专题03 二次函数与方程、不等式重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题03 二次函数与一元二次方程重难点题型专训（9大题型+20道拓展培优） 题型一 求抛物线与x轴的交点坐标 题型二 求抛物线与y轴的交点坐标 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型四 图象法确定一元二次方程的近似根 题型五 抛物线与x轴的交点问题 题型六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型七 求x轴与抛物线的截线长 题型八 直线与抛物线相切情况的问题 题型九 二次函数与一元二次方程问题综合 【知识点1 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 【知识点2 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）】 （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【经典例题一 求抛物线与x轴的交点坐标】 【例1】（2024·河北石家庄·二模）已知二次函数，该二次函数的对称轴为，函数图象与轴其中一个交点为，若一元二次方程在范围内只有一个解，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 1．二次函数的图象与轴交于，两点，则的值是（   ） A．2025 B． C．2024 D． 2．抛物线与x轴的一个交点为，则它与x轴的另一个交点的坐标为 ． 3．在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标为，且过点． (1)求二次函数的表达式； (2)求出该函数与轴的交点坐标； (3)画出该二次函数的图象，并写出当时，自变量的取值范围． 【经典例题二 求抛物线与y轴的交点坐标】 【例2】（23-24九年级下·江西赣州·期中）如图，是抛物线的部分图象，其过点，，且，则下列说法错误的是（    ） A． B．该抛物线必过点 C．当时，y随x增大而减小 D．当时， 1．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 2．抛物线向左平移1个单位，所得抛物线与y轴的交点的坐标是 ． 3．已知二次函数． (1)写出抛物线的顶点坐标、开口方向、对称轴； (2)写出抛物线与x轴、y轴的交点坐标； (3)x为何值时，；x为何值时，；x为何值时，？ 【经典例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值】 【例3】（23-24九年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作垂直于轴的直线与抛物线有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点记为，当为锐角三角形时，则的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 1．已知关于x的方程的两个根分别是，若点A是二次函数的图象与y轴的交点，过A作轴交抛物线于另一交点B，则的长为（    ） A．2 B． C． D．3 2．已知一元二次方程的两实数根满足，则k的取值范围为 ． 3．新定义：在平面直角坐标系中，若一条直线与二次函数图象抛物线有且仅有一个公共点，且抛物线位于这条直线同侧，则称该直线与此抛物线相切，公共点为切点．现有一次函数与二次函数图象相切于第二象限的点A． (1)求二次函数的解析式及切点A的坐标； (2)当时，求二次函数函数值的取值范围； (3)记二次函数图象与轴正半轴交于点，问在抛物线上是否存在点（异于）使，若有则求出坐标，若无则说明理由． 【经典例题四 图象法确定一元二次方程的近似根】 【例4】（2023·浙江·模拟预测）已知二次函数，已知函数与x轴相交于，且函数的对称轴为直线，则的根的范围是（    ） A． B． C． D． 1．若，()是关于的方程()的两个实数根，则实数，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是．则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论是 ． 3．已知二次函数中函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 3 … y … 9 21 9 … 根据表格填空： (1)该函数图象的开口方向________，对称轴为________； (2)方程的正根的范围为________； (3)不等式解集是________． 【经典例题五 抛物线与x轴的交点问题】 【例5】（2024·浙江温州·三模）已知，二次函数与轴有两个交点，且为正整数，当时，对应函数值的取值范围是，则满足条件的的值是（    ） A．2 B． C． D． 1．一条抛物线的顶点为，，且与轴有两个交点，其中一个交点是，则对，，描述正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是 ． 3．如图，抛物线与y轴交于点． (1)的值为______； (2)求当满足什么条件时，抛物线在轴上方； (3)求当时，的取值范围． 【经典例题六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 【例6】（2024·湖南·三模）如图，二次函数（）的图像与轴的正半轴交于点，对称轴为直线．下面结论：①； ②； ③；④方程（）必有一个根大于且小于0．其中正确的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点．若关于的一元二次方程有整数根，则的值有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．若直线与函数的图象只有一个交点，则交点坐标为 ；若直线与函数的图象有四个交点，则m的取值范围是 3．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)求二次函数的解析式； (2)写出不等式的解集； (3)写出随的增大而减小时自变量的取值范围； (4)若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______． 【经典例题七 求x轴与抛物线的截线长】 【例7】（2023·广东梅州·一模）已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．20 1．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．图象与轴交点的坐标是 D．图象在轴上截得的线段长度是4 2．已知抛物线与x轴交于 A，B两点，则线段AB的长的最小值为 ． 3．如图，已知抛物线与x轴交于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，求EF的长； (3)当时，x的取值范围是_________． 【经典例题八 直线与抛物线相切情况的问题】 【例8】（2024·山东临沂·一模）函数的图象是由函数的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④将图象向上平移2个单位后与直线有3个交点． A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④ 1．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，D．若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有2个交点时，的取值范围是 ． 3．如图，抛物线 经过两点． (1)设直线的解析式为． ①求直线与抛物线的解析式； ②直接写出不等式 的解集． (2)将抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，若直线 与抛物线新图象恰好有2个公共点，求n的取值范围． 【经典例题九 二次函数与一元二次方程问题综合】 【例9】（2024·四川南充·三模）在平面直角坐标系中有两点、，若二次函数的图象与线段只有一个交点，则（　　） A．a的值可以是 B．a的值可以是 C．a的值不可能是 D．a的值不可能是1 1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）关于二次函数的三个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②若，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于不同两点，，且若，当时，，其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线的对称轴为，经过点，顶点为P，下列四个结论：①若，则；②若c与n异号，则抛物线与x轴有两个不同的交点；③方程一定有两个不相等的实数解；④设抛物线交y轴于点C，不论a为何值，直线始终过定点其中正确的是 （填写序号） 3．（2024·浙江·二模）已知二次函数． (1)证明该二次函数过一定点． (2)当时，有最小值，请直接写出此时的取值范围． (3)过，的直线与二次函数图象的另一个交点为，若，，中，当其中一个点是另两点连线的中点时，求的值． 1．（2022年上海市曹杨第二中学自主招生考试数学试卷）已知与x轴、y轴正半轴分别相交于A、B两点，若M是抛物线在第一象限内的动点，则的最大值为（   ） A． B．7 C．6 D． 2．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）关于二次函数，下列说法错误的是（   ） A．图象与y轴的交点坐标为 B．图象的对称轴在y轴的右侧 C．当时，y的值随x的增大而减小 D．y的最小值为 3．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）若抛物线与轴有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D．且 5．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，已知抛物线，直线，下列结论错误的是（   ） A．当或时， B．当或时， C．当时，随的增大而增大 D．使的的值有个 6．（24-25九年级上·山西阳泉·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有 7．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知二次函数（为常数）． （1）若该二次函数图象经过点，则 ； （2）若平行于轴的直线与该二次函数图象交于点，且点的横坐标之和大于2，则的取值范围为 ． 8．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数的图象如图，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数）其中正确的结论有： （填序号）． 9．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）已知二次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有2个交点时，的取值范围是 ． 10．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系中，点坐标为点坐标为． （1）若抛物线经过点，则的值为 ． （2）若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围为 ． 11．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，与x轴的另一个交点为B． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，求x的取值范围； (3)当直线与抛物线有2个公共点时，求m的取值范围． 12．（2024九年级上·北京·专题练习）已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)与y轴的交点坐标是 ；与x轴的交点坐标是 ． (3)在坐标系中利用描点法画出此抛物线． (4)不等式 的解集是 ． (5)当时，y的取值范围是 ． 13．（24-25九年级上·山西朔州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)方程的两个根为________． (2)不等式的解集为________． (3)若随的增大而减小，则自变量的取值范围为________． (4)若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________． 14．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点、是二次函数图象上一对对称点，一次函数的图象过点、． (1)直接写出点、的坐标； (2)求二次函数的解析式； (3)根据图象求的解集． 15．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小丽根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小丽的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是 ________． (2)如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整； (3)对于上面的函数，下列四个结论： ①函数图象关于y轴对称； ②函数既有最大值，也有最小值； ③当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； ④函数图象与x轴有2个公共点． 所有正确结论的序号是________． (4)结合函数图象，解决问题： 若关于x的方程有4个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次函数与一元二次方程重难点题型专训（9大题型+20道拓展培优） 题型一 求抛物线与x轴的交点坐标 题型二 求抛物线与y轴的交点坐标 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型四 图象法确定一元二次方程的近似根 题型五 抛物线与x轴的交点问题 题型六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型七 求x轴与抛物线的截线长 题型八 直线与抛物线相切情况的问题 题型九 二次函数与一元二次方程问题综合 【知识点1 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 【知识点2 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）】 （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【经典例题一 求抛物线与x轴的交点坐标】 【例1】（2024·河北石家庄·二模）已知二次函数，该二次函数的对称轴为，函数图象与轴其中一个交点为，若一元二次方程在范围内只有一个解，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，先根据二次函数，该二次函数的对称轴为，求出，根据函数图象与轴其中一个交点为，求出，令新的二次函数解析式为：，求出当时，，当时，，根据一元二次方程在范围内只有一个解，得出当时和当时，y的值异号，求出，然后验证当时， 当时，是否符合题意，最后验证当一元二次方程，即只有一个解时，k的值是否符合题意，即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数，该二次函数的对称轴为， ∴， 解得：， ∵函数图象与轴其中一个交点为， ∴， 解得：， 令新的二次函数解析式为：， 把，代入得：， 当时，， 当时，， ∵一元二次方程在范围内只有一个解， ∴当时和当时，y的值异号， ∴， 解得：， 当，方程的解为或，不符合题意； 当，方程的解为或，在范围内只有一个解，符合题意； 当一元二次方程，即只有一个解时， ， 解得：， 且当时，方程的解为，在范围内； 综上分析可知：一元二次方程在范围内只有一个解，则的取值范围是或． 故选：C． 1．二次函数的图象与轴交于，两点，则的值是（   ） A．2025 B． C．2024 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，一元二次方程根与系数的关系，根据二次函数与轴交于，两点，把点代入得，结合一元二次方程根与系数的关系计算得，再将变形得，由此即可求解． 【详解】解：二次函数的图象与轴交于，两点， ∴，， 当时，解为， ∴， ∴ ， ， 故选：D ． 2．抛物线与x轴的一个交点为，则它与x轴的另一个交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，以及抛物线的对称性，根据抛物线解析式得到其对称轴，再结合抛物线的对称性，即可得到它与x轴的另一个交点的坐标． 【详解】解：抛物线与x轴的一个交点为， 其对称轴为直线， 它与x轴的另一个交点的坐标为， 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标为，且过点． (1)求二次函数的表达式； (2)求出该函数与轴的交点坐标； (3)画出该二次函数的图象，并写出当时，自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)，图见解析 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及函数与轴、轴的交点坐标的求法，是一个基础题． （1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）令，即可得到关于的方程，即可得解； （3）由（1）（2）即可作图，结合图象可得的范围． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式是， 则， 解得：． 则抛物线的解析式是，即； （2）解：在中， 令，则， 解得：或3， 则函数与轴的交点坐标，； （3）解：由（1）（2）得，抛物线顶点为，与轴交点坐标为，； 令，则， 与轴交于． 作图如下． 当时，． 【经典例题二 求抛物线与y轴的交点坐标】 【例2】（23-24九年级下·江西赣州·期中）如图，是抛物线的部分图象，其过点，，且，则下列说法错误的是（    ） A． B．该抛物线必过点 C．当时，y随x增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，对称性，与y轴的交点问题，增减性问题，利用数形结合的思想是解题的关键． 由图象得抛物线与y轴交于可判断A选项；由对称轴及可求抛物线必过点；由对称轴及开口方向可判断C选项；由对称轴及抛物线过点，可求与x轴另一交点为，再由开口方向即可判断D选项． 【详解】解：由图象得抛物线与y轴交于代入得，故本选项不符合题意； B、∵对称轴为直线，设关于对称轴的对称点为，则，解得，∴对称点为，故本选项不符合题意； C、∵对称轴为直线，且开口向上，∴当时，y随x增大而减小，，故本选项不符合题意； D、由抛物线过点，对称轴为直线，则与x轴另一交点为，且开口向上，∴当时，，故本选项符合题意． 故选：D． 1．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】首先确定点，，的坐标，然后结合列出绝对值方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：对于抛物线，令，即有， ∴， 解得，， ∴，两点的坐标为，， 对于抛物线，令，则有， ∴点坐标为， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，经检验，是该方程的解． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、二次函数图像与坐标轴交点、绝对值方程以及分式方程等知识，正确确定点，，的坐标是解题关键． 2．抛物线向左平移1个单位，所得抛物线与y轴的交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．先根据顶点式确定抛物线的顶点坐标为，再利用点的平移得到平移后抛物线的顶点坐标为，于是得到移后抛物线解析式为，然后求平移后的抛物线与y轴的交点坐标. 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 把点向左平移1个单位得到点的坐标为， 所以平移后抛物线解析式为， 当时，， 所以得到的抛物线与y轴的交点坐标为． 故答案为： 3．已知二次函数． (1)写出抛物线的顶点坐标、开口方向、对称轴； (2)写出抛物线与x轴、y轴的交点坐标； (3)x为何值时，；x为何值时，；x为何值时，？ 【答案】(1)顶点坐标为、开口方向向上、对称轴为直线 (2)与x轴的交点坐标为，，抛物线与y轴的交点坐标为 (3)或时，；或时，；时， 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的顶点式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会由二次函数的顶点式得知二次函数的性质． （1）用配方法将表达式化为顶点式，利用得到的顶点式即可求解； （2）解方程即可得到结论； （3）利用开口方向和对称轴及自变量的取值即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为、开口方向向上、对称轴为直线； （2）解：在中，当时，， 当时，即， 解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，，抛物线与轴的交点坐标为； （3）解：抛物线与轴的交点坐标为，，且开口方向向上，如下图： 或时，；或时，；时，． 【经典例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值】 【例3】（23-24九年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作垂直于轴的直线与抛物线有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点记为，当为锐角三角形时，则的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，依据题意，当为锐角三角形时，则，进而计算可以得解．能根据锐角三角形的性质进行判断是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，得；当时，得：， ∴，， ∴， ∵过点作垂直于轴的直线与抛物线有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点记为， 当时，， 解得：或， ∴点， ∵为锐角三角形， ∴， ∴． 故选：D． 1．已知关于x的方程的两个根分别是，若点A是二次函数的图象与y轴的交点，过A作轴交抛物线于另一交点B，则的长为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查方程的解，二次函数的图象及性质，抛物线与坐标轴的交点． 把解代入方程中，即可求得b，c的值，从而得到二次函数解析式，令得到点A的坐标，由轴与点B在二次函数图象上得到点B的坐标，从而可求得的长． 【详解】∵方程的两个根分别是， ∴， 解得， ∴二次函数为， 令，则， ∴二次函数为的图象与y轴的交点A的坐标为， ∵轴， ∴点B的纵坐标为， 把代入函数，得， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∴． 2．已知一元二次方程的两实数根满足，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，对于二次函数，当时求得的自变量的值，也就是二次函数图象与轴的交点横坐标，就是对应的一元二次方程的解．令，画出大致图象可得：当时，；当时，；当时，；即可求解； 【详解】解：令， 则抛物线与轴的两个交点坐标为， ∵， 画出大致图象如下： 可得：当时，； 当时，； 当时，； 由①②③解得： 故答案为： 3．新定义：在平面直角坐标系中，若一条直线与二次函数图象抛物线有且仅有一个公共点，且抛物线位于这条直线同侧，则称该直线与此抛物线相切，公共点为切点．现有一次函数与二次函数图象相切于第二象限的点A． (1)求二次函数的解析式及切点A的坐标； (2)当时，求二次函数函数值的取值范围； (3)记二次函数图象与轴正半轴交于点，问在抛物线上是否存在点（异于）使，若有则求出坐标，若无则说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)有，． 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，灵活利用数形结合思想解决问题是解题的关键． （1）联立一次函数与二次函数表达式并整理得：，再求出时m的值，然后将m的值代入计算即可； （2）由抛物线的表达式知，其顶点为，当时，；当时，，据此即可解答； （3）求出直线的表达式为：，而，则直线和直线关于x轴对称，进而得到直线的表达式为：，然后与抛物线联立即可解答． 【详解】（1）解：联立一次函数与二次函数表达式并整理得：， 称该直线与此抛物线相切于点A， 则，解得：或， 当时，由，解得：； 当时，由，解得：（舍去）， 故点，二次函数表达式为：． （2）解：∵， ∴该抛物线的顶点为， 当时，；当时，， 故函数值的取值范围是：． （3）解：∵二次函数图象与轴正半轴交于点， ∴， 设直线的表达式为：， 把点、点代入可得： ，解得， ∴直线的表达式为：， ， ∴直线和直线关于x轴对称， ∴点关于x轴的对称点在直线上， 设直线的表达式为：， 把点、点代入可得： ，解得， ∴直线的表达式为：， ∴，即， 解得：（舍去）或1， ∴点． 【经典例题四 图象法确定一元二次方程的近似根】 【例4】（2023·浙江·模拟预测）已知二次函数，已知函数与x轴相交于，且函数的对称轴为直线，则的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质等等，先根据二次函数的对称性求出二次函数与x轴相交于，再由二次函数的性质得到当时，，最后根据的根可以看做是二次函数与直线的交点的横坐标即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数与x轴相交于，且函数的对称轴为直线， ∴二次函数图象与x轴另一个交点为， ∵， ∴函数开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大， ∴当时， ∵的根可以看做是二次函数与直线的交点的横坐标， ∴， 故选：D． 1．若，()是关于的方程()的两个实数根，则实数，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数之间的关系，二次函数与一元二次方程，令抛物线解析式，得到抛物线与轴交点的横坐标为，，再结合图象得抛物线与交点，即交点横坐标为，，从而确定出，，，的大小关系，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】解：令抛物线解析式， 当，， 解得：，， ∴抛物线与轴交点的横坐标为，， ∴抛物线与交点，横坐标为，， ∵，， ∴如图， ∴， 故选：． 2．如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是．则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论是 ． 【答案】①③ 【分析】根据抛物线的对称轴是直线可判断结论①；根据抛物线与坐标轴的交点情况可判断结论②；根据二次函数与方程的关系可判断结论③；根据抛物线与轴的交点及当时的函数值可判断结论④． 【详解】解：：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在，之间， ∴该抛物线与轴的另一个交点在，之间， ∴方程一定有一个根在和之间，故结论②错误； 根据函数图象可得，抛物线与直线有两个交点， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故结论③正确； ∵抛物线与轴的另一个交点在，之间， ∴， ∵二次函数的图象与轴交点的纵坐标是， ∴， ∴， ∴．故结论④错误． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查图象法求一元二次方程的近似值，抛物线与轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 3．已知二次函数中函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 3 … y … 9 21 9 … 根据表格填空： (1)该函数图象的开口方向________，对称轴为________； (2)方程的正根的范围为________； (3)不等式解集是________． 【答案】(1)向下， (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质． （1）根据表格中的数据，并结合二次函数图象的性质求解即可； （2）根据二次函数的图象与性质进行求解即可； （3）找到点关于对称轴的对称点为，再由二次函数的图象过点和，即可求解． 【详解】（1）解：∵当，时，函数值都是9， ∴该函数图象的对称轴为直线， ∵当时，函数值随着的增大而增大， ∴该函数图象的开口向下， 故答案为：向下，； （2）解：∵点、关于对称轴的对称点为、， ∴方程的正根的范围为， 故答案为：； （3）解：∵点关于对称轴的对称点为，且该函数图象的开口向下， ∴不等式解集是， 故答案为：． 【经典例题五 抛物线与x轴的交点问题】 【例5】（2024·浙江温州·三模）已知，二次函数与轴有两个交点，且为正整数，当时，对应函数值的取值范围是，则满足条件的的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程，由题意得出，且，结合为正整数，得出，从而得出二次函数为，再结合二次函数的性质分两种情况讨论：当时；当时，分别计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：，且， ∵为正整数， ∴， ∴二次函数为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，，当时，， ∵当时，对应函数值的取值范围是， ∴， ∴当时，函数在上随着的增大而增大， ∴当时，，即， 解得：（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）； 当时，当时，取到最小值，为，即， 解得：（符合题意）； 故选：B． 1．一条抛物线的顶点为，，且与轴有两个交点，其中一个交点是，则对，，描述正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活二次函数的性质是关键． 依据题意，由抛物线的顶点为，可得，即，故，又抛物线过，则，进而可得，结合，最后可以判断，，的符号． 【详解】解：由题意，抛物线的顶点为， ，即． ． 又抛物线过， ， ． ． ， ． ，． ． 故选：C． 2．若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点问题． 根据抛物线与轴没有交点，可知当时，方程没有实数根，则，从而可以求得的取值范围． 【详解】解：抛物线与轴没有交点， 当时，方程没有实数根， ， 解得， 故答案为：． 3．如图，抛物线与y轴交于点． (1)的值为______； (2)求当满足什么条件时，抛物线在轴上方； (3)求当时，的取值范围． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，对称轴，与x轴的交点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，注意进行数形结合． （1）把点代入抛物线的关系式，求出m的值即可； （2）先求出抛物线与x轴的两个交点，结合函数图象即可得出答案； （3）结合函数图象可知，当时，函数图象在直线的下方（包括交点），求解当时，，，再结合函数图象可得答案． 【详解】（1）解：把点代入抛物线的关系式， 得：； （2）解：根据解析（1）可知，抛物线的关系式为：， 把代入得：， 解得：，， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：，， ∴结合函数图象可知，当时，抛物线在x轴上方； （3）解：结合函数图像可知，当时， ∴ 函数图象在直线的下方（包括交点）， ∴当时， 解得：，． ∴当时，或． 【经典例题六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 【例6】（2024·湖南·三模）如图，二次函数（）的图像与轴的正半轴交于点，对称轴为直线．下面结论：①； ②； ③；④方程（）必有一个根大于且小于0．其中正确的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系、二次函数图像上点的坐标特征、抛物线与轴的交点坐标等知识，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．由函数图像可确定，，，即可判断结论①；由，易得，即可判断结论②；由图像可知，函数图像与轴的正半轴交点在点和之间，结合对称轴为直线，可得函数图像与轴的另一个交点在点和点之间，故方程（）必有一个根大于且小于0，即可判断结论④；由函数图像与轴的另一个交点在点和点之间，可知当时，，即可判断结论③． 【详解】解：由函数图像可知，该函数图像开口向下， ∴， ∵该函数图像的对称轴为直线， ∴可有， ∴， ∵该函数图像与轴的交点在轴的正半轴上， ∴当时，可有， ∴，故结论①正确； ∵， ∴，故结论②正确； 由图像可知，函数图像与轴的正半轴交点在点和之间，对称轴为直线， ∴函数图像与轴的另一个交点在点和点之间， ∴方程（）必有一个根大于且小于0，故结论④正确； ∵函数图像与轴的另一个交点在点和点之间， ∴当时，， ∵， ∴，故结论③错误． 综上所述，结论正确的有①②④，共计3个． 故选：C． 1．已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点．若关于的一元二次方程有整数根，则的值有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象抛物线与x轴及常函数直线的交点横坐标与一元二次方程根的关系．画出抛物线的大致图象，观察图象当，时，抛物线始终与x轴相交于于．故自变量x的取值范围为．所以x可以取得整数，0，1，2，3，4，5，共7个，结合对称性可确定p的值应有4个． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， 又∵抛物线与x轴的一个交点为， 把和代入得，， 解得：， ∴， ∴最小值， 如图： 顶点坐标为， 令， 即， 解得或， ∴当时，抛物线始终与x轴交于与， 若关于x的一元二次方程有整数根， 即常函数直线与二次函数有交点， ∴， 由图象得当时，，其中x为整数时，，0，1，2，3，4，5， ∴一元二次方程的整数解有7个． 又∵与，与，与关于直线x＝2轴对称， 当时，直线恰好过抛物线顶点， 所以p值可以有4个． 故选：C． 2．若直线与函数的图象只有一个交点，则交点坐标为 ；若直线与函数的图象有四个交点，则m的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，画出函数的图象是解题的关键．求得函数的图象与x轴的交点，然后根据图象即可求得符合题意的交点坐标；根据函数与直线的图象之间的位置关系即可求出m的取值范围． 【详解】令，即， 解得，， 函数与x轴的坐标为，， 作出|的图象，如图所示， 当直线经过点时与函数的图象只有一个交点， 故若直线与函数|的图象只有一个交点，交点坐标为； 故答案为：． 由函数图象可知， 联立， 消去y后可得：， 令，可得， 解得， 即时，直线与函数的图象只有3个交点， 当直线过点时， 此时，直线与函数的图象只有3个交点， 直线与函数的图象有四个公共点时，m的范围为：． 故答案为：．     3．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)求二次函数的解析式； (2)写出不等式的解集； (3)写出随的增大而减小时自变量的取值范围； (4)若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据二次函数图象在x轴上方的部分对应的x范围，即可作答； （3）根据二次函数的增减性，即可作答； （4）根据二次函数的顶点坐标，结合直线与二次函数有两个交点，即可作答． 【详解】（1）解∶∵二次函数图象的顶点为， ∴设函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：∵或时，二次函数的值大于0， ∴不等式的解集为或； （3）解：由函数图象可知，当时，y随x的增大而减小， 即y随x的增大而减小，则自变量x的取值范围为； （4）解：由函数图象可知，二次函数图象开口向下，顶点坐标为， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴直线与二次函数有两个交点， ∴k的取值范围为， 故答案为：． 【经典例题七 求x轴与抛物线的截线长】 【例7】（2023·广东梅州·一模）已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．20 【答案】A 【分析】根据题意，联立方程组求解，消元得到，利用根与系数的关系，再运用两点距离公式变形求出长度即可得到答案． 【详解】解：抛物线与一次函数交于两点， 联立，消元得， ， 故选：A 【点睛】本题考查平面直角坐标系中求线段长问题，涉及函数图像交点问题、一元二次方程根与系数的关系、两点之间距离公式及完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及两点之间距离公式是解决问题的关键． 1．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．图象与轴交点的坐标是 D．图象在轴上截得的线段长度是4 【答案】D 【分析】根据得顶点坐标是， ，判定抛物线开口向下；令，得，图象与轴交点的坐标是；令，得，求得交点坐标，后计算距离解答即可． 本题考查了抛物线的开口，与坐标轴的交点，与x轴相交的两交点间的距离，熟练掌握性质和交点的计算是解题的关键． 【详解】解：根据得顶点坐标是， ， ∴抛物线开口向下； 故A，B错误； 令，得， ∴图象与轴交点的坐标是； 故C错误； 令，得， 解得， ∴， 故D正确， 故选D． 2．已知抛物线与x轴交于 A，B两点，则线段AB的长的最小值为 ． 【答案】2 【分析】设A(x₁，0)，B(x₂，0)，则．由根与系数的关系把x₁+x₂，x₁x₂用含m的代数式表示出来，再代入上式计算，再利用配方法求出AB的最小值即可． 【详解】设A(x₁，0)，B(x₂，0)， 由根与系数的关系得 x₁+x₂=-m，x₁x₂=m-2， 则 = = = 当m=2时，(m-2) ²=0 此时有最小值为， ∴AB的长的最小值为2． 故答案为：2 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，以及用配方法求二次三项式的最小值．综合运用以上知识是解题的关键． 3．如图，已知抛物线与x轴交于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，求EF的长； (3)当时，x的取值范围是_________． 【答案】(1) (2) (3)或， 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及待定系数法求二次函数解析式，熟知待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． （1）将，两点坐标代入函数解析式即可解决问题． （2）令，求出点和点的坐标即可解决问题． （3）根据函数图像即可直接写出x的取值范围． 【详解】（1）解：由题知，将，两点坐标代入函数解析式得， ， 解得． 所以抛物线的解析式为． （2）令得， ， 解得，． 则． 所以的长为． （3）由图像可知：当时，或， 【经典例题八 直线与抛物线相切情况的问题】 【例8】（2024·山东临沂·一模）函数的图象是由函数的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④将图象向上平移2个单位后与直线有3个交点． A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对于二次函数，其对称轴为直线，据此即可判断①；根据对称轴和开口即可判断②；由函数与轴的交点是，即可判断③；求出函数的解析式得出其顶点坐标即可判断④； 【详解】解：由图象可得：二次函数的对称轴为：， ∴ ∴，故①正确； ∵ ∴ ∵函数与轴的交点是， ∴函数与轴的交点是， ∴，故③错误； ∴，故②正确； 设函数，将点代入可得： ，解得： ∴ ∴函数的顶点坐标为，翻折后为 ∴将图象向上平移2个单位后与直线有3个交点，故④正确； 故选：D 1．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，D．若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案． 【详解】解：如图， 令，即，解得或，则点，， ∴， ∴向右平移两个长度单位得， ∵， ∴解析式为， 当与相切时，令，即， ∵， ∴； 当过点B时，即， ∴， ∴当时直线与、共有3个不同交点． 故选：D． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度． 2．已知二次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有2个交点时，的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查图象法求不等式的解集，求出二次函数的顶点坐标，图象法确定不等式的解集即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴翻折后顶点坐标的对应点的坐标为， 由图象可知当时，直线与新图象有2个交点，当时，直线与新图象有2个交点； 故答案为：或． 3．如图，抛物线 经过两点． (1)设直线的解析式为． ①求直线与抛物线的解析式； ②直接写出不等式 的解集． (2)将抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，若直线 与抛物线新图象恰好有2个公共点，求n的取值范围． 【答案】(1)①直线解析式为；抛物线解析式为；②或 (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，图像法解不等式，以及图象法判断方程的根，数形结合是解答本题的关键． （1）①先用待定系数法求出抛物线解析式，再求直线的解析式； ②根据图象写出答案即可； （2）求出直线过点A时n的值和与抛物线相切时n的值即可求解． 【详解】（1）解：①把，分别代入可得， ，解得， 则抛物线的解析式为． 把，分别代入可得， ，解得， 则直线的解析式为． ②不等式的解集为或； （2）解：设抛物线与轴交于P，Q两点，令， 解得：，， 故P，Q两点的坐标分别为，． 如图，当直线，经过点时，可得； 当直线经过点时，可得， 的取值范围为， 翻折后的二次函数解析式为． 当直线与二次函数的图象只有一个交点时，， 整理得：，， 解得：， 的取值范围为：， 由图可知，符合题意的的取值范围为：或． 【经典例题九 二次函数与一元二次方程问题综合】 【例9】（2024·四川南充·三模）在平面直角坐标系中有两点、，若二次函数的图象与线段只有一个交点，则（　　） A．a的值可以是 B．a的值可以是 C．a的值不可能是 D．a的值不可能是1 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征．本题中能分情况讨论，并能画出函数大致图，根据大致图去分析是解决此题的关键． 先计算二次函数的对称轴，首先计算函数与直线相交时a的取值范围．然后分别计算函数与A，B相交时的值，并由此分别画出函数的大致图，根据大致图判断的取值范围．对上述 a的取值范围综合分析即可得出a的最终取值范围，最后依次对各选项进行判断即可． 【详解】由二次函数的对称轴可知，是该函数的对称轴， 当函数与直线相交时，有解， 整理得， 根据根的判别式， 解得或， 因为， 所以或，且时，二次函数与有唯一的交点． 若函数与B点相交时，将代入得， 解得，则此时如下图： 函数恰好与线段有两个交点，所以根据图象，当时抛物线与线段只有一个交点，解得； 若函数与A点相交时，把代入得， 解得， 则此时如下图： 函数恰好与线段有一个交点，根据图象当时，抛物线与线段也只有一个交点， 解得． 综上所述或或， A． 因为，所以a的值不可以是，故该选项不符合题意； B． 因为，所以a的值不可以是，故该选项不符合题意； C． 因为，所以a的值不可能是，正确，故该选项不符合题意； D． 因为，所以 a的值可能是1，故该选项不符合题意； 故选：C． 1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）关于二次函数的三个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②若，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于不同两点，，且若，当时，，其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据二次函数得到抛物线的对称轴为直线：，结合，判定两点是对称点，故对应函数值相等，判定①正确；根据二次函数得到抛物线的对称轴，当时，；当时，；当时，，y随x得增大而增大，故对应的y的取值范围是，结合y的整数值有4个，得到，得到；当时，，y随x得增大而减小，故对应的y的取值范围是，结合y的整数值有4个，得到，得到；可以判断②正确；根据抛物线与x轴交于不同两点，，得出，从而判定不成立，判定③不正确，解答即可． 本题考查二次函数的图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数与方程的关系，将交点，线段长度转化为方程和不等式是求解本题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∵， ∴两点是对称点，故对应函数值相等， ∴①正确； ∵二次函数得到抛物线的对称轴为直线：，当时，；当时，； 当时，，y随x得增大而增大，故对应的y的取值范围是，∵y的整数值有4个， ∴， ∴； 当时，，y随x得增大而减小，故对应的y的取值范围是，∵y的整数值有4个， ∴， ∴； ∴②正确； ∵抛物线与x轴交于不同两点，， ∴不成立， ∴③不正确， 故选A． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线的对称轴为，经过点，顶点为P，下列四个结论：①若，则；②若c与n异号，则抛物线与x轴有两个不同的交点；③方程一定有两个不相等的实数解；④设抛物线交y轴于点C，不论a为何值，直线始终过定点其中正确的是 （填写序号） 【答案】①②④ 【分析】由抛物线对称轴为直线，抛物线经过可得，，与的关系，从而判断①，由一元二次方程根与系数的关系判断②③，用含和代数式表示直线，将代入解析式求解可判断④． 【详解】解：的对称轴为， ， ， 抛物线经过， ，即，， 若，则， ，①正确． ， ， ， 与异号， ， 抛物线与轴有2个不同交点，②正确． ， ， 方程中， ， 时，，方程有两个相同实数解，③错误． 抛物线对称轴为直线， 把代入得， 抛物线顶点坐标为， 把代入得， 点坐标为， 设解析式为，把，代入得， 解得， ， 把代入得， 直线经过，④正确． 综上，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查二次函数的性质，一次函数解析式，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系． 3．（2024·浙江·二模）已知二次函数． (1)证明该二次函数过一定点． (2)当时，有最小值，请直接写出此时的取值范围． (3)过，的直线与二次函数图象的另一个交点为，若，，中，当其中一个点是另两点连线的中点时，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)的范围为； (3)的值为或． 【分析】本题主要考查了二次函数的图像及性质，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． （1）把二次函数变形为，得函数与轴的交点为，，从而即可得证； （2）由函数与轴的交点为，得抛物线的对称轴为直线再把代入得，从而有，求解即可得解； （3）分当为中点， 为中点和为中点，利用一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解： 函数与轴的交点为， ∴函数必过点 （2）解： 函数与轴的交点为， 抛物线的对称轴为直线 把代入得 解得 ∵，即 ∴ ∴的范围为． （3）解：由题意得：，， 当为中点，则， 把代入得， ∴， ∴ ∴方程无解 当为中点，则， 把代入， 又， 解得 当为中点，则， 把代入，又， 解得 综上所述的值为或． 1．（2022年上海市曹杨第二中学自主招生考试数学试卷）已知与x轴、y轴正半轴分别相交于A、B两点，若M是抛物线在第一象限内的动点，则的最大值为（   ） A． B．7 C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数的平移，根的判别式；先求出A、B两点的坐标，然后求出直线解析式，然后联立得到方程，根据方程有解得到，解得，然后计算最大值即可． 【详解】当时，；令，则，解得：（舍去），， ∴与正坐标轴的交点分别为， 设直线的解析式为， ，解得， ∴直线的解析式为， 若使最大，M到直线的距离最大， ∴设经过点M且与直线平行的直线解析式为， 则对于方程，即有解， 有：， 解得，即时，最大， ∴； 故选：D． 2．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）关于二次函数，下列说法错误的是（   ） A．图象与y轴的交点坐标为 B．图象的对称轴在y轴的右侧 C．当时，y的值随x的增大而减小 D．y的最小值为 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像与坐标轴的交点坐标，增减性，对称轴，顶点坐标，是解题的关键．令，求解函数的值可判断A，再由对称轴，可判断B，利用函数的开口方向与函数的增减性判断C，把顶点的横坐标代入解析式求解纵坐标，可判断D，从而可得答案． 【详解】解：由， 令 则， 所以图象与y轴的交点坐标为，故A正确； 函数的对称轴为：， 所以函数的对称轴在轴的右侧，故B正确； 由， 函数图像的开口向上， 所以当时，y的值随x值的增大而减小，故C正确； 当时，函数的最小值为：， 故D错误； 故选：D． 3．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）若抛物线与轴有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：①抛物线与x轴有两个交点，则；②抛物线与x轴无交点，则；③抛物线与x轴有一个交点，则．由抛物线与x轴有两个交点，则，从而求出m的取值范围． 【详解】解：抛物线与轴有两个不同的交点， 方程有两个不等的实数根． ． ． 故选：D． 4．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，由于二次函数与轴有两个交点，故二次函数对应的一元二次方程中，，解不等式即可求出的取值范围，由二次函数定义可知，． 【详解】解：∵二次函数的图象和x轴有两个交点， ∴， ∴且． 故选：D． 5．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，已知抛物线，直线，下列结论错误的是（   ） A．当或时， B．当或时， C．当时，随的增大而增大 D．使的的值有个 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数图象性质逐一判断即可，熟练掌握并能灵活运用二次函数图象性质是解题的关键． 【详解】由题意，可得， ∴或 ， ∴和两图象的交点为，， 、时，即二次函数图象在一次函数图象下方对应的自变量的取值范围 ∴当或时，，此选项正确； 、，即， ∴或，此选项正确； 、由，对应抛物线开口向上， 当时，随的增大而增大，此选项正确； 、∵ ∴或， ∴对于的，此时方程有两个不等的实数根； 而对于的，此时方程没有实数根， ∴的有个，此选项错误， 故选：． 6．（24-25九年级上·山西阳泉·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有 【答案】③⑤/⑤③ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点得出的值，然后根据图象经过的点的情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：抛物线的开口向上，则，对称轴， ， ，故④结论错误； 抛物线与轴交于负半轴， ， ，故①结论错误； 当时，， ，故②结论错误； 当时，，故③结论正确； 当时，，故⑤结论正确． 故正确的为③⑤，共2个． 故答案为：③⑤． 7．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知二次函数（为常数）． （1）若该二次函数图象经过点，则 ； （2）若平行于轴的直线与该二次函数图象交于点，且点的横坐标之和大于2，则的取值范围为 ． 【答案】 1 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系： （1）利用待定系数法求解； （2）设平行于x轴的直线为，将与联立，可得，根据二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，解不等式即可． 【详解】解：（1）将代入，得：， 解得， 故答案为：1； （2）解：设平行于x轴的直线为， 将与联立，得：， 即， ∵直线与该二次函数的图象交于点A，B， ∴， ∵点的横坐标之和大于2， ∴， 解得， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数的图象如图，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数）其中正确的结论有： （填序号）． 【答案】②④⑤ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与各项系数符号的关系，根据二次函数的图象判断式子的符号，熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的方法解题，是解此题的关键． 由抛物线的开口方向可以得出，由抛物线与轴的交点可以判断，由抛物线的对称轴可以判断，再根据抛物线与轴的交点情况以及抛物线的顶点进行推理即可得到答案． 【详解】解：①二次函数的图象开口方向向下，与轴交于正半轴，对称轴为直线， ， ， ，故①错误，不符合题意； ②二次函数的图象与轴的右侧交点在的右边，图象开口方向向下， 当时，， ，故②正确，符合题意； ③二次函数的图象与轴的交点在的右边，图象开口方向向下， 当时，， ，则， 故③错误，不符合题意； ④ ∵， ， 由③得：， ， ，故④正确，符合题意； ⑤二次函数的图象的对称轴为直线， 当时，取最大值，最大值为， 当时，， ，故⑤正确，符合题意； 综上所述：正确的结论有：②④⑤， 故答案为：②④⑤． 9．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）已知二次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有2个交点时，的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查图象法求不等式的解集，求出二次函数的顶点坐标，图象法确定不等式的解集即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴翻折后顶点坐标的对应点的坐标为， 由图象可知当时，直线与新图象有2个交点，当时，直线与新图象有2个交点； 故答案为：或． 10．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系中，点坐标为点坐标为． （1）若抛物线经过点，则的值为 ． （2）若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移； （1）将代入抛物线解析式，即可求解； （2）根据对称轴为直线，分抛物线在线段上方，以及点在抛物线上两种情分别讨论，结合图形，即可求解． 【详解】解：（1）依题意，将代入 ∴ 解得：； 故答案为：． （2）∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∵点坐标为点坐标为． 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴， 如图所示，当抛物线在线段上方，且与只有1个交点时， 联立 ∴，即 ∴ 解得： 将抛物线向下移动，当抛物线经过点时，由（1）可得， 继续向下移动，则与只有一个交点，当经过点时，如图所示， 将代入得， ， 解得：， 综上所述抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围为或 故答案为：或． 11．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，与x轴的另一个交点为B． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，求x的取值范围； (3)当直线与抛物线有2个公共点时，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据对称轴和点利用待定系数法求出抛物线解析式； （2）根据对称性求出，而抛物线开口向上，故等价于抛物线在轴上方对应的交点横坐标的取值范围； （3）联立直线和抛物线的表达式得到关于的一元二次方程，转化为，解不等式即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴对称轴， ∴． 将点代入抛物线，得， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：设， ∵对称轴为直线，且经过点 ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴当时，或； （3）解：当直线与抛物线有2个公共点时， 联立直线和抛物线的表达式得：， 整理得：， 则， 解得：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与不等式的关系，抛物线与一次函数图象的交点问题，根的判别式等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． 12．（2024九年级上·北京·专题练习）已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)与y轴的交点坐标是 ；与x轴的交点坐标是 ． (3)在坐标系中利用描点法画出此抛物线． (4)不等式 的解集是 ． (5)当时，y的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)；， (3)见解析 (4)或 (5) 【分析】（1）配方化成顶点式即可； （2）令，则，即该抛物线与y轴的交点坐标是 ，，可求，，进而可得该抛物线与x轴的交点坐标是，． （3）列表，描点，作图即可； （4）数形结合即可； （5）数形结合即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴； （2）解：令，则，即该抛物线与y轴的交点坐标是 ， 令， 解得，，， ∴该抛物线与x轴的交点坐标是，． 故答案为：；，； （3）解：列表： x … 0 1 2 3 … y … 0 -4 0 … 作图象如下： （4）解：由图象可知，不等式的解集是或， 故答案为：或； （5）解：由图象可知，当时，y的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数与不等式等知识．熟练掌握二次函数的顶点式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数与不等式是解题的关键． 13．（24-25九年级上·山西朔州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)方程的两个根为________． (2)不等式的解集为________． (3)若随的增大而减小，则自变量的取值范围为________． (4)若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________． 【答案】(1)，； (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据二次函数图象与轴的两个交点坐标，即可作答； （2）根据二次函数图象在轴上方的部分对应的范围，即可作答； （3）根据二次函数的增减性，即可作答； （4）根据二次函数的顶点坐标，结合直线与二次函数有两个交点，即可作答． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴的两个交点分别为、， 方程的两个根为，， 故答案为：，； （2）解：时，二次函数的值大于0， 不等式的解集为， 故答案为：； （3）解：由函数图象可知，当时，随的增大而减小， 即随的增大而减小，则自变量的取值范围为， 故答案为：； （4）解：由函数图象可知，二次函数开口向下的顶点坐标为， 方程有两个不相等的实数根， 直线与二次函数有两个交点， 的取值范围为， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点、是二次函数图象上一对对称点，一次函数的图象过点、． (1)直接写出点、的坐标； (2)求二次函数的解析式； (3)根据图象求的解集． 【答案】(1)点坐标为，点坐标为 (2)二次函数的解析式为 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的对称性，待定系数法求抛物线的解析式，根据交点确定不等式的解集． （1）先根据二次函数的对称性求出抛物线的对称轴为，求出点的坐标，根据二次函数的对称性即可求出点的坐标； （2）将、代入，解方程组即可求出抛物线的解析式； （3）根据抛物线与一次函数的交点横坐标，结合图象，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于、两点， ∴的对称轴为直线， 令，得， 故点的坐标为， ∵点、是二次函数图象上一对对称点， 故点的坐标为． （2）解：将、代入，得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （3）解：∵二次函数的图象与一次函数的图象过点、．且，， ∴的解集为：或． 15．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小丽根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小丽的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是 ________． (2)如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整； (3)对于上面的函数，下列四个结论： ①函数图象关于y轴对称； ②函数既有最大值，也有最小值； ③当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； ④函数图象与x轴有2个公共点． 所有正确结论的序号是________． (4)结合函数图象，解决问题： 若关于x的方程有4个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 【答案】(1)任意实数 (2)见解析 (3)①③ (4) 【分析】本题考查了自变量的取值范围，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握自变量的取值范围，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）由题意知，函数的自变量x的取值范围是任意实数； （2）由题意知，，然后作图象即可； （3）由图象可知，函数图象关于y轴对称；可判断①的正误；函数有最小值，没有最大值；可判断②的正误；当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；可判断③的正误；函数图象与x轴有4个公共点，可判断④的正误． （4）结合图象作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，函数的自变量x的取值范围是任意实数， 故答案为：任意实数； （2）解：由题意知，， 作图象如下； （3）解：由图象可知，函数图象关于y轴对称；①正确，故符合要求； 函数有最小值，没有最大值；②错误，故不符合要求； 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；③正确，故符合要求； 函数图象与x轴有4个公共点，④错误，故不符合要求， 故答案为：①③． （4）解：由图象可知，关于x的方程有4个不相等的实数根时，k的取值范围是， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$