4.1正弦和余弦 第3课时 课件 2024-2025学年 湘教版数学九年级上册

4.1 正弦和余弦 第3课时 第4章 锐角三角函数 基础主干落实 重点典例探析 5+2思维赋能 基础主干落实 1．余弦 2．锐角余弦值的特征 在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的邻边与斜边的比值等于角 ___________的对边与斜边的比值，是一个_________．与直角三角形各边的 大小无关． 3．互余两个锐角正、余弦值的关系 cos α＝________________，sin α＝_______________． 4．特殊角的余弦值 cos 30°＝____；cos 45°＝____；cos 60°＝____． 90°－α 常数 sin (90°－α) cos (90°－α) 判一判： 1．一个锐角的余弦值只与这个锐角的大小有关．(　 　) 2．sin 35°与cos 55°的值相等．(　 　) 3．一个锐角的余弦值就是这个角所在三角形的两条边之比．(　 　) √ √ × A A A 2 重点典例探析 5+2思维赋能 1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3， 则cos A的值是( ) A． eq \f(4,5) B． eq \f(3,5) C． eq \f(4,3) D． eq \f(3,4) 2．已知sin 42°≈ eq \f(2,3) ，则cos 48°的值约为( ) A． eq \f(2,3) B． eq \f(1,3) C． eq \f(3,2) D．－ eq \f(2,3) 3．用计算器求cos 15°，正确的按键顺序是( ) A．cos 15＝ B．cos 15 C．Shift15 D．15cos 4．计算：sin245°＋2cos230°＝____． 重点1　余弦 【典例1】(2022·怀化质检)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，求sinA· cos A的值． 【思维切入】根据勾股定理求出BC→根据锐角三角函数求出sin A，cos A→计算得出答案． 【自主解答】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，由勾股定理得，BC＝ eq \r(AB2－AC2) ＝ eq \r(52－32) ＝4， ∴sin A＝ eq \f(BC,AB) ＝ eq \f(4,5) ，cos A＝ eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(3,5) ， ∴sin A·cos A＝ eq \f(4,5) × eq \f(3,5) ＝ eq \f(12,25) . 1．(变换问法)典例条件不变，求cos A＋cos B＋sin B的值． 【解析】由例题可知，sin A＝ eq \f(BC,AB) ＝ eq \f(4,5) ，cos A＝ eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(3,5) ， ∴cos B＝sin A＝ eq \f(4,5) ，sin B＝cos A＝ eq \f(3,5) ， ∴cos A＋cos B＋sin B＝ eq \f(3,5) ＋ eq \f(4,5) ＋ eq \f(3,5) ＝2. 2．(改变图形和结论)已知CD是Rt△ABC斜边上的高，且AB＝10，若BC＝8， 则cos ∠ACD＝________． 【解析】∵CD是Rt△ABC斜边上的高， ∴CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝90°， ∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠A＝90°， ∴∠ACD＝∠B， ∴cos ∠ACD＝cos B＝ eq \f(BC,AB) ＝ eq \f(8,10) ＝ eq \f(4,5) . 【归纳提升】 求锐角余弦的两种方法 概念法 在直角三角形中，根据余弦的定义解答或添加辅助线构造直角三角形解答 转化法 利用等角其余弦也相等，求其等角的余弦 重点2　特殊角的余弦值 【典例2】(教材P115例4补充) 计算： (1)cos230°－2cos30°sin 60°＋sin260°； (2)2cos230°－2sin60°×cos 45°. 【自主解答】(1)原式＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2))) eq \s\up12(2) －2× eq \f(\r(3),2) × eq \f(\r(3),2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(3,4) － eq \f(3,2) ＋ eq \f(3,4) ＝0. (2)原式＝2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2))) eq \s\up12(2) －2× eq \f(\r(3),2) × eq \f(\r(2),2) ＝2× eq \f(3,4) － eq \f(\r(6),2) ＝ eq \f(3－\r(6),2) . 1．计算下列各式的值： (1)sin 45°cos 60°－cos 45°； (2)cos245°＋sin60°cos 30°. 【解析】(1)sin 45°cos 60°－cos 45°＝ eq \f(\r(2),2) × eq \f(1,2) － eq \f(\r(2),2) ＝－ eq \f(\r(2),4) ； (2)cos245°＋sin60°cos 30°＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2))) eq \s\up12(2) ＋ eq \f(\r(3),2) × eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(1,2) ＋ eq \f(3,4) ＝ eq \f(5,4) . 2．计算： (1)2sin 30°＋cos 60°－cos245°； (2) eq \r(3) cos30°－2cos 30°sin 60°＋sin 60°. 【解析】(1)原式＝2× eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,2) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2))) eq \s\up12(2) ＝1＋ eq \f(1,2) － eq \f(1,2) ＝1. (2)原式＝ eq \r(3) × eq \f(\r(3),2) －2× eq \f(\r(3),2) × eq \f(\r(3),2) ＋ eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(\r(3),2) . 【归纳提升】 1．30°，45°，60°角的正弦值分母都为2，分子从小到大分别为1， eq \r(2) ， eq \r(3) ，随着角度的增大，正弦值逐渐增大； 2．30°，45°，60°角的余弦值分母也都为2，分子从大到小分别为 eq \r(3) ， eq \r(2) ，1，随着角度的增大，余弦值逐渐减小． 特别提醒：特殊角的三角函数值很重要，一定要牢记或会用两个基本直角三角形推导，计算时要细心． 教材P116T9 设α为任一锐角，则sin2α＋cos2α＝1； 互余两角的关系：cosα＝sin (90°－α)； sin α＝cos (90°－α) 解读：同一锐角正弦与余弦的平方和为1； 一个角的正(余)弦等于它的余角的余(正)弦 (2022·邵阳质检)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝ eq \f(12,13) ，求cos A，sin B， cos B. 【解析】∵∠C＝90°，sin A＝ eq \f(12,13) ， ∴cos A＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))\s\up12(2)) ＝ eq \f(5,13) ， ∵∠A＋∠B＝90°， ∴sin B＝cos A＝ eq \f(5,13) ， cos B＝sin A＝ eq \f(12,13) . $$