27.3 反比例函数的应用（9大题型提分练）数学冀教版九年级上册

第二十七章 反比例函数 27.3 反比例函数的应用（9大题型提分练） 题型一 已知比例系数求特殊图形的面积 1．已知一个反比例函数，当时，．写出这个函数的解析式．如果在它的图象上任取一点，作轴，轴，，为垂足，求矩形的面积． 2．在反比例函数的图象上有不重合的两点、，点的纵坐标为2． (1)求点的横坐标； (2)过点向轴作垂线，垂足是，试求． 3．如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数的图象交于A，B两点，轴，垂足是C．求： (1)反比例函数上的解析式； (2)的面积． 4．如图，正方的边在x轴的正半轴上，点，反比例函数的图象分别交于点E，F，已知 (1)求反比例函数的解析式． (2)连接 求的面积． 5．如图，矩形的边在x轴上，顶点A在双曲线上，顶点B在双曲线上，求矩形的面积．    题型二 根据图形面积求比例系数（解析式） 1．如图，在中，，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，，求点所在的反比例函数解析式． 2．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，若四边形的面积为5，求k的值． 3．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，且的面积为3． (1)试求的值； (2)若，点的坐标． 4．如图，已知正比例函数图像经过点和点． (1)求正比例函数的解析式及m的值； (2)过点A作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支交于点B（点B在点A下方），若的面积为10，求反比例函数的解析式． 5．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过作轴的垂线，垂足为，且的面积为1． (1)求m和k的值； (2)若点也在这个函数的图象上，当时，求y取值范围 题型三 求反比例函数解析式 1．平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和，求n的值． 2．已知与成反比例，且当时，，求： (1)与之间的函数关系式； (2)当时，的值． 3．已知面积为的三角形的一条边是，这条边上的高是． (1)求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当时，求这条边上的高． 4．世界的面食之根就在山西．如图，厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点． (1)求与之间的函数关系式； (2)求的值． 5．如图，已知的锐角顶点在反比例函数的图象上，且的面积为3，，求： (1)点的坐标； (2)函数的解析式； (3)直线的函数关系式为，求的面积？ 题型四 实际问题与反比例函数 1．用电器的电阻R、功率P和它两端的电压U之间满足如下关系：．现有甲、乙两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为，乙的电阻为．经测量发现其中一个用电器的功率是，两端电压在到之间，请通过计算说明该用电器是甲还是乙？ 2．如图所示的曲线表示温度与时间 之间的函数关系，它是一个反比例函数的图象的一支，过点 ． (1)求该曲线相应的函数表达式和自变量的取值范围； (2)若，求自变量的取值范围． 3．如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间的函数关系如图2所示． (1)求I与R之间的函数表达式； (2)求时，对应的R的取值范围． 4．某工程队修建一条村村通公路，所需天数y（单位：天）与每天修建该公路长度x（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图．    (1)求y与x之间的函数表达式（不写出自变量的取值范围）． (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路40米要比每天修建30米提前多少天完成此项工程？ 5．综合实践：自制密度秤测量液体密度． 问题情境：实验小组利用天平制作了一台密度秤．如图，支点固定不变，左侧托盘固定在点，，托盘上放置质量为的砝码；右侧托盘点在上滑动，，托盘上放置纸杯，实验时分别向杯中倒入的不同液体，滑动点，使天平保持平衡．（杠杆原理：砝码的质量杯中液体的质量．液体的质量液体的密度体积，） 问题解决： (1)设右侧托盘液体的密度为，的长为，若，求关于的函数表达式．并求出的取值范围． (2)若在纸杯中倒入的水时，滑动点，当点到达点处时，天平保持平衡：若向纸杯中倒入等体积的某种液体后，点从点向右滑动至点处，天平保持平衡．刻度显示：点处的读数正好是点处的读数的，求这种液体的密度． 题型五 反比例函数与几何综合 1．如图，在正方形中，边在轴上，，点在反比例函数的图象上，交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点的坐标和的长． 2．如图，点P是反比例函数图象上的一个动点，作轴于点H，点Q是PH的中点，设点Q的坐标为． (1)n是m的______函数，并加以说明．（填“一次”或“反比例”） (2)当时，求m的取值范围． 3．如图，点在第一象限，轴，垂足为点，，反比例函数的图象经过的中点，与相交于点，． (1)求的值； (2)连接，求的面积． 4．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，，过点作轴的垂线，垂足为． (1)求反比例函数的表达式； (2)当的面积为时，求点坐标. 5．已知点A为反比例函数图象上任意一点，连接并延长至点B，使，过点B作轴交函数图象于点C，连接．    (1)如图1，若点A的坐标为，求点B的坐标； (2)如图2，过点A作，垂足为D，若设A点坐标为，求四边形的面积． 题型六 一次函数与反比例函数图象综合判断 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求m的值与反比例函数的表达式； (2)若，观察图象，直接写出反比例函数中y的取值范围． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为    (1)求这两个函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点    (1)求这两个函数表达式； (2)根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围． 4．如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．    (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点在轴上，且的面积为，求点的坐标． 5．模具厂计划生产面积为4，周长为的矩形模具．对于的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： 建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为，由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即满足要求的应是两个函数图象在第一象限内交点的坐标．    (1)作函数图象； (2)①当反比例函数的图象与直线有唯一交点时，周长的值为__________； ②交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围． ③解决问题：若能生产出面积为4的矩形模具，则周长的取值范围为__________． 题型七 一次函数与反比例函数的交点问题 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若是轴上一点，且满足的面积是6，请求出点的坐标． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点D，与y轴交于点B，与x轴交于点C．        (1)求m的值以及点D坐标； (2)P为x轴上的一动点，的面积6时，求P点坐标． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)连接，求的面积． 4．如图，函数与的图象交于点，直线与函数的图象分别交于B，C两点．    (1)求a和b的值； (2)求的长度； (3)根据图象写出时x的取值范围（不需说明理由）． 5．已知一次函数与反比例函数 的图象交于两点． (1)①求一次函数和反比例函数的表达式； ②求的面积． (2)在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型八 一次函数与反比例函数的实际应用 1．紫外线杀菌灯的电阻随温度的变化的大致图象如图所示．通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比的函数关系．且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．    (1)当时时，求与之间的关系式． (2)紫外线杀菌灯在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过． 2．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数图像交于第一象限内的点，轴于点，． (1)求反比例函数的解析式； (2)在直线上是否存在点，使点到正比例函数直线的距离等于点到点的距离？若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数关系式： (2)直接写出关于的不等式的解集______； (3)连接、，则的面积为______． 4．通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 5．疫情防控期间，某校校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，完成1间办公室和1间教室的喷洒共需；完成2间办公室和3教室的喷洒共需． (1)该校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各需多少时间？ (2)消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：与时间（单位：的函数关系如图所示，校医进行药物喷洒时与的函数关系式为，药物喷洒完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为点．当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害，校医依次对（1）班至班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当把最后一间教室药物喷洒完成后，（1）班学生能否进入教室？请通过计算说明． 题型九 一次函数与反比例函数的其他综合应用 1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求反比例函数与一次函数的表达式： (2)过点A作轴于点C，求的面积． 2．如图，点B、是反比例函数图象上的两点，过点B的直线与x轴交于点A，轴，垂足为D，与交于点E，点B的横坐标为6． (1)求k、b的值； (2)求的面积． 3．如图，一次函数与反比例函数的图像在第二象限交于点A，且点A的横坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点B的坐标是，若点P在y轴上，，求点P的坐标． 4．如图，已知反比例函数的图象经过点．    (1)求k的值． (2)若点B在x轴上，且，则的面积为______． 5．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于，B两点， 过点 B 作 轴于点 D， ，过点 A 作轴于点C． (1)求b的值及点B 的坐标； (2)观察图象，当反比例函数的值小于一次函数的值时，直接写出x的取值范围； (3)点 P 在线段 上，连接，，若 ，求点 P 的坐标． 1．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接，若的面积是，则的值（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线与轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 3．如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（   ）    A． B． C． D． 4．某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（    ） A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为 C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 5．反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示．则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．若反比例函数 的图象经过点，则k的值是 ． 7．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，则的面积等于 ． 8．如图，是反比例函数图象上的一点，垂直于轴、垂足为，的面积为．若点也在此函数的图象上．则的值是 ．    9．如图，函数和的图象交于点，，若，则x的取值范围是 ． 10．如图，和都是等腰直角三角形，，点是正半轴上一点，点是反比例函数的图象上一点，点是AB上一点，OA与该反比例函数的图象交于点． （1）点的坐标为 ； （2）与的面积之差 ． 11．已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过120千米/时．若从A市到B市汽车的行驶里程为480千米． (1)求关于的函数表达式； (2)若汽车从上午从市出发，如果汽车在当天到之间到达市，求汽车行驶速度的范围． 12．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若为轴上一点，的面积为10，求点的坐标； (3)结合图象，关于的不等式的解集为______． 13．如图，已知点是反比例函数图象上一点，是坐标原点，轴，，且图象经过；求： (1)反比例函数解析式． (2)的值． 14．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象分别交于C，D两点，若点C坐标是． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出当x取何值时，． 15．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表： … 0 1 2 … … 2 1 0 1 2 1 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，并连线，如图所示． 结合函数图象研究函数性质，并回答下列问题： (1)点，在函数图象上，求，的值 (2)当函数值时，自变量的值为________． (3)利用图象分析关于的方程的解的具体个数，并写出对应的（为常数）的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十七章 反比例函数 27.3 反比例函数的应用（9大题型提分练） 题型一 已知比例系数求特殊图形的面积 1．已知一个反比例函数，当时，．写出这个函数的解析式．如果在它的图象上任取一点，作轴，轴，，为垂足，求矩形的面积． 【答案】8 【分析】 本题考查了反比例函数中的几何意义，设反比例函数的解析式为，把，代入即可得出的值，再根据矩形面积是个定值，即即可得出答案． 【详解】 解：设反比例函数的解析式为，把，代入，得， 矩形的面积． 2．在反比例函数的图象上有不重合的两点、，点的纵坐标为2． (1)求点的横坐标； (2)过点向轴作垂线，垂足是，试求． 【答案】(1)点的横坐标为4； (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质． （1）将点的横坐标代入求解即可； （2）设，则有，，根据三角形面积公式可得答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象上的点纵坐标为2， ∴， ∴， ∴点的横坐标为4； （2）解：设则有， ，， ∴． 3．如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数的图象交于A，B两点，轴，垂足是C．求： (1)反比例函数上的解析式； (2)的面积． 【答案】(1) (2)的面积是2 【分析】本题考查的知识点是正比例函数以及反比例函数图象上点的坐标． （1）根据题意A的纵坐标为2，代入，求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值； （2）分别求出和即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交点A的纵坐标为2， ， 解得：， 把代入，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：轴，垂足是C， ， ∵点A和点B关于原点对称， ， ∴，， ∴， 的面积是2． 4．如图，正方的边在x轴的正半轴上，点，反比例函数的图象分别交于点E，F，已知 (1)求反比例函数的解析式． (2)连接 求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】 题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，求得点的坐标是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，，而，则，可得到E点坐标为，从而确定； （2）首先求得F的坐标，然后根据，利用梯形的面积公式即可求得． 【详解】（1）解：∵正方的边在x轴的正半轴上，点， ∴，， ∵ ∴， ∴E点坐标为， ∵的图象经过点， ∴ ∴反比例函数的解析式为； （2）解：连接，作于P， ∵， 把代入，求得， ∴ ∵， ∴． 5．如图，矩形的边在x轴上，顶点A在双曲线上，顶点B在双曲线上，求矩形的面积．    【答案】矩形的面积是2 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得矩形的面积和矩形的面积，根据可得结论． 【详解】解：设，则， 由此可得：， ， 则有． 【点睛】考查反比例函数的几何意义的综合应用，通过反比例函数上一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积为． 题型二 根据图形面积求比例系数（解析式） 1．如图，在中，，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，，求点所在的反比例函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．利用反比例函数中值的几何意义，求出三角形的面积就可推导出值，写出解析式． 【详解】解：设点所在的反比例函数解析式为：， 过点作，垂足为， ，， ， ； ，且图象在第四象限， ． 点所在的反比例函数解析式为：． 2．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，若四边形的面积为5，求k的值． 【答案】8 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义得到，然后利用四边形的面积进行计算，熟练掌握图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即是解决此题的关键． 【详解】∵轴，轴，两个函数图象都在第一象限， ∴， ∴四边形的面积． 解得． 3．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，且的面积为3． (1)试求的值； (2)若，点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据三角形面积求出的值是解此题的关键． （1）根据反比例函数的几何意义可得，再结合反比例函数所在象限即可确定的值； （2）由可得点的横坐标为2，代入反比例函数求得纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 反比例函数的图象位于第一象限， ， ； （2）解：由（1）得：， 反比例函数解析式为：， ， 设， 将代入得：， ． 4．如图，已知正比例函数图像经过点和点． (1)求正比例函数的解析式及m的值； (2)过点A作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支交于点B（点B在点A下方），若的面积为10，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)正比例函数解析式为， (2) 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，反比例函数比例系数的几何意义，求正比例自变量的值： （1）先利用待定系数法求出正比例函数解析式，进而求出m的值即可； （2）延长交x轴于C，设反比例函数解析式为，先证明轴，则，再求出，则，可得，则反比例函数解析式为． 【详解】（1）解：设正比例函数解析式为， 把代入中得：，解得， ∴正比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； （2）解：延长交x轴于C，设反比例函数解析式为， ∵轴， ∴轴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为10， ∴， ∵点B在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为． 5．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过作轴的垂线，垂足为，且的面积为1． (1)求m和k的值； (2)若点也在这个函数的图象上，当时，求y取值范围 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质． （1）根据三角形的面积公式先得到的值，然后把点的坐标代入，可求出的值； （2）先分别求出和3时的值，再根据反比例函数的性质求解． 【详解】（1）解：， ，， ， ； 点的坐标为， 把代入， 解得； （2）解：当时，；当时，， 当时，的取值范围为． 题型三 求反比例函数解析式 1．平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和，求n的值． 【答案】的值为． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解关于的方程即可． 【详解】解：反比例函数的图象经过点和， ，解得， 即的值为． 2．已知与成反比例，且当时，，求： (1)与之间的函数关系式； (2)当时，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，求自变量的值： （1）根据题意，设，待定系数法求出函数解析式即可； （2）将代入（1）中解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵时，， ∴， ∴， ∴； （2）当时，则：， 解得：． 3．已知面积为的三角形的一条边是，这条边上的高是． (1)求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当时，求这条边上的高． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式可得，进而得出与的函数关系式，结合的意义确定其取值范围； （2）将代入（1）中的函数表达式求解的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得， ， ∵为三角形的边长， ∴． （2）解：当时，这条边上的高． 4．世界的面食之根就在山西．如图，厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点． (1)求与之间的函数关系式； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是反比例函数的应用，解题关键是熟练掌握反比例函数性质． （1）运用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）将代入函数关系式，求得即可． 【详解】（1）解：设，代入 （2）将代入 5．如图，已知的锐角顶点在反比例函数的图象上，且的面积为3，，求： (1)点的坐标； (2)函数的解析式； (3)直线的函数关系式为，求的面积？ 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，三角形面积的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意，由的面积可求得，即可得到的坐标； （2）因为点在反比例函数的图象上，所以根据的坐标即可求出函数解析式； （3）根据直线解析式求的坐标，得的长，从而得的长，再根据面积公式求解． 【详解】（1）解：根据题意得， （2）解：点在反比例函数的图像上 反比例函数解析式为 （3）解：当时， 解得： 题型四 实际问题与反比例函数 1．用电器的电阻R、功率P和它两端的电压U之间满足如下关系：．现有甲、乙两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为，乙的电阻为．经测量发现其中一个用电器的功率是，两端电压在到之间，请通过计算说明该用电器是甲还是乙？ 【答案】应选甲，见解析 【分析】本题考查反比例函数的应用， 根据最大电压和最小电压算出相应的电阻，从而确定电阻的取值范围，据此可得结论． 【详解】解：当时，、， 当时，， ∴说明合适的电阻应在之间， ∴应选甲． 2．如图所示的曲线表示温度与时间 之间的函数关系，它是一个反比例函数的图象的一支，过点 ． (1)求该曲线相应的函数表达式和自变量的取值范围； (2)若，求自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用： （1）利用待定系数法求出函数解析式，再根据题意求出自变量的取值方向即可； （2）根据（1）所求可得C随t增大而减小，再求出当时，，据此可得答案． 【详解】（1）解：设曲线相应的函数表达式为， 把代入中得：， 解得， ∴曲线相应的函数表达式为； （2）解：∵在中，， ∴C随t增大而减小， 当时，， ∴当时，． 3．如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间的函数关系如图2所示． (1)求I与R之间的函数表达式； (2)求时，对应的R的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式，掌握反比例函数的性质是解题的关键. （1）待定系数法求出函数解析式； （2）将代入，求得R的值，然后根据反比例函数在第一象限内的增减性即可得出结果. 【详解】（1）解：根据题意可设， 点在函数的图象上， ， 解得， 电流与电阻之间的函数表达式为； （2）当时，， ， 由函数图象可知，该函数在第一象限内随的增大而减小， 当时， 4．某工程队修建一条村村通公路，所需天数y（单位：天）与每天修建该公路长度x（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图．    (1)求y与x之间的函数表达式（不写出自变量的取值范围）． (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路40米要比每天修建30米提前多少天完成此项工程？ 【答案】(1) (2)15 【分析】（1）利用待定系数法求解即可得出与之间的函数表达式； （2）将及代入（1）中求得的解析式，求出值，作差后即可得出答案． 本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解此题的关键． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 经过点， ， ， 表达式为； （2）解：依题意，∵表达式为 ∴当时，， 当时，， （天）， 工程队提前15天完成此项工程． 5．综合实践：自制密度秤测量液体密度． 问题情境：实验小组利用天平制作了一台密度秤．如图，支点固定不变，左侧托盘固定在点，，托盘上放置质量为的砝码；右侧托盘点在上滑动，，托盘上放置纸杯，实验时分别向杯中倒入的不同液体，滑动点，使天平保持平衡．（杠杆原理：砝码的质量杯中液体的质量．液体的质量液体的密度体积，） 问题解决： (1)设右侧托盘液体的密度为，的长为，若，求关于的函数表达式．并求出的取值范围． (2)若在纸杯中倒入的水时，滑动点，当点到达点处时，天平保持平衡：若向纸杯中倒入等体积的某种液体后，点从点向右滑动至点处，天平保持平衡．刻度显示：点处的读数正好是点处的读数的，求这种液体的密度． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，根据杠杆平衡条件列出等式． （1）根据杠杆平衡条件，列出函数解析式，根据，求出的取值范围即可； （2）设点处的读数为，则点N处的读数为，根据杠杆平衡条件得出，根据，求出． 【详解】（1）解：根据杠杆平衡原理可得：， 即， ∴， ∵， ∴； （2）解：设点处的读数为，则点N处的读数为， 即，， 根据杠杆平衡条件得：， ， ∴， 即， ∵， ∴． 题型五 反比例函数与几何综合 1．如图，在正方形中，边在轴上，，点在反比例函数的图象上，交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点的坐标和的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由正方形的性质及已知，求得正方形的边长，则可求得点D的坐标，由点D在反比例函数图像上，即可求得k的值，从而确定函数解析式； （2）由（1）中所求，可得长度，即点F的横坐标，从而求得点F的纵坐标，最后求出的长． 【详解】（1）解：在正方形中，， ，． 由勾股定理得， ． ， 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ，即反比例函数的解析式为． （2）解：， ，即点的横坐标为7． 由反比例函数的解析式，得点的纵坐标为． 点的坐标为． ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质． 2．如图，点P是反比例函数图象上的一个动点，作轴于点H，点Q是PH的中点，设点Q的坐标为． (1)n是m的______函数，并加以说明．（填“一次”或“反比例”） (2)当时，求m的取值范围． 【答案】(1)反比例 (2)． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，求得是解题的关键． （1）由题意可知，代入即可得到，即可得到是的反比例函数； （2）求得时的的值，然后结合图象即可求得当时的取值范围． 【详解】（1）解：作轴于点，点是的中点，设点的坐标为， ， 点是反比例函数图象上的一个动点， ， ， 是的反比例函数， 故答案为：反比例； （2）解：当时，求得， 当时，的取值范围是． 3．如图，点在第一象限，轴，垂足为点，，反比例函数的图象经过的中点，与相交于点，． (1)求的值； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了反比例函数综合题，用到了锐角三角函数、勾股定理等知识，数形结合是解题的关键 （1）先利用求出，再利用勾股定理求出，可得到点C的坐标；求出，代入函数解析式即可得答案； （2）求出，直接利用三角形面积公式求出答案即可． 【详解】（1）解：∵轴，， ∴， ∵，点为的中点， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴，， ∵B是的中点， ∴， 将代入， ∴； （2）解：当时，， ∴， ∴， ∵． 4．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，，过点作轴的垂线，垂足为． (1)求反比例函数的表达式； (2)当的面积为时，求点坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质，三角形的面积公式，即可． （1）把点代入，即可； （2）把点代入，得：，再根据的面积为，即可． 【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点 ∴ 解得： ∴反比例函数的解析式为：． （2）∵点反比例函数上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴点． 5．已知点A为反比例函数图象上任意一点，连接并延长至点B，使，过点B作轴交函数图象于点C，连接．    (1)如图1，若点A的坐标为，求点B的坐标； (2)如图2，过点A作，垂足为D，若设A点坐标为，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查了反比函数与几何的综合问题． （1）先根据点A的坐标在反比例函数的图象上，求出点A的坐标为，再由，可得点B的坐标． （2）设，可得点B的坐标为，从而得到点D的坐标为，，分别求出和的面积，即可求解． 【详解】（1）解：将点坐标代入到反比例函数中得， ， ∴点A的坐标为． ∵，， ∴点A为的中点， ∴点B的坐标为． （2）若设A点坐标为， ∵ ∴点B的坐标为：， ∵， ∴轴， ∴点D的坐标为， ∵，且点C在反比例函数图象上， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为：． 题型六 一次函数与反比例函数图象综合判断 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求m的值与反比例函数的表达式； (2)若，观察图象，直接写出反比例函数中y的取值范围． 【答案】(1)，反比例函数的关系式为 (2) 【分析】本题考查一次函数、反比例函数的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数、反比例函数交点坐标的计算方法是正确解答的前提． （1）根据一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征确定点的坐标，进而确定反比例函数关系式； （2）根据图象以及两个函数图象的交点坐标进行判断即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与过点， ， 即， 点， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的关系式为， 答：，反比例函数的关系式为； （2）由于点，即， 当，反比例函数中的值取值范围为． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为    (1)求这两个函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，熟练地掌握待定系数法是解题的关键． （1）用待定系数法求反比例函数解析式以及一次函数解析式即可． （2）根据函数图像即可求解． 【详解】（1）解：把的坐标代入， 得， 解得， ∴反比例函数的解析式为： 把的坐标代入， 得 ∴的坐标 把，代入， 得 解得：， ∴一次函数的解析式为：． （2）∵关于的不等式的解集，即反比例函数的图像在一次函数的图像上方． ∴根据图象，关于的不等式的解集为：或． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点    (1)求这两个函数表达式； (2)根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤． （1）先用待定系数法求解反比例函数解析式，从而得出点B的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据图象，即可进行解答． 【详解】（1）∵反比例的图象过点，即， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 又∵点在函数的图象上， ∴，， ∴ 又∵一次函数过、两点， 即， 解之得， ∴一次函数的解析式为； （2）由图像可知：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值． 4．如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．    (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点在轴上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或． 【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标的特征，求出点的坐标，代入即可； （2）首先求出点的坐标为，再根据的面积为，求出，即可解决问题． 【详解】（1）把代入得：， ∴反比例函数的解析式为，   把代入得：， ∴的坐标为， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为， （2）把代入中，得， ∴点的坐标为 ∵点的纵坐标等于6， ∴， ∴， ∴点的坐标为或． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式． 5．模具厂计划生产面积为4，周长为的矩形模具．对于的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： 建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为，由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即满足要求的应是两个函数图象在第一象限内交点的坐标．    (1)作函数图象； (2)①当反比例函数的图象与直线有唯一交点时，周长的值为__________； ②交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围． ③解决问题：若能生产出面积为4的矩形模具，则周长的取值范围为__________． 【答案】(1)见解析 (2)①；②0个交点时，；2个交点时，； 1个交点时，；③ 【分析】（1）当时，；时，，则描出两点和，连接这两点，即可得； （2）①将点代入中得  ，进行计算即可得；②由①可知，0个交点时，；2个交点时，； 1个交点时，；③可得，则时，两个函数有交点，进行计算即可得． 【详解】（1）解：当时，；时，， 则描出两点和，连接这两点，作函数图象如下：    （2）解：①将点代入中得  ， 解得， 故答案为：8； ②由①可知，0个交点时，；                2个交点时，； 1个交点时，； ③可得， ∴时，两个函数有交点， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数，解题的关键是掌握函数的图象，函数的性质，二元一次方程根的判别式． 题型七 一次函数与反比例函数的交点问题 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若是轴上一点，且满足的面积是6，请求出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式是，一次函数的解析式是； (2)点的坐标为或 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点求不等式解集，坐标与图形性质，以及三角形的面积求法． （1）将坐标代入反比例函数解析式中求出的值，即可确定出反比例函数解析式；将坐标代入反比例解析式中求出的值，确定出坐标，将与坐标代入一次函数解析式中求出与的值，即可确定出一次函数解析式； （2）作轴于，根据即可求出的长，进而求出点的坐标． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ． 反比例函数的解析式是， 点在反比例函数的图象上， ， ， 一次函数的图象经过、两点， ， 解得：， 一次函数的解析式是； （2）解：如图，作轴于，则， ∵， ∴ 解得：， 点的坐标为或． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点D，与y轴交于点B，与x轴交于点C．        (1)求m的值以及点D坐标； (2)P为x轴上的一动点，的面积6时，求P点坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题． （1）把点A的坐标代入一次函数的解析式求出m，联立方程组求 D点坐标； （2）根据题意得出B ，C点的坐标，根据面积6，求得的长，设P点坐标为，故，解得或．进而得出结论． 【详解】（1）解：把点代入，得．     联立， 得． （2）易知，，， 则．     设P点坐标为，故， 解得或．     所以P点坐标为或． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为； (2) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合． （1）将代入反比例函数中，即可求得，再将代入反比例函数解析式求得，最后将点、代入一次函数中求解，即可解题． （2）根据一次函数解析式得出点D的坐标，再利用，即可求解． 【详解】（1）解：∵在上， ∴， ∴， ∴， ∵在上， ∴， ∴， ∴， ∵点A，B在上， ∴， 解得， ∴． 答：一次函数解析式为，反比例函数解析式为； （2）解：当时，， ∴， ∴， ∴ ． 4．如图，函数与的图象交于点，直线与函数的图象分别交于B，C两点．    (1)求a和b的值； (2)求的长度； (3)根据图象写出时x的取值范围（不需说明理由）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查一次函数和反比例函数交点问题，解题的关键是： （1）把代入，可求出b，把代入，可求出a； （2）分别求出B、C的纵坐标，即可求解； （3）根据A的坐标和图象得出即可． 【详解】（1）解：依题意，将代入，得． 点的坐标为． 将代入，得，即． （2）解：由（1）得． 当时，点的纵坐标为4． 当时，点的纵坐标为1． ． （3）解：当时的取值范围是． 5．已知一次函数与反比例函数 的图象交于两点． (1)①求一次函数和反比例函数的表达式； ②求的面积． (2)在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①， ；② (2)或或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题，掌握待定系数法是解题关键． （1）①将代入 可求得反比例函数的表达式为： ；进一步可得；将、代入即可求解；②设一次函数与轴交于点，可求得，根据即可求解； （2）设点，分类讨论，，，三种情况即可求解； 【详解】（1）解：①将代入 得： ， 解得：； ∴反比例函数的表达式为： ； ∴，即：； 将、代入得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为： ②设一次函数与轴交于点，如图所示： 由得； ∴ ∴ （2）解：设点， ，则， 解得：； ，则， 解得：或（舍）； ，则， 解得：； 综上所述：点P的坐标为或或 题型八 一次函数与反比例函数的实际应用 1．紫外线杀菌灯的电阻随温度的变化的大致图象如图所示．通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比的函数关系．且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．    (1)当时时，求与之间的关系式． (2)紫外线杀菌灯在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设关系为，将代入求； （2）将代入函数关系式求出的值． 【详解】（1）解：设． 过点， ． 当时，与的关系式为：； （2）将代入上式中得：，． 温度在时，电阻． 在温度达到时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加， 当时， ， 把代入， 得； 把时代入， 得； 答：当时，电阻不超过． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 2．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数图像交于第一象限内的点，轴于点，． (1)求反比例函数的解析式； (2)在直线上是否存在点，使点到正比例函数直线的距离等于点到点的距离？若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）已知正比例函数与反比例函数图像交于第一象限内的点，轴于点，，可知点的坐标，设反比例函数为，利用待定系数法即可求解； （2）设，设点到距离为，根据已知条件可知，则，，所以，即，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，，则点的纵坐标为，且点在函数， ∴，解方程得，， ∴，设反比例函数解析式为， ∴，解方程得，， ∴反比例函数解析式为． （2）解：设，设点到距离为， ∵，， ∴， ∴，， ∴，即，解方程得，，， ∴，． 【点睛】考查平面直角坐标系中点坐标和特殊角的结合应用，注意距离要加绝对值．数形结合，根据点坐标的特点，找到等量关系是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数关系式： (2)直接写出关于的不等式的解集______； (3)连接、，则的面积为______． 【答案】(1) (2)或 (3)6 【分析】（1）先求出点A的坐标，再代入反比例函数关系式，可得答案； （2）根据图象的位置，即反比例函数图象在直线上方时自变量的取值，可得答案； （3）先求出直线的关系式，进而得出点C的坐标，可知，再根据可得答案． 【详解】（1）∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴点． ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数的关系式为； （2）将不等式整理为， 当或时，． 所以不等式的解集是或． 故答案为：或； （3）当时，， ∴点． 设直线的关系式为，将点A，B代入，得 ， 解得， ∴直线的关系式为． 当时，， ∴点， ∴， 则． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数关系式，求一次函数关系式，求三角形的面积，观察图象求不等式的解集，理解由观察图象的位置确定函数值的大小是解题的关键． 4．通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，， (2)陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的实际应用： （1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的坐标； （2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得： ，解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ； （2）解：陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由如下： 设当时，的解析式为，将、代入得： ， 解得， 的解析式为， 在中，当时，， 在中，当时，， 时，注意力指标都不低于32， ∵， 陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32． 5．疫情防控期间，某校校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，完成1间办公室和1间教室的喷洒共需；完成2间办公室和3教室的喷洒共需． (1)该校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各需多少时间？ (2)消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：与时间（单位：的函数关系如图所示，校医进行药物喷洒时与的函数关系式为，药物喷洒完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为点．当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害，校医依次对（1）班至班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当把最后一间教室药物喷洒完成后，（1）班学生能否进入教室？请通过计算说明． 【答案】(1)校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和 (2)一班学生能安全进入教室，见解析 【分析】（1）设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和，根据“完成1间办公室和1间教室的喷洒共需；完成2间办公室和3教室的喷洒共需． ”，列出方程组，即可求解； （2）由（1）可得一间教室的药物喷洒时间为，则11个房间需要，从而得到点，进而得到反比函数解析式，再把代入，即可求解． 【详解】（1）解：设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和， 则， 解得， 故校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和； （2）解：一间教室的药物喷洒时间为，则11个房间需要， 当时，， ∴点， 设反比例函数表达式为：， 将点的坐标代入，解得：， 故反比例函数表达式为， 当时，， 故一班学生能安全进入教室． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的实际应用，二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 题型九 一次函数与反比例函数的其他综合应用 1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求反比例函数与一次函数的表达式： (2)过点A作轴于点C，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，用待定系数法求反比例函数以及一次函数的表达式，两点之间的距离公式． （1）用待定系数法求反比例函数以及一次函数的表达式即可； （2）先求出点C的坐标，，再求出一次函数与x轴的交点B的坐标，利用两点之间的距离就出，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数和反比例函数都过点点， ∴，， 解得：，， ∴一次函数的解析式为∶， 反比例函数的解析式为：． （2）∵，， ∴， ∴， 另，解得：， ∴， ∴， ∴． 2．如图，点B、是反比例函数图象上的两点，过点B的直线与x轴交于点A，轴，垂足为D，与交于点E，点B的横坐标为6． (1)求k、b的值； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)2 【分析】本题考查反比例函数、一次函数交点坐标以及待定系数法求函数关系式： （1）代入点C坐标求得反比例函数的关系式，再计算点B的坐标，将点B坐标代入一次函数解析式求解即可； （2）分别求出点A、D和E的坐标，由三角形的面积的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的关系式为； ∵点B的横坐标为6， ∴点B的纵坐标为4，即点， 将代入得：， 则； （2）解：∵，轴， ∴点， 由（1）可得，直线解析式为， 当时，，点， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴． 3．如图，一次函数与反比例函数的图像在第二象限交于点A，且点A的横坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点B的坐标是，若点P在y轴上，，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是掌握待定系数法． （1）首先确定点A的坐标，再利用待定系数法求出k即可； （2）设，构建方程求解． 【详解】（1）解∵一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点A，点A的横坐标为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：设， ∵， ∴， ∴， ∴P点的坐标为或． 4．如图，已知反比例函数的图象经过点．    (1)求k的值． (2)若点B在x轴上，且，则的面积为______． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）把点A坐标代入即可； （2）过A作与C，设点A的坐标为，得到，根据得到，将的面积用m，n来表示即可． 【详解】（1）解：把代入到，得 ， 解得，； （2）如图，过A作于点C，设点A的坐标为，    设点A的坐标为， ∴ ∵，， ∴， ∴的面积为， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了学生对于待定系数法，等腰三角形三线合一性质的应用和反比例函数系数k的几何意义的掌握情况．解得关键是用找到三角形面积与k之间的关系． 5．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于，B两点， 过点 B 作 轴于点 D， ，过点 A 作轴于点C． (1)求b的值及点B 的坐标； (2)观察图象，当反比例函数的值小于一次函数的值时，直接写出x的取值范围； (3)点 P 在线段 上，连接，，若 ，求点 P 的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合问题，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）根据已知条件把代入一次函数和反比例函数中，即可得出b和m 的值，再根据题意得出B点的横坐标代入反比例函数中即可得解； （2）根据反比例函数的值小于一次函数的值，得出反比例函数的图象应在一次函数的图象下方，观察图象即可得x的取值范围； （3）根据题意和（1）得出的长，设 ，求出和，再根据，得出关于t的方程，解出t的值，代入即可得出答案． 【详解】（1）解：一次函数 与反比例函数 的图象交于， 把代入一次函数和反比例函数中，得，， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为， 过点 B 作 轴于点 D， ， 点B的横坐标，代入中，得：， ； （2）解：反比例函数的值小于一次函数的值， 反比例函数的图象应在一次函数的图象下方， 观察图象可得x的取值范围为； （3）解：轴于点C，轴于点 D，，， ，， ， P是线段上的一点， 设， ， ， ， ， ， ， ， ． 1．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接，若的面积是，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的图象，连接，设与轴交点为，得到，再利用反比例函数系数的几何意义，得到，，然后根据列方程求出的值，再结合函数图象即可得到答案，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与轴交点为， ∵轴， ∴轴，， ∵点在双曲线上，点在双曲线上， ∴，， ∴， 解得， ∵双曲线分布在二、四象限， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，直线与轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，连接，得出，进而根据反比例函数的几何意义，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴， ∴， 故选：C． 3．如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比函数系数的几何意义，图形与坐标，根据长方形的性质得，，，继而得出轴，轴，根据三角形的面积及反比函数系数的几何意义得，，推出，继而得到，， ∴，再根据即可得解．求出、的长是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形，，， ∴，，， ∴轴，轴， ∵反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，、的面积分别为、，， ∴，， ∴， 解得：， ∴，，即，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴的面积为． 故选：B． 4．某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（    ） A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为 C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 【答案】C 【分析】根据图象中的数据逐项分析求解即可． 【详解】解：∵， ∴玻璃加热速度为， 故A选项不合题意； 由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴玻璃温度下降时，y与x的函数关系式是， 故B选项不合题意； ∴设玻璃温度上升时的函数表达式为， 由题可得，在正比例函数图象上， 代入点可得，， ∴玻璃温度上升时，y与x的函数关系式是， ∴将代入，得， ∴将代入，得， ∴， ∴能够对玻璃进行加工时长为， 故C选项符合题意； 将代入得，， ∴， ∴玻璃从降至室温需要的时间为， 故D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的应用，读懂函数图像，获取信息是解决本题的关键． 5．反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示．则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数的图象与性质，由反比例函数的图象可得，由一次函数的图象可得，且，可得函数过点，从而可得答案． 【详解】解：由反比例函数的图象可得，由一次函数的图象可得， 且当时，， ∴， ∵， 当时，， ∴函数过点； ∴A符合题意， 故选：A． 6．若反比例函数 的图象经过点，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，将点的坐标代入反比例函数解析式即可确定的值． 【详解】解：把已知点，代入 可得，， ∴． 故答案为：． 7．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，则的面积等于 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，理解的几何意义是解题的关键． 延长交轴于，连接、，可求，，即可求解． 【详解】解：如图，延长交轴于，连接、， 轴， ， ， ， 故答案：． 8．如图，是反比例函数图象上的一点，垂直于轴、垂足为，的面积为．若点也在此函数的图象上．则的值是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，根据反比例函数的几何意义，可得，从而得到，再将点代入解析式，即可求解． 【详解】解：点是反比例函数图象上的一点，垂直于轴， ， 的面积为． ，即， 反比例函数的解析式为， 点也在此函数的图象上， ，解得：． 故答案为： 9．如图，函数和的图象交于点，，若，则x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握函数图象法是解题关键．根据表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方即可得． 【详解】解：由图象可得： 表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方，交点的横坐标的取值范围， 则由函数图象可知，或， 故答案为：或． 10．如图，和都是等腰直角三角形，，点是正半轴上一点，点是反比例函数的图象上一点，点是AB上一点，OA与该反比例函数的图象交于点． （1）点的坐标为 ； （2）与的面积之差 ． 【答案】 8 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，求正比例函数解析式，坐标与图形，数形结合，熟练掌握待定系数法求出正比例函数解析式，是解题的关键． （1）设点A的坐标为，设直线的解析式为：，把代入得：，求出，得出直线的解析式为：，令，求出，得出点E的坐标为； （2）设点，则，得出，，根据得出m、n的关系，得出，表示出，，再求出结果即可． 【详解】解：（1）∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴轴，， ∴点A的横纵坐标相同， 设点A的坐标为，设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令， 解得：， ∵点E在第一象限， ∴舍去， ∴点E的坐标为； 故答案为：； （2）设点，则， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ， ∴ ． 故答案为：8． 11．已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过120千米/时．若从A市到B市汽车的行驶里程为480千米． (1)求关于的函数表达式； (2)若汽车从上午从市出发，如果汽车在当天到之间到达市，求汽车行驶速度的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是反比例函数在行程问题中的应用，根据时间速度和路程的关系可以求解． （1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解； （2）至时间长为小时，至时间长为6小时，将它们分别代入关于的函数表达式，即可得汽车行驶的速度范围． 【详解】（1）解：，且全程速度限定为不超过120千米/小时， ∴v关于的函数表达式为； （2）解：至时间长为小时，至时间长为6小时， 将代入得； 将代入得． ∴汽车行驶速度的范围为． 12．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若为轴上一点，的面积为10，求点的坐标； (3)结合图象，关于的不等式的解集为______． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数和一次函数的综合，三角形的面积的应用，主要考查学生的数形结合能力． （1）根据反比例函数的图象经过，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式，进而求得A的坐标，根据A、B点坐标，进而利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）设直线与x轴的交点为C，根据三角形面积求出的长，根据C的坐标即可得出P的坐标； （3）直接观察图象可得当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴， ∴反比例函数的解析式为； ∵在上， 所以， ∴A的坐标是， 把代入，得： ， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图，设直线与x轴的交点为C， 把代入得：， 解得， ∴C的坐标是， ∵P为x轴上一点，且的面积为10， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当P在负半轴上时，P的坐标是， 当P在正半轴上时，P的坐标是， 即P的坐标是或； （3）解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方， ∴关于x的不等式的解集为或． 故答案为：或． 13．如图，已知点是反比例函数图象上一点，是坐标原点，轴，，且图象经过；求： (1)反比例函数解析式． (2)的值． 【答案】(1)反比例函数解析式是； (2)． 【分析】（）设反比例函数解析式为，由点在函数图象上，，，则，从而求解； （）把代入即可求解； 本题考查了反比例函数比例系数的意义，反比例函数的图象及性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）设反比例函数解析式为， ∵过点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式是； （2）由（）得：反比例函数解析式是， ∵在图象上， ∴， 解得：． 14．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象分别交于C，D两点，若点C坐标是． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出当x取何值时，． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2) (3)或 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题： （1）把点的坐标代入反比例函数和一次函数解析式中，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式和一次函数的解析式； （2）联立方程求得的坐标，再求出点A坐标，然后根据即可求得的面积； （3）根据图象即可求得时，自变量的取值范围． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数解析式为； ∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：联立， 解得或， ， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴； （3）解：由函数图象可知当或时，． 15．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表： … 0 1 2 … … 2 1 0 1 2 1 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，并连线，如图所示． 结合函数图象研究函数性质，并回答下列问题： (1)点，在函数图象上，求，的值 (2)当函数值时，自变量的值为________． (3)利用图象分析关于的方程的解的具体个数，并写出对应的（为常数）的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用： （1）根据图象确定分段函数的解析式，将点代入函数解析式进行求解即可； （2）图象法确定自变量的值即可； （3）分四种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，当时，设函数关系式为：，把代入，得：， ∴； 当时，同法可得：， 当时，设，把，代入得：， ∴， ∴， ∴当时，，当时，，解得， ∴，； （2）由图象和表格可知，当时，； 故答案为：； （3）由图象可知：当或时，方程有1个解； 当时，方程有3个解； 当时，方程有2个解， 当时，方程无解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$