第1章 直角三角形 同步练习 2023-2024学年湘教版 数学八年级下册

第1章 直角三角形 (90分钟　100分) 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.如果直角三角形的一个锐角是36°,则另一个锐角的度数是 (C) A.90° B.44° C.54° D.34° 2.如图,AD是∠BAC的平分线,点P在AD上,PM⊥AB于点M,PM=3,则点P到AC的距离是 (C) A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图,AD是△ABC的中线,若AB=AC=5,BC=6,则AD的值是 (A) A.4 B.3 C.2 D.2 4.在下列条件中:①一个内角等于另两个内角的差;②c2=b2-a2;③∠A=∠B=2∠C中,能确定△ABC是直角三角形的条件有 (C) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 5.(2024·上海期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,如果CD,CM分别是斜边上的高和中线,那么下列结论不一定成立的是 (D) A.∠ACM=∠BCD B.∠ACD=∠B C.∠ACD=∠BCM D.∠ACD=∠MCD 6.(2024·怀化质检)如图,在Rt△ABC与Rt△DCB中,已知∠A=∠D=90°,添加一个条件,不能使得Rt△ABC≌Rt△DCB的是 (D) A.AB=DC B.AC=DB C.∠ABC=∠DCB D.BC=BD 7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD为AB边上的中线,BE为CD边上的中线,AC=2,则BE=(B) A.1 B. C.2 D.2 8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,BE是AC边上的中线,且BD=CE,已知∠A=38°,则∠BFC的度数是 (C) A.111° B.110° C.109° D.108° 9.如图,在△ABC中,AB=AC=6,∠BAC=120°,AD是△ABC的中线,AE是△BAD的角平分线,DF∥AB交AE的延长线于点F,则DF的长是 (C) A.1 B.2 C.3 D.4 10.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AC,垂足为E,BF∥AC交ED的延长线于点F,若BC恰好平分∠ABF,AE=2BF.给出下列四个结论:①DE=DF;②DB=DC;③AD⊥BC;④S△ADB=2S△DBF.其中正确的结论共有 (B) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 二、填空题(每小题3分,共24分) 11.在△ABC中,∠C=90°,∠A-∠B=30°,则∠A=　60°　.  12.(2024·张家界期中)如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,过点B作BD⊥BC,交AC于点D,若AD=2,则CD的长度为　4　.  13.在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点E,F;再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交BC于点D.若CD=6,则点D到AB的距离是　6　.  14.(2024·岳阳期中)我们学习了勾股定理后,都知道“勾三、股四、弦五”.观察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;…,发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过.请你根据上述的规律写出下一组勾股数:　11,60,61　.  15.如图,三角形纸片ABC,AB=AC,∠BAC=90°,点E为AB的中点.沿过点E的直线折叠,使点B与点A重合,折痕EF交BC于点F.已知EF=,则BC的长是　3　.  16.如图,△ABC的三边AB,BC,CA长分别是13,14,15,其两个外角角平分线交于点F,过F作FG⊥BC于G,若FG=12,则△ABC的面积是　84　.  17.(2024·湘西质检)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC上,过D作DF⊥BC交BA的延长线于点F,连接AD,CF,若∠CFE=32°,∠ADB=45°,则∠B= 　77°　.  18.如图,已知OB=1,以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO,再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O,如此下去,则线段OA2024的长度为　21011　.  三、解答题(共46分) 19.(6分)(数学知识在身边)两个城镇A,B与两条公路ME,MF位置如图所示,其中ME是东西方向公路.现电信部门需在C处修建一座信号发射塔,要求发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等,到ME,MF的距离也必须相等,且在∠FME的内部,请在图中,用尺规作图找出符合条件的点C.(不写已知、求作、作法,只保留作图痕迹) 【解析】如图: 点C即为所求作的点. 20.(6分)(2024·永州质检)如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=6, CD=4,求AB的长. 【解析】如图,延长AD,BC,交于点E, 在Rt△ABE中,∠A=60°,BC=6,∴∠E=30°, 在Rt△CDE中,CD=4,∴CE=2CD=8,BE=BC+CE=6+8=14,设AB=x,则有AE=2x,根据勾股定理得:x2+142=(2x)2,解得x=,则AB=. 21.(6分)某小区内有一块如图所示的四边形空地ABCD,AB=BC=2米,CD=3米,DA=1米,且∠B=90°.计划将这块空地建成一个花园,为美化小区环境,预计花园每平方米造价为300元,小区修建这个花园需要投资多少元?(结果保留根号) 【解析】略 22.(8分)如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF. (1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF; (2)若∠CAE=20°,求∠ACF的度数. 【解析】(1)∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°. 在Rt△ABE和Rt△CBF中, ∵AE=CF,AB=CB,∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL). (2)∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠CAB=∠ACB=45°. ∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-20°=25°,∴∠BCF=∠BAE=25°,∴∠ACF= ∠BCF+∠ACB=25°+45°=70°. 23.(10分)(2024·北京期末)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AB=10,AC=6.AD平分∠CAB交BC于点D. (1)求BC的长; (2)求CD的长. 【解析】(1)在Rt△ACB中,∠ACB=90°, 由勾股定理得:BC===8. (2)过点D作DE⊥AB于点E,如图. ∴∠DEA=90°=∠C(垂直定义), ∵AD平分∠CAB(已知),∴∠1=∠2(角平分线定义), 在△AED和△ACD中,, ∴△AED≌△ACD(AAS), ∴AE=AC=6,DE=DC(全等三角形的对应边相等), ∴BE=AB-AE=4. 设CD=x,则DE=x,DB=8-x, 在Rt△DEB中,∠DEB=90°, 由勾股定理,得(8-x)2=x2+42,解得x=3,即CD=3. 24.(10分)(模拟探索问题)一班同学上数学活动课,利用角尺平分一个角(如图所示).设计了如下方案: (Ⅰ)∠AOB是一个任意角,将角尺的直角顶点P介于射线OA,OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M,N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线. (Ⅱ)∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P介于射线OA,OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M,N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线. (1)方案(Ⅰ),方案(Ⅱ)是否可行?若可行,请证明;若不可行,请说明理由; (2)在方案(Ⅰ)PM=PN的情况下,继续移动角尺,同时使PM⊥OA,PN⊥OB.此方案是否可行?请说明理由. 【解析】(1)方案(Ⅰ)不可行.缺少证明三角形全等的条件, ∵只有OP=OP,PM=PN不能判断△OPM≌△OPN; ∴不能判定OP就是∠AOB的平分线; 方案(Ⅱ)可行. 在△OPM和△OPN中,, ∴△OPM≌△OPN(SSS),∴∠AOP=∠BOP, ∴OP就是∠AOB的平分线; (2)当∠AOB是直角时,此方案可行; ∵四边形内角和为360°,∠OMP=∠ONP=90°,∠MPN=90°, ∴∠AOB=90°,∵PM=PN,∴OP为∠AOB的平分线.当∠AOB不为直角时,此方案不可行; 因为∠AOB必为90°,如果不是90°, 则不能找到同时使PM⊥OA,PN⊥OB的点P的位置. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 直角三角形 (90分钟　100分) 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.如果直角三角形的一个锐角是36°,则另一个锐角的度数是 ( ) A.90° B.44° C.54° D.34° 2.如图,AD是∠BAC的平分线,点P在AD上,PM⊥AB于点M,PM=3,则点P到AC的距离是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图,AD是△ABC的中线,若AB=AC=5,BC=6,则AD的值是 ( ) A.4 B.3 C.2 D.2 4.在下列条件中:①一个内角等于另两个内角的差;②c2=b2-a2;③∠A=∠B=2∠C中,能确定△ABC是直角三角形的条件有 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 5.(2024·上海期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,如果CD,CM分别是斜边上的高和中线,那么下列结论不一定成立的是 ( ) A.∠ACM=∠BCD B.∠ACD=∠B C.∠ACD=∠BCM D.∠ACD=∠MCD 6.(2024·怀化质检)如图,在Rt△ABC与Rt△DCB中,已知∠A=∠D=90°,添加一个条件,不能使得Rt△ABC≌Rt△DCB的是 ( ) A.AB=DC B.AC=DB C.∠ABC=∠DCB D.BC=BD 7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD为AB边上的中线,BE为CD边上的中线,AC=2,则BE=( ) A.1 B. C.2 D.2 8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,BE是AC边上的中线,且BD=CE,已知∠A=38°,则∠BFC的度数是 ( ) A.111° B.110° C.109° D.108° 9.如图,在△ABC中,AB=AC=6,∠BAC=120°,AD是△ABC的中线,AE是△BAD的角平分线,DF∥AB交AE的延长线于点F,则DF的长是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 10.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AC,垂足为E,BF∥AC交ED的延长线于点F,若BC恰好平分∠ABF,AE=2BF.给出下列四个结论:①DE=DF;②DB=DC;③AD⊥BC;④S△ADB=2S△DBF.其中正确的结论共有 ( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 二、填空题(每小题3分,共24分) 11.在△ABC中,∠C=90°,∠A-∠B=30°,则∠A= .  12.(2024·张家界期中)如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,过点B作BD⊥BC,交AC于点D,若AD=2,则CD的长度为 .  13.在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点E,F;再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交BC于点D.若CD=6,则点D到AB的距离是 .  14.(2024·岳阳期中)我们学习了勾股定理后,都知道“勾三、股四、弦五”.观察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;…,发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过.请你根据上述的规律写出下一组勾股数: .  15.如图,三角形纸片ABC,AB=AC,∠BAC=90°,点E为AB的中点.沿过点E的直线折叠,使点B与点A重合,折痕EF交BC于点F.已知EF=,则BC的长是 .  16.如图,△ABC的三边AB,BC,CA长分别是13,14,15,其两个外角角平分线交于点F,过F作FG⊥BC于G,若FG=12,则△ABC的面积是 .  17.(2024·湘西质检)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC上,过D作DF⊥BC交BA的延长线于点F,连接AD,CF,若∠CFE=32°,∠ADB=45°,则∠B= .  18.如图,已知OB=1,以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO,再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O,如此下去,则线段OA2024的长度为 .  三、解答题(共46分) 19.(6分)(数学知识在身边)两个城镇A,B与两条公路ME,MF位置如图所示,其中ME是东西方向公路.现电信部门需在C处修建一座信号发射塔,要求发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等,到ME,MF的距离也必须相等,且在∠FME的内部,请在图中,用尺规作图找出符合条件的点C.(不写已知、求作、作法,只保留作图痕迹) 20.(6分)(2024·永州质检)如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=6, CD=4,求AB的长. 21.(6分)某小区内有一块如图所示的四边形空地ABCD,AB=BC=2米,CD=3米,DA=1米,且∠B=90°.计划将这块空地建成一个花园,为美化小区环境,预计花园每平方米造价为300元,小区修建这个花园需要投资多少元?(结果保留根号) 22.(8分)如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF. (1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF; (2)若∠CAE=20°,求∠ACF的度数. 23.(10分)(2024·北京期末)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AB=10,AC=6.AD平分∠CAB交BC于点D. (1)求BC的长; (2)求CD的长. 24.(10分)(模拟探索问题)一班同学上数学活动课,利用角尺平分一个角(如图所示).设计了如下方案: (Ⅰ)∠AOB是一个任意角,将角尺的直角顶点P介于射线OA,OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M,N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线. (Ⅱ)∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P介于射线OA,OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M,N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线. (1)方案(Ⅰ),方案(Ⅱ)是否可行?若可行,请证明;若不可行,请说明理由; (2)在方案(Ⅰ)PM=PN的情况下,继续移动角尺,同时使PM⊥OA,PN⊥OB.此方案是否可行?请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$