专题02 二次函数的图象与性质重难点题型专训（15大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题02 二次函数的图象与性质重难点题型专训（15大题型+20道拓展培优） 题型一 y=ax2的图象与性质 题型二 y=a(x-h)2+k的图象与性质 题型三 y=ax2+bx+c的图象与性质 题型四 利用二次函数的性质比较函数值的大小 题型五 二次函数图象与各系数符号 题型六 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断 题型七 利用二次函数的增减性求参数范围 题型八 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型九 根据二次函数的对称性求函数值 题型十 待定系数法求二次函数解析式 题型十一 二次函数图象的平移 题型十二 y=ax2+bx+c的最值 题型十三 利用二次函数对称性求最短路径 题型十四 二次函数与一次函数的综合 题型十五 二次函数图象与性质的综合 知识点01 二次函数的图像与性质 二次函数y=ax2的图象的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0． 的性质： 上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质： 左加右减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质：左加右减，上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 一般式：（，，为常数，）； 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 知识点02 二次函数的图象与a，b，c的关系 学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑． 1．基础四看 “基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用． 2．组合二看 (1)三全看点 在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可． (2)有缺看轴 当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可． 3．取值计算 当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断． 二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出与0的大小关系及含有的代数式的值的大小关系. (1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下. (2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴. (3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴. (4) 的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点. (5) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. (6) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. 知识点03 二次函数图象的平移 由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即 . 因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题， 注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. (2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． 知识点04 二次函数与一元二次方程 1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。 2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。 3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。 二次函数的图象与轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③有两个公共点，这对应着一元二次方程的根的三种情况: ①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0. (2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母的影响，据此可求图象经过的定点坐标. (3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换. 知识点05 二次函数与不等式 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 知识点06 待定系数求解析式 用待定系数法求抛物线的解析式，要根据具体已知条件灵活选择解析式的三种表达形式: (1)已知三点坐标，常设抛物线的解析式为一般式; (2)已知顶点(或最值)，常设抛物线的解析式为顶点式; (3)已知抛物线与轴的两个交点坐标为，常设抛物线的解析式为交点式. 二次函数解析式的形式 一般式： 顶点式： 交点式 顶点在原点： 过原点： 顶点在y轴： 求二次函数（a≠0）的最值的方法 配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方成的形式 若a＞0，当x=h时，函数有最小值，且 ②若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 公式法：因为抛物线的顶点坐标为（-），则 若a＞0，当x=时，函数有最小值，且 若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 【经典例题一 y=ax2的图象与性质】 【例1】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）抛物线的开口向上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．如图，菱形的顶点O，A，C在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且．则菱形的面积是（    ） A． B． C． D． 2．已知，两点在二次函数的图象上，且，则与的大小关系是 ． 3．如图，过点的直线交抛物线于点F，D，过点F的直线交抛物线于另一点E，则直线过定点，求这个定点的坐标． 【经典例题二 y=a(x-h)2+k的图象与性质】 【例2】（2024·浙江台州·一模）抛物线 经过点和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 1．已知二次函数（），当时，y的最小值为，则a的值为（    ） A．6或 B．或2 C．或 D．6或2 2．已知，，是抛物线上的三个点，则的大小关系为 ． 3．将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数的图象． (1)________，________，________； (2)写出二次函数图象的开口方向，对称轴及顶点坐标； (3)写出二次函数随自变量的变化如何变化． 【经典例题三 y=ax2+bx+c的图象与性质】 【例3】（2024·陕西西安·模拟预测）关于x的二次函数的图象下列说法不正确的是（    ） A．对称轴为直线 B．当时，图象上的最低点为 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．顶点一定在函数的图象上 1．已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为（ ） A． B．或 C．或 D．或 2．在平面直角坐标系中，已知抛物线（a为常数）．当时，时，，则m的取值范围是 ． 3．如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B．点C在y轴右侧的抛物线上，且，求点C的坐标． 【经典例题四 利用二次函数的性质比较函数值的大小】 【例4】（2023·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点．，，在该抛物线上．若，比较，，，的大小，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 1．在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点．，，在该抛物线上．若，比较，，，的大小，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线经过点，，试比较和的大小： ．（填“>”，“<”或“=”） 3．已知二次函数． (1)求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标； (2)若是二次函数图像上的两个点，且，请比较与的大小． 【经典例题五 二次函数图象与各系数符号】 【例5】（2024年湖北省中考数学试题）如图，二次函数（）的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（   ） A． B．若抛物线与x轴交于，两点，则 C． D．对任意实数t，总有 1．如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，且．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则．其中正确的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论①；②；③；④若，则．其中正确的是： ． 3．已知抛物线的图象如图所示．    (1)判断、、及的符号； (2)求的值； (3)给出下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号） 【经典例题六 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断】 【例6】（2024·安徽亳州·一模）反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（    ） A． B． C． D． 1．已知二次函数 的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（    ） A．B．C． D． 2．已知抛物线与直线l交于点，（）．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），则点P的纵坐标b的取值范围为 ． 3．设直线与抛物线 的交点分别为点A、B，如图所示． (1)试确定A、B两点的坐标； (2)连接 ，，求的面积． 【经典例题七 利用二次函数的增减性求参数范围】 【例7】．（2024·山东临沂·三模）若二次函数的图象经过点，当时，有最大值，最小值，则的取值范围应是(   ) A． B． C． D． 1．已知二次函数在时，y取得的最大值为15，则a的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．已知点在抛物线上，当时，总有，当时总有，则的值为 ． 3．已知抛物线． (1)若抛物线的顶点在轴上，求的值； (2)若时，随的增大而增大，求的取值范围． 【经典例题八 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 【例8】（2024·山东济南·二模）已知二次函数的图象经过点，，且满足．当时，该函数的最大值m和最小值n之间满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 1．已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D．或 2．一元二次方程可以写成的形式，则二次函数的对称轴是直线 ． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线（）． (1)若抛物线过点，求该抛物线的对称轴； (2)若，，在抛物线上，且满足，当抛物线对称轴为直线时，求t的取值范围． 【经典例题九 根据二次函数的对称性求函数值】 【例9】（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若抛物线与x轴只有一个公共点．且过点，．则n的值为（   ） A．48 B．36 C．24 D．12 1．已知二次函数，当自变量取两个不同的值，时，函数值相等，则当自变量取时，函数值与（　　） A．时的函数值相等 B．时的函数值相等 C．时的函数值相等 D．时的函数值相等 2．抛物线经过点，，以及点D，若点D的横坐标为，则点D的纵坐标是 （用n的式子含表示）． 3．如图，二次函数与一次函数的图象交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上，一次函数的图象与二次函数的对称轴交于点P． (1)求点P的坐标； (2)当时，二次函数的最大值是15，求a的值； (3)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，点C的坐标为，，求当取何值时，的值最小，最小值是多少？ 【经典例题十 待定系数法求二次函数解析式】 【例10】（2024·四川南充·三模）已知抛物线：与抛物线：关于点成中心对称，若当时，有最大值为4，则m的值为（    ） A． B． C． D．或 1．在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（　　） A．2 B． C． D． 2．抛物线关于原点对称的抛物线的解析式为 ． 3．二次函数（、为实数）的图象经过点，点． (1)求该二次函数的表达式及顶点坐标． (2)当时，求该二次函数的最大值与最小值． 【经典例题十一 二次函数图象的平移】 【例11】（2024·江西九江·二模）在平面直角坐标系中，若把对称轴为直线的抛物线向上平移，使得平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，则下列平移方式正确的是（    ） A．向上平移个单位长度 B．向上平移个单位长度 C．向上平移个单位长度 D．向上平移个单位长度 1．已知抛物线的对称轴在轴左侧，现将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是（    ） A．或1 B．5或 C．1 D．5 2．抛物线的对称轴在y轴左侧，将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是 ． 3．在平面直角坐标系中，点，将抛物线向上平移m个单位，使得平移后的抛物线与线段AB有公共点，求m的取值范围． 【经典例题十二 y=ax2+bx+c的最值】 【例12】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知抛物线 (n为常数)，当时，其对应的函数值最大为，则n的值为（    ） A．或7 B．1 或7 C．4 D． 或4 1．已知函数，当时，有最大值5，最小值1，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知二次函数，当时，二次函数的最大值为6，则的值为 ． 3．在平面直角坐标系中，设二次函数 (a，b是实数，且) (1)已知，若的对称轴为直线，求的对称轴； (2)若函数图象经过点，点，求证：函数的图象也经过A、B两点； (3)设函数和函数的最小值互为相反数，求的值． 【经典例题十三 利用二次函数对称性求最短路径】 【例13】（2023·山东泰安·二模）已知二次函数的图象如图所示，点是坐标系的原点，图象与轴交于点，则下面结论： ①； ②关于的方程的解是，； ③当时，； ④当时，； ⑤周长的最小值是； 正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．中，，，则的最小值等于（   ）    A． B． C． D． 2．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时点的坐标为 ． 3．如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为．    (1)若直线经过，两点，求抛物线和直线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标； (3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标． 【经典例题十四 二次函数与一次函数的综合】 【例14】（2024·四川德阳·三模）在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（    ） A．B． C． D． 1．（2024·河南南阳·二模）如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 2．（23-24九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线（是常数，且）经过点． （1）该抛物线的顶点坐标为 ． （2）若一次函数的图象与二次函数的图象的交点坐标分别是，，且，则的最大值为 ． 3．（23-24九年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数 (1)当二次函数经过点时． ①求该二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标； ②一次函数的图象经过点A，点在一次函数． 的图象上，点在二次函数 的图象上． 若，求n的取值范围． (2)设二次函数 的图象上有不重合的两点 其中且满足，直接写出m的取值范围． 【经典例题十五 二次函数图象与性质的综合】 【例15】（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线过点，两点，若，时，y的最大值为，则t的值是（    ） A． B．0 C．1 D．4 1．（2024·福建三明·三模）已知点，，，都在二次函数（，，为常数，且）的图象上，若，则的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（2024·福建厦门·二模）抛物线经过，两点，若，当时，都有，则b的取值范围是 ． 3．（2024·湖北荆州·二模）已知抛物线：的图像与x轴交于点，与y轴交于点，点为y轴上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点E是第一象限抛物线上一点，且，与x轴交于点D，求点E的横坐标； (3)点P是上的一个动点，连接，取的中点，设点构成的曲线是，直线与，的交点从左至右依次为，，，，则是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 1．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）已知点，，在函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北黄石·阶段练习）二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在正方形中，点，点，则二次函数与正方形有交点时，的最大值是（  ） A．4 B． C．5 D． 4．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知关于x的二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·山东济南·模拟预测）新定义：若两个函数图像有公共点，则称这两个函数图像为牵手函数．已知抛物线与线段是牵手函数，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 6．（24-25九年级上·四川泸州·阶段练习）方程的两个根分别为，当m 时，有最小值． 7．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知二次函数（a为常数，且），函数的最大值为 ． 8．（吉林省松原市前郭县北部学区2024~2025学年九年级上学期期中数学测试）如图．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、M的坐标分别为、和，抛物线的顶点在线段（包括线段端点）上，与x轴交于C、D两点，点C在线段上（包括线段端点），设点D的横坐标为m，则m的最大值是 ． 9．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在轴上，顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上．若抛物线经过点，则点的坐标为 ． 10．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）抛物线的对称轴为直线． （1） ， （2）若抛物线在内与轴只有一个交点，则的取值范围是 ． 11．（24-25九年级上·辽宁抚顺·阶段练习）已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)求函数值的取值范围． 12．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … 0 1 … … 0 0 … (1)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象． (2)当时，直接写出的取值范围． 13．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点． ①若对于，，有，求m的值； ②若对于，，都有，求m的取值范围． 14．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与x轴相交于原点O和点A，直线与抛物线在第一象限的交点为点B，抛物线的顶点为点C． (1)直接写出点B和点C的坐标； (2)在下方的抛物线上，若存在一点D，使得，求出点D的坐标． 15．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．    (1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； (2)当______时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； (4)若关于的方程有且只有两个解，则的取值范围_______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次函数的图象与性质重难点题型专训（15大题型+20道拓展培优） 题型一 y=ax2的图象与性质 题型二 y=a(x-h)2+k的图象与性质 题型三 y=ax2+bx+c的图象与性质 题型四 利用二次函数的性质比较函数值的大小 题型五 二次函数图象与各系数符号 题型六 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断 题型七 利用二次函数的增减性求参数范围 题型八 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型九 根据二次函数的对称性求函数值 题型十 待定系数法求二次函数解析式 题型十一 二次函数图象的平移 题型十二 y=ax2+bx+c的最值 题型十三 利用二次函数对称性求最短路径 题型十四 二次函数与一次函数的综合 题型十五 二次函数图象与性质的综合 知识点01 二次函数的图像与性质 二次函数y=ax2的图象的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0． 的性质： 上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质： 左加右减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质：左加右减，上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 一般式：（，，为常数，）； 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 知识点02 二次函数的图象与a，b，c的关系 学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑． 1．基础四看 “基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用． 2．组合二看 (1)三全看点 在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可． (2)有缺看轴 当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可． 3．取值计算 当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断． 二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出与0的大小关系及含有的代数式的值的大小关系. (1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下. (2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴. (3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴. (4) 的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点. (5) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. (6) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. 知识点03 二次函数图象的平移 由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即 . 因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题， 注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. (2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． 知识点04 二次函数与一元二次方程 1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。 2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。 3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。 二次函数的图象与轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③有两个公共点，这对应着一元二次方程的根的三种情况: ①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0. (2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母的影响，据此可求图象经过的定点坐标. (3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换. 知识点05 二次函数与不等式 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 知识点06 待定系数求解析式 用待定系数法求抛物线的解析式，要根据具体已知条件灵活选择解析式的三种表达形式: (1)已知三点坐标，常设抛物线的解析式为一般式; (2)已知顶点(或最值)，常设抛物线的解析式为顶点式; (3)已知抛物线与轴的两个交点坐标为，常设抛物线的解析式为交点式. 二次函数解析式的形式 一般式： 顶点式： 交点式 顶点在原点： 过原点： 顶点在y轴： 求二次函数（a≠0）的最值的方法 配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方成的形式 若a＞0，当x=h时，函数有最小值，且 ②若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 公式法：因为抛物线的顶点坐标为（-），则 若a＞0，当x=时，函数有最小值，且 若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 【经典例题一 y=ax2的图象与性质】 【例1】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）抛物线的开口向上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线开口向上可得，进而求解，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， 故选：A． 1．如图，菱形的顶点O，A，C在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且．则菱形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，二次函数的图象与性质，根据菱形的性质求得点A的横坐标是解题的关键．连接交于点D，则由菱形性质知，从而得；由知，点纵坐标为1，由此可求得A点横坐标，即得的长，从而得长，由菱形面积公式即可求得其面积． 【详解】解：如图，连接交于点D； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴； ∵， ∴点纵坐标为1； ∵点A在抛物线上， ∴， 解得：， 即A点横坐标为， 即的长， ∴， ∴菱形面积为． 故选：C． 2．已知，两点在二次函数的图象上，且，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的解析式判断二次函数的增减性，再根据增减性直接判断即可． 【详解】解：， 二次函数开口向下，对称轴为轴， ， ， 故答案为：． 3．如图，过点的直线交抛物线于点F，D，过点F的直线交抛物线于另一点E，则直线过定点，求这个定点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合题，熟练掌握二次函数和一次函数的性质和待定系数法是解题的关键，根据二次函数解析式设，利用待定系数法分别求出直线,,的解析式，由过点和直线的解析式可得到，，再分别将其代入到直线中，可得到，进而得到直线过定点． 【详解】解：设． 利用待定系数法可得，直线， 直线， 直线． 过点， ． ∵直线的解析式为． ∴， ∴， ． ∴直线， ∵当时，， ∴直线过定点． 【经典例题二 y=a(x-h)2+k的图象与性质】 【例2】（2024·浙江台州·一模）抛物线 经过点和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据题意，由抛物线经过点和，从而可得①，②，又②①得，，即，故，最后即可判断得解．本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】解：由题意，抛物线经过点和， ①，②． ②①得，． ，即． ． ． ． ． 故选：C． 1．已知二次函数（），当时，y的最小值为，则a的值为（    ） A．6或 B．或2 C．或 D．6或2 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质；先求出对称轴，再分两种情况讨论，当时，根据二次函数的图象和性质可知，当时，y有最小值，即可求出a的值，当时，根据二次函数图象上的点离对称轴越远，函数值越小可知，当时，y有最小值，即可求出a的值． 【详解】解：二次函数解析式为， 二次函数的对称轴为直线， 当时，此时当时，y有最小值，y最小=， ， 当时， ， 当时，y有最小值，y最小， ， 综上所述，a的值为或6， 故选：． 2．已知，，是抛物线上的三个点，则的大小关系为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握;根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：∵中 ∴图象的开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴． 故答案为：． 3．将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数的图象． (1)________，________，________； (2)写出二次函数图象的开口方向，对称轴及顶点坐标； (3)写出二次函数随自变量的变化如何变化． 【答案】(1)，2， (2)图象开口方向向下，对称轴是直线，顶点坐标 (3)当时，随的增大而增大；当时，y随的增大而减小 【分析】本题主要考查了二次函数的平移、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的平移规律：左加右减、上加下减是解题的关键． （1）由平移的规律可得函数平移后的解析式为，从而即可得到，，，进行计算即可； （2）根据二次函数的性质即可得到答案； （3）根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到， 二次函数与是同一函数， ，，， 解得，； （2）解：二次函数的解析式为， 函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：∵函数图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大；当时，y随的增大而减小． 【经典例题三 y=ax2+bx+c的图象与性质】 【例3】（2024·陕西西安·模拟预测）关于x的二次函数的图象下列说法不正确的是（    ） A．对称轴为直线 B．当时，图象上的最低点为 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．顶点一定在函数的图象上 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数，反比例函数性质，根据二次函数，反比例函数的图形与性质逐项分析解答即可．熟练掌握二次函数性质是关键． 【详解】解：A、抛物线对称轴为，故原说法正确，不符合题意； B、当时，抛物线解析式为，顶点的坐标，故原说法正确，不符合题意； C、当时，开口方向不确定，的增减性也不确定，故原说法错误，符合题意； D、，，图象的顶点为，故顶点一定在函数的图象上，故原说法正确，不符合题意． 故选：C． 1．已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为（ ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，分两种情况讨论，根据题意得到关于a的不等式，计算即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴， 当时， ∵当时对应的函数值均为正数， ∴此时抛物线与x轴没有交点， ∴， ∴解得； 当时， ∵当时对应的函数值均为正数， ∴当时，， ∴解得， ∴， ∴综上所述，当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为或． 故选：D． 2．在平面直角坐标系中，已知抛物线（a为常数）．当时，时，，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系．将代入可得二次函数的解析式为，再求出时，或；时，，然后结合二次函数的图象即可得． 【详解】解：当时，， 当时，，解得或， 由二次函数的性质可知，当时，， 如图，当时，， ， 故答案为：． 3．如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B．点C在y轴右侧的抛物线上，且，求点C的坐标． 【答案】 【分析】先得出和，结合，所以点C在的垂直平分线上，然后求出的中点．再运用待定系数法求出一次函数的解析式，因为点C在y轴右侧的抛物线上，所以建立，运用公式法解方程，即可作答． 【详解】解：∵抛物线与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B． ∴令，则，故， 令，则， 解得 ∵点A在x轴负半轴， 故， ， ∴点C在的垂直平分线上， 作的垂直平分线，垂足为H，与y轴右侧的抛物线交于点C，与y轴交于点D， 则． ∴ 的中点． 设，则， 由勾股定理，得， 解得， ， 设的解析式为， 把和分别代入， 得， 解得， ∴直线， 联立 ∴ 即 ∴ ∴ 解得， ∵点C在y轴右侧， （负值已舍去）， 把代入， 解得， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，垂直平分线的性质与判定，待定系数法求一次函数的解析式，公式法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【经典例题四 利用二次函数的性质比较函数值的大小】 【例4】（2023·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点．，，在该抛物线上．若，比较，，，的大小，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题考查抛物线的性质，根据点和点在抛物线上得到，，表示出 ，， ，，，结合判断式子与0的关系即可得到答案； 【详解】解：∵点和点在抛物线上， ∴，， ∵，， ∴， ∵，，在该抛物线上， ∴，， ，， ∴，，，， ∴， 故选：D． 1．在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点．，，在该抛物线上．若，比较，，，的大小，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查抛物线的性质，根据点和点在抛物线上得到，，表示出 ，， ，，，结合判断式子与0的关系即可得到答案； 【详解】解：∵点和点在抛物线上， ∴，， ∵，， ∴， ∵，，在该抛物线上， ∴，， ，， ∴，，，， ∴， 故选：D． 2．已知抛物线经过点，，试比较和的大小： ．（填“>”，“<”或“=”） 【答案】> 【分析】比较三个点离直线的远近即可得到、的大小关系． 【详解】∵ ∴抛物线对称轴为直线，开口向上， ∵ ∴离对称轴较近， ∴． 故答案为：>． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目． 3．已知二次函数． (1)求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标； (2)若是二次函数图像上的两个点，且，请比较与的大小． 【答案】(1)抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 (2) 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数图象上的点的特征的解题的关键． （1）利用配方法以及待定系数法解决问题即可； （2）利用图象法结合二次函数的性质即可判断． 【详解】（1）解：， ， 抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：抛物线的开口向下， 时，随增大而减小，时，随增大而增大． ， ． 【经典例题五 二次函数图象与各系数符号】 【例5】（2024年湖北省中考数学试题）如图，二次函数（）的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（   ） A． B．若抛物线与x轴交于，两点，则 C． D．对任意实数t，总有 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系及抛物线与轴的交点，能根据所给函数图象得出，，的正负，再利用抛物线的对称性来求解，根据所给函数图象中抛物线的对称轴可得出，之间的等量关系，再结合抛物线与轴的交点情况可解决问题． 【详解】解：由图知开口向下， ， 与交于正半轴， ， 图象关于直线对称， ， ， ，A选项错误； 若抛物线与x轴交于，两点， ，则，故B选项正确； ， ， 由图知，当时，， 不成立，故C选项错误； 当时，有，故D选项错误． 故选：B． 1．如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，且．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则．其中正确的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，由图象可知，则可判断①符合题意；由抛物线的对称轴为直线，，可得，，得到点，点，当时，，即，可判断②符合题意；由抛物线的对称轴为直线，即，得到，进一步得到，可得，即可判断③符合题意；当时，函数有最大值，由，可得，则可判断④不符合题意，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：观察图象，可知， ∴，故①符合题意； ∵该抛物线的对称轴为直线，， ∴，， ∴点，点， ∴当时，，即，故②符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，即， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③符合题意； 当时，函数有最大值， 由，可得， 若m为任意实数，则，故④不符合题意， 综上，符合题意的有3个， 故选：C． 2．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论①；②；③；④若，则．其中正确的是： ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了利用二次函数的性质判断符合特征等；①由图象得，，由对称轴可判断的符号，即可判断；②由对称轴得图象与x轴交于另一点，，可得，将化为，即可判断；③由二次函数的最值得，可得，即可判断；④由②可求，，代入，即可判断；能熟练利用二次函数的性质进行运算判断是解题的关键． 【详解】解：①由图象得：， ， ， ， ， 故①不正确； ②对称轴为直线， 图象与x轴交于点， 图象与x轴交于另一点， ， ， ， ， ， ， 故②正确； ③， ，对称轴为直线， 当时， ， ， ， 故③正确； ④由②得， ， ， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 故答案：②③④． 3．已知抛物线的图象如图所示．    (1)判断、、及的符号； (2)求的值； (3)给出下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号） 【答案】(1)，，，； (2)； (3)①③ 【分析】（1）根据二次函数图象与系数的关系求解，即可得到答案； （2）由函数的图象可知，当时，，代入即可得到答案； （3）根据二次函数的图象和性质以及不等式的性质求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线开口向上， ， 对称轴在y轴右侧， 、异号， ， 抛物线与y轴负半轴相交， ， 当时，， ； （2）解：由函数的图象可知，当时，， ； （3）解：由（1）可知，， ， ，①结论正确； ， ， ， ， ， ，②结论错误； 当时，， 当时，， ， ， ，③结论正确； 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题关键． 【经典例题六 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断】 【例6】（2024·安徽亳州·一模）反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图像，二次函数的图像，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和分类讨论的思想解答． 根据k的取值范围分当时和当时两种情况进行讨论，由反比例函数的图像与性质以及二次函数的图像与性质判断即可． 【详解】解：对于二次函数，当时，， ∴与y轴交于， 当时，，对于反比例函数，图像经过第一、三象限；对于二次函数，开口向下，与y轴交点在y轴负半轴； 当时，，对于反比例函数，图像经过第二、四象限；对于二次函数，开口向上，与y轴交点在y轴正半轴， ∴选项C符合题意． 故选：C． 1．已知二次函数 的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，根据二次函数图象确定出a、b、c的符号，再判断反比例函数与一次函数所在的位置即可． 【详解】解：根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，由与y轴交点在正半轴可得， ∴反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数经过第一、二、三象限， 符合条件的只有A选项， 故选：A． 2．已知抛物线与直线l交于点，（）．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），则点P的纵坐标b的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质，熟练配合函数图像将复杂问题直观化是解决问题的关键．先求出点和点的坐标，确定直线l的函数表达式，配合两个函数的图象求解即可． 【详解】解：分别将 、 代入得： ， 解得： ，（舍） ∴， 设直线的解析式为，则 解得 ∴直线l的表达式为：， ，顶点为，开口向上，两个函数图象如图所示， 由图象可知，点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），则点P的纵坐标b的取值范围为， 故答案为： 3．设直线与抛物线 的交点分别为点A、B，如图所示． (1)试确定A、B两点的坐标； (2)连接 ，，求的面积． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）本题考查一次函数与二次函数交点问题，联立两个函数直接求解即可得到答案； （2）本题考查二次函数综合应用中的面积问题，过作轴，过作轴，利用梯形面积减去两个直角三角形面积即可得到答案 【详解】（1）解：直线与抛物线 的交点分别为点A、B，联立两个函数得， ， 解得：，， ∴，； （2）解：过作轴，过作轴， ∵，， ∴，，轴，轴， ∴， ． 【经典例题七 利用二次函数的增减性求参数范围】 【例7】．（2024·山东临沂·三模）若二次函数的图象经过点，当时，有最大值，最小值，则的取值范围应是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，根据二次函数的图象经过点，可以求得的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质，时，有最大值，最小值，即可得到的取值范围． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， 解得， ， 该函数的图象开口向下，对称轴是直线，当时，该函数取得最大值， 当时，有最大值，最小值，当时，， 根据对称性可得时，， ， 故选：C． 1．已知二次函数在时，y取得的最大值为15，则a的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值．先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出时，的值，再根据二次函数的性质得出答案． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为，顶点，当时，， ∵，开口向上， ∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， ∵当时，y取得最大值为15， ∴当时，， ∴， 解得：或（舍去）， 故a的值为4． 故选：B． 2．已知点在抛物线上，当时，总有，当时总有，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，依解析式可知顶点坐标，根据当时，总有，可知，由增减性可列不等式组，解出即可． 【详解】解：抛物线， 抛物线的顶点为， 当时，总有， 不可能大于0， 则， 时，随的增大而增大，时，随的增大而减小， 当时，总有，当时，总有，且与对称， 时，，时，， 当或7时，， ， ． 故答案为：． 3．已知抛物线． (1)若抛物线的顶点在轴上，求的值； (2)若时，随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1)的值为或； (2)的取值范围是． 【分析】（）根据顶点在轴上，则抛物线与轴只有个交点，然后解一元二次方程即可； （）根据二次函数的性质，对称轴的右侧随的增大而增大，从而求解； 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在轴上， ∴抛物线与轴只有个交点， ∴，整理得：， 解得：，， ∴的值为或； （2）解：由抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∵时，随的增大而增大， ∴， ∴的取值范围是． 【经典例题八 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 【例8】（2024·山东济南·二模）已知二次函数的图象经过点，，且满足．当时，该函数的最大值m和最小值n之间满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线的图象与性质，判断对称轴在之间、确定函数的最大值是时所对应的函数值，函数的最小值是时所对应的函数值是解题的关键．由二次函数的图象经过点，两点，得出对称轴为直线，即可得出对称轴在之间，根据函数的最大值是时所对应的函数值，函数的最小值是时所对应的函数值，求解即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴交于，两点， 图象开口向上，对称轴为直线 ∵对称轴为直线， ∴ ， ∴ ， 当时，函数的最小值是时所对应的函数值， 且为 函数的最大值是时所对应的函数值， ∴， ∴，代入，得 故选：C． 1．已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查的二次函数的图象与性质，能确定出抛物线的开口方向与对称轴是解题的关键． 根据题意先确定出抛物线的开口方向及对称轴,再根据开口向上的抛物线上的点离对称轴距离越大对应的函数值越大得到关于m的不等式组,求解即可得答案． 【详解】解：∵当时， 或， ∴抛物线开口向上，且对称轴是直线， ∴当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小， ∵， 又， 是抛物线上的两点， 且， ∴， ∴， ∴， ， 故选： A． 2．一元二次方程可以写成的形式，则二次函数的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，求得二次函数与x轴的两个交点进而求对称轴是解题的关键． 根据一元二次方程可以写成的形式，即可得到二次函数与x轴的两个交点分别是，得到对称轴，再求的对称轴即可． 【详解】解：∵一元二次方程可以写成的形式， ∴函数可以写成， ∴抛物线与x轴的交点为， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵二次函数的图象向右平移1个单位得到， ∴二次函数的对称轴是直线， 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线（）． (1)若抛物线过点，求该抛物线的对称轴； (2)若，，在抛物线上，且满足，当抛物线对称轴为直线时，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键： （1）求出抛物线与轴的交点为，对称性求出对称轴即可； （2）由抛物线对称轴为直线，得到，即，将，，分别代入，得，根据，建立不等式组，计算可得． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴当时，，故抛物线经过点， 又∵抛物线过点， ∴抛物线的对称轴为直线，即； （2）若抛物线对称轴为直线，则，即， ∴解析式为， 将，，分别代入， 得， 又∵， ∴， ∴． 【经典例题九 根据二次函数的对称性求函数值】 【例9】（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若抛物线与x轴只有一个公共点．且过点，．则n的值为（   ） A．48 B．36 C．24 D．12 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，待定系数法等，解题的关键是由题意，得，又抛物线过点，，可知、关于直线对称，所以，，，，把点坐标代入，化简整理即可解决问题． 【详解】解：由题意， ， 又抛物线过点，， 、关于直线对称， ，，，， 把点坐标代入， ， ， ． 故选：B． 1．已知二次函数，当自变量取两个不同的值，时，函数值相等，则当自变量取时，函数值与（　　） A．时的函数值相等 B．时的函数值相等 C．时的函数值相等 D．时的函数值相等 【答案】B 【分析】此题考查二次函数的图象性质，利用二次函数的对称性解决问题． 可知以这两个自变量的值为横坐标的点，关于抛物线的对称轴对称．求出，代入求出y，再分别把每项数代入求出y，看看y值是否相等即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， 当自变量x取两个不同的值、时，函数值相等，则以、为横坐标的两点关于直线对称， 若，则， 若，则， 所以， 代入二次函数的解析式得：， A、当时，，故本选项不符合题意； B、当时，，故本选项符合题意； C、当时，，故本选项不符合题意； D、当时，，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．抛物线经过点，，以及点D，若点D的横坐标为，则点D的纵坐标是 （用n的式子含表示）． 【答案】 【分析】本题考查抛物线的对称性，求出抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性和点的坐标特征，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴对称轴为， 又∵， ∴点和点D关于对称轴对称， ∴点D的纵坐标是， 故答案为：． 3．如图，二次函数与一次函数的图象交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上，一次函数的图象与二次函数的对称轴交于点P． (1)求点P的坐标； (2)当时，二次函数的最大值是15，求a的值； (3)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，点C的坐标为，，求当取何值时，的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据已知条件得到直线，把代入即可得到结论； （2）根据二次函数的性质得到二次函数的最大值是15，解方程即可得到结论； （3）根据在抛物线上，求得，根据勾股定理和二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）二次函数的对称轴为直线， 把代入得， 点的坐标为， 故答案为：； （2）∵二次函数的对称轴为，在对称轴左侧二次函数y的值随x的增大而减小 ∴二次函数 的最大值是15，即 解得， ∵， ∴， ∴； （3）∵在抛物线上， ∵， 当 时，m的值最小，最小值是 ． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合题，一次函数和二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式即二次函数的性质是解题的关键． 【经典例题十 待定系数法求二次函数解析式】 【例10】（2024·四川南充·三模）已知抛物线：与抛物线：关于点成中心对称，若当时，有最大值为4，则m的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.求出抛物线的顶点是，得到关于的中心对称点为，，分和两种情况分别进行解答即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的顶点是， 设关于的中心对称点为， 则， 解得， ∴关于的中心对称点为， ∴，且抛物线：与抛物线：开口方向相反，形状相同，即， 当时，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵当时，有最大值为4，且， ∴当时，，解得， ∴， 当时，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵当时，而 ∴当时，有最大值，最大值为， 显然，不符合题意， 综上可知，， 故选：C． 1．在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质和待定系数法求函数的解析式．利用待定系数法分别求出表达式比较的大小即可． 【详解】解：设过A、B、C三点的抛物线表达式为：，则有， ， 解得：， 设过A、B、D三点的抛物线表达式为：，则有， ， 解得：， 设过A、C、D三点的抛物线表达式为：，则有， ， 解得：， 设过B、C、D三点的抛物线表达式为：，则有， ， 解得：， ， 的值最大为：． 故选：B． 2．抛物线关于原点对称的抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数解析式，关于原点对称的点坐标的特征．熟练掌握二次函数解析式，关于原点对称的点坐标的特征是解题的关键． 设抛物线关于原点对称的抛物线上的点坐标为，则在抛物线上，，整理作答即可． 【详解】解：设抛物线关于原点对称的抛物线上的点坐标为， ∴在抛物线上， ∴， 整理得，， ∴抛物线关于原点对称的抛物线的解析式为， 故答案为：． 3．二次函数（、为实数）的图象经过点，点． (1)求该二次函数的表达式及顶点坐标． (2)当时，求该二次函数的最大值与最小值． 【答案】(1)该二次函数的解析式，顶点坐标为； (2)该二次函数的最大值为5，该二次函数的最小值为． 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质，利用二次函数图象上点的坐标特征，确定二次函数的极值和函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法确定函数的解析式，利用配方法即可求得顶点坐标； （2）根据的取值范围可知抛物线的顶点二次函数可取得最大值，再由二次函数的对称性和图象，即可得出找到最小值． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，， ，解得， 该二次函数的解析式， ， 顶点坐标为； （2）解：的顶点坐标为， 当时，函数的最大值为5， 根据二次函数的对称性，由图象可知： 当时，函数有最小值，最小值． 【经典例题十一 二次函数图象的平移】 【例11】（2024·江西九江·二模）在平面直角坐标系中，若把对称轴为直线的抛物线向上平移，使得平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，则下列平移方式正确的是（    ） A．向上平移个单位长度 B．向上平移个单位长度 C．向上平移个单位长度 D．向上平移个单位长度 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，利用对称轴求得，可得抛物线解析式为，得到抛物线的顶点坐标为，根据平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点可得平移后的抛物线顶点在轴上，据此即可求解，掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点， ∴平移后的抛物线顶点在轴上， ∴抛物线应向上平移个单位长度， 故选：． 1．已知抛物线的对称轴在轴左侧，现将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是（    ） A．或1 B．5或 C．1 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移等知识．，由对称轴在y轴左侧可得，即，由题意知，平移后的抛物线解析式为，将代入得，计算求出满足要求的值即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 由题意知，平移后的抛物线解析式为， 将代入得，整理得，， 解得或（舍去）， 故选：C． 2．抛物线的对称轴在y轴左侧，将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是写出平移后抛物线的解析式． 根据抛物线平移规律写出新抛物线解析式，然后将代入，求得的值即可代入． 【详解】解：抛物线的对称轴在y轴左侧， ， 抛物线， 将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是：， 将代入，得， 解得：，（舍去） 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，点，将抛物线向上平移m个单位，使得平移后的抛物线与线段AB有公共点，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查抛物线的平移与交点问题，采用数形结合思想是解题的关键． 将抛物线向上平移个单位长度，得到抛物线为．当平移后抛物线的顶点在线段上时，抛物线开始与线段有交点，此时抛物线顶点的纵坐标等于点，点的纵坐标，据此可求得的值．将抛物线向上继续平移，抛物线与线段有交点，而当抛物线经过点时，抛物线最后与线段有交点，把点代入函数，可求得的值．将抛物线向上继续平移，抛物线与线段没有交点．综上可得的取值范围． 【详解】解：将抛物线向上平移个单位长度，得到抛物线为， 如下图，当平移后抛物线的顶点在线段上时，抛物线开始与线段有交点， ∵抛物线的顶点坐标为，且， ∴，解得； 将抛物线向上继续平移，即时，抛物线与线段有交点，如下图 抛物线经过点B时，抛物线最后与线段有交点，如下图， 把点代入函数， 得，解得， 将抛物线向上继续平移，即时，抛物线与线段没有交点． 综上所述，平移后的抛物线与线段有公共点， 则的取值范围为． 【经典例题十二 y=ax2+bx+c的最值】 【例12】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知抛物线 (n为常数)，当时，其对应的函数值最大为，则n的值为（    ） A．或7 B．1 或7 C．4 D． 或4 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的增减性，是解题的关键．分，和三种情况，结合二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵，，对称轴为直线， ∴抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小； 当时，则时，函数值y有最大值， 故， 解得：（舍去）； 当时，的最大值为，不符合题意； 当时，则时，函数值y有最大值， 故， 解得：（舍去），． 综上所述：n的值为或7． 故选：A． 1．已知函数，当时，有最大值5，最小值1，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性和增减性，以及求二次函数的最值的方法． 先将该函数的表达式化为顶点式，得出当时，有最小值1，再把代入，求出的值，即可求出的取值范围． 【详解】解：∵， ∴当时，有最小值1， 把代入得：， 解得：， ∵当时，有最大值5，最小值1， ， 故选：C． 2．已知二次函数，当时，二次函数的最大值为6，则的值为 ． 【答案】的值为8或 【分析】本题考查了二次函数的最值，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标，当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．先求得抛物线的对称轴，再分情况讨论：①当时，②当时，当时，根据二次函数的性质，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ①当时，即时， ，在对称轴右侧，随的增大而减小， 当时，有最大值为6， ， 解得：； ②当时，即时， 当时，有最大值为6， ， 解得：， ， （不合题意，舍去）， ③当时，即时， ，在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，有最大值为6， ， 解得：， 综上所述，的值为8或． 3．在平面直角坐标系中，设二次函数 (a，b是实数，且) (1)已知，若的对称轴为直线，求的对称轴； (2)若函数图象经过点，点，求证：函数的图象也经过A、B两点； (3)设函数和函数的最小值互为相反数，求的值． 【答案】(1)直线 (2)见解析 (3)0 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意可得，然后根据二次函数的对称轴公式及题意可进行求解； （2）把点A、B代入解析式，然后可得a、b的数量关系，进而问题可求解； （3）由题意易得a、b的关系式，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， ∴的对称轴为直线，的对称轴为直线， ∴， ∵， ∴的对称轴为直线； （2）证明：由题意得：，把点，点代入得： ；； ∴当时，则代入得：，则点A在函数的图象上； 当时，则代入得：，则点B在函数的图象上； （3）解：由函数和函数的最小值互为相反数，可知：， ∴的最小值为，的最小值为， ∴， 整理得：， ∵， ∴． 【经典例题十三 利用二次函数对称性求最短路径】 【例13】（2023·山东泰安·二模）已知二次函数的图象如图所示，点是坐标系的原点，图象与轴交于点，则下面结论： ①； ②关于的方程的解是，； ③当时，； ④当时，； ⑤周长的最小值是； 正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】把代入，可判断①，根据于轴交点和对称轴，可确定与轴另一交点，从而确定方程的解，可判断②，把、分别代入，可判断③④，作点关于直线的对称点，计算的长，即可求解， 本题考查了，二次函数与坐标轴交点，根据二次函数图像确定方程的根，求最短路径，解题的关键是：熟练掌握二次函数的图像性质． 【详解】解：把代入，， 解得：，二次函数解析式为：，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， 而抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴关于的方程的解是，，故②正确， 当时，，，故③正确， 当时，，故④正确， 作点关于直线的对称点，如图， 连接交直线于点， ∵， ∴， ∴此时的值最小， ∴此时周长有最小值， ∵， ∴周长的最小值为，故⑤正确， 综上所述，①②③④⑤正确， 故选：． 1．中，，，则的最小值等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，二次函数的应用，解题的关键是灵活运用这些知识．过点作，交的延长线于点，根据题意可得，设，则，，由可得，进而得到，在中，根据勾股定理和二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，   ， ， 在中，设，则， ， 又， ， ， 在中，， 即， 当时，最小，此时， 的最小值为， 故选：C． 2．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时点的坐标为 ． 【答案】 【分析】将对称至，连接，与对称轴的交点即为，再根据直线的解析式与对称轴求解的坐标即可． 【详解】解：根据对称轴公式，可得：，解得：， 即抛物线的解析式为：， 将代入得：， 抛物线的解析式为：； 顶点坐标 ； 连接交直线于点， 此时 最小，点即为所求 ， 由，， 设直线的解析式为，将点代入得， ， 解得：， ∴直线： 当时：， ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 3．如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为．    (1)若直线经过，两点，求抛物线和直线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标； (3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或或或 【分析】（1）先待定系数法求得抛物线解析式，进而求得点的坐标，然后根据的坐标，待定系数法求解析式，即可求解； （2）设直线与对称轴的交点为，则此时的值最小．把代入直线得的值，即可求出点坐标； （3）设，又因为，，所以可得，，，再分三种情况分别讨论求出符合题意值，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴ 解得： ∴抛物线解析式为： 当时， 解得：或 ∴ 将点，代入直线的解析式为， ∴ 解得：， ∴直线的解析式为， （2）∵， ∴对称轴是直线， 设直线与对称轴的交点为，则此时的值最小． 把代入直线得，， ∴， 即当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为； （3）设，又∵，， ∴，，， ①若点为直角顶点，则 即： 解得：； ②若点为直角顶点，则 即： 解得：， ③若点为直角顶点，则 即： 解得：，； 综上所述的坐标为或或或 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【经典例题十四 二次函数与一次函数的综合】 【例14】（2024·四川德阳·三模）在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象分布，确定字母范围，相同字母范围一致的即可． 本题考查了一次函数与二次函数图象的分布，熟练掌握图象分布特点是解题的关键． 【详解】A. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意； B. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意；      C. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意；      D. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即； 一致，符合题意， 故选D. 1．（2024·河南南阳·二模）如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，二次函数与一次函数交点问题，由图象得出一元二次方程有两个不相等的正实数根，由此即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：一次函数与二次函数的图象相交于两点， 由图可得：一元二次方程有两个不相等的正实数根， 函数的图象与轴的正半轴有两个交点， 故选：A． 2．（23-24九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线（是常数，且）经过点． （1）该抛物线的顶点坐标为 ． （2）若一次函数的图象与二次函数的图象的交点坐标分别是，，且，则的最大值为 ． 【答案】 4 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，求出的值，再将抛物线解析式表示成顶点式，即可求解； （2）将一次函数和二次函数解析式联立，求出，然后表示出，求出的表达式，再将表达式化为顶点式，求二次函数的最值即可． 【详解】解：（1）将点代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）将一次函数解析式与抛物线解析式联立， 可得， 整理可得， 解得，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，取最大值，最大值为4． 故答案为：（1）；（2）4． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的最值、二次函数的顶点式、一次函数与二次函数的交点问题等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3．（23-24九年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数 (1)当二次函数经过点时． ①求该二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标； ②一次函数的图象经过点A，点在一次函数． 的图象上，点在二次函数 的图象上． 若，求n的取值范围． (2)设二次函数 的图象上有不重合的两点 其中且满足，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式，解不等式组，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）①利用待定系数法求出二次函数解析式，再把二次函数解析式化为顶点式求出其顶点坐标即可；②先用待定系数法求出一次函数解析式，再求出，，根据，得到，令，利用二次函数的性质求出当或时，，则当或时，； （2）当时，解得，，根据得到，得到，令，利用二次函数的性质求出当时，，则当时，且满足。 【详解】（1）解：①∵二次函数经过点， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为； ②∵一次函数的图象经过， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为， ∵点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 令， 在中，当时，即， 解得或， ∴由函数图象可知，当或时，， ∴当或时，； （2）解；在中，当时， 解得，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 令， 在中，当时，即， 解得或， ∴由函数图象可知，当时，， ∴当时，且满足； 【经典例题十五 二次函数图象与性质的综合】 【例15】（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线过点，两点，若，时，y的最大值为，则t的值是（    ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】C 【分析】根据抛物线过点，两点，可以求得该抛物线的对称轴，然后再根据，时，y的最大值为即可求得的值． 【详解】解：∵抛物线过点，两点， ， 解得：， ∴抛物线即为， 它的开口向下，对称轴是直线， 当时，有最大值， 若，则， ∵当时，y的最大值为， ∴， 即， 解得：， ∵， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 1．（2024·福建三明·三模）已知点，，，都在二次函数（，，为常数，且）的图象上，若，则的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，由题意得，，，，再根据，求出，然后分和两种情况讨论即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】∵二次函数过点，，，， ∴，，，， ∴，即有， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴，解得：， 当时，， ∴，解得：， 综上可知：的取值范围是或， 故选：． 2．（2024·福建厦门·二模）抛物线经过，两点，若，当时，都有，则b的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是二次函数的性质，由条件可得，即，再结合，进一步解答即可． 【详解】解：∵抛物线经过，两点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 3．（2024·湖北荆州·二模）已知抛物线：的图像与x轴交于点，与y轴交于点，点为y轴上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点E是第一象限抛物线上一点，且，与x轴交于点D，求点E的横坐标； (3)点P是上的一个动点，连接，取的中点，设点构成的曲线是，直线与，的交点从左至右依次为，，，，则是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)为定值，等于1 【分析】（1）利用待定系数法，将点坐标代入，解方程组即可； （2）先证明，根据等腰三角形三线合一，得到平分，结合，推出，然后在中利用勾股定理求出的长度，得到的坐标，下一步求出直线的表达式，联立直线与抛物线，得到点的坐标； （3）设点，作轴于M，作轴于N，通过是中位线表示出点的坐标，然后将点代入抛物线，得到的轨迹方程，将的轨迹方程与分别与联立，利用未达定理，得到，的值，最后算出的值． 【详解】（1）将点，代入抛物线， 得到，解得 抛物线的解析式为 （2），， ， 又， 平分 设，则 在中， ，解得， 设直线解析式为，代入点，则，解得 直线解析式为 联立抛物线与直线， 得，（舍）， 点E的横坐标为； （3）为定值，理由如下： 设点，作轴于M，作轴于N，则， 又为中点， 为中位线 ，为中点 ， ， 将点代入抛物线， 化简得， 设，，，的横坐标分别为，，， 则 由得， 由得， 定值． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形三线合一，勾股定理，三角形的中位线，韦达定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 1．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）已知点，，在函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上， 则图象上的点离对称轴越远则的值越大， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25九年级上·湖北黄石·阶段练习）二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，熟练掌握函数图象与系数的关系是解题的关键，注意分情况讨论．分和两种情况根据二次函数与一次函数图象分析判断即可得解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 时，抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴正半轴的交于点，一次函数经过第一、二、三象限，与y轴正半轴的交于点， 时，抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴负半轴的交于点，一次函数经过第二、三、四象限，与y轴正半轴的交于点， 符合条件的只有D选项， 故选：D． 3．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在正方形中，点，点，则二次函数与正方形有交点时，的最大值是（  ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与性质，掌握抛物线顶点特征及运动轨迹，确定取得最值时的特殊位置是解题关键．根据抛物线顶点坐标可确定其顶点在直线上移动，然后再确定当抛物线左侧经过点时，取得最大值，以此代入坐标求解即可． 【详解】解：由题意，该抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点在直线上移动， ∵四边形为正方形，点，点， ∴点的坐标为， 如图所示，当抛物线左侧经过点时，取得最大值，    将代入得：， 解得：或（不合题意，舍去）， 故选：B． 4．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知关于x的二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象性质，不等式的解法等知识点，由二次函数的性质可确定出a的范围，能够得出关于a的不等式，并正确求解不等式是解题关键． 【详解】∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵在时，y随x的增大而增大， ∴， 解得， 故选：A． 5．（2024·山东济南·模拟预测）新定义：若两个函数图像有公共点，则称这两个函数图像为牵手函数．已知抛物线与线段是牵手函数，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的性质，熟练掌握函数的递变规律是解本题的关键．依据两个函数有公共点，则联立的二次方程有实数根，判别式大于或等于，可初步确定的取值范围，然后再依据自变量的取值范围进一步确定的取值范围，即可求解． 【详解】解：抛物线与线段是牵手函数， 抛物线与平行于轴的线段相切或者相交， 代入中， 即关于的二次方程有两个相等或者不等的实数根， 整理上述关于的二次方程得①， 对于①式， 解得：，    将①式整理成关于的二次方程：， 则关于的判别式：， 解得：， 结合的已知取值范围得出：线段与抛物线有公共点的取值范围为：． 观察图1～图4中抛物线与线段的相对位置关系递变规律发现：当时， 正好是线段与抛物线有公共点时的抛物线最高与最低的位置，其递变规律是， 把代入方程①式：， 可求得， 即抛物线与线段有公共点时的最高与最低位置， 因此，的取值范围是． 故选：B． 6．（24-25九年级上·四川泸州·阶段练习）方程的两个根分别为，当m 时，有最小值． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及二次函数的性质，根据根与系数的关系即可得出，，将利用完全平方公式变形为，整体代入，，得到，整理后利用配方法变形为，再利用判别式求出m的取值范围，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：方程的两个根分别为， ，， ∵， ∴， 令， ∵方程有两个根， ∴，即， 解得：， ∵， ∴时，y随m的增大而增大， ∴当时，有最小值． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知二次函数（a为常数，且），函数的最大值为 ． 【答案】2 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．把二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：∵ ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，函数的最大值为2． 故答案为：2 8．（吉林省松原市前郭县北部学区2024~2025学年九年级上学期期中数学测试）如图．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、M的坐标分别为、和，抛物线的顶点在线段（包括线段端点）上，与x轴交于C、D两点，点C在线段上（包括线段端点），设点D的横坐标为m，则m的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，解题的关键是结合图像理解当顶点为，点重合时，点D的横坐标为m取到最大值． 【详解】解：抛物线的顶点在线段（包括线段端点）上， 当顶点为，即对称轴为时，点重合时，即时， 点D的横坐标为m取到最大值，， 即，解得：， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在轴上，顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上．若抛物线经过点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据抛物线经过点C、D和二次函数图象具有对称性，可以求得该抛物线的对称轴和的长，然后根据菱形的性质和勾股定理可以求得的长，从而可以求得的长，进而写出点B的坐标． 【详解】解：抛物线的解析式为， 该抛物线的对称轴为直线，点的坐标为． ． 四边形是菱形， ，． 抛物线经过点， ． ． ，，， ． ． 点在轴正半轴上， 点的坐标为． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）抛物线的对称轴为直线． （1） ， （2）若抛物线在内与轴只有一个交点，则的取值范围是 ． 【答案】 1 或 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质，二次函数对称性，点坐标特征，是解决问题的关键． （1）根据抛物线的对称轴公式解答；（2）根据抛物线顶点在x轴上时，，，把，分别代入，求得，，根据的对称点在范围内，的对称点为不在范围内，得到． 【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）∵抛物线，在内与轴只有一个交点，且， ∴抛物线， 当顶点在x轴上时， ，； 当顶点不在x轴上时， 把，分别代入， 得，解得，，解得， ∵关于对称轴的对称点为，在范围内，关于对称轴的对称点为，在范围外，且抛物线在内与轴只有一个交点， ∴． 综上：或． 故答案为：或． 11．（24-25九年级上·辽宁抚顺·阶段练习）已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)求函数值的取值范围． 【答案】(1)且 (2)且 【分析】本题考查根的判别式和二次函数的性质，掌握二次函数的配方得到顶点坐标是解题的关键． （1）根据根的情况得到且，然后解题即可； （2）把二次函数配方为顶点式，根据二次函数性质解题即可． 【详解】（1），， 关于的方程有两个实数根 解得且； （2） 对称轴为，抛物线开口向上， 所以当 时，随的增大而增大． 又且， 且． 12．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … 0 1 … … 0 0 … (1)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象． (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了画函数图象，求二次函数值的取值范围： （1）利用描点法画函数图象即可； （2）根据对称性可确定对称轴，进而确定开口方向，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，画出这个二次函数的图象如下： AI （2）解：∵当和当的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∵当时的函数值小于的函数值， ∴函数开口向上，在对称轴处有最小值， ∴结合函数图象可知，当时，． 13．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点． ①若对于，，有，求m的值； ②若对于，，都有，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）将代入求得抛物线的函数表达式，将函数表达式化为顶点式即可求解； （2）①根据抛物线的对称性求解即可； ②分和两种情况，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，则抛物线， ∴当时，求抛物线的顶点坐标为； （2）解：①由抛物线得对称轴为直线， ∵和是抛物线上的两点，且对于，，有， ∴点M、N关于直线对称， ∴； ②当时，，则， ∴当时，抛物线的开口向上，且， ∵点M关于直线的对称点为，又时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， ∴当时，恒有，则， 解得， ∴； 当时，抛物线的开口向下，且， ∵点M关于直线的对称点为，又时，y随x的增大而减小， ∴当时，恒有，不符合题意， 综上，满足条件的m的取值范围为． 14．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与x轴相交于原点O和点A，直线与抛物线在第一象限的交点为点B，抛物线的顶点为点C． (1)直接写出点B和点C的坐标； (2)在下方的抛物线上，若存在一点D，使得，求出点D的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的综合题目，涉及二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式等，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）联立，即可求出点B的坐标，将化为顶点式，即可求出点C的坐标； （2）过点B作轴于点F，延长交于点G，设交x轴于点E，先证明，再分别利用待定系数法求出直线的解析式，再联立解析式求解即可． 【详解】（1）解：联立， 解得， 当时，， ∴， ∵， ∴顶点； （2）过点B作轴于点F，延长交于点G，设交x轴于点E， ， 又， ， ， 设直线的解析式为， 将B、C坐标代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 由，得， ， ， 设直线的解析式为， 将G坐标代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或（舍去）， ． 15．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．    (1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； (2)当______时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； (4)若关于的方程有且只有两个解，则的取值范围_______． 【答案】(1)5，3 (2)或2 (3)或 (4)或 【分析】（1）把和分别代入求得函数值，根据函数图象即可求得答案； （2）根据函数图象即可求得； （3）根据函数图象即可求得； （4）根据图象求得答案即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 把代入， 得， 当时，新函数值为，当时，新函数值为， 故答案为：，； （2）解：观察图象可得： 当或时，新函数有最小值为， 故答案为：或； （3）解：观察图象可得： 当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是或； 故答案为：或； （4）解：将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折， 得到新函数的解析式为：， 关于的方程有且只有两个解，即为直线与新函数图象有且只有两个公共点， 观察图象可得：的取值范围或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$