4.4解直角三角形的应用 第2课时 课件 2024-2025学年 湘教版数学九年级上册

4．4　解直角三角形的应用 第2课时 第4章 锐角三角函数 基础主干落实 重点典例探析 5+2思维赋能 基础主干落实 升高的高度 水 平前进的距离 地平面 tan α 北偏东30° 南偏东45°或东南方向 南偏西80° 北偏西60° × √ √ A C 33.5 重点典例探析 A 5+2思维赋能 1．坡度、坡角 (1)坡度：如图，从山坡脚下点A上坡走到点B时，_________________(h)与_____ _______________(l)的比叫作坡度，用字母i表示，即i＝____，坡度通常写成1∶m 的形式． (2)坡角：山坡与____________的夹角，记作α. (3)关系：i＝________＝_________． 2．方位角 如图中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方位角分别表示为_____________， _______________________，_____________，_____________． 判一判： 1．坡面的水平长度与铅直高度的比就是坡面的坡度．(　 　) 2．坡面的坡度就是坡角的正切值．(　 　) 3．如图，OA指示的方向为东北方向．(　 　) 1．如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距200 m，则图书馆A到公路的距离AB为( ) A．100 m B．100 eq \r(2) m C．100 eq \r(3) m D． eq \f(200\r(3),3) m 2．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡度i＝1∶ eq \r(3) ，堤高BC＝10 m．则坡面AB的长度是( ) A．15 m B．20 eq \r(3) m C．20 m D．10 eq \r(3) m 3．(2021·无锡中考)一条上山直道的坡度为1∶7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为_________米． 4．如图，海面上B，C两岛分别位于A岛的正东和正北方向，A岛与C岛之间的距离约为36海里，B岛在C岛的南偏东43°，A，B两岛之间的距离约为________海里．(结果精确到0.1海里，参考数据：sin 43°≈0.68，cos 43°≈0.73，tan 43°≈0.93) 重点1　坡度 【典例1】(2021·锦州中考)如图，山坡上有一棵竖直的树AB，在坡面上点D处放置高度为1.6 m的测倾器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上(即BC∥MN)，此时测得树顶部A的仰角为50°.已知山坡的坡度i＝1∶3(即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比)，求树AB的高度．(结果精确到0.1 m． 参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19) 【自主解答】∵山坡BM的坡度i＝1∶3， ∴i＝1∶3＝tan M， ∵BC∥MN，∴∠CBD＝∠M， ∴tan ∠CBD＝ eq \f(CD,BC) ＝tan M＝1∶3， ∴BC＝3CD＝4.8(m)， 在Rt△ABC中，tan ∠ACB＝ eq \f(AB,BC) ＝tan 50°≈1.19， ∴AB≈1.19BC＝1.19×4.8≈5.7(m)， 即树AB的高度约为5.7 m． 1．(2021·日照中考)如图，在一次数学实践活动中，则小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30 m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20 m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1∶ eq \r(3) ，且点A，B，C，D，E在同一平面内，则小明同学测得古塔AB的高度是( ) A．(10 eq \r(3) ＋20)m B．(10 eq \r(3) ＋10)m C．20 eq \r(3) m D．40 m 【解析】过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H， ∴DH＝BF，BH＝DF， ∵斜坡的斜面坡度i＝1∶ eq \r(3) ，∴ eq \f(DF,CF) ＝1∶ eq \r(3) ， 设DF＝x m，CF＝ eq \r(3) x m， ∴CD＝ eq \r(DF2＋CF2) ＝2x＝20(m)， ∴x＝10， ∴BH＝DF＝10 m，CF＝10 eq \r(3) m， ∴DH＝BF＝(10 eq \r(3) ＋30)m， ∵∠ADH＝30°，∴AH＝ eq \f(\r(3),3) DH＝ eq \f(\r(3),3) ×(10 eq \r(3) ＋30)＝(10＋10 eq \r(3) )(m)， ∴AB＝AH＋BH＝(20＋10 eq \r(3) )m. 2．(2021·内江中考)在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度．如图所示，测得斜坡BE的坡度i＝1∶4，坡底AE的长为8米，在B处测得树CD顶部D的仰角为30°，在E处测得树CD顶部D的仰角为60°，求树CD的高度．(结果保留根号) 【解析】作BF⊥CD于点F，则AB＝CF，AC＝BF.设DF＝x米， 在Rt△DBF中，tan ∠DBF＝ eq \f(DF,BF) ，则BF＝ eq \f(DF,tan 30°) ＝ eq \r(3) x(米). ∵斜坡BE的坡度i＝1∶4，AE＝8米，∴AB＝CF＝2米． 在Rt△DCE中，DC＝x＋CF＝(x＋2)(米)， tan ∠DEC＝ eq \f(DC,EC) ，∴EC＝ eq \f(\r(3),3) (x＋2)米． ∵BF－CE＝AE，即 eq \r(3) x－ eq \f(\r(3),3) (x＋2)＝8. 解得：x＝4 eq \r(3) ＋1， 则CD＝4 eq \r(3) ＋1＋2＝(4 eq \r(3) ＋3)米． 答：树CD的高度是(4 eq \r(3) ＋3)米． 【归纳提升】 解坡度问题需要注意的两点 1.适当添加辅助线，将图形分割为直角三角形和矩形 2.坡度i与坡角α之间具有关系：i＝tan α＝ eq \f(垂直高度h,水平宽度l) 重点2　方位角 【典例2】(教材P128例3补充)一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．(参考数据： eq \r(3) ≈1.73， eq \r(5) ≈2.24， eq \r(7) ≈2.65) (1)这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由． (2)渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离． 【自主解答】(1)这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下： 过点A作AD⊥BC于点D， 如图，则∠ADB＝∠ADC＝90°，由题意得：AB＝60，∠BAD＝90°－60°＝30°， ∴BD＝ eq \f(1,2) AB＝30， AD＝ eq \r(3) BD＝30 eq \r(3) ≈51.9>50. 答：这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险． (2)由(1)得：BD＝30，AD＝30 eq \r(3) ， ∵BC＝3×30＝90， ∴DC＝BC－BD＝90－30＝60， 在Rt△ADC中，AC＝ eq \r(AD2＋DC2) ＝ eq \r(（30\r(3)）2＋602) ＝30 eq \r(7) ≈79.5(海里). 答：A，C之间的距离约为79.5海里． 1．(判断是否安全)为了维护我国海洋权益，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上． (1)求B处到灯塔P的距离； (2)已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？ 【解析】(1)∵∠PAB＝30°，∠ABP＝120°， ∴∠APB＝180°－∠PAB－∠ABP＝30°， ∴PB＝AB＝60(海里). 答：B处到灯塔P的距离为60海里． (2)过点P作PH⊥AB于点H， ∵∠BAP＝∠BPA＝30°，BA＝BP＝60， 在Rt△PBH中，∠PBH＝90°－30°＝60°， PH＝PB·sin 60°＝60× eq \f(\r(3),2) ＝30 eq \r(3) ， ∵30 eq \r(3) >50. 答：海监船继续向正东方向航行是安全的． 2．(确定怎样安全)(2021·荆门中考)某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10(3＋ eq \r(3) )海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20 eq \r(2) 海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°的方向上． (1)求A，P之间的距离； (2)若海监船由B处继续向东航行，是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？ 【解析】(1)过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，由题意得，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝20 eq \r(2) ，设PC＝x，则BC＝x， 在Rt△PAC中， ∵tan 30°＝ eq \f(PC,AC) ＝ eq \f(x,x＋20\r(2)) ＝ eq \f(\r(3),3) ， ∴x＝10 eq \r(6) ＋10 eq \r(2) ， ∴PA＝2x＝20 eq \r(6) ＋20 eq \r(2) . 答：A，P之间的距离为(20 eq \r(6) ＋20 eq \r(2) )海里． (2)∵PC－10(3＋ eq \r(3) )＝10 eq \r(6) ＋10 eq \r(2) －30－10 eq \r(3) ＝10( eq \r(3) ＋1)( eq \r(2) － eq \r(3) )＜0， ∴有触礁的危险； 设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，作PE⊥BD，垂足为E， 当P到BD的距离PE＝10(3＋ eq \r(3) )海里时， 有sin ∠PBE＝ eq \f(10（3＋\r(3)）,\r(2)·PC) ＝ eq \f(10（3＋\r(3)）,20（\r(3)＋1）) ＝ eq \f(\r(3),2) ， ∴∠PBE＝60°， ∴∠CBD＝60°－45°＝15°， 90°－15°＝75°， 即海监船由B处开始沿南偏东至多75°的 方向航行能安全通过这一海域． 【归纳提升】 有关方位角的问题需要注意的两点 1.弄清方位角的含义，根据题意画出图形，找对方位角 2.在平面上标出物体的位置，关键在于确定基准点 特别提醒：1.尽量用原始数据，避免中间取近似值，否则会增大最后答案的误差． 2．宁乘勿除．能用乘法的尽量用乘法，可以提高计算的准确度． 模型 教材P128例3 溯源 解读 若已知∠CAD＝α，∠CBD＝β，AB＝a，则可利用公式求CD的长度 　如图某船由西向东航行，在点A处测得小岛O在北偏东60°方向，船航行了10海里后到达点B.这时测得小岛O在北偏东45°方向，船继续航行到点C时，测得小岛O恰好在船的正北方，此时船到小岛的距离为________________．(结果保留根号) 5( eq \r(3) ＋1)海里 【解析】设OC＝x海里，依题意得BC＝OC＝x海里，AC＝ eq \r(3) x海里， ∴AC－BC＝10，即( eq \r(3) －1)x＝10， ∴x＝ eq \f(10,\r(3)－1) ＝5( eq \r(3) ＋1). 即船到小岛的距离是5( eq \r(3) ＋1)海里． $$