24.2.1点和圆的位置关系（第3课时）教案2024-2025学年人教版数学九年级上册

人教版初中数学　九年级上册 24.2.1　点和圆的位置关系（第3课时） 教学目标 　　1．通过实例体会反证法的含义，知道它是证明问题的一种方法． 　　2．了解用反证法证明的基本思路和一般步骤，会用反证法进行简单的证明． 教学重点 　　理解反证法的含义；了解用反证法证明的基本思路． 教学难点 　　了解用反证法证明的一般步骤，会用反证法进行简单的证明． 教学过程 新课导入 　　王戎七岁，尝与诸小儿游，看道旁李树多子折枝，诸儿竞走取之，唯戎不动．人问之，答曰：“树在道旁而多子，此必苦李．”取之信然． 　　译文：王戎七岁的时候，有一次和一些小孩儿出去游玩，看见路边的李树挂了很多果，压弯了树枝，小孩儿们争先恐后跑去摘李子，只有王戎站着不动．别人问他，他回答：“树长在路边，还有这么多李子，这一定是苦的李子．”拿李子来一尝，果真是苦的． 　　王戎是如何知道李子是苦的？他用了什么方法进行推断的？ 　　【师生活动】学生小组讨论，师生一起分析． 　　【答案】假设“李子甜”，李树长在路边，有许多人采摘，李子少⇒与已知条件“树在道旁而多子”产生矛盾，假设不成立⇒结论“树在道旁而多子，此必苦李”是正确的． 　　王戎用了间接推理和判断的方法，从反面论述了李子为什么是苦的． 　　【设计意图】通过一个故事，引出反证法，激发学生的学习兴趣． 新知探究 一、探究学习 　　【问题】我们知道，不在同一条直线上的三点确定一个圆．如果A，B，C三点在同一条直线上，经过点A，B，C还能作出一个圆吗？ 　　【师生活动】学生自己动手画图，得出结论，教师展示动画． 　　【答案】过同一条直线上的三个点不能作圆． 　　【思考】如何证明你的结论？ 　　【师生活动】教师给出已知和求证，学生独立思考，教师带领学生完成证明．教师教学时注意向学生说明：实际上，点P是不存在的，是根据假设画出来的． 　　【答案】已知：A，B，C是直线l上的三点． 　　求证：经过A，B，C三点不能作一个圆． 　　证明：假设经过A，B，C三点可以作一个圆． 　　设这个圆的圆心为P． 　　∵PA＝PB＝PC， 　　∴点P既在线段AB的垂直平分线l1上，也在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点． 　　而l1⊥l与l2⊥l，这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾． 　　∴经过同一条直线上的三点A，B，C不能作圆． 　　【新知】上面证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立（即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立． 　　这种方法叫做反证法． 　　【设计意图】通过探索，让学生通过实例体会反证法的含义，知道反证法是一种间接证法，初步了解用反证法证明的基本思路，培养逻辑推理的能力． 　　【练习】已知：在△ABC中，AB≠AC． 　　求证：∠B≠∠C． 　　证明：假设___________， 　　∴___________．（___________） 　　这与_________________矛盾． 　　假设不成立． 　　∴___________． 　　【师生活动】学生独立完成，一名学生展示答案． 　　【答案】∠B＝∠C　　AB＝AC　　等角对等边　　已知AB≠AC　　∠B≠∠C 　　【设计意图】通过习题，加深学生对反证法的含义及用反证法证明的基本思路的理解． 　　【问题】如何证明“过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆”？ 　　【师生活动】教师展示问题，师生共同写出已知、求证． 　　已知：四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°． 　　求证：A，B，C，D四点共圆． 　　学生分组讨论证明思路，学生思考并尝试回答，教师给出提示． 　　【分析】不在同一条直线上的三点是共圆的，我们可以作出过A，B，C三点的⊙O，再证明第四点（点D）在⊙O上． 　　【思考】如何证明点D在⊙O上？ 　　【师生活动】学生尝试证明点D与圆心O的距离等于半径，但这种方法目前存在困难，教师引导学生使用反证法证明． 　　【思考】假设点D不在过A，B，C三点的⊙O上，会出现哪些情况？你能对它们进行证明吗？ 　　【师生活动】学生小组讨论，得到答案：假设点D不在⊙O上，则点D在⊙O内或点D在⊙O外． 　　　　　　 　　师生共同分析点D在圆内的情况，对于点D在圆外的情况，由学生独立完成证明． 　　【答案】证明：过A，B，C三点作⊙O，假设点D不在⊙O上，则点D在⊙O内或点D在⊙O外． 　　（1）若点D在⊙O内，延长AD交⊙O于E，连接CE，则∠B＋∠E＝180°． 　　∵∠B＋∠ADC＝180°， 　　∴∠ADC＝∠E． 　　这与△CDE中，∠ADC＞∠E矛盾， 　　∴点D不在⊙O内． 　　（2）若点D在⊙O外，设AD交⊙O于E，连接CE，则∠B＋∠AEC＝180°． 　　∵∠B＋∠D＝180°， 　　∴∠D＝∠AEC． 　　这与△CDE中，∠AEC＞∠D矛盾， 　　∴点D不在⊙O外． 　　综上，假设不成立，即点D在过A，B，C三点的圆上． 　　【设计意图】引导学生知道用反证法证明命题时，要假设待证命题的结论不成立，必须考虑结论反面的所有可能情况．如果只有一种，否定这一种就可以了；如果有多种，必须一一否定．通过证明，让学生感受数学的严谨性和数学结论的确定性，培养学生的推理能力. 　　【思考】用反证法证明命题的一般步骤是什么？ 　　【归纳】第1步：假设命题的结论不成立． 　　第2步：从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果． 　　第3步：由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的． 　　【设计意图】让学生了解用反证法证明的一般步骤． 二、典例精讲 　　【例1】用反证法证明平行线的性质：两直线平行，同位角相等． 　　【师生活动】学生小组讨论完成解答，教师给予指导． 　　【答案】解：已知：如图，直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于点G，H．求证：∠1＝∠2． 　　假设∠1≠∠2．过点G作直线A′B′，使∠EGB′＝∠2． 　　根据“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行”，可得A′B′∥CD． 　　这样，过点G就有两条直线AB与A′B′与直线CD平行． 　　这与平行公理“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾． 　　这说明假设∠1≠∠2不正确， 　　∴∠1＝∠2． 　　∴两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 　　【归纳】用反证法主要解决用直接证法不易证明或不能证明的命题，适用于： 　　（1）结论是否定型的命题； 　　（2）结论包含的可能结果有很多或有无限种可能情况的命题； 　　（3）结论含有“至少”“至多”等词语的命题． 　　【例2】用反证法证明：一个三角形中至少有两个锐角． 　　【师生活动】学生小组讨论完成解答，一名学生板书解答，教师给予指导． 　　【答案】解：已知：如图，∠A，∠B，∠C为△ABC的三个内角．求证：∠A，∠B，∠C至少有两个锐角． 　　假设△ABC的三个内角中至多有一个锐角， 　　不妨设0°＜∠A＜90°， 　　则90°≤∠B＜180°，90°≤∠C＜180°． 　　因此∠A＋∠B＋∠C＞180°， 　　这与“三角形内角和等于180°”相矛盾． 　　∴一个三角形中至少有两个锐角． 　　【归纳】用反证法证明时需注意： 　　（1）否定的是命题的结论，而不是已知条件． 　　（2）在推理论证时，要把假设作为新增条件参与论证． 　　（3）用反证法证明命题时，准确写出与原命题的结论相反的假设是关键． 　　【设计意图】通过例1和例2的讲解练习，巩固学生对已学知识的理解． 课堂小结 板书设计 　　一、反证法 　　二、反证法证明命题的一般步骤 教学反思 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $$