4.2正切 课件 2024-2025学年 湘教版数学九年级上册

4．2　正　　切 第4章 锐角三角函数 基础主干落实 重点典例探析 5+2思维赋能 基础主干落实 判一判： 1．锐角α的正切值是α所在的直角三角形中邻边与对边的比．　(　 　) 2．当锐角α确定时，tan α也唯一确定．(　 　) 3．同一个锐角的正切值一定大于它的正弦值．(　 　) × √ √ A B D 45° 3 重点典例探析 5+2思维赋能 1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，则∠B的正切值等于( ) A． eq \f(4,3) B． eq \f(3,4) C． eq \f(3,5) D． eq \f(4,5) 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，如果a＝3b，那么∠A的正切值为( ) A． eq \f(1,3) B．3 C． eq \f(\r(2),4) D． eq \f(\r(10),10) 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝ eq \f(12,5) ，则tan B的值为( ) A． eq \f(5,13) B． eq \f(12,13) C． eq \f(12,5) D． eq \f(5,12) 4．已知tan (α＋15°)＝ eq \r(3) ，且α为锐角，则α＝_______. 5．计算 eq \r(3) tan 60°＝____． 重点1　正切(数形结合思想) 【典例1】【教材P120T2拓展】 在△ABC中，AB＝8，BC＝6，∠B为锐角，且cos B＝ eq \f(1,2) . (1)求△ABC的面积． (2)求tan C. 【自主解答】(1)如图，过点A作AH⊥BC于点H. ∵cos B＝ eq \f(1,2) ，∴∠B＝60°， ∴BH＝AB·cos B＝4，AH＝AB·sin B＝4 eq \r(3) ， ∴S△ABC＝ eq \f(1,2) ·BC·AH＝ eq \f(1,2) ×6×4 eq \r(3) ＝12 eq \r(3) . (2)在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AH＝4 eq \r(3) ，CH＝BC－BH＝6－4＝2， ∴tan C＝ eq \f(AH,CH) ＝ eq \f(4\r(3),2) ＝2 eq \r(3) . 1．如图，锐角△ABC中，AB＝10，BC＝9，△ABC的面积为27.求tan B的值． 【解析】过点A作AH⊥BC于H， ∵S△ABC＝27， ∴ eq \f(1,2) ×9×AH＝27，∴AH＝6， ∵AB＝10， ∴BH＝ eq \r(AB2－AH2) ＝ eq \r(102－62) ＝8， ∴tan B＝ eq \f(AH,BH) ＝ eq \f(6,8) ＝ eq \f(3,4) . 2.如图，在△ABC中，BC＝12，tan A＝ eq \f(3,4) ，∠B＝30°，求AC的长和△ABC的面积． 【解析】过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△CDB中，∠B＝30°， ∴CD＝ eq \f(1,2) BC＝6，BD＝BC·cos B＝12× eq \f(\r(3),2) ＝6 eq \r(3) ， 在Rt△ACD中，tan A＝ eq \f(3,4) ， ∴ eq \f(CD,AD) ＝ eq \f(3,4) ，即 eq \f(6,AD) ＝ eq \f(3,4) ，解得AD＝8， 由勾股定理得，AC＝ eq \r(CD2＋AD2) ＝ eq \r(62＋82) ＝10， △ABC的面积＝ eq \f(1,2) ×AB·CD＝ eq \f(1,2) ×(8＋6 eq \r(3) )×6＝24＋18 eq \r(3) . 【归纳提升】 利用定义求锐角的正切值的“三步法” 观察 锐角是否是直角三角形的角． 转化 作辅助线构造直角三角形或利用等量关系进行转化． 求解 在直角三角形中根据正切的概念计算． 重点2　锐角函数的计算 【典例2】(教材P119例题补充)计算： (1)2cos 45°－ eq \f(3,2) tan 30°cos 30°＋sin260°. (2)tan60°－sin245°＋tan45°－2cos 30°. 【自主解答】(1)原式＝2× eq \f(\r(2),2) － eq \f(3,2) × eq \f(\r(3),3) × eq \f(\r(3),2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2))) eq \s\up12(2) ＝ eq \r(2) － eq \f(3,4) ＋ eq \f(3,4) ＝ eq \r(2) . (2)原式＝ eq \r(3) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2))) eq \s\up12(2) ＋1－2× eq \f(\r(3),2) ＝ eq \r(3) － eq \f(1,2) ＋1－ eq \r(3) ＝ eq \f(1,2) . 1．计算： (1)2cos 30°＋4sin 30°－tan 60°； (2)2tan 60°＋tan 45°－4cos 30°； (3)3tan 30°＋cos 45°－2sin 60°. 【解析】(1)2cos 30°＋4sin 30°－tan 60° ＝2× eq \f(\r(3),2) ＋4× eq \f(1,2) － eq \r(3) ＝ eq \r(3) ＋2－ eq \r(3) ＝2； (2)2tan 60°＋tan 45°－4cos 30° ＝2 eq \r(3) ＋1－4× eq \f(\r(3),2) ＝2 eq \r(3) ＋1－2 eq \r(3) ＝1； (3)3tan 30°＋cos 45°－2sin 60° ＝3× eq \f(\r(3),3) ＋ eq \f(\r(2),2) －2× eq \f(\r(3),2) ＝ eq \r(3) ＋ eq \f(\r(2),2) － eq \r(3) ＝ eq \f(\r(2),2) . 2.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan B＝cos ∠DAC. (1)求证：AC＝BD； (2)若sin C＝ eq \f(12,13) ，BC＝12，求△ABC的面积． 【解析】(1)∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵tan B＝cos ∠DAC，∴ eq \f(AD,BD) ＝ eq \f(AD,AC) ，∴BD＝AC； (2)设AC＝BD＝x，∴CD＝BC－BD＝12－x， ∵sin C＝ eq \f(12,13) ，∴cos C＝ eq \f(5,13) ，tan C＝ eq \f(12,5) ， ∴ eq \f(CD,AC) ＝ eq \f(5,13) ，即 eq \f(12－x,x) ＝ eq \f(5,13) ， eq \f(AD,CD) ＝ eq \f(12,5) ， 解得x＝ eq \f(26,3) ， ∴CD＝12－x＝ eq \f(10,3) ，∴AD＝ eq \f(12,5) CD＝ eq \f(12,5) × eq \f(10,3) ＝8， ∴△ABC的面积＝ eq \f(1,2) ×BC·AD＝ eq \f(1,2) ×12×8＝48. 【归纳提升】 　30°，60°角的正切值互为倒数，都和 eq \r(3) 有关，45°角的正切值是1，随着角度的增大，正切值也在逐渐增大． 模型 教材P120习题4.2T4 溯源 设α是任一锐角，则tan α＝ eq \f(sin α,cos α) 用定义法构造直角三角形来证明 解读 此等式反映了正切与正弦、余弦之间的关系．用定义法构造直角三角形是证明某些问题的常用方法 　已知α为锐角，且tan α＝3，求 eq \f(2sin α－3cos α,2cos α＋sin α) 的值． 【解析】用定义构造直角三角形，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，设BC＝3a，则AC＝a，由勾股定理，得AB＝ eq \r(AC2＋BC2) ＝ eq \r(a2＋9a2) ＝ eq \r(10) a， ∴sin α＝ eq \f(BC,AB) ＝ eq \f(3a,\r(10)a) ＝ eq \f(3\r(10),10) ， cos α＝ eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(a,\r(10)a) ＝ eq \f(\r(10),10) ， ∴原式＝ eq \f(2×\f(3\r(10),10)－3×\f(\r(10),10),2×\f(\r(10),10)＋\f(3\r(10),10)) ＝ eq \f(3,5) . $$