第14章 图形的运动知识归纳与题型突破（14类题型清单）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（沪教版2024）

第14章 图形的运动知识归纳与题型突破（14类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01．轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 知识点02．轴对称图形 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 知识点03．镜面对称 1、镜面对称： 有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）． 2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴． 3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果． 知识点04．作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． 知识点05利用轴对称设计图案 利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 知识点06．剪纸问题 一张纸经过折和剪的过程，会形成一个轴对称图案．解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案． 知识点07．平移的性质 （1）平移的条件 平移的方向、平移的距离 （2）平移的性质 ①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．　　②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 知识点08．作图-平移变换 （1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离． （2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 知识点09．生活中的旋转现象 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． 　③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点．　． 知识点10．旋转的性质 （1）旋转的性质： 　①对应点到旋转中心的距离相等． 　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 　③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 知识点11．旋转对称图形 （1）旋转对称图形 如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． （2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 知识点12．中心对称图形 （1）定义 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． （2）常见的中心对称图形 平行四边形、圆形、正方形、长方形等等． 知识点13．作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 03 题型归纳 题型一　图形的平移 1．下列各图案中，是由一个基本图形通过平移得到的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查图形的平移，根据平移后的图形，大小形状不变，方向不变，只是位置发生变化，进行判断即可． 【详解】解：A、不是由一个基本图形通过平移得到的，不符合题意； B、不是由一个基本图形通过平移得到的，不符合题意； C、不是由一个基本图形通过平移得到的，不符合题意； D、由一个基本图形通过平移得到的，符合题意； 故选D． 2．如图，将直角三角形沿直角边所在的直线向右平移得到，，，，平移距离为6，则的面积为（   ） A．27 B．40 C．42 D．54 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的性质及三角形的面积公式，根据平移的性质得出，是解题的关键．根据平移的性质得出，，则，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：由平移的性质知，，，， ，， 的面积． 故选：A 3．如图所示，两个形状、大小完全相同的三角形和三角形重叠在一起，固定三角形不动，将三角形向右平移，当点和点重合时，停止移动，设交于点．给出下列结论：①四边形的面积与的面积相等；②，且；③若，，那么三角形向右平移了，其中正确的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握平移的性质是解此题的关键． 【详解】解：由平移的性质可得：，，且，，故②错误； ∴，即四边形的面积与的面积相等，故①正确； 若，，那么，即三角形向右平移了，故③错误， 综上所述，正确的有①，共个， 故选：B． 巩固训练 1．如图，A，B，C，D中的哪幅图案可以通过如图平移得到（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形的平移，平移不改变图形的大小、形状和相对位置关系，据此即可求解． 【详解】解：A选项中的图形通过旋转才能得到，不合题意； B选项中的图形通过平移可以得到，符合题意； C选项中的图形通过旋转才能得到，不合题意； D选项中的图形通过旋转才能得到，不合题意； 故选B． 2．如图，经过平移得到，连接，若，则点A与点之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质．根据图形的平移，对应点的平移的距离是相等，再结合，即可作答． 【详解】解：如图：连接， ∵经过平移得到，连接，且， ∴， 故答案为：． 3．如图，长方形，，，若将该长方形沿方向平移一段距离，得到长方形，试问： (1)长方形与长方形的面积是否相等？ (2)将长方形平移多长距离，能使两长方形的重叠部分的面积是？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平移的性质： （1）由平移的性质可得，据此根据图形面积之积的关系可得； （2）由平移的性质可得，再根据长方形面积公式得到，则，据此可得答案． 【详解】（1）解：由平移的性质可得， ∴， ∴； （2）解：由平移的性质可得， ∵两长方形的重叠部分的面积是， ∴， ∴， ∴， ∴将长方形平移，能使两长方形的重叠部分的面积是． 题型二　利用平移解决实际问题 4．如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的右边线向左平移就是它的左边线，则这块草地的绿地面积是（    ）（单位：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的平移现象．根据平移，可得路的宽度，根据矩形的面积，可得答案． 【详解】解：∵小路的右边线向左平移就是它的左边线， 路的宽度是， 这块草地的绿地面积是平方米， 故选：D． 5．如图，在一块长，宽的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移现象，根据平移的性质可得，绿化部分可看作是长为，宽为的长方形，然后根据矩形面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： =， 绿化区的面积是， 故选：B． 6．某酒店准备在一个楼梯铺设一种地毯，已知楼梯的宽为2米，楼梯的侧面如图所示，则买地毯的面积至少是（　　）m2． A．9 B．11 C．18 D．27 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质可得，所铺地毯的长为，再根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 巩固训练 1．如图是石峰公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线 （图中虚线）长为（   ） A．108米 B．106米 C．104米 D．102米 【答案】C 【分析】本题主要考查了生活中的平移现象，根据已知得出所走路径是解题的关键．根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，计算即可． 【详解】解：根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析， 横向距离等于，纵向距离等于， 长米，宽米， 故从出口A到出口B所走的路线长为：（米）， 故选C． 2．如图，有一块长为a米宽为3米的长方形地，中间阴影部分是一条小路，空白部分为草地，小路的左边线向右平移1米能得到它的右边线，若草场的面积为m2，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据小路的左边线向右平移1米能得到它的右边线，可得路的宽度是1米，根据平移，可把路移到左边，再根据长方形的面积公式，可得答案． 【详解】解：依题意有， 解得． 故答案为：． 3．图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）； (2)联想探索：如图3，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为，宽为，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含，的式子表示）． (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，若道路宽为4米，则剩余的耕地面积为 平方米． 【答案】(1)， (2)或 (3)448 【分析】本题主要考查了平移变换、矩形面积等知识点，利用平移的性质，把不规则的图形拆分或拼凑为基本图形计算面积成为解题的关键． （1）依据平移变换可知，图1，图2中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为10米，宽为4米，进而得出其面积即可； （2）依据平移变换可知，图3中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为a个单位，宽为个单位的长方形，进而得出其面积； （3）依据平移变换可知，图4中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为28米，宽为16米的长方形，进而得出其面积． 【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为， 则平方米，平方米； ∴． 故答案为：40，=． （2）解：如图3，长方形的长为32米，宽为20米，小路的宽度是1米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方单位． 故答案为：． （3）解：如图4，长方形的长为，宽为，道路宽为4米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方米． 故答案为：448． 题型三　利用平移的性质求坐标 7．将点向右平移5个单位长度，得到点，再把点向上平移4个单位长度得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是坐标与图形变化平移．根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减解答． 【详解】解：将点向右平移5个单位长度，得到点，即， 再把点向上平移4个单位长度得到点，则点 的坐标为，即． 故选：B． 8．将点按如下方式进行平移：先向上平移2个单位，再向左平移4个单位后与点重合，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的平移，根据平移规律“左减右加，上加下减”即可求解． 【详解】解：点先向上平移2个单位，再向左平移4个单位后与点重合， ∴，即， 故选：B ． 9．在平面直角坐标系中，将三角形平移得到三角形，若点的对应点为，则点的对应点E的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系内的平移变化，熟练地掌握向左（右）平移横坐标减（加），向上（下）平移纵坐标加（减）是解题的关键．根据点A和其对应点D的坐标即可知道其平移的方式，则点B也应该发生一样的变化． 【详解】解：∵、，，， ∴点A向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点D， ∵， ∴，即． 故选B． 巩固训练 1．三个顶点的坐标分别为，，，将平移到了，其中，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．故本题直接利用平移中点的变化规律求解即可． 【详解】解：从移动到，横坐标减了，纵坐标加了， 的坐标为即， 故选：C． 2．已知A、B两点的坐标分别是，若将线段平移至，点的坐标分别为，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查坐标与平移，根据对应点的坐标，确定平移规则，进而求出的值，即可得出结果． 【详解】解：∵A、B两点的坐标分别是，的坐标分别为， ∴， 即：将线段先向右平移5个单位，再向上平移2个单位， ∴， ∴； 故答案为：6． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，三角形是由三角形经过某种平移得到的，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点．当点时，解答下列问题． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________． (2)简要说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的． (3)若点是由点通过（2）中的平移得到的，求a，b的值． (4)直接写出三角形的面积． 【答案】(1)； (2)先向左平移3个单位长度，又向下平移3个单位长度或先向下平移3个单位长度，又向左平移3个单位长度 (3)； (4) 【分析】本题考查已知点平移前后的坐标，判断平移方式、利用网格求三角形面积、解一元一次方程，利用数形结合的思想确定出平移方式是解题关键． （1）由题意可知对应点C与点F的坐标，即可得出平移方式，进而确定点坐标； （2）由题意可知对应点C与点F的坐标，即可得出平移方式； （3）由题意可列出关于一元一次方程，求解即可； （4）根据平移的性质得，利用网格求解即可． 【详解】（1）解：∵点C与点F分别是对应点，且， ∴由先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，或先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度得到 ∵点， ∴，． （2）∵点C与点F分别是对应点，且， ∴由先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，或先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度得到 （3）∵点是由点通过（2）中的平移得到的， ∴， 解得，． （4）由平移得，． 题型四　图形的旋转相关概念 10．如图是由一个弯月绕某点旋转若干次而生成的，每次旋转的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了旋转，根据图形由一个弯月绕旋转中心旋转6次而生成的即可求出每次旋转的度数． 【详解】解：如图，是由一个弯月绕旋转中心旋转6次而生成的， ∴每次旋转的度数可以为． 故选：B． 11．风力发电机可以在风力作用下发电，如图，该叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则的值不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转的整数倍，就可以与自身重合，由此即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由图可得：该图形被平分成三部分，每份的度数为， 旋转的整数倍，就可以与自身重合， 的值不可能的是， 故选：A． 12．如图，四边形是正方形，点E，F分别在线段上，若线段绕点A逆时针旋转后与线段重合，则旋转角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查旋转的定义． 根据旋转的定义即可解答． 【详解】∵线段绕点A逆时针旋转后与线段重合， ∴旋转角是． 故选：B 巩固训练 1．综合性学习小组设计了四种车轮，车轮中心的初始位置在同一高度，现将每种车轮在水平面上进行无滑动滚动，若某个车轮中心的运动轨迹如图所示，请利用刻度尺、量角器等合适的工具作出判断，该轨迹对应的车轮是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形中心的运动轨迹问题，正确理解图形中心的变化规律是解题的关键．根据车轮中心在运动过程中中心位置的变化情况判断即可． 【详解】解：圆的中心在运动过程中位置始终不变，正方形中心的变化每循环一次，五边形中心的变化每循环一次，六边形中心的变化每循环一次， 用量角器量得图2中一个弧所对的圆心角为， 所以，该轨迹对应的车轮为正方形的． 故选：B． 2．将数字“6”旋转，得到数字“9”，将数字“9”旋转，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转，得到的数字是 ． 【答案】689 【分析】直接利用中心对称图形的性质结合“689”的特点得出答案． 【详解】解：将数字“689” 整体旋转180°，得到的数字是：689． 故答案为：689． 【点睛】此题主要考查了生活中的旋转现象，能够想象出旋转后的图形是解题关键． 3．如图①，把沿直线平移线段的长度，得到；如图②，以为轴，把沿翻折，可以得到；如图③，以点为中心，把旋转，可以得到．像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平移、翻折、旋转等方法得到的，这种只改变位置，不改变形状、大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题： (1)在图④中，可以使通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法得到? (2)图中线段与相等吗?为什么? 【答案】(1)旋转 (2)相等，理由见解析 【分析】（1）根据旋转的定义得出结果； （2）利用旋转的性质得到． 【详解】（1）解：因为△ABE绕点按逆时针方向旋转后得到△ADF， 故答案为旋转． （2）． 理由： 因为△ABE绕点按逆时针方向旋转后得到△ADF， 根据旋转的性质，旋转不改变图形的形状和大小， 所以． 【点睛】本题考查旋转的定义以及性质，掌握旋转前后的对应关系是解决问题的关键． 题型五　旋转的性质及辨析 13．如图，在中，，将绕点C旋转，得到，若点A的对应点D恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（   ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 【答案】A 【分析】本题考查了图形旋转的定义，平角的定义，正确理解图形旋转的定义是解题的关键．根据图形旋转的定义及平角的定义，即得答案． 【详解】将绕点C旋转，得到，且点A的对应点D恰好在的延长线上， ， 旋转方向为顺时针时,旋转角度为； 旋转方向为逆时针时,旋转角度为． 故选：A． 14．如图，将（其中，）绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C、A、在同一条直线上，那么旋转角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了求旋转角，邻补角互补，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据点C、A、在同一条直线上，得到，然后利用邻补角互补求解即可． 【详解】解：∵点C、A、在同一条直线上， ∴ ∵， ∴． ∴旋转角等于． 故选：C． 15．如图，将在平面内绕点A逆时针旋转到的位置，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质， 根据题意由旋转的性质可知即可求解． 【详解】解：由旋转的性质可知：， 故选：C． 巩固训练 1．如图，在中，已知，将绕点A 顺时针旋转得到，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟知旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点A 顺时针旋转得到， ∴， 故选：B． 2．如图，将一个含角的直角三角板绕点顺时针旋转，点的对应点为点，若点落在延长线上，则旋转角的度数是 ． 【答案】/150度 【分析】本题主要考查旋转的性质，根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解． 【详解】∵将一个含角的直角三角板绕点逆时针旋转，点的对应点为点，若点落在延长线上， ∴旋转角是． 故答案为： 3．如图，O为直线上一点，过点O作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)当直角三角板的一直角边与射线重合时，的度数为______； (2)将图中的直角三角板绕点O逆时针旋转一周，设旋转的角度为，在旋转的过程中，若，求的值． 【答案】(1)； (2)的度数为或 【分析】此题考查旋转的性质，一元一次方程的应用， （1）由即可求出的度数； （2）分情况：①当在内时，②当在外时，分别画出图形列方程解答． 【详解】（1）∵， ∴， 故答案为； （2）①当在内时，有： ，， 则， 解得：； ②当在外时，有： ，， 则， 解得：． 综上所述，的度数为或． 题型六　旋转对称图形 16．风力发电是一种绿色可持续的能源获取方式，我国近年来在西部地区大力发展风电产业，如图的风力发电转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原来的图案重合，那么n的值可能是（　　） A．60 B．90 C．120 D．150 【答案】C 【分析】该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是120°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：该图形被平分成三部分，旋转120°的整数倍，就可以与自身重合， 故n的值可能为120． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 17．如图，沿图中的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻折180°后，再将翻折后的正方形绕它的右下顶点按顺时针方向旋转90°，所得到的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据轴对称的性质得出翻折后图形，再利用旋转对称图形的概念得出即可． 【详解】解：以图的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻转180°后，圆在右上角， 再按顺时针方向旋转90°，圆在右下角． 故选C． 【点睛】考查了旋转变换与轴对称变换，利用旋转对称旋转180度后重合得出是解题关键． 18．在正三角形、正方形、正五边形和等腰梯形这四种图形中，是旋转对称图形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据旋转对称图形的定义：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，解答即可． 【详解】解：在正三角形、正方形、正五边形和等腰梯形，只有等边三角形、正方形、正五边形是旋转对称图形，共3个． 故选C 【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 巩固训练 1．在新型俄罗斯方块游戏中（出现的图案可进行顺时针、逆时针旋转，向左、向右平移），已拼好的图形如图所示．现又出现一个图案正向下运动，若要使该图案与下面的图形拼成一个完整的矩形，则该图案需进行的操作是（    ）    A．顺时针旋转，向右平移至最右侧 B．逆时针旋转，向右平移至最右侧 C．顺时针旋转，向左平移至最左侧 D．逆时针旋转，向左平移至最左侧 【答案】A 【分析】此题主要考查学生的观察能力，首先要知道平移和旋转的性质：平移和旋转的图形的大小和形状不变，可以以某个部分为观察点. 【详解】解：因为方块图形比矩形缺的部分靠左，所以要向右平移；方块图形中的下面突出的一个正方形在下面，而缺的图形的这个正方形在左，所以需要顺时针旋转90°. 故选:A. 2．如图，点，的坐标分别为、，将绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意画出图形，然后结合直角坐标系即可得出的坐标． 【详解】解：如图， 根据图形可得：点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转作图的知识及旋转后坐标的变化，解答本题的关键是根据题意所述的旋转三要素画出图形，然后结合直角坐标系解答． 3．在的方格纸中，的三个顶点都在格点上．    (1)以点C为旋转中心，将按顺时针方向旋转，画出旋转后的 ； (2)在（1）的基础上， 求线段和线段夹角的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了画旋转图形，旋转的性质： （1）根据网格的特点和旋转方式找到A、B对应点的位置，再顺次连接即可； （2）由旋转的性质可得，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：∵以点C为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴线段和线段夹角的度数为． 题型七　求旋转对称图形的旋转角度 19．如图，点为正方形的中心，将正方形绕点顺时针旋转，要使其旋转后能与自身重合，至少需要旋转（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转对称图形，根据正方形中心角的求法解答即可，解题的关键是理解“至少应将它绕中心顺时针旋转的度数”为其中心角的度数． 【详解】解：要使正方形旋转后，与其自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转的度数是 ， 故选：． 20．将如图所示的五角星绕其中心旋转后仍与原图形重合，则旋转角的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转对称图形，熟知正多边形的对称性是解题的关键． 根据五角星的对称性即可解决问题． 【详解】解：由题知， 若将五角星的五个外面的顶点连接起来， 则将得到一个正五边形． 因为， 所以当五角星绕其中心旋转整数倍的度数后，会与原图形重合． ， 故选：A． 21．某个正六边形螺帽需要拧4圈才能拧紧，小梧用扳手的卡口卡住螺帽，通过转动扳手的手柄来转动螺帽（如图所示）．以此方式把这个螺帽拧紧，他一共需要转动扳手的次数是（　）    A．4 B．16 C．24 D．32 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转对称图形的概念，理解相关概念是解题的关键．根据旋转的性质和周角是360°求解即可． 【详解】解：正六边形被平分成六部分，因而每部分被分成的圆心角是60°，因而旋转一圈需要转动扳手次，旋转4圈需要转动扳手次． 故选：C． 巩固训练 1．风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转（　　）度． A．60 B．120 C．180 D．270 【答案】B 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：该图形被平分成三部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故的最小值为120． 故选：B 2．将如图所示的图案绕其中心旋转，当此图案第一次与其自身完全重合时，其旋转角的大小为 度． 【答案】90 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．该图形被平均分成4部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转90度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：该图形被平均分成4部分， ∴每部分被分成的圆心角是， ∵圆具有旋转不变性， ∴当此图案第一次与其自身完全重合时，其旋转角的大小为90度 故答案为：90． 3．规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题： （1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________； A．矩形    B．正五边形    C．菱形    D．正六边形 （2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）；    （3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（    ）个； A．0    B．1    C．2    D．3 （4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整． 【答案】（1）B；（2）(1)(3)(5)；（3）C；（4）见解析 【分析】（1）根据旋转对称图形的定义进行判断； （2）先分别求每一个图形中的旋转角，然后再进行判断； （3）根据旋转对称图形的定义进行判断； （4）利用旋转对称图形的定义进行设计． 【详解】解：（1）矩形、正五边形、菱形、正六边形都是旋转对称图形，但正五边形不是中心对称图形， 故选：B． （2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有(1)(3)(5)． 故答案为：(1)(3)(5)． （3）①中心对称图形，旋转180°一定会和本身重合，是旋转对称图形；故命题①正确； ②等腰三角形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后，不一定能与自身重合，只有等边三角形是旋转对称图形，故②不正确； ③圆具有旋转不变性，绕圆心旋转任意角度一定能与自身重合，是旋转对称图形；故命题③正确； 即命题中①③正确， 故选：C． （4）图形如图所示： 【点睛】本题考查旋转对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 题型八　根据轴对称图形的特征进行求解 22．如图，在内，点、分别是点关于、的对称点，如果的周长为15，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．根据轴对称的性质可得，，结合的周长为15，即，即可获得答案． 【详解】解：∵点、分别是点关于、的对称点， ∴，， ∵的周长为15，即， ∴． 故选：A． 23．如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称，线段和差的计算，掌握轴对称的性质，线段和差的计算方法是解题的关键． 利用轴对称图形的性质得出，，结合图形即可求解． 【详解】解：点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上， ，， ，， ，， ∵， ∴， 故选：D． 24．如图，为内部一点，且，，分别为点关于射线，射线的对称点，当时，则的长为（    ） A．10 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称的性质，解题的关键是：熟记轴对称的性质，证明E，B，F三点共线．如图，连接，，，，由对折可得：，，，证明E，B，F三点共线，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，，，， ∴由对折可得：，，， ∵， ∴， ∴E，B，F三点共线， ∴， 故选B 巩固训练 1．如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当最小时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理.三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则 最小，可得 ，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论. 【详解】如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于， 则最小， ，， ， ， ， 故选:C 2．如图：点P为内一点，分别作出P点关于的对称点，，连接交于M，交于N，，则的周长为 ． 【答案】27 【分析】本题考查轴对称的性质，学会用转化的思想思考问题．证明的周长，可得结论． 【详解】解：如图：连接 ∵P点关于的对称点，，连接交于M，交于N， ，， 的周长， 故答案为：27． 3．如图1，在等腰直角三角形中，，，点D在边上，连接，，，连接，． (1)求证：； (2)点A关于直线的对称点为M，连接，． ①补全图形并证明； ②试探究，当D，E，M三点恰好共线时，的度数为 　　． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析 ② 【分析】本题主要考查了考查了全等三角形的性质和判定，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，对于（1），根据“SAS”证明，可得答案； 对于（2），①先根据轴对称的性质得，再根据“SAS”证明，可得答案； ②结合等腰直角三角形的性质可得，再根据全等三角形的对应角相等可得答案． 【详解】（1）∵ ∴ ∵，，， ∴， ∴； （2）如图所示． ∵点A和点M关于直线对称， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； ②如图所示．由，， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 题型九　利用轴对称解决实际问题 25．如图是一个经过改造的规则为的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】D 【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： ∴球最后将落入的球袋是4号袋， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想；严格按轴对称画图是正确解答本题的关键． 26．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（（如：，））．当小球第次碰到长方形的边时的点为，第次碰到长方形的边时的点为，……第次碰到长方形的边时的点为图中的（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2019除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图所示，经过6次反弹后动点回到出发点P，    ∵2019÷6=336…3， ∴当点P第2019次碰到矩形的边时为第337个循环组的第3次反弹， ∴第2019次碰到矩形的边时的点为图中的点N， 故选A． 【点睛】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 27．如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形DABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次磁到正方形的边时的点为P1（﹣2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2019的坐标是（　　） A．（0，1） B．（﹣4，1） C．（﹣2，0） D．（0，3） 【答案】D 【分析】按照反弹规律依次画图，写出点的坐标，再找出规律即可． 【详解】解：如图，根据反射角等于入射角画图，可知光线从P2反射后到P3（0，3），再反射到P4（﹣2，4），再反射到P5（﹣4，3），再反射到P点（0，1）之后，再循环反射，每6次一循环，2019÷6＝336……3，即点P2019的坐标是（0，3）， 故选D． 【点睛】本题考查的是生活中的轴对称现象，解答时要注意找到循环数值，从而得到规律． 巩固训练 1．如图是一个经过改造的规则为的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】D 【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： ∴球最后将落入的球袋是4号袋， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想；严格按轴对称画图是正确解答本题的关键． 2．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．    【答案】 【分析】本题考查了台球桌上的轴对称问题，根据图形得出的度数，即可求出的度数．利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 3．操作题：台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了使母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球方向．如图，目标球从A点出发经B点到C点，相当于从点出发直接击打目标球C，其实质上是图形的轴对称变换，关键是找母球关于桌边的对称点的位置． (1)如下图，小球起始时位于点处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于点处，仍按原来方向击球，那么在点A，B，C，D，E，F，G，H中，小球会击中的点是___________； (2)在下图中，请你设计一条路径，使得球P依次撞击台球桌边AB，BC反射后，撞到球Q．（不写作法，保留作图痕迹．） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质画出小球从起始点处出发的路径，即可求解； （2）根据轴对称的性质，找到关于的对称点，连接分别交于点，连接，则路径为 【详解】（1）解：如图，所以小球会击中的点是， 故答案为： （2）解：如图所示，找到关于的对称点，连接分别交于点，连接，则路径为 【点睛】本题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． 题型十　折叠问题 28．如图，将沿直线折叠后，点B与点A重合，已知，的周长为，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，折叠后对应线段相等、对应角相等；由折叠知，由的周长即可求得结果． 【详解】解：由折叠知； ∵的周长为， ∴， 即， ∴； 故选：B． 29．如图，在正方形中，为边上一点，沿线段对折后，若比大，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角的计算，翻折变换以及一元一次方程的应用．根据翻折变换可得，再由正方形的性质得出，设未知数，列方程求解即可． 【详解】解：由翻折变换可知，， 设，则， 四边形是正方形， ， ， 解得， 故选：C． 30．如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据平行线的性质得到，，然后由折叠的性质得到，，然后根据得到，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵沿，折叠，使点和点都落在点处， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴． 故选：C． 巩固训练 1．如图，在中，已知，点E，F分别在边，上，将沿直线折叠，使点B落在点D处，向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连接，若，则的值为（    ） A．12 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质、平移的性质等知识点，理解折叠和平移的性质是解答本题的关键． 由折叠的性质和平移的性质可得、、，再根据可得，再结合可得，最后代入即可解答． 【详解】解：由折叠的性质可得：； 由平移的性质可得：，， ∴， ∴ ∵，即， ∴，， ∴． 故选A． 2．如图，在三角形纸片中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，若的周长为，则的周长为，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，等式的性质，熟练掌握折叠的不变性是解题的关键． 由折叠知，设，，分别表示两个三角形的周长，利用等式的性质作差即可求解． 【详解】解：由翻折得， 设，， 则， ， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，长方形纸片，点分别在边上，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线的处，得到折痕． (1)若 ，的余角有 ； (2)若 ，说明理由． 【答案】(1)；和； (2) 【分析】本题考查折叠的性质，角的和差，掌握几何图形中角的和差计算是解题的关键． （1）根据折叠可以得到，，然后求出可以得到的度数，然后得到的余角即可； （2）根据折叠可以得到，，然后根据角的和差得到结论即可． 【详解】（1）解：由折叠可得：，， ∴， ∴， ∴， ∴的余角有和； （2）解：，理由为： 由折叠可得：，， ∴， 题型十一　镜面对称 31．一平面镜与水平面成角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（      ） A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动 C．以的速度，做竖直向上运动 D．以的速度，做竖直向下运动 【答案】A 【分析】本题考查了镜面反射的原理与性质．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，在平面镜中的顺序与现实中的恰好相反，且关于镜面对称， 则小球在平面镜中的像是以的速度，做竖直向上运动． 故选：A． 32．如图，在一张纸上写上“  ”平放在桌子上，同时有两面镜子直立于桌面上，这时的两面镜子上都出现“  ”的像，把在前面放置的镜子里出现的像和左面镜子里出现的像分别叫做“正面像”和“侧面像”，则（     ）    A．“正面像”和“侧面像”都是五位数，前者比较大 B．“正面像”和“侧面像”都是五位数，两者相等 C．“正面像”和“侧面像”都是五位数，前者比较小 D．“正面像”和“侧面像”中，只有一个五位数 【答案】C 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，“2”和“5”关于镜面对称，“1”、“0”、“5”、“8”在镜中的成像还是原数， 则数码“21058”在正面镜子中的像是51028，在侧面镜子中的像是85012， 即可得“正面像”和“侧面像”中，都有一个五位数，前者比较小． 故选：C． 【点睛】本题考查镜面对称，解决此类题应认真观察，注意技巧，可以写在纸上演示一下． 33．小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是（　　） A．15：01 B．10：51 C．10：21 D．12：01 【答案】C 【详解】镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称．注意镜子的5实际应为2，电子表的实际时刻是10：21．故选C. 巩固训练 1．小明在平面镜里看到背后墙上电子钟显示的时间如图所示，此刻的实际时间应该是（    ） A．21︰05 B．20︰15 C．20︰12 D．21︰50 【答案】B 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】由图分析可得题中所给的“”与“”成轴对称，这时的时间应是． 故选：B． 【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 2．平面镜成像中，像和物成轴对称图形．小芳在梳妆镜中发现，放在梳妆镜台桌面上的手机中的时间如图所示，则这时的实际时间应该是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了镜面对称图形的性质，解决此类问题要注意所学知识与实际情况的结合．根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，因此的真实图像应该是． 故答案为： 3．下列这些是电子屏上显示的数字． （1）仔细观察后回答下列问题： ①是中心对称图形而不是轴对称图形的数字是　 　； ②是轴对称图形，而不是中心对称图形的数字是　 　； ③既是轴对称又是中心对称图形的数字是　 　； ④能成中心对称的两个数字是　 　； ⑤能成轴对称的两个数字是　 　． （2）小丽站在镜子前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子钟上显示的读数如图所示，那么这时的实际时间是　 　． 【答案】（1）①2和5；②3；③1，8，0； ④6和9；⑤2和5；（2）21：01 【分析】(1)①根据中心对称和轴对称的定义解答； ②根据中心对称和轴对称的定义解答； ③根据中心对称和轴对称的定义解答； ④根据中心对称的定义解答； ⑤根据轴对称的定义解答； (2)根据轴对称的性质解答． 【详解】解：（1）①是中心对称图形而不是轴对称图形的数字是2和5； 故答案为：2和5； ②是轴对称图形，而不是中心对称图形的数字是3； 故答案为：3； ③既是轴对称又是中心对称图形的数字是1，8，0； 故答案为1,8,0； ④能成中心对称的两个数字是6和9； 故答案为：6和9； ⑤能成轴对称的两个数字是2和5． 故答案为：2和5． （2）从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子钟上显示的读数如图所示，那么这时的实际时间是21：01， 故答案为：21：01． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 题型十二　中心对称相关概念 34．下列各组图形中，与成中心对称的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了成中心对称的知识，成中心对称‌是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点；熟练掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：根据成中心对称的概念可得，与成中心对称的如图所示： ， 故选：D． 35．如图，与关于点成中心对称，下列说法： ①；②；③；④与的面积相等，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查中心对称，根据“成中心对称的两个图形全等，对称点到对称中心的距离相等”即可判断． 【详解】解：与关于点成中心对称， ， ，，与的面积相等， 故①②④正确； 对称点到对称中心的距离相等， ， 故③正确； 综上可知，正确的有4个， 故选D． 36．下列命题中正确的命题的个数有   ） ①在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分 ②关于某一点成中心对称的两个三角形能重合 ③两个能重合的图形一定关于某点中心对称 ④如果两个三角形的对应点连线都经过同一点，那么这两个三角形成中心对称 ⑤成中心对称的两个图形中，对应线段互相平行或共线 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据中心对称的定义和性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】①在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分，正确； ②关于某一点成中心对称的两个三角形能重合，正确； ③两个能重合的图形一定关于某点中心对称，错误； ④如果两个三角形的对应点连线都经过同一点，那么这两个三角形成中心对称，正确； ⑤成中心对称的两个图形中，对应线段互相平行或共线，正确， 故选D. 【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握各性质定理. 巩固训练 1．下列图标中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形：把一个图形绕某点旋转，旋转后的图形能和原图形重合，则这个图形为中心对称图形．根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A.选项中的图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B.选项中的图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C. 选项中的图案是中心对称图形，故此选项符合题意； D. 选项中的图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．如图所示的图形是中心对称图形，O是它的对称中心，E，F是两个对称点，则点E，F到点O的距离，的大小关系是： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是中心对称图形的性质，根据中心对称图形的一组对应点的连线被对称中心平分可得答案． 【详解】图形是中心对称图形，O是它的对称中心，E，F是两个对称点，则点E，F到点O的距离，的大小关系是：， 故答案为：． 3．如图，的顶点坐标分别为，，． (1)请画出以点A为旋转中心，逆时针旋转后得到的． (2)请画出关于原点O对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—旋转和中心对称，熟练掌握旋转和中心对称的性质，找出对应点位置是解题的关键． （1）根据旋转的性质找出点B，C的对应点的位置，顺次连接即可； （2）根据中心对称的性质找出点A，B，C的对应点的位置，顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，为所求； （2）解：如图所示，为所求． 题型十三　利用中心对称的性质求面积、长度、角度 37．如图，已知与成中心对称，的面积是，，则中边上的高是（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称的性质，成中心对称的两个图形全等以及成中心对称的两个图形的对应边相等． 根据中心对称的性质可得的面积等于12，．根据三角形的面积公式即可求中边上的高． 【详解】根据中心对称的性质可得：的面积等于的面积是12，． 根据三角形的面积公式，则边上的高是． 故选：C． 38．如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴点A与是一组对称点，，，故A，B，C都不合题意． ∵与不是对应角， ∴与不一定相等，不成立，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了中心对称的性质，熟练掌握成中心对称的两个图形，对应点的连线被对称中心平分，对应角相等，对应线段相等，是解题的关键． 39．如图矩形的长为，宽为4，点O是各组三角形的对称中心，则图中阴影面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在矩形中，点O是各组三角形的对称中心，由可求得结果． 【详解】解：在矩形中，点O是各组三角形的对称中心， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称的性质；理解中心对称的性质是解题的关键． 巩固训练 1．在平面直角坐标系中，点关于点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 设点关于点对称的点的坐标是，根据中心对称的性质即可求出和，于是得解． 【详解】解：设点关于点对称的点的坐标是， 根据中心对称的性质，可得： ， ， 点关于点对称的点的坐标是， 故选：． 2．如图，与关于点O成中心对称，下列结论成立的是 （填序号）． ①点A与点是对应点； ②； ③； ④． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了中心对称的性质，利用中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴， ∴点A与点是对称点，，， 故①②③正确， 故答案为：①②③． 3．一个L形图如图1所示，现需解决如何画一条直线将其分为面积相等的两部分的问题．    (1)分析问题： 本题主要通过寻找分割线，深化对中心对称图形的认识，______图形绕其对称中心旋转______后能与原图形重合，因此过其______的任意一条直线必将其分割为全等的两部分． (2)操作发现 如图2，该图形可以看成由左、右两个正方形构成，分别确定两个正方形的对称中心，然后连线即可得到符合要求的分割线．类似的，该图形还可以看成由上、下两个长方形构成，分别确定两个长方形的对称中心，然后连线也可得到符合要求的分割线．请按此要求画出分割线，在图3上完成（保留作图痕迹，不写画法）． (3)深度探究： 由于本题的分割线不唯一，如果采取把图形右上角弥补一个小正方形，让L形先变为长方形后，再分别找正方形和长方形的……，请再按此要求画出分割线，在图4上完成（保留作图痕迹，不写画法）． 【答案】(1)中心对称，，对称中心 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据中心对称图形的定义填写即可； （2）（3）根据题干的提示，利用中心对称的性质画图即可． 【详解】（1）解：本题主要通过寻找分割线，深化对中心对称图形的认识，中心对称图形绕其对称中心旋转后能与原图形重合，因此过其对称中心的任意一条直线必将其分割为全等的两部分． （2）如图，即为所求；    （3）如图，即为所求．    【点睛】本题考查了中心对称的应用，解题的关键是根据中心对称的性质得到过对称中心的直线将图形面积分为两个相等的部分． 题型十四　中心对称图形规律问题 40．如图，边长为1的正方形，沿数轴顺时针连续滚动，起点和重合，则数轴上数2020所对应的字母是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定0由于那个字母对应，然后每转一周走4个，看2020÷5商数与余数，再确定余数与哪点对应即可． 【详解】先确定0与C相对，每转4次一循环回到C，2020÷4=505回到C． 故选择：C．    【点睛】本题考查旋转正方形所对应的数问题，掌握旋转正方形对应四个数规律，发现规律，用规律解决问题是关键． 41．如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△DEC．若点A的坐标为（3，﹣1），则点D的坐标为（　　） A．（﹣3，1） B．（﹣2，2） C．（﹣3，3） D．（﹣3，2） 【答案】C 【分析】利用图形旋转的特性进行求解即可 【详解】点A、D关于C点中心对称，把△ABC向下平移1个单位， 则点C平移到原点，A点平移后的对应点的坐标为（3，﹣2）， 则点（3，﹣2）关于原点对称的点的坐标为（﹣3，2）， 把（﹣3，2）向上平移1个单位的对应点的坐标为（﹣3，3）， 所以点D的坐标为（﹣3，3）． 故选C． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，熟练掌握旋转的特性是关键 42．如图，在△ABC中,∠ACB=，∠B=，AC=1，BC=，AB=2，AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针转到位置①可得到点P1，此时AP1=2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=3+…，按此顺序继续旋转，得到点P2016，则AP2016=(   ) A．2016+671 B．2016+672 C．2017+671 D．2017+672 【答案】B 【分析】利用题意得AP3＝3+，则易得AP6＝2（3+），AP9＝3（3+），则三角形旋转三次一个循环，一个循环3+，然后由2016＝3×672即可得到AP2016的长度． 【详解】解：∵AP1＝2，AP2＝2+，AP3＝3+， ∴AP6＝2（3+）， AP9＝3（3+）， 而2016＝3×672， ∴AP2016＝672（3+）＝2016+672． 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了规律型问题的解决方法． 巩固训练 1．在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标规律探究，中心对称，坐标与图形变化对称，利用中心对称找出坐标规律是解题的关键． 首先利用题目所给公式一次求出前几个点的坐标，→→→→→→→…由此得到的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个规律即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点关于点的对称点， ∴， ∴，， ∴， 同理可得点，，，，，… ∴点P每6次一循环， ∵ ∴点与点坐标相同，即． 故选：D． 2．在平面直角坐标系中，点先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到点，再把点绕点旋转得到点，那么点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查点的平移和中心对称对称的性质，掌握这些是解题关键．设，由平移得，再利用旋转可得，，求解即可得解． 【详解】解：设， ∵点先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到点， ∴即， ∵把点绕点旋转得到点， ∴，， 解得，， ∴ 故答案为： 3．如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A, D1 ,D三点的坐标分别是（0,4），（0，3），（0，2）. (1)对称中心的坐标； (2)写出顶点B, C, B1 , C1的坐标. 【答案】（0，）；B（－2,4）C（－2，2）（2,1）（2,3）． 【详解】试题分析：（1）根据对称中心的性质，可得对称中心的坐标是D1D的中点，据此解答即可． （2）首先根据A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），求出正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长是多少，然后根据A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2），判断出顶点B，C，B1，C1的坐标各是多少即可． 试题解析：（1）根据对称中心的性质，可得 对称中心的坐标是D1D的中点， ∵D1，D的坐标分别是（0，3），（0，2）， ∴对称中心的坐标是（0，2.5）． （2）∵A，D的坐标分别是（0，4），（0，2）， ∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是：4﹣2=2， ∴B，C的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2）， ∵A1D1=2，D1的坐标是（0，3）， ∴A1的坐标是（0，1）， ∴B1，C1的坐标分别是（2，1），（2，3）， 综上，可得顶点B，C，B1，C1的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），（2，1），（2，3）． 考点：1、中心对称；2、坐标与图形性质 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14章 图形的运动知识归纳与题型突破（14类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01．轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 知识点02．轴对称图形 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 知识点03．镜面对称 1、镜面对称： 有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）． 2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴． 3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果． 知识点04．作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． 知识点05利用轴对称设计图案 利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 知识点06．剪纸问题 一张纸经过折和剪的过程，会形成一个轴对称图案．解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案． 知识点07．平移的性质 （1）平移的条件 平移的方向、平移的距离 （2）平移的性质 ①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．　　②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 知识点08．作图-平移变换 （1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离． （2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 知识点09．生活中的旋转现象 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． 　③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点．　． 知识点10．旋转的性质 （1）旋转的性质： 　①对应点到旋转中心的距离相等． 　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 　③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 知识点11．旋转对称图形 （1）旋转对称图形 如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． （2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 知识点12．中心对称图形 （1）定义 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． （2）常见的中心对称图形 平行四边形、圆形、正方形、长方形等等． 知识点13．作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 03 题型归纳 题型一　图形的平移 1．下列各图案中，是由一个基本图形通过平移得到的是（      ） A． B． C． D． 2．如图，将直角三角形沿直角边所在的直线向右平移得到，，，，平移距离为6，则的面积为（   ） A．27 B．40 C．42 D．54 3．如图所示，两个形状、大小完全相同的三角形和三角形重叠在一起，固定三角形不动，将三角形向右平移，当点和点重合时，停止移动，设交于点．给出下列结论：①四边形的面积与的面积相等；②，且；③若，，那么三角形向右平移了，其中正确的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 巩固训练 1．如图，A，B，C，D中的哪幅图案可以通过如图平移得到（　　） A． B． C． D． 2．如图，经过平移得到，连接，若，则点A与点之间的距离为 ． 3．如图，长方形，，，若将该长方形沿方向平移一段距离，得到长方形，试问： (1)长方形与长方形的面积是否相等？ (2)将长方形平移多长距离，能使两长方形的重叠部分的面积是？ 题型二　利用平移解决实际问题 4．如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的右边线向左平移就是它的左边线，则这块草地的绿地面积是（    ）（单位：） A． B． C． D． 5．如图，在一块长，宽的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 6．某酒店准备在一个楼梯铺设一种地毯，已知楼梯的宽为2米，楼梯的侧面如图所示，则买地毯的面积至少是（　　）m2． A．9 B．11 C．18 D．27 巩固训练 1．如图是石峰公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线 （图中虚线）长为（   ） A．108米 B．106米 C．104米 D．102米 2．如图，有一块长为a米宽为3米的长方形地，中间阴影部分是一条小路，空白部分为草地，小路的左边线向右平移1米能得到它的右边线，若草场的面积为m2，则 ． 3．图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）； (2)联想探索：如图3，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为，宽为，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含，的式子表示）． (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，若道路宽为4米，则剩余的耕地面积为 平方米． 题型三　利用平移的性质求坐标 7．将点向右平移5个单位长度，得到点，再把点向上平移4个单位长度得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．将点按如下方式进行平移：先向上平移2个单位，再向左平移4个单位后与点重合，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．在平面直角坐标系中，将三角形平移得到三角形，若点的对应点为，则点的对应点E的坐标是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．三个顶点的坐标分别为，，，将平移到了，其中，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知A、B两点的坐标分别是，若将线段平移至，点的坐标分别为，则 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，三角形是由三角形经过某种平移得到的，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点．当点时，解答下列问题． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________． (2)简要说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的． (3)若点是由点通过（2）中的平移得到的，求a，b的值． (4)直接写出三角形的面积． 题型四　图形的旋转相关概念 10．如图是由一个弯月绕某点旋转若干次而生成的，每次旋转的度数是（   ） A． B． C． D． 11．风力发电机可以在风力作用下发电，如图，该叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则的值不可能的是（    ） A． B． C． D． 12．如图，四边形是正方形，点E，F分别在线段上，若线段绕点A逆时针旋转后与线段重合，则旋转角是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．综合性学习小组设计了四种车轮，车轮中心的初始位置在同一高度，现将每种车轮在水平面上进行无滑动滚动，若某个车轮中心的运动轨迹如图所示，请利用刻度尺、量角器等合适的工具作出判断，该轨迹对应的车轮是（  ） A． B． C． D． 2．将数字“6”旋转，得到数字“9”，将数字“9”旋转，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转，得到的数字是 ． 3．如图①，把沿直线平移线段的长度，得到；如图②，以为轴，把沿翻折，可以得到；如图③，以点为中心，把旋转，可以得到．像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平移、翻折、旋转等方法得到的，这种只改变位置，不改变形状、大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题： (1)在图④中，可以使通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法得到? (2)图中线段与相等吗?为什么? 题型五　旋转的性质及辨析 13．如图，在中，，将绕点C旋转，得到，若点A的对应点D恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（   ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 14．如图，将（其中，）绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C、A、在同一条直线上，那么旋转角等于（   ） A． B． C． D． 15．如图，将在平面内绕点A逆时针旋转到的位置，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，在中，已知，将绕点A 顺时针旋转得到，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，将一个含角的直角三角板绕点顺时针旋转，点的对应点为点，若点落在延长线上，则旋转角的度数是 ． 3．如图，O为直线上一点，过点O作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)当直角三角板的一直角边与射线重合时，的度数为______； (2)将图中的直角三角板绕点O逆时针旋转一周，设旋转的角度为，在旋转的过程中，若，求的值． 题型六　旋转对称图形 16．风力发电是一种绿色可持续的能源获取方式，我国近年来在西部地区大力发展风电产业，如图的风力发电转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原来的图案重合，那么n的值可能是（　　） A．60 B．90 C．120 D．150 17．如图，沿图中的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻折180°后，再将翻折后的正方形绕它的右下顶点按顺时针方向旋转90°，所得到的图形是（　　） A． B． C． D． 18．在正三角形、正方形、正五边形和等腰梯形这四种图形中，是旋转对称图形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 巩固训练 1．在新型俄罗斯方块游戏中（出现的图案可进行顺时针、逆时针旋转，向左、向右平移），已拼好的图形如图所示．现又出现一个图案正向下运动，若要使该图案与下面的图形拼成一个完整的矩形，则该图案需进行的操作是（    ）    A．顺时针旋转，向右平移至最右侧 B．逆时针旋转，向右平移至最右侧 C．顺时针旋转，向左平移至最左侧 D．逆时针旋转，向左平移至最左侧 2．如图，点，的坐标分别为、，将绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的坐标为 ． 3．在的方格纸中，的三个顶点都在格点上．    (1)以点C为旋转中心，将按顺时针方向旋转，画出旋转后的 ； (2)在（1）的基础上， 求线段和线段夹角的度数． 题型七　求旋转对称图形的旋转角度 19．如图，点为正方形的中心，将正方形绕点顺时针旋转，要使其旋转后能与自身重合，至少需要旋转（   ） A． B． C． D． 20．将如图所示的五角星绕其中心旋转后仍与原图形重合，则旋转角的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 21．某个正六边形螺帽需要拧4圈才能拧紧，小梧用扳手的卡口卡住螺帽，通过转动扳手的手柄来转动螺帽（如图所示）．以此方式把这个螺帽拧紧，他一共需要转动扳手的次数是（　）    A．4 B．16 C．24 D．32 巩固训练 1．风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转（　　）度． A．60 B．120 C．180 D．270 2．将如图所示的图案绕其中心旋转，当此图案第一次与其自身完全重合时，其旋转角的大小为 度． 3．规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题： （1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________； A．矩形    B．正五边形    C．菱形    D．正六边形 （2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）；    （3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（    ）个； A．0    B．1    C．2    D．3 （4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整． 题型八　根据轴对称图形的特征进行求解 22．如图，在内，点、分别是点关于、的对称点，如果的周长为15，则的长为（　　） A． B． C． D． 23．如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 24．如图，为内部一点，且，，分别为点关于射线，射线的对称点，当时，则的长为（    ） A．10 B．8 C．7 D．6 巩固训练 1．如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当最小时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图：点P为内一点，分别作出P点关于的对称点，，连接交于M，交于N，，则的周长为 ． 3．如图1，在等腰直角三角形中，，，点D在边上，连接，，，连接，． (1)求证：； (2)点A关于直线的对称点为M，连接，． ①补全图形并证明； ②试探究，当D，E，M三点恰好共线时，的度数为 　　． 题型九　利用轴对称解决实际问题 25．如图是一个经过改造的规则为的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 26．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（（如：，））．当小球第次碰到长方形的边时的点为，第次碰到长方形的边时的点为，……第次碰到长方形的边时的点为图中的（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 27．如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形DABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次磁到正方形的边时的点为P1（﹣2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2019的坐标是（　　） A．（0，1） B．（﹣4，1） C．（﹣2，0） D．（0，3） 巩固训练 1．如图是一个经过改造的规则为的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 2．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．    3．操作题：台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了使母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球方向．如图，目标球从A点出发经B点到C点，相当于从点出发直接击打目标球C，其实质上是图形的轴对称变换，关键是找母球关于桌边的对称点的位置． (1)如下图，小球起始时位于点处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于点处，仍按原来方向击球，那么在点A，B，C，D，E，F，G，H中，小球会击中的点是___________； (2)在下图中，请你设计一条路径，使得球P依次撞击台球桌边AB，BC反射后，撞到球Q．（不写作法，保留作图痕迹．） 题型十　折叠问题 28．如图，将沿直线折叠后，点B与点A重合，已知，的周长为，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 29．如图，在正方形中，为边上一点，沿线段对折后，若比大，则的度数是（    ） A． B． C． D． 30．如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，在中，已知，点E，F分别在边，上，将沿直线折叠，使点B落在点D处，向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连接，若，则的值为（    ） A．12 B．16 C．17 D．18 2．如图，在三角形纸片中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，若的周长为，则的周长为，则为 ． 3．如图，长方形纸片，点分别在边上，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线的处，得到折痕． (1)若 ，的余角有 ； (2)若 ，说明理由． 题型十一　镜面对称 31．一平面镜与水平面成角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（      ） A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动 C．以的速度，做竖直向上运动 D．以的速度，做竖直向下运动 32．如图，在一张纸上写上“  ”平放在桌子上，同时有两面镜子直立于桌面上，这时的两面镜子上都出现“  ”的像，把在前面放置的镜子里出现的像和左面镜子里出现的像分别叫做“正面像”和“侧面像”，则（     ）    A．“正面像”和“侧面像”都是五位数，前者比较大 B．“正面像”和“侧面像”都是五位数，两者相等 C．“正面像”和“侧面像”都是五位数，前者比较小 D．“正面像”和“侧面像”中，只有一个五位数 33．小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是（　　） A．15：01 B．10：51 C．10：21 D．12：01 巩固训练 1．小明在平面镜里看到背后墙上电子钟显示的时间如图所示，此刻的实际时间应该是（    ） A．21︰05 B．20︰15 C．20︰12 D．21︰50 2．平面镜成像中，像和物成轴对称图形．小芳在梳妆镜中发现，放在梳妆镜台桌面上的手机中的时间如图所示，则这时的实际时间应该是 ． 3．下列这些是电子屏上显示的数字． （1）仔细观察后回答下列问题： ①是中心对称图形而不是轴对称图形的数字是　 　； ②是轴对称图形，而不是中心对称图形的数字是　 　； ③既是轴对称又是中心对称图形的数字是　 　； ④能成中心对称的两个数字是　 　； ⑤能成轴对称的两个数字是　 　． （2）小丽站在镜子前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子钟上显示的读数如图所示，那么这时的实际时间是　 　． 题型十二　中心对称相关概念 34．下列各组图形中，与成中心对称的是（     ） A． B． C． D． 35．如图，与关于点成中心对称，下列说法： ①；②；③；④与的面积相等，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 36．下列命题中正确的命题的个数有   ） ①在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分 ②关于某一点成中心对称的两个三角形能重合 ③两个能重合的图形一定关于某点中心对称 ④如果两个三角形的对应点连线都经过同一点，那么这两个三角形成中心对称 ⑤成中心对称的两个图形中，对应线段互相平行或共线 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 巩固训练 1．下列图标中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示的图形是中心对称图形，O是它的对称中心，E，F是两个对称点，则点E，F到点O的距离，的大小关系是： （填“”、“”或“”）． 3．如图，的顶点坐标分别为，，． (1)请画出以点A为旋转中心，逆时针旋转后得到的． (2)请画出关于原点O对称的． 题型十三　利用中心对称的性质求面积、长度、角度 37．如图，已知与成中心对称，的面积是，，则中边上的高是（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 38．如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 39．如图矩形的长为，宽为4，点O是各组三角形的对称中心，则图中阴影面积为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．在平面直角坐标系中，点关于点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图，与关于点O成中心对称，下列结论成立的是 （填序号）． ①点A与点是对应点； ②； ③； ④． 3．一个L形图如图1所示，现需解决如何画一条直线将其分为面积相等的两部分的问题．    (1)分析问题： 本题主要通过寻找分割线，深化对中心对称图形的认识，______图形绕其对称中心旋转______后能与原图形重合，因此过其______的任意一条直线必将其分割为全等的两部分． (2)操作发现 如图2，该图形可以看成由左、右两个正方形构成，分别确定两个正方形的对称中心，然后连线即可得到符合要求的分割线．类似的，该图形还可以看成由上、下两个长方形构成，分别确定两个长方形的对称中心，然后连线也可得到符合要求的分割线．请按此要求画出分割线，在图3上完成（保留作图痕迹，不写画法）． (3)深度探究： 由于本题的分割线不唯一，如果采取把图形右上角弥补一个小正方形，让L形先变为长方形后，再分别找正方形和长方形的……，请再按此要求画出分割线，在图4上完成（保留作图痕迹，不写画法）． 题型十四　中心对称图形规律问题 40．如图，边长为1的正方形，沿数轴顺时针连续滚动，起点和重合，则数轴上数2020所对应的字母是（    ） A． B． C． D． 41．如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△DEC．若点A的坐标为（3，﹣1），则点D的坐标为（　　） A．（﹣3，1） B．（﹣2，2） C．（﹣3，3） D．（﹣3，2） 42．如图，在△ABC中,∠ACB=，∠B=，AC=1，BC=，AB=2，AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针转到位置①可得到点P1，此时AP1=2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=3+…，按此顺序继续旋转，得到点P2016，则AP2016=(   ) A．2016+671 B．2016+672 C．2017+671 D．2017+672 巩固训练 1．在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到点，再把点绕点旋转得到点，那么点的坐标是 ． 3．如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A, D1 ,D三点的坐标分别是（0,4），（0，3），（0，2）. (1)对称中心的坐标； (2)写出顶点B, C, B1 , C1的坐标. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$