28.5 弧长和扇形面积的计算（8大题型提分练）数学冀教版九年级上册

第二十八章 圆 28.5 弧长和扇形面积的计算（8大题型提分练） 知识点一、弧长及扇形的面积 设的半径为，圆心角所对弧长为， （一）弧长的计算 （1）弧长公式： （2）公式推导：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所 对的弧长是即于是的圆心角所对的弧长为 注意：（1）在弧长公式中，表示的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径，计算的圆心角 所对弧长时，不要错写成 （2）在弧长公式中，已知，中的任意两个量，都可以求出第三个量。 （二）扇形面积的计算 （1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。 （2）扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。 （3）公式推导： ①在半径为的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是于是圆心角为的扇形面积是 ②即其中为扇形的弧长，为半径。 点拨：（1）扇形面积公式与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看成底，半径看成高即可。 （2）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式还是 （3）已知四个量中任意两个，都可以求出另外两个。 （4）公式中的“”与弧长公式中的“”的意义是一样的，表示“”的圆心角的倍数，计算时不带单位。 题型一 求弧长 1．某校在社会实践活动中，明明同学用一个直径为24cm的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转105°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（    ） A． B． C． D． 2．如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，绳索粗细不计且足够长，拉动绳索，使滑轮与绳索之间没有滑动的转动，当滑轮转动了时，重物上升的高度是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在扇形中，，，则的长为 ． 4．如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为，点A，B是圆上的两点，圆心角，则的长为 ．（结果保留）    5．如图，已知，，观察图中尺规作图痕迹，判断P点位置，求弧的长度．    6．如图，小方同学发现学校三栋楼围成的平面图是一个扇形，经过测量，，．小方同学站在1号楼梯口处，她想走到2号楼梯口处，三栋楼都有通道可以走．请你帮她计算一下，应该走哪条路线比较近．（取3） 题型二 求扇形半径 1．已知一条圆弧的度数为，弧长为，则此圆弧的半径为（　　） A．15 B．30 C． D． 2．传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为米，裙长米，圆心角，则的长为（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 3．已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为 ． 4．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1，扇形的圆心角等于，则扇形的半径是 ．    5．如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是．弧所对的圆心角是，这段圆弧所在圆的半径R是多少米（结果保留小数点后一位）？ 6．小明打算用一张半圆形的纸做一个圆锥，制作过程中，他将半圆剪成面积比为1：2的两个扇形． (1)请你在图中画出他的裁剪痕迹．(要求尺规作图，保留作图痕迹) (2)若半圆半径是3，大扇形作为圆锥的侧面，则小明必须在小扇形纸片中剪下多大的圆才能组成圆锥？小扇形纸片够大吗(不考虑损耗及接缝)？ 题型三 求圆心角 1．一个扇形的弧长是，半径是4，则该扇形的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．图1是等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以A为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的圆心角的度数是（    ） A．． B．． C．． D．． 3．一个扇形的弧长是，半径是6cm，则此扇形的圆心角是 度． 4．“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 5．在如图所示的扇形中，，，扇形的弧长为，求扇形的面积． 6．将一个圆沿着半径将其剪为①、②、③三个扇形．已知①的面积比②的面积小，②的面积比③的面积小，则面积最大的扇形的圆心角为多少度． 题型四 求某点的弧形运动路径长度 1．如图，在打开房门时，将门扇绕着门轴逆时针旋转后可以开到最大，若门扇的宽度，则旋转过程中点经过的路径长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，是等腰直角三角形，，，点是斜边上一点，且，将绕点逆时针旋转，得到，交于点．其中点的运动路径为弧，则弧的长度为（    ） A． B． C． D． 3．如图，有一长为，宽为的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）．木板上的顶点的位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，此时，则点翻滚到位置时，走过的路径长为 ． 4．如图，半径为2，圆心角为的扇形的弧上有一动点P，从点P作于点H，设的三个内角平分线交于点M，当点P在弧上从点A运动到点B时，点M所经过的路径长是 ． 5．已知正三角形的边长为1，按如图所示位置放在直线m上，然后无滑动地滚动，当它滚动一个周期时，顶点 A 所经过的路线长为多少？ 6．如图，一条直线上放着一个长方形①，它的长和宽分别为厘米和厘米，对角线为 厘米，让这个长方形依次顺时针旋转，最终长方形的点到达了点的位置，求点 所走过的总路程． 题型五 求扇形面积 1．如图，是上的点，半径，，，连接，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，为半圆O的直径，C是半圆上一点，且，设扇形弓形的面积分别为，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．半径为的圆中，圆心角为的扇形面积为 ． 4．如图，矩形中，对角线、相交于点，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 5．如图是由一个长宽分别为厘米和厘米的长方形，两个半径分别为厘米和厘米的扇形组成，那么阴影部分的面积是多少？    6．如图，已知：在中，，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，且．    (1)求弧的弧长； (2)求扇形的面积． 题型六 求图形旋转后扫过的面积 1．在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕原点旋转，则线段所扫过的区域的面积为（    ）． A． B． C． D．11 2．如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 3．一个闹钟的时针长是，从下午1点到下午4点，时针所扫过的面积是 ． 4．如图①是某汽车的雨刮器，图②是雨刮器摆动的示意图．已知雨刮器的半径，刷子的长度．当雨刮器摆动时，最大旋转角，则雨刮器的刷子扫过的面积（图中阴影部分）为 （结果保留）． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知，，将绕点逆时针旋转得到，点旋转后的对应点为． (1)画出旋转后的图形； (2)所得点的坐标为 ； (3)线段扫过的图形的面积为 ．（结果保留π） 6．如图，在平面直角坐标系中，将绕原点顺时针旋转得到． (1)画出，并写出点的坐标， ， ； (2)在旋转变换过程中，线段扫过的图形面积为 ． 题型七 求弓形面积 1．《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积（弦矢矢）．弧田（如图所示）由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦，“矢”指半径长与圆心O到弦的距离（d）之差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（    ） A．80 B．100 C．104 D．128 2．如图，是的直径，是的弦，连接，，若直径，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，以O为圆心的扇形AOB与扇形COD的圆心角为，若，，则阴影部分的面积为 ． 4．如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为 ． 5．如图，点在直径为2的上，，求图中阴影部分的面积．（结果中保留）    6．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积（弦×矢+矢2）．如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长的弧田． （1）计算弧田的实际面积． （2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米?（取近似值为3，近似值为1.7） 题型八 求其他不规则图形的面积 1．如图，正方形内接于，直径，且，图中阴影部分的面积等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F，再以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．已知，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，在直角三角形中，，，从中剪掉两个半径相等的扇形，求阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 4．如图，在边长为3的等边三角形中，以为直径构造半圆，则图中阴影部分的面积为 ． 5．如图，扇形的圆心角是为，四边形是边长为1的正方形，点，分别在，，在弧上，求图中阴影部分的面积．（结果保留π） 6．如图，在圆心角为的扇形中，半径，点C、D分别是半径、的中点，将沿对折，点O落在P处，E为上一点． (1)若______，求证：______；（把“D、P、E在一直线上”，“”分别填入两条横线中，将题目补充完整，并完成证明） (2)在（1）的条件下，求图中阴影部分的面积． 1．将一个半径为1的圆形纸片，按如图所示的方式连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长为（    ） A． B． C． D．π 2．如图，是半圆O的直径，，B，C是半圆O上两点．若，则图中阴影部分的面积是（    ） D A． B． C． D． 3．如图，在扇形纸片中，，，在桌面内的直线上，将扇形沿按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当第一次落在上时，停止旋转，则旋转过程中点O所经过的路线长为（    ）    A． B． C． D． 4．贵州毕节风车草原成为近年来网红打卡地，云海风车更是吸引着全国各地的游客前来参观．风车扇叶示意图如图所示，扇叶的长为20米，当扇叶旋转至位置时，扇叶扫过的面积为（   ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 5．如图，正方形的边长为2，为对角线的交点，点，分别为，的中点．以为圆心，为半径作圆弧，再分别以，为圆心，为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在圆环中，，已知内圆的周长为4，则外圆的周长为 ． 7．(1)已知扇形的圆心角为，弧长等于，则该扇形的半径是 ； (2)如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为 ． 8．如图，在扇形中，，，则阴影部分的面积是 ． 9．如图，一扇形纸扇完全打开后，两竹条外侧和的夹角为，OC长为，贴纸部分的长为，则贴纸部分的面积为 （结果保留）． 10．如图，中，，，，将沿直线向右无滑动的滚动一次，则点C经过的路径长是 ，此时旋转过程中边扫过的面积是 ． 11．弧长为的弧所对的圆心角为，求弧所在的圆的半径． 12．如图，一扇形纸扇完全打开后，和的夹角为，长为，贴纸部分的宽为．    (1)求弧的长度； (2)求纸扇上贴纸部分的面积． 13．如图所示，一根5m长的绳子，一端拴在的围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊（羊只能在草地上活动），求小羊在草地上可活动区域的面积（结果保留）．    14．孙尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉瑕丁冬．”玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品，现从一块直径为8cm的圆形玉料上刻出一个如图所示圆周角为90°的最大扇形玉佩，求阴影部分的面积．（结果保留） 15．如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转得到，点旋转后的对应点为，点旋转后的对应点为，点旋转后的对应点为， (1)画出旋转后的，并写出点的坐标； (2)求点经过的路径的长结果保留． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十八章 圆 28.5 弧长和扇形面积的计算（8大题型提分练） 知识点一、弧长及扇形的面积 设的半径为，圆心角所对弧长为， （一）弧长的计算 （1）弧长公式： （2）公式推导：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所 对的弧长是即于是的圆心角所对的弧长为 注意：（1）在弧长公式中，表示的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径，计算的圆心角 所对弧长时，不要错写成 （2）在弧长公式中，已知，中的任意两个量，都可以求出第三个量。 （二）扇形面积的计算 （1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。 （2）扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。 （3）公式推导： ①在半径为的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是于是圆心角为的扇形面积是 ②即其中为扇形的弧长，为半径。 点拨：（1）扇形面积公式与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看成底，半径看成高即可。 （2）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式还是 （3）已知四个量中任意两个，都可以求出另外两个。 （4）公式中的“”与弧长公式中的“”的意义是一样的，表示“”的圆心角的倍数，计算时不带单位。 题型一 求弧长 1．某校在社会实践活动中，明明同学用一个直径为24cm的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转105°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查弧长公式，解题的关键是掌握弧长公式．利用弧长公式算出重物上升的高度即可． 【详解】解：． 故选：B． 2．如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，绳索粗细不计且足够长，拉动绳索，使滑轮与绳索之间没有滑动的转动，当滑轮转动了时，重物上升的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧长公式．熟练掌握弧长公式是解题的关键． 根据重物上升的高度为半径为的圆中所对的弧长计算求解即可． 【详解】解：由题意知，重物上升的高度是 ， 故选：A． 3．如图，在扇形中，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查求弧长，把已知数据代入弧长公式计算即可，掌握弧长公式的应用是解题的关键． 【详解】解：的长=， 故答案为：． 4．如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为，点A，B是圆上的两点，圆心角，则的长为 ．（结果保留）    【答案】 【分析】利用弧长公式直接计算即可． 【详解】∵半径，圆心角， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式，并规范计算是解题的关键． 5．如图，已知，，观察图中尺规作图痕迹，判断P点位置，求弧的长度．    【答案】，详见解析 【分析】本题考查了作图−基本作图，弧长公式等知识点，由作图可知，点P在角的角平分线与弧的交点上，再根据弧长公式求解即可，熟记弧长公式是解题的关键． 【详解】由作图可知，点P在角的角平分线与弧的交点上， ∴， ∴弧的长． 6．如图，小方同学发现学校三栋楼围成的平面图是一个扇形，经过测量，，．小方同学站在1号楼梯口处，她想走到2号楼梯口处，三栋楼都有通道可以走．请你帮她计算一下，应该走哪条路线比较近．（取3） 【答案】应该走这条路比较近，理由见解析 【分析】本题主要考查弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键． 根据弧长公式分别计算出和的长即可求解． 【详解】解：，， ∴的长为：， ∴， ∵， ∴应该走这条路比较近． 题型二 求扇形半径 1．已知一条圆弧的度数为，弧长为，则此圆弧的半径为（　　） A．15 B．30 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式的变形计算，根据公式，变形计算即可． 【详解】根据题意，得， 解得， 故选B． 2．传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为米，裙长米，圆心角，则的长为（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式．由题意知，，求得，得到米即可． 【详解】解：由题意知，， 解得， ∵裙长为米， ∴米， 故选：B． 3．已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积公式，根据扇形面积公式直接代入求解即可得到答案． 【详解】解：∵一个扇形的面积是，弧长是， ∴， 解得：， 故答案为：． 4．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1，扇形的圆心角等于，则扇形的半径是 ．    【答案】4 【分析】本题主要考查扇形弧长计算，利用圆的周长就是扇形的弧长，根据弧长的计算公式即可求得半径的长． 【详解】解：设扇形的半径是， 则， 解得：， 扇形的半径是4． 故答案为：4． 5．如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是．弧所对的圆心角是，这段圆弧所在圆的半径R是多少米（结果保留小数点后一位）？ 【答案】8.5m 【分析】由弧长公式l＝得到关于R的方程，解方程即可 【详解】解：由l＝，可知R＝＝≈8.5（m）． ∴这段圆弧所在圆的半径R是8.5米． 【点睛】本题考查了弧长的计算公式：l＝，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数． 6．小明打算用一张半圆形的纸做一个圆锥，制作过程中，他将半圆剪成面积比为1：2的两个扇形． (1)请你在图中画出他的裁剪痕迹．(要求尺规作图，保留作图痕迹) (2)若半圆半径是3，大扇形作为圆锥的侧面，则小明必须在小扇形纸片中剪下多大的圆才能组成圆锥？小扇形纸片够大吗(不考虑损耗及接缝)？ 【答案】(1)见解析；(2)正好够剪. 【分析】（1）先作出直径AB的垂直平分线，找到圆心O，进而以点B为圆心，以圆的半径为半径画弧，交圆于一点C，作直线OC即为裁剪的直线； （2）算出大扇形的弧长，除以2π即为小圆的半径，比较即可． 【详解】(1)如图： (2)∵OA=3， ∴l弧AC=π×3=2π， ∴小圆半径r=1，正好够剪． 【点睛】考查圆锥的作图及相关计算；用到的知识点为：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长． 题型三 求圆心角 1．一个扇形的弧长是，半径是4，则该扇形的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用弧长公式求解即可． 【详解】解：设圆心角为，根据题意得： ， 解得：， ∴该扇形的圆心角的度数是，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式． 2．图1是等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以A为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的圆心角的度数是（    ） A．． B．． C．． D．． 【答案】D 【分析】根据题意的长就是边的长，由弧长公式即可求解． 【详解】解：设， ， ， 解得：， 圆心角的度数为： 故选：D． 【点睛】本题考查了弧长公式的应用，掌握公式和理解图形变化前后对应关系是解题的关键． 3．一个扇形的弧长是，半径是6cm，则此扇形的圆心角是 度． 【答案】90 【分析】本题考查弧长公式，利用弧长公式列方程求解即可．掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：设扇形的圆心角为． 由题意得：， 解得：． 故答案为：90． 4．“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 【答案】108 【分析】本题主要考查了求弧长．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为， ∴， 解得：． 故答案为：108 5．在如图所示的扇形中，，，扇形的弧长为，求扇形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的弧长，扇形的面积；由弧长公式可求，即可求解；掌握和是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， ． 6．将一个圆沿着半径将其剪为①、②、③三个扇形．已知①的面积比②的面积小，②的面积比③的面积小，则面积最大的扇形的圆心角为多少度． 【答案】 【分析】根据题意③的面积最大，设③对应的圆心角为度，圆的半径为，根据扇形面积公式可得③的面积，由题意可得，，再根据①、②、③三个扇形可拼成一个圆可得方程，求解即可． 【详解】解：设③对应的圆心角为度，圆的半径为， ∴③的面积，，， ∴， ∴， ∴（度）． ∴面积最大的扇形的圆心角为度． 【点睛】本题考查扇形面积公式及应用，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 题型四 求某点的弧形运动路径长度 1．如图，在打开房门时，将门扇绕着门轴逆时针旋转后可以开到最大，若门扇的宽度，则旋转过程中点经过的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查弧长的应用，解题的关键是掌握弧长公式，据此解答即可． 【详解】解：旋转过程中点A经过的路径长为：． 故选：B． 2．如图，是等腰直角三角形，，，点是斜边上一点，且，将绕点逆时针旋转，得到，交于点．其中点的运动路径为弧，则弧的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求弧长，等腰直角三角形的性质，勾股定理．如图所示，过点C作于F，连接，先利用勾股定理得到，则，再求出，即可求出，，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点C作于F，连接， ∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∴弧的长度为， 故选：A． 3．如图，有一长为，宽为的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）．木板上的顶点的位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，此时，则点翻滚到位置时，走过的路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及扇形的弧长，根据已知得出点运动的路线是解题关键． 根据弧长公式计算即可． 【详解】解：第一次是以为旋转中心，长为半径旋转， 此次点走过的路径是． 第二次是以为旋转中心，为半径旋转， 此次走过的路径是， 故点两次共走过的路径是． 故答案为：． 4．如图，半径为2，圆心角为的扇形的弧上有一动点P，从点P作于点H，设的三个内角平分线交于点M，当点P在弧上从点A运动到点B时，点M所经过的路径长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了弧长的计算公式：，其中表示弧长，表示弧所对的圆心角的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质．如图，连接，由的内心为M，可得到，并且易证，得到，所以点M在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上；过、M、三点作，如图，连，，在优弧取点，连接，，可得，得，，然后利用弧长公式计算弧的长即可． 【详解】解：如图，连接， 的内心为M， ，， ， ∵， ∴， ， 又，为公共边， 而， ， ， 所以点M在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上； 过、M、三点作，如图，连接，，在优弧取点，连接，， ， ， ， ∵， ， 弧的长， 所以内心M所经过的路径长为． 故答案为：． 5．已知正三角形的边长为1，按如图所示位置放在直线m上，然后无滑动地滚动，当它滚动一个周期时，顶点 A 所经过的路线长为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了求弧长，根据题意可知，点A所经过的这两段弧所在圆的半径为1，所对圆心角均为，据此根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵点A所经过的这两段弧所在圆的半径为1，所对圆心角均为， ∴点A所经过的路线长为 6．如图，一条直线上放着一个长方形①，它的长和宽分别为厘米和厘米，对角线为 厘米，让这个长方形依次顺时针旋转，最终长方形的点到达了点的位置，求点 所走过的总路程． 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算，明确每一次旋转的运动轨迹是解题的关键．利用弧长公式求出每一段的路程即可求解． 【详解】解：以E为圆心旋转时，路程为：； 以F为圆心旋转时，路程为：； 以G为圆心旋转时，路程为：； 所以点 所走过的总路程为． 题型五 求扇形面积 1．如图，是上的点，半径，，，连接，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定义，扇形的面积，连接，由圆周角定理可得，进而得，再根据扇形的面积计算公式计算即可求解，掌握圆周角定理及扇形的面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，为半圆O的直径，C是半圆上一点，且，设扇形弓形的面积分别为，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查扇形面积公式及弓形面积公式，作交与点D，设圆的半径为，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式表示出三个图形面积，比较即可求解． 【详解】解：作交与点D，设圆的半径为， ∵， ∴，则． ∴； ． 在三角形中，， ∴，，， ∴， ， ， ∴． 故选：B． 3．半径为的圆中，圆心角为的扇形面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积，根据扇形面积计算公式直接计算即可求解，掌握据扇形面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：扇形的面积， 故答案为 ：． 4．如图，矩形中，对角线、相交于点，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】此题主要考查了扇形面积求法以及矩形的性质．由矩形的性质可得：，因为，可得三角形是等边三角形，可得，然后计算扇形的面积和等边三角形的面积，两部分面积相减即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 5．如图是由一个长宽分别为厘米和厘米的长方形，两个半径分别为厘米和厘米的扇形组成，那么阴影部分的面积是多少？    【答案】阴影部分的面积是平方厘米 【分析】本题主要考查了组合图形的面积，熟练运用扇形面积公式，把不规则图形的面积转化为规则图形的面积是解题的关键； 阴影部分的面积大扇形的面积小扇形的面积长方形的面积，据此求解即可； 【详解】解： 答：阴影部分的面积是平方厘米 6．如图，已知：在中，，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，且．    (1)求弧的弧长； (2)求扇形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了圆的性质、等腰三角形的性质、弧长公式、扇形面积公式等知识点，掌握相关公式成为解题的关键． （1）根据直角三角形两锐角互余可得，再根据等边对等角可得，进而得到，最后根据弧长公式即可计算弧的弧长； （2）直接运用扇形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴弧的弧长为． （2）解：∵，， ∴扇形的面积． 题型六 求图形旋转后扫过的面积 1．在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕原点旋转，则线段所扫过的区域的面积为（    ）． A． B． C． D．11 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、扇形的面积，先根据勾股定理得，，再根据扇形的面积公式即可求解，熟练掌握勾股定理及扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：，根据勾股定理得， ，， 线段所扫过的区域的面积为：， 故选A． 2．如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查扇形的面积．根据这扇车门底边扫过的区域是扇形，求出扇形的半径和圆心角，然后由扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意这扇车门底边扫过的区域是扇形， 其中扇形的半径为，圆心角最大角度为， ∴扇形的最大面积为：， 故选：B． 3．一个闹钟的时针长是，从下午1点到下午4点，时针所扫过的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算公式是解题的关键．先求出从1点到下午4点扫过的角度，再根据扇形面积的计算公式计算即可． 【详解】解：由题知，时针从1点到下午4点扫过， 闹钟的时针长是， ． 故答案为：． 4．如图①是某汽车的雨刮器，图②是雨刮器摆动的示意图．已知雨刮器的半径，刷子的长度．当雨刮器摆动时，最大旋转角，则雨刮器的刷子扫过的面积（图中阴影部分）为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．根据刷子扫过的面积为计算即可． 【详解】解：，， ， ， 刷子扫过的面积为， 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知，，将绕点逆时针旋转得到，点旋转后的对应点为． (1)画出旋转后的图形； (2)所得点的坐标为 ； (3)线段扫过的图形的面积为 ．（结果保留π） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了旋转变换的性质，扇形的面积公式，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键． （1）根据旋转到性质找出对应点即可求解； （2）根据图形可直接写出答案； （3）根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：所得点的坐标为， 故答案为：； （3）解：，， 线段扫过的图形的面积， 故答案为：． 6．如图，在平面直角坐标系中，将绕原点顺时针旋转得到． (1)画出，并写出点的坐标， ， ； (2)在旋转变换过程中，线段扫过的图形面积为 ． 【答案】(1)图见解析，， (2) 【分析】本题考查了作图—旋转变换，扇形的面积公式，勾股定理，熟练掌握旋转的性质以及扇形的面积公式是解此题的关键． （1）利用旋转变换的性质分别作出点的对应点，再顺次连接即可，由图即可得出点的坐标； （2）由勾股定理可得，再根据扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ， 由图可得：，， 故答案为：，； （2）解：由勾股定理得：， 线段扫过的图形面积为：， 故答案为：． 题型七 求弓形面积 1．《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积（弦矢矢）．弧田（如图所示）由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦，“矢”指半径长与圆心O到弦的距离（d）之差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（    ） A．80 B．100 C．104 D．128 【答案】D 【分析】本题考查了弧田面积计算问题，也考查了理解与运算能力．根据题意画出图形，结合图形利用直角三角形的边角关系求出矢和弦的值，代入公式计算求值即可． 【详解】解：如图，过点O作于点C， 由题意可知， ∴， 在中， ， ∴矢， ∴该弧田的面积为， 故选：D． 2．如图，是的直径，是的弦，连接，，若直径，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，根据，计算即可． 【详解】解：连接，，如图， ∵是直径，， ∴， ∵， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查扇形的面积，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 3．如图，以O为圆心的扇形AOB与扇形COD的圆心角为，若，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】根据扇形的面积公式用大扇形的面积小扇形的面积即可． 【详解】∵，， ∴， 由图可知阴影部分的面积大扇形的面积小扇形的面积， 即阴影部分的面积为， 故答案为． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，如果扇形的圆心角是，扇形的半径为r，则扇形的面积公式：． 4．如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，过点O作于点C，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，再根据扇形面积公式求出，再根据三角形面积公式求出，进而求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接，过点O作于点C，如图： 由题意可知：， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查有关扇形面积的计算，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键． 5．如图，点在直径为2的上，，求图中阴影部分的面积．（结果中保留）    【答案】 【分析】连接OB、OC，得出∠BOC的度数，再求出扇形BOC和△BOC的面积，即可得出答案． 【详解】解：连接，    .， ， 的直径为2， ， ， ， . 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质，扇形的面积等知识点，能求出扇形BOC和△BOC的面积是解此题的关键． 6．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积（弦×矢+矢2）．如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长的弧田． （1）计算弧田的实际面积． （2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米?（取近似值为3，近似值为1.7） 【答案】（1）弧田的实际面积为；（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差． 【分析】（1）先利用勾股定理及含的直角三角形的性质求解AO与AB的长度，接着算出的面积，再通过扇形面积公式求解扇形AOB的面积，最后利用割补法求解弧田面积． （2）利用题中的公式求解出弧田面积，然后让该结果与题（1）中的结果相减，求出两者之差． 【详解】（1）解：弦AB， 由垂径定理可知：平分AB，并且OD还平分． ， 在中，对应的角的为 设，则． 由勾股定理可知： 解得（舍去） ，． ，扇形AOB的面积为 弧田实际面积为． （2）解：由题（1）可得圆心到弦的距离等于1，故矢长为1． 按照题中弧田的面积公式得：弧田面积为， ∴两者之差面积之差为． 【点睛】本题主要是考查了扇形面积公式以及圆和直角三角形的相关性质，注意此题利用了割补法求解弧田面积，这是初中数学求解面积常用的方法之一，一定要熟练掌握． 题型八 求其他不规则图形的面积 1．如图，正方形内接于，直径，且，图中阴影部分的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，根据圆的对称性和正方形的对称性可知，阴影部分面积是整个圆面积的一半，据此求解即可． 【详解】解：由圆的对称性和正方形的对称性可知，阴影部分面积是整个圆面积的一半， ∵直径， ∴， 故选：C． 2．如图，在矩形，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F，再以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．已知，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形的面积的计算、切线的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是能够正确运用割补法将不规则图形转化成规则图形面积的和差． 利用割补法将阴影部分分成三部分，即，然后分别求每部分的面积即可． 【详解】解：由题意可知，与扇形只有一个交点，则与扇形相切，设这个切点为G， 连接，，则． 过点E作，交于点H． 四边形是矩形， ，． 由题意可得，， 在中，由勾股定理可得： ， ， ， ， ， 即扇形的圆心角为． 在和中， ， ， ， ， ， 即扇形的圆心角为． ， ， ， 故选：A． 3．如图所示，在直角三角形中，，，从中剪掉两个半径相等的扇形，求阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的面积和扇形的面积的计算，用直角三角形的面积减去两个半径相等的扇形的面积，就是剩余部分的面积． 【详解】解：， ， 故答案为：． 4．如图，在边长为3的等边三角形中，以为直径构造半圆，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，，，根据等边三角形的判定与性质求出、、是边长相等的等边三角形，再根据阴影部分的面积求解即可．此题考查了扇形的面积、等边三角形的性质，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，， 是等边三角形的边长为3， ，， 以为直径构造半圆， ， 、是等边三角形， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 5．如图，扇形的圆心角是为，四边形是边长为1的正方形，点，分别在，，在弧上，求图中阴影部分的面积．（结果保留π） 【答案】 【分析】先利用正方形的性质得到，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算．本题考查了扇形面积的计算：扇形面积计算公式：设圆心角是，圆的半径为的扇形面积为，则或（其中为扇形的弧长）．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了正方形的性质． 【详解】解：四边形是边长为1的正方形， ， 图中阴影部分的面积 ． ∴图中阴影部分的面积为． 6．如图，在圆心角为的扇形中，半径，点C、D分别是半径、的中点，将沿对折，点O落在P处，E为上一点． (1)若______，求证：______；（把“D、P、E在一直线上”，“”分别填入两条横线中，将题目补充完整，并完成证明） (2)在（1）的条件下，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)选，证明；证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆心角和圆周角的性质以及不规则图形的面积的求法，熟练掌握圆心角的性质是解题的关键． （1）连接，根据已知条件先得出，再根据对折的性质得出，根据边角关系进而得出，，最后即可得证； （2）在（1）的条件下，可求出扇形和的面积，从而得到阴影部分的面积． 【详解】（1）选，证明 证明如下： 连接，如图： 在圆心角为的扇形中，半径， ， 点C、D分别是半径、的中点， ， ， ， 将沿对折，点O落在P处， ， ， 在中，， ， ， ． （2）解：在（1）的条件下， ， ， ． 1．将一个半径为1的圆形纸片，按如图所示的方式连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长为（    ） A． B． C． D．π 【答案】A 【分析】本题考查弧长公式，利用折叠的性质求出虚线①所对的圆弧对的圆心角的度数，然后根据弧长公式计算． 【详解】解：根据题意，虚线①所对的圆弧对的圆心角为， 所以虚线①所对的圆弧长． 故选：A． 2．如图，是半圆O的直径，，B，C是半圆O上两点．若，则图中阴影部分的面积是（    ） D A． B． C． D． 【答案】A 【解题分析】本题考查的知识点是扇形面积的计算，根据圆心角与弧的关系得到，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴阴影部分面积 故选A． 3．如图，在扇形纸片中，，，在桌面内的直线上，将扇形沿按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当第一次落在上时，停止旋转，则旋转过程中点O所经过的路线长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长的计算公式，理解O运动的路线是关键．O点运动的路径是：旋转的路程的和是以为半径的半圆的弧长，平移的路线是的长，进行求解即可． 【详解】解：的长为； 以为半径的半圆的弧长：， ∴旋转过程中点O所经过的路线长为； 故选C． 4．贵州毕节风车草原成为近年来网红打卡地，云海风车更是吸引着全国各地的游客前来参观．风车扇叶示意图如图所示，扇叶的长为20米，当扇叶旋转至位置时，扇叶扫过的面积为（   ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】C 【分析】本题考查扇形的面积，根据扇形的面积公式（n为圆心角的度数，r为半径）求解即可． 【详解】解：由题意，扇叶扫过的图形为扇形，且，半径米， ∴扇叶扫过的面积为平方米， 故选：C． 5．如图，正方形的边长为2，为对角线的交点，点，分别为，的中点．以为圆心，为半径作圆弧，再分别以，为圆心，为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，扇形面积的计算．连接，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦分别相等，利用面积割补法可得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形面积减去直角三角形的面积之差． 【详解】解：连接，，如图， 正方形的边长为2，为对角线的交点， 由题意可得：，经过点，且，． 点，分别为，的中点， ， ，． 以为弦的两个弓形面积相等． ． 故选：C． 6．如图，在圆环中，，已知内圆的周长为4，则外圆的周长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查圆的周长，熟练掌握圆的周长公式是解题的关键．根据圆的公式进行解题即可． 【详解】解：由题可知， ∵， ∴， ∴外圆的半径与内圆的半径之比为：． ∵， ∴， ∵内圆的周长为4， ∴外圆的周长为8． 故答案为：8． 7．(1)已知扇形的圆心角为，弧长等于，则该扇形的半径是 ； (2)如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为 ． 【答案】 2 /60度 【分析】此题主要考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式是解题关键．直接利用扇形弧长公式代入求解即可． 【详解】解：（1）设扇形的半径为R， 则根据题意，得， 解得. 故该扇形的半径是2． （2）根据弧长公式得， 解得， 故扇形圆心角的大小为． 故答案为：2；． 8．如图，在扇形中，，，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】利用扇形的面积减去三角形的面积，即可得解． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查求阴影部分的面积．熟练掌握割补法求面积，是解题的关键． 9．如图，一扇形纸扇完全打开后，两竹条外侧和的夹角为，OC长为，贴纸部分的长为，则贴纸部分的面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积计算，分别求出两个扇形的面积作差即可求出答案． 【详解】解：依题意，贴纸的面积为 故答案为：． 10．如图，中，，，，将沿直线向右无滑动的滚动一次，则点C经过的路径长是 ，此时旋转过程中边扫过的面积是 ． 【答案】 【分析】利用勾股定理和含30度的直角三角形的性质求出以及相应角，再找出相应的运动路径和扫过的部分为扇形，利用弧长公式和扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， 由旋转的性质，得是以为圆心，长为半径，旋转了， 由弧长公式，得， 旋转过程中边扫过的面积是， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了弧长公式和扇形面积公式，利用线段旋转得出圆弧是解题关键． 11．弧长为的弧所对的圆心角为，求弧所在的圆的半径． 【答案】18 【分析】设弧所在的圆的半径为，由弧长公式计算即可得到答案． 【详解】解：设弧所在的圆的半径为， 由弧长公式得：， 解得：， 弧所在的圆的半径为18． 【点睛】本题主要考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 12．如图，一扇形纸扇完全打开后，和的夹角为，长为，贴纸部分的宽为．    (1)求弧的长度； (2)求纸扇上贴纸部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查弧长公式，扇形的面积等知识，解题的关键是记住弧长公式，扇形的面积公式，属于中考常考题型． （1）利用弧长公式求解即可， （2）求出两个扇形面积的差即可． 【详解】（1）解：； （2）解：，， ， ， ， 贴纸部分的面积． 13．如图所示，一根5m长的绳子，一端拴在的围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊（羊只能在草地上活动），求小羊在草地上可活动区域的面积（结果保留）．    【答案】m 【分析】本题考查了扇形的面积计算，小羊的最大活动区域是一个半径为5m、圆心角为的大扇形和一个半径为1m、圆心角为的小扇形的面积和，根据扇形的面积公式即可求得结果，解题的关键是从图中找到小羊的活动区域是由哪几个图形组成的． 【详解】解：如图所示，大扇形的圆心角是，半径是5m， 所以大扇形的面积为 m， 小扇形的圆心角是， 半径是m，则小扇形的面积为m， 所以小羊在草地上可活动区域的面积为m． 14．孙尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉瑕丁冬．”玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品，现从一块直径为8cm的圆形玉料上刻出一个如图所示圆周角为90°的最大扇形玉佩，求阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积计算以及圆周角定理，解答本题的关键根据圆周角定理由根据等腰直角三角形的性质得，然后用圆的面积减去扇形的面积即可求解．． 【详解】解：如图，连接， 由图可知，是的直径． ∵， ∴， ∴， ∴ ． 15．如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转得到，点旋转后的对应点为，点旋转后的对应点为，点旋转后的对应点为， (1)画出旋转后的，并写出点的坐标； (2)求点经过的路径的长结果保留． 【答案】(1)详见解析，点的坐标为 (2) 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出对应点，从而得到旋转后的图形，然后写出点的坐标即可； （2）先计算出的长，然后利用弧长公式计算即可； 本题考查了作图，旋转作图，坐标点，弧长公式等知识，准确作图是解题关键． 【详解】（1）如图，为所作，点的坐标为； （2）， 点经过的路径的长为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$