宽为 (3)自行车车棚面积最大可达到，计算见解析 【分析】本题主要考查了用代数式表示式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，理解题意、找到等量关系、列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据已知条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可解答； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽．另外，一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过，宽不超过8米； （3）根据（1）得到的函数解析式，然后再根据函数解析式求得车棚的最大值即可解答． 【详解】（1）解：∵车棚宽度为， ∴， ∴． 由，解得：． ∴S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ． 答：自行车车棚的长为57m，宽为5m． （3）解：自行车车棚面积最大可达到，计算如下： ， ，， 当时，有最大值为：， 自行车车棚面积最大可达到． 3．如图，利用一面墙（墙长28米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为x米． (1)若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长； (2)矩形围栏面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，诸说明理由； (3)矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在请说明理由． 【答案】(1)10米 (2)不可能，理由见解析 (3)存在， 【分析】（1）先表示出的长，再根据矩形围栏面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论； （2）根据矩形围栏面积为240平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形围栏面积不可能达到240平方米； （3）设矩形围栏面积为S，首先得到，然后表示出S，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵设栅栏长为x米 ∴， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 答：栅栏的长为10米； （2）解：不可能，理由如下： 依题意，得：， 整理得：， ∵， ∴方程没有实数根， ∴矩形围栏面积不可能达到240平方米； （3）解：设矩形围栏面积为S 根据题意得， ∴ ∴ ∵ ∴当时，即米时，S有最大值． 【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是掌握以上知识点． 【经典例题二 利用二次函数求图形运动问题】 【例2】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接，设运动时间为，的面积为S． (1)用含t的代数式表示______；______． (2)点D运动至何处时，？ (3)点D运动过程中，的最大值是多少？ 【答案】(1)， (2) (3)． 【分析】本题考查动点问题，解题的关键是掌握二次函数的性质，一元二次方程的实际应用等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据点D和点E的运动路径和运动速度即可得到答案； （2）求出，由，则，，，可得即可求出； （3）根据直角三角形面积公式列出关于t的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）∵点D从点C开始沿边运动，速度为， ∴， ∵，点E从点B开始沿边运动，速度为， ∴， 故答案为：， （2）解：由题意可知，t的最大值为，即， ∵，， ∴， 由题意可知，，，，， ∴， 解得： ，（舍去）， ∴当时，． （3）由题意可得， ， ∵， ∴当时，的最大值是4， 即点D运动过程中，的最大值是． 1．如图，在中，．点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动．当点到达点时，停止运动．设点运动的时间为的面积为， (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质： ； (3)结合函数图象，直接写出当时，则的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)图象见解析，当时，随的增大而增大；时，随的增大而减小 (3)， 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，一次函数与二次函数综合． （1）分两种情况分别计算即可； （2）画出函数图象后分析函数图象即可得到性质； （3）在图象找到与函数图象有两个交点，由此得出的取值范围即可． 【详解】（1）当点在线段上时，， 此时，， ∴； 当点在线段上时，， 此时，， ∴， ∴； 综上所述， （2）函数图象如下： 性质：当时，随的增大而增大；时，随的增大而减小。 （3）当时即，解得：（负值已舍去）， 当时即，解得：， 由图象可知：当时，，． 故答案为：，． 2．如图，在中，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为，四边形的面积为． (1)求S与t满足的函数关系式； (2)四边形的面积能不能达到？请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形的面积不能等于，理由见解析 【分析】本题主要考查了函数的动点问题、四边形的面积、二次函数的与一元二方程的关系等知识点，出与t的函数关系式是解本题的关键． （1）根据题意用t表示出、，再根据即可解答； （2）由可得关于t的一元二次方程，然后根据一元二次方程根的判别式判定即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，cm，所以， ∴ ， ∵， ∴． ∴． （2）解：四边形的面积不能等于，理由如下： 假设四边形的面积能等于， ∴，即， ∴， ∴方程无解， ∴四边形的面积不可能等于． 3．图1，在中，，．点以的速度从点出发沿匀速运动到；同时，点以（）的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，与的函数图象如图2所示． (1)______，______，补全函数图象； (2)求出当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于； (3)连接，交于点，求平分时的值． 【答案】(1)；；补全函数图象见解析 (2) (3) 平分 时 的值为 【分析】（1）根据当时，从点正好运动到点，即可求出运动速度，根据当时，，求出的长，然后用，即可算出的长，根据时，，补全图象即可； （2）分或两种情况下，使的面积为的值不小于的的取值范围，即可求出结果； （3）以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据已知条件写出、、、的坐标，根据点为的中点，写出点的坐标，求出用表示的的函数关系式，把点的坐标代入，解关于的方程即可得出的值． 【详解】（1）解：图是点在上运动时，与的函数图象， 当时，从点正好运动到点， ， 点运动的速度， 当时，， 即， ， ， ； 当时，， 当时，从运动到点，停止， ，补全图象如图所示： 故答案为：；；补全图象见解析． （2）当时，，， ，即， 整理得， 解得：， ， ； 当时，， ，即， 解得：， ； 综上分析可知，当时，的面积为的值不小于． （3）以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示： 则点坐标为，点坐标为，点的坐标为，点坐标为， 平分， 点为的中点， 点的坐标为：， 设直线的解析式为，把、两点的坐标代入得： ，解得：， 直线的解析式为， 点在上， ， 解得：，（舍去）， 即平分时的值是． 【点睛】本题主要考查了动点问题，一次函数关系式，二次函数关系式，解不等式，以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，用函数的思想解决问题（3），是解题的关键． 【经典例题三 利用二次函数求拱桥问题】 【例3】（22-23九年级上·浙江台州·期中）为促进经济发展，方便居民出行，某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，隧道最高点P离路面的距离为6米，宽度为12米． (1)求该抛物线的解析式； (2)若隧道内设双向行车道，并且中间有一条宽为1米的隔离带，如果一货运汽车装载某大型设备后高为4米，宽为3.5米，按如图所示的平面直角坐标系这辆货车能否安全通过？为什么？ 【答案】(1)； (2)这辆货车不能安全通过，理由见解析． 【分析】（1）由题意可知顶点P的坐标为，则设抛物线的解析式为，把点代入求解即可； （2）根据隧道隧道是双向车道，把代入解析式中求出的值与4进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意，顶点P的坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， 即所求抛物线的解析式为：； （2）解：当时， ， 这辆货车不能安全通过． 【点睛】本题考查二次函数在实际问题中的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是根据图象求出函数解析式． 1．图1是合肥逍遥津公园内的一座拱桥，跨度为，拱顶离地面高，拱桥的形状可以近似地看成一条抛物线．    (1)以的中点为坐标原点建立如图2所示的平面直角坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式； (2)当水面宽度小于或等于时，需要采取紧急措施，禁止游客进入．现在水面距离拱顶为，是否需要采取紧急措施？并说明理由． 【答案】(1) (2)需要，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）计算出时对应的x的值，进而计算出水面宽度，即可判断． 【详解】（1）解：由题意知，，， ，，顶点， 设抛物线解析式为， 将代入，得：， 解得， 拱桥所在抛物线的表达式为； （2）解：需要，理由如下： ， 将代入，得：， 解得， 水面宽度为， 需要采取紧急措施． 2．如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面的距离为． (1)求出抛物线的解析式； (2)在距离地面高处，隧道的宽度是多少？ (3)如果该隧道为单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高m、宽，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 【答案】(1) (2)m (3)这辆货车能通过该隧道，理由见解析 【分析】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键． （1）根据题意可以设出抛物线的顶点式，根据题中信息可知点，代入即可求得抛物线的解析式； （2）把代入解析式，即可得解； （3）根据题意可以求得当时的得值，然后与比较，即可解答本题； 【详解】（1）解：根据题意，得点，，， 设抛物线的解析式为：， 将点代入， 得到， 解得：； ∴抛物线的解析式为：． （2）在中，令， 得到， 解得：， ， 故在距离地面高处，隧道的宽度是； （3）这辆货车能通过该隧道，理由如下： ， 将代入， 得到：， ， 故这辆货车能通过该隧道． 3．如图1是一座圆弧型拱桥侧面示意图．水面宽与桥长均为24米，桥拱顶部离水面的距离为8米，以桥拱顶部为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系． (1)求圆弧型桥拱所在圆的半径； (2)如图2，桥面上方有3根高度均为4米的支柱，，，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面的距离为1米． ①求出轴右侧一条钢缆抛物线的函数表达式； ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求经过钢缆最低点的彩带的长度． 【答案】(1)圆弧型桥拱所在圆的半径为13米 (2)①；②经过钢缆最低点的彩带的长度为米 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，待定系数法求解析式，勾股定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． （1）设圆弧型拱桥的圆心为，圆的半径为，则米，米，利用勾股定理列式解答即可； （2）①由图象分析右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为，然后利用待定系数法求函数解析式； ②连接圆与，作于点，如图2，从而得到米，米，利用勾股定理求得米，求得米，米，进而得解． 【详解】（1）解：设圆弧型拱桥的圆心为，圆的半径为，连接，交于点，如图1， 由题意得：，米，米， ∴米，米， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， 答：圆弧型桥拱所在圆的半径为13米； （2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为，设其表达式为，将代入得： ， 解得：， ∴右边钢缆所在抛物线表达式为：； ②由题意可知，即为所求彩带的长度，如图2，连接圆与，作于点， 则米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：经过钢缆最低点的彩带的长度为米． 【经典例题四 利用二次函数求销售问题】 【例4】（23-24八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 【素材一】每年春季，是凤梨的旺季．某水果店热销一批凤梨，其进价为每个5元，当售价为25元时，平均每天可以卖出120个． 【素材二】经市场调研发现：售价每上涨1元/个，每天要少卖出5个；售价每下降1元/个，每天可多卖出10个． 【素材三】“五一”假期将至，该水果店计划只调整一次售价，以获得更高利润． 【任务一：分析变量关系】 若涨价2元/个，则平均每天销售数量为__________个； 若设降价x元/个，则平均每天销售数量为__________个（用含x的代数式表示）． 【任务二：探索调整方案】 该水果店如何调整售价，才能使每天的利润达到2520元？ 【任务三：拟定最优方案】 为保证凤梨的最佳风味，该水果店决定采取适当的降价措施，尽快减少库存，应如何调整售价才能使每天的利润最高？ 【答案】【任务一】110；；【任务二】将售价下降2元或6元能使利润达到2520元；【任务三】将售价下降4元，能使每天的利润最高，达到2560元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． [任务一]依据题意，由售价每上涨1元个，每天要少卖出5个，再结合涨价2元个，即可得平均每天销售数量；依据售价每下降1元个，每天可多卖出10个，可得当降价元个时，可得平均每天销售数量； [任务二]依据题意，若设涨价元个时，可得，进而可得△，故可判断涨价不能使利润达到2520元；若设降价元个时，则得，进而计算可以得解； [任务三]依据题意，为尽快减少库存，故采取降价促销，从而可得每天的利润，再由二次函数的性质即可判断得解． 【详解】解：[任务一] 由题意，售价每上涨1元个，每天要少卖出5个， 又涨价2元个， 平均每天销售数量为：（个）． 又售价每下降1元个，每天可多卖出10个， 当降价元个时，平均每天销售数量为：个． 故答案为：110；． [任务二] 由题意，若设涨价元个时， 得， 化简得． ． 涨价不能使利润达到2520元． 若设降价元个时， 得， 化简得， 解得，． 将售价下降2元或6元能使利润达到2520元． [任务三] 尽快减少库存， 采取降价促销． 每天的利润． 将售价下降4元，能使每天的利润最高，达到2560元． 1．某批发商出售一种成本价为10元/件的商品，市场调查发现，该商品每周的销售量（件）与销售价（元/件）满足一次函数．这种商品每周的销售利润为元． (1)求与的函数关系式； (2)商家为了盘活资金，减少库存，要确保这种商品每周的销售量不少于180件，若这种商品每周的销售利润为2000元，则该商品每周的销售量是多少？ 【答案】(1) (2)200 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，明确题意，根据数量关系列出函数关系式及根据等量关系列出方程是解题的关键． （1）根据销售量、售价与销售利润之间的数量关系列出函数关系式即可求解； （2）根据销售利润为2000元为等量关系列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，可得 ； （2）若这种商品每周的销售利润为2000元，即， 则有， 解得，， 由，解得． ∴，当时，． 答：该商品每周的销售量是200件． 2．某款网红产品很受消费者喜爱，每个产品的进价为40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天的销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． (1)直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围． (2)将产品的销售单价定为多少元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ (3)该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，求销售单价的值． 【答案】(1) (2)将产品的销售单价定为52元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大，最大利润是2640元． (3)为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，销售单价为50元 【分析】本题主要了考查二次函数应用，一元二次方程的应用的等知识点， （1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润； （3）根据题意得剩余利润为，利用函数性质求出时的x的取值范围即可； 解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【详解】（1）根据题意，得， 与之间的函数关系式为； （2）根据题意，得． ，又对称轴直线，且， 当时，有最大值，最大值为2640， 将产品的销售单价定为52元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大，最大利润是2640元； （3）依题意可得剩余利润为元． 捐款后每天剩余利润等于2200元， ，即， 解得或（舍去）， 为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，销售单价为50元． 3．又到了板栗飘香的季节，为提高大家购买的积极性，销售板栗的顺发果业每天拿出元现金，作为红包发给购买者．已知板栗每日销售量与销售单价（元）满足关系：．当每日销售量低于时，成本价格为元；当每日销售量不低于时，成本价格为元；在销售中销售单价不低于成本价格且不高于元．设销售板栗的日获利为（元）． (1)当日销售量不低于时，的取值范围是______； (2)请求出日获利与销售单价之间的函数关系式； (3)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2) (3)当销售单价定为元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为元 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确找出等量关系． （1）根据题意可得不等式，解不等式即可得到答案； （2）根据利润（售价成本价）销售量，进行求解即可； （3）根据（2）所求，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 当每日销售量不低于时，成本价格为元；在销售中销售单价不低于成本价格且不高于元． ， 故答案为：； （2）当时，即日销售量不低于时，； ∵， ∴， 当时，即每日销售量低于时，； 综上所述，日获利与销售单价之间的函数关系式为； （3）当时，， ， 当时，随的增大而增大， 当时，最大，最大值为（元）； 当时，， 当时，最大，最大值为元， ， 当销售单价定为元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为元． 【经典例题五 利用二次函数求投球问题】 【例5】（2024·浙江台州·二模）有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌的距离．现以点M为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（）表示球与点M之间的水平距离，y（）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，段抛物线可以看作是由段抛物线向左平移得到．    (1)当时， ①求b的值； ②求点A，B之间的距离； (2)已知段抛物线的最大高度为，且它的形状与段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是求出解析式； （1）①由得到，代入即可求解；②抛物线的对称轴为直线，得到点关于直线对称的点为，从而即可解答； （2）设点，由落点A和落点C重合，得到，设段抛物线的解析式为，则抛物线的最高点横坐标为，代入得到纵坐标为2，即，解得，因此段抛物线的解析式为，令，得，即，即可解答． 【详解】（1）解：①当时，则． 代入， 得， 解得； ②∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于直线对称的点为． ∴ ∴点A，B之间的距离为； （2）解：设点， ∵落点A和落点C重合， ∴． 根据题意，设段抛物线的解析式为， 抛物线在线段的中点时有最高点，此时该中点的横坐标为． ∴， 即，解得， ∴此时段抛物线的解析式为， 令，得，即． ∴当时，落点C恰好与落点A重合． 1．16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． (1)求出a，b的值； (2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭第一级运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将代入即可求解； （2）将变为，即可确定顶点坐标，即最高点，由比火箭运行的最高点低，得出，进而对应的x的值，然后进行比较再计算即可． 【详解】（1）解：∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，． （2）由①知，， ∴ ∴最大值 当时， 则 解得， 又∵火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． ∴不合题意舍去； ∴当火箭第二级高度时，在第二次则 解得 ∴这两个位置之间的距离． 2．小明和小红两人在课余时间打羽毛球，羽毛球的飞行路线可近似看成抛物线形状．某一时刻小明发出一球，在如图所示的体系中，设小明的击球出手点为P， 当球运行到距OP的水平距离为4m时，球达到最高点 ．已知球网距原点5m． (1)求抛物线的解析式； (2)若小红站在距球网1m远的C处，求小红的球拍距地面（即）多高时，球拍的上边缘正好与球接触？ 【答案】(1) (2)小红的球拍距地面（即）时，球拍的上边缘正好与球接触 【分析】本题考查二次函数的应用，解题关键是明确题意，再根据二次函数的图象与性质解题． （1）设顶点式，用待定系数法即可求解； （2）将代入即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：， 把点代入，得：， 解得：， ； （2）解：当时，得： ． 答：小红的球拍距地面（即）时，球拍的上边缘正好与球接触． 3．鹰眼技术助力厦门世界杯亚洲区预选赛，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点，守门员位于点，的延长线与球门线交于点，且点，均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离与离地高度的鹰眼数据如表： 5 10 15 20 25 3 4.5 5 4.5 3 (1)求关于的函数解析式； (2)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度2.6m时，视为防守成功．若一次防守中，守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明． 【答案】(1) (2)这次守门员能防守成功． 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数解析式． （1）根据表格可知，抛物线顶点为，用待定系数法可得； （2）结合（1），求出，即可知这次守门员能防守成功． 【详解】（1）解：根据表格可知，抛物线顶点为， 设关于的函数解析式为， 把代入得：， 解得， 关于的函数解析式为； （2）解：这次守门员能防守成功，理由如下： 在中，令得：， ， 这次守门员能防守成功． 【经典例题六 利用二次函数求喷水问题】 【例6】（2024·浙江杭州·一模）某公园有一个喷水池，中心的可升降喷头垂直于地面，喷出的水柱形状呈抛物线．如图是喷水池喷水时的截面图，以喷水池中心O为原点，水平方向为x轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，设喷头A的坐标为，抛物线的函数表达式中二次项系数为a． (1)当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米． ①若，求第一象限内水柱的函数表达式（无需写取值范围）． ②求含c的代数式表示a． (2)为了美化公园，对喷水设备进行改造，使a与c之间满足，且当水平距离为6米时，水柱达到最大高度．求改造后水柱达到的最大高度． 【答案】(1)①；② (2)8米 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用以及二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能利用数形结合思想是关键． （1）①依据题意，设第一象限内水柱的函数表达式为，当时，把代入函数表达式即可得解； ②依据题意，把代入即可得解； （2）依据题意，设第一象限内水柱的函数表达式为，利用，得出与的关系，将代入，即可得解． 【详解】（1）解：①设第一象限内水柱的函数表达式为． 当时，把代入函数表达式，得 ． ． 第一象限内水柱的函数表达式为． ②把代入， 得， 得； （2）解：由题意，设第一象限内水柱的函数表达式为． ， ． 把代入，得， ． ． 水柱达到的最大高度8米． 1．如图，某城区公园有直径为的圆形水池，水池边安有排水槽，在正中心O处修喷水装置，喷出的水流呈抛物线状，当水管高度在处时，距离水平距离处喷出的水流达到最大高度为． (1)求抛物线解析式，并求水流落地点B到点O的距离（即线段的长）； (2)距离水平距离多远的E点处，放置高为的景观射灯使水流刚好到点F？ 【答案】(1)抛物线解析式为：，水流落地点B到点O的距离为 (2)点E应该与的距离为 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，掌握根据顶点坐标设抛物线的解析式为：，是解答本题的关键． （1）根据题意可知，抛物线的顶点坐标为，即设抛物线的解析式为：，再根据，可得，将代入中，即可得，则抛物线解析式为：，令，即可得的坐标为，则，问题得解； （2）根据题意令，可得，解方程即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点坐标为， 即设抛物线的解析式为：， ∵， ∴， 将代入中，可得， ∴， ∴抛物线解析式为：， 令，可得， ∴解得，（根据题意，负值舍去） ∴的坐标为， ∴， 即水流落地点B到点O的距离为； （2）解：根据题意令，可得， ∴解得，（根据题意，负值舍去） ∴的坐标为，即， ∴点E应该与的距离为． 2．为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系． (1)求出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； (2)待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，判断水流是否到达点处，并说明理由； (3)若消防员从点前进米到点（水流从点射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点处，直接写出的值， ．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同） 【答案】(1)； (2)能达点处，理由见解析； (3)． 【分析】（）根据函数项点坐标且过，可设抛物线解析式为，再用待定系数法解答即可求解； （）利用平移求出消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式，再令，求出的值即可判断求解； （）利用平移求出消防员到点处时水流所在抛物线的解析式，再结合水流未达到最高点且恰好到达点，即可求解； 本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得消防员第一次灭火时水流所在抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为，将点代入得， ， 解得， ∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为； （2）解：能达点处，理由如下： 由题意知，消防员第二次灭火时水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移个单位得到 ， ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式， 令，可得， ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线经过， ∴水流能到达点处； （3）解：由题意得，消防员从点前进到点(水流从点射出)处，可以看成把第一次抛物线向左平移个单位得到， ∴消防员到点处时水流所在抛物线的解析式为， ∵水流未达到最高点且恰好到达点处， ∴过点，且对称轴， ∴， 将点代入得，， 解得或（不合，舍去）， ∴， 故答案为：． 3．护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为，设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底所在的水平方向为轴，处所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，原点为，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为． (1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离； (3)给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？ 【答案】(1) (2)18米 (3)米 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、二次函数平移等知识，熟练掌握与灵活运用相关知识，运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． （1）设抛物线解析式为，将代入并求解，即可获得答案； （2）对于抛物线，令，求解即可获得答案； （3）设浇灌装置还要升高米，则抛物线解析式为，再确定点坐标，将点坐标代入，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为， 将代入，可得， 解得 ， ∴水柱所在抛物线的函数表达式为； （2）对于抛物线， 令，可得， 整理可得， 解得，（舍去）， ∴该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，此时喷到处的水柱距出水口的水平距离为18米； （3）设浇灌装置还要升高米，则抛物线解析式为， 对于直线：， 令，可得， 解得，即， 将点代入， 可得， 解得， ∴浇灌装置还要升高米． 【经典例题七 利用二次函数求增长率问题】 【例7】（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)19元；250元 【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，根据题意，得，解方程即可． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，结合每个商品的售价不低于进价，解之即可得出x的值即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用-平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键． 【详解】（1）设商城每次降价的百分率为x， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：商城每次降价的百分率为为． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，利润最大，250(元), 答：定价为19元，最大利润为250元． 1．某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)19元；250元 【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，根据题意，得，解方程即可． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，结合每个商品的售价不低于进价，解之即可得出x的值即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用-平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键． 【详解】（1）设商城每次降价的百分率为x， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：商城每次降价的百分率为为． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，利润最大，250(元), 答：定价为19元，最大利润为250元． 2．2022年第一季度我省总值约为10000亿元，第三季度的总值约为11025亿元． (1)假定第二季度、第三季度我省总值的增长率相同，求这个增长率； (2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的总值能否突破12000亿元？并说明理由． 【答案】(1)5% (2)能突破，理由见解析 【分析】（1）设这个增长率为x，利用第三季度的GDP总值=第一季度的总值第二季度、第三季度我省GDP总值的增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用预计2023年第一季度我省的总值=2022年第三季度我省的总值每季度我省总值的增长率，可求出预计2023年第一季度我省的总值，再将其与12000亿元比较后即可得出结论． 【详解】（1）设第二季度、第三季度我省总值的增长率为，根据题意得 ， 解得，（不合题意，舍去）， 答：第二季度、第三季度我省总值的增长率为5%； （2）到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元， 理由：2023年第一季度我省总值为（亿元）（亿元）， ∴到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【经典例题八 铅垂高、水平宽求面积最值问题】 【例8】如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，作直线． (1)求点，，的坐标； (2)是直线上方抛物线上一点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标； (3)是抛物线对称轴上一点，当时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)点的坐标为 (3)点的坐标为 【分析】（1）令，求出的值可得出点，的坐标；令，求出的值可得出点的坐标； （2）过点作轴交于点，求出直线的解析式，设点，利用三角形的面积公式表示的面积，再根据二次函数的性质可得出结论； （3）设点，根据，可得，求出的值即可求解． 【详解】（1）解：令，则， 解得：，， ∵抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点， ∴，， 令，则， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴交于点， 设点，则点， ∴， ， ∵， 当时，的面积最大，此时，点的坐标为； （3）∵抛物线的对称轴为直线， ∴设点， ∵，，， ∴， ∴， 解得：， ∴点的坐标为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，三角形的面积等，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 1．如图，抛物线与y轴交于点A，直线与x轴交于点．若点P为抛物线上的动点，且在直线上方，当面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值．    【答案】， 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质．先求出直线的解析式，设点，过点P作轴，交于点Q，则，可得，即可求解． 【详解】解：当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴的解析式为， 设点， 过点P作轴，交于点Q，则，   ， ， ∴当时，的面积最大为， 此时． 2．如图，抛物线与坐标轴交于点O，B两点，直线与抛物线交于点A，B两点，已知点B的坐标为． (1)求b和k的值； (2)求出点A的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，当面积最大时，求出点M的坐标，并求出面积的最大值． 【答案】(1)，； (2)，或； (3)当面积最大时，，最大值为． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出b和k的值即可； （2）联立两个函数解析式求出点A的坐标，图象法求出不等式的解集即可； （3）过点作的平行线交于点，设，则，根据得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：把分别代入和，得： ，， ∴，； （2）解：由（1）知，两个函数的解析式分别为：，， 联立， 解得：或， ∴； 由图象，可知：不等式的解集为或； （3）解：过点作的平行线，交于点， 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，，其对称轴与x轴交于点M． (1)求此抛物线的解析式和对称轴； (2)连接，在直线下方的抛物线上，是否存在一点N，使的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ，抛物线的对称轴是 (2)在直线下方的抛物线上存在点N，使面积最大． 【分析】（1）由抛物线与x轴的交点坐标可设两点式，再代入点A即可求出解析式； （2）设N点的横坐标为t，此时点，过点N作y轴的平行线，交于点F，求出直线的解析式为，得出点F的坐标为，求出，根据，得出，根据二次函数的最值，求出结果即可． 【详解】（1）解：根据已知条件可设抛物线的解析式为， 把点代入上式得： 解得：， ∴． ∴抛物线的对称轴是直线． （2）解：在直线下方的抛物线上存在点N，使的面积最大． 设N点的横坐标为t，此时点， 过点N作y轴的平行线，交于点F，如图所示： 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴点F的坐标为， ∴， ∴ ， ∵当时，面积的最大值为． 由，得． ∴． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像和性质，求二次函数的解析式，二次函数最值，求一次函数解析，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 【经典例题九 二次函数销售问题中的捐赠类问题（含参）】 【例9】某专卖店专营某产品，根据总部要求市场销售单价在25元到45元之间．专卖店在销售该产品的过程中发现：销售该产品的成本（单位：元）与销售件数（单位：件）成正比例．同时每天的销售件数与销售价格（单位：元/件）之间满足一次函数关系．如表记录了该专卖店某4天销售A产品的数据． 销售价格（单位：元/件） 25 30 32 38 销售件数（单位：件） 35 30 28 22 销售成本（单位：元） 210 180 168 132 (1)直接写出与之间的函数关系式； (2)若一天的销售利润为，当销售价格为多少时，最大？最大值是多少？ (3)该专卖店以每件返现元的办法促销，发现在销售规律不变的情况下，当元/件时，一天可获得的利润为600元，求的值． 【答案】(1) (2)当销售价格x为33元时，w最大，最大值是729元 (3)4 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数在销售问题中的应用．熟练掌握待定系数法求解析式，总利润与成本、售价和数量的关系，二次函数的性质，是解题的关键． （1）设，将代入，求解即可； （2）设，将代入，求得，得到，求得，即可求得w的最大值； （3）根据得出w关于x的二次函数，把代入，可解得a的值． 【详解】（1）解：∵y与x之间满足一次函数关系， ∴设其解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：∵销售A产品的成本q（单位：元）与销售件数y（单位：件）成正比例， ∴设其解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴， ∴ ， ∴当时， w最大，最大值为729． ∴当销售价格x为33元时，w最大，最大值是729元； （3）解：由题意得： ， 把代入， 得， 解得． 答：a的值是4． 1．教师节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为50元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于52%．分析教师节同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）（x为整数）近似的满足一次函数关系，数据如表：（注：利润率=利润/成本） 销售单价x（元、件） … 60 70 75 … 每天销售量y（件） … 240 180 150 … (1)求y与x的函数关系式； (2)试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润； (3)花店承诺：每销售一件鲜花礼盒就捐赠n元（）给“希望工程”．若扣除捐赠后的日利润随着销售单价x的增大而增大，请直接写出n的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)当销售单价为75元/件时，利润最大为3750元 (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式、二次函数的应用及二次函数的最值问题，正确列出解析式，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）设y与x的函数关系式为，用待定系数法求函数解析式即可； （2）设每天获得的利润为w元，根据总利润=单价利润×销售量列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可； （3）设表示扣除捐款后的日利润，根据题意，列出函数解析式，利用在范围内，随x的增大而增大，进而求解即可． 【详解】（1）解：设， 由题意得：当时，，当时，， ∴， 解之得， ∴； （2）解：设每天利润为w元，由题意得 ， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴当时，， 答：当销售单价为75元/件时，利润最大为3750元； （3）解：设表示扣除捐款后的日利润， ， ∵在（x为整数）范围内，随x的增大而增大，开口向下，对称轴是直线， ∴， 解得， ∵， ∴． 2．电商小李在抖音平台上对一款成本单价为10元的商品进行直播销售，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售出700件，销售单价每上涨10元，每天销售量就减少200件，设此商品销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）． (1)求y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若销售该商品每天的利润为7500元，求该商品的销售单价； (3)小李热心公益事业，决定每销售一件该商品就捐款m元（）给希望工程，当每天销售最大利润为6000元时，求m的值． 【答案】(1) (2)该商品的销售单价为25元 (3)m的值为5 【分析】（1）设销售单价为x元，则每件涨价元，则销量减少件，由此可得y与x之间的关系式为，整理即可． （2）根据总利润=每件利润销售量，可得方程，求出方程的解，再根据题意选择合适的x的值即可． （3）根据总利润=（售价进价m）销售量，得，求出其对称轴，再根据二次函数的性质及增减性可得当时，，由此得，求出m的值即可． 【详解】（1）由题意得：， 整理得：． ∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍， ∴． （2）由题意，得：， 解之得：， ， ∵， ∴． 答：该商品的销售单价为25元． （3）设销售该商品每天的总利润为w元，据题意可得： ， 其对称轴为直线为：． ∵在对称轴左侧，且抛物线开口向下， ∴w随x的增大而增大． 当时，． ∴， 解得． 答：m的值为5． 【点睛】本题主要考查了利用一次函数、二次函数、以及一元二次方程解决实际问题—利润问题，根据题意列出函数关系式，并熟练掌握二次函数图像的性质是解题的关键． 3．某商场经销一种儿童玩具，该种玩具的进价是每个元，经过一段时间的销售发现，该种玩具每天的销售量y（个）与每个的售价x（元）之间的函数关系如图所示．    (1)求y关于x的函数关系式，并求出当某天的销售量为个时，该玩具的销售利润； (2)每天的销售量不低于个的情况下，若要每天获得的销售利润最大，求该玩具每个的售价是多少？最大利润是多少？ (3)根据物价部门规定，这种玩具的售价每个不能高于元．该商场决定每销售一个这种玩具就捐款n元（），捐款后发现，该商场每天销售这种玩具所获利润随售价的增大而增大，求n的取值范围． 【答案】(1)当某天的销售量为个时，该玩具的销售利润元 (2)要每天获得的销售利润最大，该玩具每个的售价是元，最大利润为元 (3) 【分析】（1）设，由题意知，图象过，两点，待定系数法求得解析式为，当时，，解得，根据利润为：，计算求解即可； （2）由题意得，，即，设每天的销售利润为W（元），依题意得， ，然后根据二次函数的图象与性质求解作答即可； （3）设捐款后每天所获得的利润为Q（元），依题意得，，则抛物线的对称轴为直线，由，可知当时，Q随x的增大而增大．由物价部门规定这种玩具的售价每个不能高于元，可得，计算求解然后作答即可． 【详解】（1）解：设， 由题意知，图象过，两点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 解得， 利润为：（元）， ∴当某天的销售量为个时，该玩具的销售利润元； （2）解：由题意得，， 解得， 设每天的销售利润为W（元）， 依题意得， ， ∵， ∴当时，W取最大值，最大值为， ∴要每天获得的销售利润最大，该玩具每个的售价是元，最大利润为元； （3）解：设捐款后每天所获得的利润为Q（元）， 依题意得，， ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴当时，Q随x的增大而增大． ∵物价部门规定这种玩具的售价每个不能高于元， ∴， 解得， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，有理数混合运算的应用，一元一次不等式的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握一次函数的应用，一元一次不等式的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数的最值是解题的关键． 【经典例题十 二次函数中角度计算问题（45°等）】 【例10】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求a，b的值； (2)点M是抛物线对称轴上一点，已知为等腰三角形，请求出点M的坐标； (3)若点P为抛物线上的一个动点，是否存在点P使，如果存在，请求出点P的横坐标，如果不存在，请说明理由； 【答案】(1)，； (2)，，，，； (3)或． 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）将函数解析式化为顶点式，得到对称轴，分三种情况：当时， 当时，当时，分别求出点M的坐标； （3）当P在上方时，过B作于T，过T作轴于M，过C作于N，证明，有，设，可得，即知，求出直线解析式为，令，求出点P的横坐标；当P在下方时，过B作于R，过R作轴于W，过C作于S，同理可得点P的横坐标为． 【详解】（1）解：将，代入，得 ， 解得； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，， ∴， 设， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴当时，，即，解得， ∴点M坐标为或； 当时，，即， 解得， ∴点M坐标为； 当时，，即， 解得， ∴点M坐标为，， 综上，点M的坐标为，，，，； （3）解：存在点P使，理由如下： 当P在上方时，过B作于T，过T作轴于M，过C作于N，如图： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴ ∵， ∴， 解得 ∴， 设直线解析式为， 把代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 当时， 解得； ∴点P的横坐标为； 当P在下方时，过B作于R，过R作轴于W，过C作于S，如图： 同理可得， ∴， 设， ∴， 解得， ∴ 设直线的解析式为， 将代入，得 ． 解得， ∴直线的解析式为， 令， 解得， ∴点P的横坐标为 综上，点P的横坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，二次函数的图象和性质，二次函数的交点问题，三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 1．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P为第一象限内抛物线上一点．若点E的坐标为，且，求点P的坐标． 【答案】 【分析】过点C作，过点E作，交于点F，过点F作轴于点H，证明，可得，，即知直线的解析式为，直线的解析式为，联立方程组，求解即可到P点坐标. 【详解】过点C作，过点E作，交于点F，过点F作轴于点H， ∴， 为等腰直角三角形， ∴. 当时，， ∴. ∵点E的坐标为， ∴. ∵， ， ， ∴， ， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立， 解得 ∵点P在第一象限， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数，二次函数的性质，等腰直角三角形性质等知识点，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题． 2．如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)P是抛物线上一动点（不与点C重合），直线交对称轴于点，连接，当时，求直线的解析式． 【答案】(1) (2)或； 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． （1）根据对称轴为直线可知，即；再将代入解析式即可解答； （2）如图所示，过点A作交直线于M，过点M作轴于Q， 设抛物线对称轴与x轴交点为D，先证明可得；设直线的解析式为，点N的坐标为，然后分和两种情况解答即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∴， ∵抛物线与x轴交于， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为． （2）解：如图所示，过点A作交直线于M，过点M作轴于Q， 设抛物线对称轴与x轴交点为D， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，点N的坐标为， ∵当时，， ∴，， ∴， ∴点M的坐标为， ∴，即，解得或（舍去）， ∴直线的解析式为， 同理可得：当时，解得：． 综上所述，直线的解析式为或． 3．如图1，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，过B、C两点作直线． (1)求a的值． (2)如图1，将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点P在抛物线上，且请直接写出直线的表达式． 【答案】(1) (2)存在，点D的坐标为 (3)存在点P在抛物线上，且，直线的表达式为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式为，由平移的性质得出直线的解析式为，设，作轴，交于点，作于，设直线交轴于，则，，证明是等腰直角三角形，得出，再根据二次函数的性质即可得解； （3）分两种情况：当在的下方时，在轴正半轴上取点，连接交抛物线于点；当在的上方时，作点关于直线的对称点，连接，，直线交抛物线于，分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点， ∴， 解得：； （2）解：存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大， ∵， ∴当时，， ∴， 当时，， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点， ∴直线的解析式为， 设， 如图，作轴，交于点，作于，设直线交轴于， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时点D的坐标为； （3）解：当在的下方时，在轴正半轴上取点，连接交抛物线于点， ， ∵，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去），， ∴； 当在的上方时，作点关于直线的对称点，连接，，直线交抛物线于， ， 由对称得：，，， ∴， ∴， 同理可得：直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去），， ∴， 综上所述，存在点P在抛物线上，且，直线的表达式为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质、直线的平移、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 46．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）如图，抛物线经过点，与y轴交于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，若点P是y轴正半轴上一点，且是等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数解析式的解析式以及等腰三角形的性质，本题解题的关键在于理解并应用二次函数的性质、几何知识、分类讨论的思想． （1）将A点的坐标代入抛物线中，即可得出二次函数的解析式； （2）本题要分两种情况进行讨论：先根据抛物线的解析式求出B点的坐标，即可得出的长进而可求出的长，①，由此可求出P点的坐标；②，此时P与B关于x轴对称，由此可求出P点的坐标． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得． 抛物线的解析式为． （2）解：当时，． ． ． ， ． 在中，由勾股定理，得． 点是轴正半轴上一点， 当时，P、B关于x轴对称， ； 当时，， ， ； 当时，点P在y轴负半轴上，不合题意． 综上，点的坐标为或． 47．（24-25八年级上·上海·阶段练习）某种新产品进价是元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系． 每件售价（元） 每日销售量（件） (1)请你根据上表所给数据表述出每件售价提高的数量（元）与日销售量减少的数量（件）之间的关系； (2)在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划：每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到； (3)每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到最大值？ 【答案】(1)售价每上涨1元，日销售量就减少l件 (2)定价为或元 (3)定价元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用．熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的应用是解题的关键． （1）由表格可知，售价每上涨1元，日销售量就减少l件； （2）设每件产品涨价元，则销售价为元，日销售量为件，依题意得，，计算求出满足要求的解即可； （3）设每日盈利元，每件产品涨价元，依题意得，，由，可得当时，盈利最大，然后求定价即可． 【详解】（1）解：由表格可知，售价每上涨1元，日销售量就减少l件； （2）解：设每件产品涨价元，则销售价为元，日销售量为件， 依题意得，， 解得，，， ∴每件产品涨价或元，即定价为或元时，每日盈利可达到； （3）解：设每日盈利元，每件产品涨价元， 依题意得，， ∵， ∴当时，盈利最大， ∴每件商品定价为元时，每日盈利可达到最大值元． 48．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)为第一象限抛物线上一点，的面积与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数中的面积问题． （1）根据待定系数法求抛物线的解析式，即可求出，的值； （2）先求出的值，根据，得出点的纵坐标为，将代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解：因为抛物线与轴交于，与轴交于点， 将，代入，得：， 解得：， 故，． （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， ∵抛物线与轴交于点， ∴， ∵， ∴点到轴的距离为， ∵点为第一象限抛物线上一点， 即点的纵坐标为， 将代入，得， 即， 解得：（舍去），， 故点的坐标为． 49．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），如果分别从同时出发，设运动的时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）． (1)求与之间的函数关系式； (2)求自变量的取值范围； (3)四边形的面积能否等于，若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】此题考查二次函数的实际运用，一元二次方程的实际运用，掌握三角形的面积计算方法是解决问题的关键． （1）利用两个直角三角形的面积差求得答案即可； （2）利用线段的长度与运动速度建立不等式得出答案即可； （3）利用（1）的函数建立方程求解判断即可． 【详解】（1）解：∵运动的时间为x，点P的速度为，点Q的速度为， ，． ． （2）解：， ． （3）解：不能，理由如下： 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． ． 不在自变量x的取值范围内． ∴四边形的面积不能等于． 50．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动．不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧．图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为，水柱最高点离地面．图3是某一时刻时，水柱形状的示意图．为喷水管，B为水的落地点，记长度为喷泉跨度． (1)在图2中，以O为原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式. (2)在图3中，若喷水管最高可伸长到，求出喷泉跨度的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，以及二次函数解析式的求法，运用二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意可知抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，代入即可求解； （2）不同高度的喷水管喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，形状相同，最高高度也相同，图3中抛物线的顶点坐标可设为，，设此时的抛物线的函数表达式为，当时，，， 解得，再由，得，即可求出答案． 【详解】（1）解：如图， 点坐标为，点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线的最高点为3， 顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为过点， 则 解得：， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：在图3中，以O为原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图： ∵不同高度的喷水管喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，形状相同，最高高度也相同， ∴图3中抛物线的顶点坐标可设为，， 设此时的抛物线的函数表达式为， 当喷水管最高可伸长到时， 即当时，，， 解得：， 由，得，解得：或（舍）， ∴此时． 即喷泉跨度的最小值为． 51．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图1是一座圆弧型拱桥侧面示意图．水面宽与桥长均为24米，桥拱顶部离水面的距离为8米，以桥拱顶部为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系． (1)求圆弧型桥拱所在圆的半径； (2)如图2，桥面上方有3根高度均为4米的支柱，，，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面的距离为1米． ①求出轴右侧一条钢缆抛物线的函数表达式； ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求经过钢缆最低点的彩带的长度． 【答案】(1)圆弧型桥拱所在圆的半径为13米 (2)①；②经过钢缆最低点的彩带的长度为米 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，待定系数法求解析式，勾股定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． （1）设圆弧型拱桥的圆心为，圆的半径为，则米，米，利用勾股定理列式解答即可； （2）①由图象分析右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为，然后利用待定系数法求函数解析式； ②连接圆与，作于点，如图2，从而得到米，米，利用勾股定理求得米，求得米，米，进而得解． 【详解】（1）解：设圆弧型拱桥的圆心为，圆的半径为，连接，交于点，如图1， 由题意得：，米，米， ∴米，米， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， 答：圆弧型桥拱所在圆的半径为13米； （2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为，设其表达式为，将代入得： ， 解得：， ∴右边钢缆所在抛物线表达式为：； ②由题意可知，即为所求彩带的长度，如图2，连接圆与，作于点， 则米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：经过钢缆最低点的彩带的长度为米． 52．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）某服装公司的某种运动服进价为每件60元，每月的销量y（件）与售价x（元）存在一次函数关系，部分数据信息如表： 售价x（元/件） 100 110 120 130 月销量y（件） 200 180 160 140 (1)月销量是 ．（请用含x的式子表示） (2)设销售该运动服的月利润为W元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？ (3)该公司决定每销售一件运动服，就捐赠元利润给希望工程，物价部门规定该运动服售价不得超过120元． 若月销售最大利润是8800元，求a的值． 【答案】(1)； (2)售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的性质在实际生活中的应用，解题关键理解题意，确定变量，建立函数模型． （1）设月销量y与x的关系式为，运用待定系数法求解即可； （2）根据月利润每件的利润月销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求出最大利润； （3）根据题意得到函数关系式，可得对称轴，再根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：设月销量y与x的关系式为， 由题意得，， 解得，， ∴； （2）解：由题意得， ， ∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元； （3）解：根据题意得，， ∴对称轴， 当时， 此时时，w的最大值8800， ∴， 解得：． 当时， 当时，w的最大值8800， ∴此时，不符合题意，舍去． 综上：． 53．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，小明利用围墙的一段（围墙最长可利用8米），再砌三面墙，围成一个矩形菜园，并在段留有1米宽的门（该处不消耗墙的材料），现在已经备足可以砌15米长的墙的材料． (1)要使菜园的面积为30平方米，不计墙的厚度，求段的长． (2)请问为多长时，可以使围成的矩形菜园面积达到最大值，并求出最大值． 【答案】(1)的长为5米； (2)当为4米时，可以使围成的矩形菜园面积达到最大值，最大值为8平方米． 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）设的长为米，则的长为米，根据菜园的面积为30平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合围墙最长可利用8米，即可得出结论； （2）设矩形面积为S平方米，根据题意表示出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设的长为米，则的长为米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：的长为5米； （2）解：设矩形面积为S平方米， 根据题意得，， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，S有最大值32， 当时，，符合题意． ∴当为4米时，可以使围成的矩形菜园面积达到最大值，最大值为8平方米． 54．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，，连接和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴上是否存在一点使得的周长最小，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数的图像及性质、轴对称的性质等知识，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用二次函数的图像及性质． （1）首先确定点的坐标，再代入抛物线解析式，即可求出答案； （2）首先求出点坐标以及抛物线对称轴为，根据轴对称的性质可得，故有周长，当点在同一直线上时，的周长最小，利用待定系数法解得直线的解析式，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 将点，代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线解析式为； （2）如图所示， 对于抛物线，其对称轴为， 令，可得，解得， ∴， ∵点在直线上，关于直线对称， ∴，， ∴周长， 当点在同一直线上时，的周长最小， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴． 55．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)在x轴上找一点E，使的值最小，求出此时点E的坐标，并求的最小值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点，的最小值为 (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、点的对称性等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． （1）直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为、，将点B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）如图1，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则此时为最小，即可求解； （3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解． 【详解】（1）解：直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为、， 将点B、C的坐标代入二次函数表达式得： ，解得：， 故函数的表达式为：， 令，则或3，故点； （2）解：如图1中，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则此时为最小， 函数顶点D坐标为，点， 设直线的解析式为，将、D的坐标代入得： ，解得， 直线的表达式为：， 当时，， 故点， 则的最小值为； （3）解：①当点P在x轴上方时，如图中， ∵，则，， 过点B作于点H，则， 设， 则， 由勾股定理得：，即， 解得：， 则， 则； ②当点P在x轴下方时， 同理可得； 故点P的坐标为或． 56．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，已知二次函数经过点和点， (1)求该二次函数的解析式； (2)如图，若一次函数经过、两点，直接写出不等式的解； (3)点是抛物线的对称轴上一点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，掌握待定系数法、理解函数与不等式的关系等是解题的关键． （1）根据待定系数法求解； （2）根据函数与不等式的关系求解； （3）求出抛物线的对称轴，利用对称性求解即可． 【详解】（1）解：把点和点代入得， ， 解得：， 该二次函数的解析式为：； （2）解：根据函数图象可知，不等式的解集为：； （3）解：二次函数的对称轴是直线； 点B与点A关于直线对称， ∴， 当B、C、E三点共线时，的值最小； 把点和点代入得， ， 解得，， ∴直线解析式为， 则点的坐标为． 57．（24-25九年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． (1)求，，三点的坐标； (2)在函数的图象上，连接，，的面积是的面积的倍，求点的坐标； (3)在函数的图象上，在轴正半轴上，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)点的坐标是，， (3)，，，， 【分析】本题考查了二次函数与四边形的综合题，涉及求函数与坐标轴的交点问题，与三角形的面积有关问题，平行四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）分别令，求出一元二次方程的根，即可求出点坐标，再令即可求出点坐标； （2）设，根据的面积是的面积的倍得到方程，求出y，再代入函数解析式解出x即可求出坐标； （3）分类讨论：设，，而，①当为对角线时，则；②当为对角线时，则；③当为对角线时，则，分别求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得：或， ∴，， 令，则， ∴； （2）解：设，， ∵的面积是的面积的倍 ∴， 解得：， ∴， ∴或， 解得：或， 所以点P的坐标为：，，； （3）解：设，，而， ①当为对角线时， ， 解得：（舍）或，或（舍）或 ∴或 ②当为对角线时， ， 解得：或或（舍）或 ∴或或 ③当为对角线时， 无实数根，故不成立； 综上所述，点N的坐标为，，，，． 58．（24-25九年级上·天津·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)P是抛物线上一动点（不与点C重合），直线交对称轴于点，连接，当时，求直线的解析式． 【答案】(1) (2)或； 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． （1）根据对称轴为直线可知，即；再将代入解析式即可解答； （2）如图所示，过点A作交直线于M，过点M作轴于Q， 设抛物线对称轴与x轴交点为D，先证明可得；设直线的解析式为，点N的坐标为，然后分和两种情况解答即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∴， ∵抛物线与x轴交于， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为． （2）解：如图所示，过点A作交直线于M，过点M作轴于Q， 设抛物线对称轴与x轴交点为D， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，点N的坐标为， ∵当时，， ∴，， ∴， ∴点M的坐标为， ∴，即，解得或（舍去）， ∴直线的解析式为， 同理可得：当时，解得：． 综上所述，直线的解析式为或． 59．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）为缓解停车难的问题，太阳山小区利用一块长方形空地建一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为，宽为，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为． (1)求通道的宽是多少米； (2)该停车场共有64个车位，据调查发现：当每个车位的月租金为400元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元时，就会少租出1个车位． ①当每个车位的月租金上涨时，停车场的月租金收入会超过27000元吗？ ②当每个车位的月租金上涨时，停车场会有部分车位空置，所以物业部门拟把这些空置车位提供给到附近办事的人临时停车，经过调查发现每个空置车位每天平均收入10元（每月按30天算），则每个车位月租金上涨多少元时，停车场的总收入最高，最高是多少？ 【答案】(1)通道的宽是6米 (2)①会超过27000元，理由见解析；②每个车位月租金上涨270元时，停车场的总收入最高，最高是32890元 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，正确理解题意找出等量关系列出方程或函数关系式是解答此题的关键． （1）设通道的宽为，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可； （2）①设每个车位的月租金上涨m元，停车场的月租金收入为w元，则可租出个车位，列出二次函数关系式，再求出最大值即可； ②设每个车位的月租金上涨m元，停车场的总收入为y元，则可租出个车位，根据题意列出二次函数关系式，求出最大值即可． 【详解】（1）解：设通道的宽是，则阴影部分可合成长为，宽为的长方形，根据题意得： ， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：通道的宽是； （2）解：①当每个车位的月租金上涨时，停车场的月租金收入会超过27000元，理由如下： 设每个车位的月租金上涨m元，停车场的月租金收入为w元，则可租出个车位， 根据题意得： ， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为27040， ∵， ∴当每个车位的月租金上涨时，停车场的月租金收入会超过27000元； ②设每个车位的月租金上涨m元，停车场的总收入为y元，则可租出个车位， 根据题意得： ， ∵， ∴当时，y取得最大值，最大值为32890， ∴每个车位月租金上涨270元时，停车场的总收入最高，最高是32890元． 60．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）已知：如图，抛物线与轴交于，两点，与直线交于，两点．     (1)求的长． (2)在轴上是否存在一点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图，点是第三象限内直线下方的抛物线上的点，过点作轴的垂线，交轴于点，交直线于点，若点恰为线段的三等分点，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 (3)或 【分析】本题考查抛物线与直线的交点问题、坐标与图形、解一元二次方程等知识，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）联立方程组求得点B、C坐标，然后利用两点坐标距离公式求解即可； （2）设，利用两点坐标距离公式列方程求得y值，进而可求解； （3）由题意，设，则，，，分当时和当时两种情况，利用坐标与图形结合已知列方程求解即可． 【详解】（1）解：联立方程组，解得，， ∴，， ∴； （2）解：存在． 由题意，设， 由得， 解得， ∴满足条件的点的坐标为或； （3）解：由题意，设，则，，， ∴，， ∵点恰为线段的三等分点， ∴当时，由得， 解得，（舍去）， 则， ∴； 当时，由得， 解得，（舍去）， 则， ∴， 综上，满足条件的点E坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$