精品解析：江西省赣州市石城县赣源中学2024-2025学年八年级上学期数学期中试题

赣源中学2024-2025学年度八年级数学期中考试卷 考试时间：120分钟 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. 将一副三角板如图摆放，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，是的角平分线，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 42 6. 如图，直线是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是_____． 8. 如图，第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，此正九边形的内角和为______度． 9. 如图，是内一点，连接，已知，，，则的度数为______． 10. 如图，在 中，，是的垂直平分线，若，则的周长为______． 11. 在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则代数式的值为________． 12. 一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角度数为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）已知一个多边形的内角和等于，求这个多边形的边数． （2）如图所示，在中，．求证：是直角三角形． 14. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，．求证:． 15. 已知图1、图2都是轴对称图形，请仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中，作出该图形的对称轴l． （2）在图2中，E为上一点，在上作一点F，使得． 16. 如图所示，，是上一点，试说明． 17. 如图，在中，，． （1）求的度数； （2）若，交于点，判断的形状，并说明理由． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出关于y轴对称的，并写出各顶点的坐标； （2）将向右平移6个单位，作出平移后的； （3）观察和，它们是否关于某条直线对称？若是，请画出这条对称轴． 19. 如图，在中，BD是AC边上的高，． （1）求的度数； （2）若CE平分交BD于点E，，求的度数． 20. 如图，在中，平分，于点E，点F在上，． （1）求证：． （2）若，求的长． 五、填空题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在中，与的平分线相交于点P． （1）如图1，如果，那么______°； （2）如图1，请猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图2，作的外角，的平分线交于点Q，试探究与的数量关系． 22. 已知和都是以点A为直角顶点的直角三角形且，点D是直线上的一动点（点D不与B，C重合），连接． （1）在图1中，当点D在边上时，求证：； （2）在图2中，当点D在边的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请猜想之间存在的数量关系，并说明理由； （3）在图3中，当点D在边的反向延长线上且点E在下方时，请画图并直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 六、解答题（本大题共1小题，每小题12分，共12分） 23. 【课例改编】 数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，是的高，，若，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图1，则点刚好落在边上的点处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出：_____． 【改编拓展】 张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （2）如图2，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 【模型应用】 根据上面探究构造全等模型的规律，请解答： （3）如图3，在四边形中，平分，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赣源中学2024-2025学年度八年级数学期中考试卷 考试时间：120分钟 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形,熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 根据轴对称图形的概念逐一分析即可解答． 【详解】解：对于A选项，根据轴对称图形的概念得出不是轴对称图形，不符合题意； 对于B选项，根据轴对称图形的概念得出不是轴对称图形，不符合题意； 对于C选项，根据轴对称图形的概念得出是轴对称图形，符合题意； 对于D选项，根据轴对称图形的概念得出不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出a的取值范围即可得解． 【详解】根据三角形的三边关系得，即，则选项中4符合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握相关不等关系是解决本题的关键． 3. 将一副三角板如图摆放，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，以及角的计算，关键是掌握三角形内角和为． 根据直角三角板的度数，再根据对顶角相等可得的度数． 【详解】解：如图： ， ， 故选：A． 4. 如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握三种判定定理的内容是解题的关键；由已知有，且它们的夹角是对顶角也相等，则由可判定这两个三角形全等． 【详解】解：在与中， ， ∴； 故选：B． 5. 如图，在中，，是的角平分线，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 42 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．作，可得，据此即可求解 【详解】解：作，如图所示： ∵是的角平分线，，， ∴， ∴的面积， 故选：A 6. 如图，直线是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作点M关于直线a的对称点，连接交直线a于O． 根据两点之间，线段最短，可知选项C修建的管道，则所需管道最短． 故选：C． 【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是_____． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性的应用是解题的关键． 根据三角形的稳定性作答即可． 【详解】解：由题意知，蕴含的数学道理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 8. 如图，第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，此正九边形的内角和为______度． 【答案】1260 【解析】 【分析】本题考查了求正多边形内角和问题．根据正多边形的内角和公式：，代入数据即可得出答案． 【详解】解：正九边形的内角和为， 故答案为：1260． 9. 如图，是内一点，连接，已知，，，则的度数为______． 【答案】##140度 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，由得，由，可得，，即得，最后再根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 如图，在 中，，是的垂直平分线，若，则的周长为______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，然后根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，又，， ∴的周长为， 故答案为：20． 11. 在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则代数式的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查关于坐标轴对称的点的坐标特点，解一元一次方程． 根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同即可得到关于m，n的方程，求解后代入式子即可解答． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：4 12. 一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识点，根据题意画出图形以及分类讨论是解题的关键． 分等腰三角形是锐角三角形或钝角三角形两种情况，分别根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质求解即可． 【详解】解：①如图：当三角形为锐角三角形时， ∵，，为高，即，， ∴， ②如图：当三角形为钝角三角形时， ∵，，为高，即， ∴， 综上，等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）已知一个多边形的内角和等于，求这个多边形的边数． （2）如图所示，在中，．求证：是直角三角形． 【答案】（1）这个多边形的边数为11 （2）证明：， ， ， ， ∴， 是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和，一元一次方程的应用，掌握多边形内角和公式是解题关键． （1）设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式列方程求解即可． （2）利用直角三角形两锐角互余得到，再等量代换得到，从而得证． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意得：，                 解得． 即这个多边形的边数为11． （2）略 14. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，．求证:． 【答案】 证明：∵， ， 又，， ∴在和中， ， ∴， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质．先根据，利用两直线平行，同位角相等，可得，再结合，，利用可证，从而有． 【详解】略 15. 已知图1、图2都是轴对称图形，请仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中，作出该图形的对称轴l． （2）在图2中，E为上一点，在上作一点F，使得． 【答案】（1） 如图，直线l为所求作． （2） 如图，点F为所求作． 【解析】 【分析】本题考查作图一复杂作图，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）连接两组对应点，进而交点连接即可； （2）连接两组对应点，进而交点连接，找到对称轴，再通过对称轴找到相应的对称点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 如图所示，，是上一点，试说明． 【答案】 证明：在和中， ， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确得到，进而由证明即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】略 17. 如图，在中，，． （1）求的度数； （2）若，交于点，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）为直角三角形， 理由如下： ∵， ， 由（1）得， ， 为直角三角形． 【解析】 【分析】（）根据三角形内角和定理即可求解； （）由平行线的性质可得，进而由三角形内角和定理可得，据此即可判断求解； 本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 略 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出关于y轴对称的，并写出各顶点的坐标； （2）将向右平移6个单位，作出平移后的； （3）观察和，它们是否关于某条直线对称？若是，请画出这条对称轴． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； ∴，，； （2） 如图所示，即为所求； （3） 如图所示， 【解析】 【分析】本题考查了坐标平面内的图形变换，解题关键是熟练掌握轴对称和平移的特征及坐标变化规律，如何根据点的位置确定对称轴． （1）根据轴对称的性质画图并写出坐标即可； （2）根据平移的性质画图即可； （3）根据对称轴的性质画出图形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 如图，在中，BD是AC边上的高，． （1）求的度数； （2）若CE平分交BD于点E，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据高的定义可得为直角，结合即可求得的度数； （2）首先根据外角的性质求出的度数，再结合角平分线的定义求出的度数． 【小问1详解】 解：在中， 是边上的高， ， ， ． 【小问2详解】 解：∵∠BEC是的外角， ∴， ∵，， ∴， 平分， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点，解题的关键是掌握三角形的外角的性质． 20. 如图，在中，平分，于点E，点F在上，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分，于点E， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． （2）2 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质得到，利用证明即可证明． （2）设，则，同理得到利用证明得到，即，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ∵平分，于点E， ∴． 在与中， ， ∴， ∴，即， 解得，即． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知利用证明三角形全等是解题的关键． 五、填空题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在中，与的平分线相交于点P． （1）如图1，如果，那么______°； （2）如图1，请猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图2，作的外角，的平分线交于点Q，试探究与的数量关系． 【答案】（1） （2） 解：； 理由如下： ， ∵与的平分线交于点P， ∴ ∴ ； （3） 【解析】 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （3）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∵与的平分线交于点P， ∴， ∴ ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ∵的外角，的平分线交于点Q， ∴，， ∴ ， ∵ ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 22. 已知和都是以点A为直角顶点的直角三角形且，点D是直线上的一动点（点D不与B，C重合），连接． （1）在图1中，当点D在边上时，求证：； （2）在图2中，当点D在边的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请猜想之间存在的数量关系，并说明理由； （3）在图3中，当点D在边的反向延长线上且点E在下方时，请画图并直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 【答案】（1） 解：如图1， ， ， 又，， ， ， ； （2） 解：不成立，存在的数量关系为． 理由：如图2， ， ， 又，， ， ， ， ； （3）存在的数量关系为，位置关系为，如图3． 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）求出，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）求出，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （3）如图3，求出，证明，根据全等三角形的性质可得，然后由是等腰直角三角形可得，，进而求出即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在的数量关系为，位置关系为 如图3， ， ， 又，， ， ，， ． ，， ， ， ， ． 六、解答题（本大题共1小题，每小题12分，共12分） 23. 【课例改编】 数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，是的高，，若，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图1，则点刚好落在边上的点处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出：_____． 【改编拓展】 张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （2）如图2，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 【模型应用】 根据上面探究构造全等模型的规律，请解答： （3）如图3，在四边形中，平分，求的长． 【答案】（1）9； （2）解：， 证明：如图，在上截取，连接，   ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形，由折叠的性质可得：，，，由可得，再由三角形外角的定义及性质可得，推出，进而得到，最后进行计算即可得到答案； （2）在上截取，连接，证明得到，，证明，再由得到，再根据三角形外角的定义及性质得出，进而得到，即可得证； （3）在上截取，连接，证明，得到，，从而得到，进而，再由即可得证，结合可得，从而推出是等边三角形，得出，最后由即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处， 由折叠的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、三角形外角的定义及性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $