4.1正弦和余弦 第1课时 课件 2024-2025学年 湘教版数学九年级上册

4.1 正弦和余弦 第1课时 第4章 锐角三角函数 基础主干落实 重点典例探析 5+2思维赋能 基础主干落实 1．正弦 2．30°角的正弦 根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得到sin 30°＝____． 判一判： 1．锐角α的正弦等于∠α的对边与斜边的比，故∠α的正弦值与∠α所在的三 角形的大小有关．(　 　) 2．一个锐角的正弦值一定是一个正数．(　 　) 3．一个锐角的正弦值可以大于1.(　 　) × √ × C A B 重点典例探析 22 5 22＋42 BC2 AC2 ACB B 5+2思维赋能 1．把△ABC三条边的长度都扩大2倍，则锐角A的正弦值( ) A．也扩大2倍 B．缩小为原来的 eq \f(1,2) C．不变 D．不能确定 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，则sin A的值是( ) A． eq \f(1,2) B． eq \f(\r(2),2) C． eq \f(\r(3),2) D．1 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sin A＝ eq \f(1,4) ，那么下列各式正确的是( ) A．AB＝4AC B．AB＝4BC C．AC＝4BC D．BC＝4AC 4.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sin B的值是____． 重点1　正弦的意义 【典例1】(教材P110例1强化)如图，在4×4的正方形方格中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是________. 【完善解答】设小正方形的边长为1， ∴AB2＝32＋42＝25，BC2＝12＋_____＝____， AC2＝___________＝20，…………勾股定理 ∴AB2＝______＋_______，…………等量代换 ∴∠_______＝90°，…………勾股定理的逆定理 ∴sin ∠BAC＝____＝_______＝ eq \f(\r(5),5) . …………正弦的定义 答案： eq \f(\r(5),5) 1．(变换图形)如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ∠BAC等 于( ) A． eq \f(\r(2),3) B． eq \f(\r(5),5) C． eq \f(\r(10),5) D． eq \f(1,3) 【解析】连接BD，设小正方形的边长为1， ∵BD＝2，AD＝4，∴AB＝ eq \r(22＋42) ＝2 eq \r(5) ， ∴sin ∠BAC＝ eq \f(DB,AB) ＝ eq \f(2,2\r(5)) ＝ eq \f(\r(5),5) . 2．(变换条件及图形)如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于 eq \f(3,2) ，则sin ∠CAB＝____． 【解析】设小正方形的边长为1， 作CD⊥AB于D，AB＝ eq \r(22＋12) ＝ eq \r(5) ， AC＝ eq \r(22＋12) ＝ eq \r(5) ， ∴ eq \f(1,2) × eq \r(5) ×CD＝ eq \f(3,2) ，解得CD＝ eq \f(3\r(5),5) ， ∴sin ∠CAB＝ eq \f(CD,AC) ＝ eq \f(3,5) . 【归纳提升】 确定正弦值的三种方法(转化思想) 概念法 在直角三角形中直接根据正弦的概念求值 间接法 两个角相等，这两个角的正弦值也相等 转化法 若题目中没有直角三角形，则可通过作辅助线构造直角三角形进行求值 重点2　30°角的正弦值 【典例2】已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝ eq \r(3) ，c＝2 eq \r(3) ，求∠A. 【思维切入】利用锐角三角函数关系求值→结合30°角的正弦值得出答案． 【自主解答】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝ eq \r(3) ，c＝2 eq \r(3) ，∴sin A＝ eq \f(a,c) ＝ eq \f(\r(3),2\r(3)) ＝ eq \f(1,2) ， ∴∠A＝30°. 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A∶∠B＝1∶2，则sin A＝____． 【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°，又∠A∶∠B＝1∶2， ∴∠A＝30°，∴sin A＝ eq \f(1,2) . 2．求锐角α的值： 2sin (α－30°)＝1. 【解析】sin (α－30°)＝ eq \f(1,2) ， ∵α为锐角，∴α－30°＝30°，∴α＝60°. 模型 教材P110例1 溯源 解读 已知直角三角形两边，可求第三边，利用正弦的定义可求两锐角的正弦值 　在Rt△ABC中，若∠C＝90°，a＝15，b＝8，则sin A＋sin B＝______． 【解析】由勾股定理有：c＝ eq \r(a2＋b2) ＝ eq \r(82＋152) ＝17，于是sin A＝ eq \f(15,17) ，sin B＝ eq \f(8,17) ， 所以sin A＋sin B＝ eq \f(8,17) ＋ eq \f(15,17) ＝ eq \f(23,17) . $$