第4章 4.3解直角三角形 课件 2024-2025学年湘教版数学九年级上册

4.3　解直角三角形 第4章 锐角三角函数 基础主干落实 重点典例探析 5+2思维赋能 基础主干落实 90 2.解直角三角形 (1)定义：在直角三角形中，利用_____________求其余_____________的过程． (2)在直角三角形中，已知______个元素(至少有1个_______)，就可以求出其他未 知的元素． 判一判： 1．已知直角三角形的两边可以解直角三角形．(　 　) 2．已知直角三角形的两角可以解直角三角形．(　 　) 3．在解直角三角形时，若涉及斜边，则使用正弦或余弦，若不涉及斜边，则 使用正切．(　 　) 已知元素 未知元素 2 边 √ × √ C A 8 90° 重点典例探析 45 5+2思维赋能 1．直角三角形边角关系 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c， 边 a2＋b2＝c2 角 ∠A＋∠B＝______° 边与角 sin A＝ eq \f(∠A的对边,斜边) ＝___ cos A＝ eq \f(∠A的邻边,斜边) ＝___ tan A＝ eq \f(∠A的对边,∠A的邻边) ＝___ 1．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，AC＝3，则BC的长为( ) A．3sin 40° B．3sin 50° C．3tan 40° D．3tan 50° 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，sin A＝ eq \f(1,2) ，则BC的长为( ) A．2 B．3 C． eq \r(3) D．2 eq \r(3) 3．已知△ABC中，∠C＝90°，cos A＝ eq \f(3,4) ，AC＝6，那么AB的长是____． 4．在△ABC中，AB＝AC，sin B＝ eq \f(\r(2),2) ，则∠A＝____. 重点1　解直角三角形 【典例1】(教材P122例2补充) 如图，在△ABC中，∠B＝30°，tan C＝ eq \f(4,3) ，AD⊥BC于点D.若AB＝8，求BC的长． 【自主解答】∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°. ∵在Rt△ADB中，∠B＝30°，AB＝8， ∴AD＝4，BD＝4 eq \r(3) ， ∵在Rt△ADC中，tan C＝ eq \f(4,3) ，AD＝4， ∴CD＝ eq \f(4,tan C) ，∴CD＝3. ∴BC＝BD＋CD＝4 eq \r(3) ＋3. 1．(变换条件)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，cos C＝ eq \f(1,2) ，AB＝10，AC＝6，则BC的长为_____________． 【解析】∵AD是BC边上的高，∴∠ADC＝90°. ∵cos C＝ eq \f(1,2) ，∴ eq \f(CD,AC) ＝ eq \f(1,2) ， ∴CD＝ eq \f(1,2) AC＝ eq \f(1,2) ×6＝3， ∴AD＝ eq \r(AC2－CD2) ＝ eq \r(62－32) ＝3 eq \r(3) ， 在Rt△ADB中， BD＝ eq \r(AB2－AD2) ＝ eq \r(100－27) ＝ eq \r(73) ， ∴BC＝CD＋BD＝3＋ eq \r(73) . 2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，如果BC＝4，sin ∠DBC＝ eq \f(2,3) ，那么线段AB的长是_______． 【解析】在Rt△BDC中， ∵BC＝4，sin ∠DBC＝ eq \f(2,3) ， ∴CD＝BC×sin ∠DBC＝4× eq \f(2,3) ＝ eq \f(8,3) ， ∴BD＝ eq \r(BC2－CD2) ＝ eq \f(4\r(5),3) ， ∵∠ABC＝90°，BD⊥AC，∴∠ABD＋∠DBC＝∠ABD＋∠A＝90°， ∴∠A＝∠DBC，sin A＝sin ∠DBC＝ eq \f(2,3) ， 在Rt△ABD中， ∴AB＝ eq \f(BD,sin A) ＝ eq \f(4\r(5),3) × eq \f(3,2) ＝2 eq \r(5) . 【归纳提升】 解直角三角形的基本类型 Rt△ABC中,∠C=90° 已知 选择的边角关系 斜边和一直角边 c,a 由sin A＝ eq \f(a,c) ，求∠A；∠B＝90°－∠A，b＝ eq \r(c2－a2) 两直角边 a,b 由tan A＝ eq \f(a,b) ，求∠A；∠B＝90°－∠A，c＝ eq \r(a2＋b2) 斜边和一锐角 c,∠A ∠B=90°-∠A;a=c·sin A;b=c·cos A 一直角边和一锐角 a,∠A ∠B＝90°－∠A；b＝ eq \f(a,tan A) ，c＝ eq \f(a,sin A) 重点2　构造直角三角形解决问题(构造法) 【典例2】(2022·岳阳质检)如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠BAC＝105°，AB＝6，则∠C＝_______°，BC的长是___________． 如何出现直角三角形？ 【思维切入】过点A作AD⊥BC于点D，构造双直角三角形，利用直角三角形的性质即可得解． 3 eq \r(3) ＋3 【自主解答】如图，过点A作AD⊥BC于点D， ∵∠B＝30°，AB＝6，∴AD＝ eq \f(1,2) AB＝3， ∠BAD＝90°－30°＝60°， 由勾股定理得， BD＝ eq \r(AB2－AD2) ＝ eq \r(62－32) ＝3 eq \r(3) ， ∵∠BAC＝105°， ∴∠CAD＝105°－60°＝45°， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴CD＝AD＝3，∠C＝45°， ∴BC＝BD＋CD＝3 eq \r(3) ＋3. 1．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，夹边BC的长为6，求△ABC的面积． 【解析】如图，作CD⊥AB于点D. ∵∠B＝45°，CD⊥AB，∴∠BCD＝45°， ∵BC＝6，∴CD＝BD＝3 eq \r(2) ， 在Rt△ACD中，∠ACD＝75°－45°＝30°， ∴tan 30°＝ eq \f(AD,3\r(2)) ，∴AD＝ eq \r(6) ， ∴AB＝3 eq \r(2) ＋ eq \r(6) ， ∴S△ABC＝ eq \f(1,2) ·AB·CD＝ eq \f(1,2) ×(3 eq \r(2) ＋ eq \r(6) )×3 eq \r(2) ＝9＋3 eq \r(3) ，∴△ABC的面积是9＋3 eq \r(3) . 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，tan B＝ eq \f(2,3) ，BC＝10. (1)求AB的长； (2)如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值． 【解析】(1)过A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F， ∵∠BCA＝45°，∴在Rt△AEC中，AE＝EC， ∵tan B＝ eq \f(2,3) ，∴在Rt△BEA中， eq \f(AE,BE) ＝ eq \f(2,3) ， 设BE＝3x，AE＝2x， ∴BC＝BE＋EC＝BE＋AE＝5x＝10， ∴x＝2，∴BE＝6，EA＝EC＝4， 由勾股定理得：AE2＋BE2＝AB2， 即AB2＝36＋16＝52， ∴AB＝ eq \r(52) ＝2 eq \r(13) . (2)由(1)知AB＝2 eq \r(13) ， 又∵D为AB的中点，∴BD＝AD＝ eq \r(13) ， ∵DF⊥BC，AE⊥BC，∴DF∥AE， ∵BD＝AD，∴BF＝FE＝ eq \f(1,2) BE＝3， ∴DF＝ eq \f(1,2) AE＝2，∴FC＝FE＋EC＝3＋4＝7， ∴tan ∠DCB＝ eq \f(2,7) . 【归纳提升】 解含特殊角的非直角三角形的方法 对非直角三角形的求解，可以通过作辅助线的方法转化成直角三角形解决． 以特殊角为一角，作三角形的高，常从非特殊角的顶点作高． 对于较复杂的图形，往往通过“补形”或“分割”的方法，构造出直角三角形． 特别提醒：解直角三角形选择公式时应遵循一个基本原则：有斜(斜边)用弦(正余弦)，无斜用切(正切)，宁乘勿除，尽量采用原始数据． 方程思想 【解读】方程思想是一种重要的数学思想方法．在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是通过设元，寻找已知与未知之间的等量关系，列方程或方程组，然后求解方程解决问题． 【典例】已知：如图，在四边形ABCD中，DE⊥BC于E，连接BD，若tan C＝2，BE＝3，CE＝2，求点B到CD的距离． 【解析】过点B作BF⊥CD，垂足为F，则∠BFC＝90°， ∵DE⊥BC，∴∠DEC＝∠DEB＝90°， 在Rt△DEC中，∵tan C＝2，EC＝2， ∴DE＝4， 在Rt△BFC中，∵tan C＝2，∴BF＝2FC， 设BF＝x，则FC＝ eq \f(1,2) x， ∵BF2＋FC2＝BC2， ∴x2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x)) eq \s\up12(2) ＝(3＋2)2， 解得x＝2 eq \r(5) ，即BF＝2 eq \r(5) ， 所以点B到CD的距离是2 eq \r(5) . $$