精品解析：广东省深圳市罗湖区2024-2025学年上学期九年级数学期中（第2-6章）模拟训练卷

2024−2025学年第一学期广东省深圳市罗湖区九年级数学期中（第2−6章）模拟训练卷 一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据俯视图的概念逐一判断即可得． 【详解】解：俯视图是从几何体的上面向下看得到的平面图形，该几何体的俯视图是正方形 中间有一条实线，B选项符合． 故选：B． 2. 如果，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题关键．根据题意设，，再代入化简即可． 【详解】解：， 设，， ， 故选：C． 3. 在一个不透明的布袋中，有大小、形状完全相同，颜色不同的15个球，从中摸出红球的概率为，则袋中红球的个数为（ ） A. 2 B. 5 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查随机事件概率，假设红球有x个，根据红球可能出现的情况除以总的可能情况即可，利用事件发生的概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：设有x个红球，得，解得． 故选：B． 4. 若点，，在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知函数的图象在二、四象限，由三点的横坐标可知在第二象限，，在第四象限，根据反比例函数的增减性及各象限内点的坐标特点即可解答． 【详解】解：反比例函数中， 此函数的图象在二、四象限， ，， 第二象限，，在第四象限， ，，， ，y随x的增大而增大， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查比较反比例函数值的大小，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念和根的判别式，一元二次方程有实数根应满足的条件是：二次项系数不能为0，根的判别式的值应大于或等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，且 解得且， 故选：C 6. 某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先画树状图，再根据概率公式计算即可． 【详解】设三部影片依次为A、B、C，根据题意，画树状图如下： ∴这两个年级选择的影片相同的概率为． 故选B． 【点睛】本题考查了画树状图法计算概率，熟练掌握画树状图法是解题的关键． 7. 某种品牌手机经过两次降价，每部售价由2000元降到1620元，则平均每次降价的百分率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，关于降价百分比的问题：若原数是a，每次降价的百分率为x，则第一次降价后为；第二次降价后为，即：原数降价的百分率降低后的售价． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为为， 则， 解得：，（舍去）， 故选A． 8. 在同一直角坐标系中，函数y=和y=kx﹣3图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分k＞0和k＜0两种情况讨论；当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当k＞0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限； ②当k＜0时，y=kx﹣3与y轴交点在负半轴，过二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限， 观察只有B选项符合， 故选B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，熟练掌握它们的性质才能灵活解题． 9. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在BC的延长线上取一点E，连接OE交CD于点F．已知，，则CF的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作OGCD交BC于点G，根据平行线分线段成比例定理证明BG＝CG，根据菱形的性质可得OB＝OD，则GO是△BCD的中位线，可求出BG、CG和OG的长，再求出GE的长，由CFGO可得△ECF∽△EGO，根据相似三角形的对应边成比例即可求出CF的长． 【详解】解：如图，作OGCD交BC于点G， ∵四边形ABCD是菱形，且AB＝5， ∴BC＝CD＝AB＝5，OB＝OD， ∴ ， ∴BG＝CG＝ ， ∴GO是△BCD的中位线 ∴GO＝CD＝，GOCD ∵CE＝1， ∴GE＝CG+CE＝+1＝， ∵CFGO， ∴∠ECF=∠EGO ∵∠E=∠E ∴△ECF∽△EGO， ∴ ， ∴CF＝， ∴CF的长为， 故选：D． 【点睛】此题考查菱形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点D，交线段于点C．若点C为线段的中点，的面积为，则k的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】作轴，根据k的几何意义得出，进而得出，再证明，根据相似三角形的性质得出，即可得出，，然后根据中点定义得，进而求出答案． 【详解】如图，过点A作轴，于点E，连接． 可知， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵点C是的中点， ∴， 即， 解得． 故选：D． 【点睛】这是一道反比例函数与几何图形的综合问题，考查了相似三角形的性质和判定，反比例函数中k的几何意义，求三角形的面积等．过某一点作坐标轴的垂线构造直角三角形是解决此类问题的常用方法． 二、填空题：本大题共5个小题．每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上． 11. 连续投掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币恰好是一正一反的概率是______ 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图求概率、概率公式；画树状图可得共有4种等可能的结果，其中两枚硬币恰好是一正一反有2种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中两枚硬币恰好是一正一反有2种等可能的结果， ∴两枚硬币恰好是一正一反的概率是， 故答案为：． 12. 如图，，直线、与这三条直线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，，，则DE的长为________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例，再求出DE的长即可． 【详解】， ， ，，， ， ， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例得出正确的比例式是解题的关键． 13. 如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米，若设截去小正方形的边长为x厘米，则应列出的方程为_____． 【答案】（60-2x）（40-2x）=800 【解析】 【分析】根据题意,表示出底面长方形的长和宽,根据面积是800即可解题. 【详解】解：由题可知,底面是一个长方形,长为（60-2x）厘米,宽为（40-2x）厘米, 依题意得：（60-2x）（40-2x）=800 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,表示出底面边长是解题关键. 14. 如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3米，CA＝1米，则树的高度为_____米． 【答案】6 【解析】 【分析】先判定三角形相似，然后根据相似三角形的性质列出等式，即可求出树的高度． 【详解】如图： ∵△ACD∽△ABE ∴ ∴EB=4DC=1.5×4=6米 故答案为：6 【点睛】本题考查相似三角形在求树木高度的应用，找到比例列出等式是本题关键． 15. 将正方形纸片对折，使与重合，折痕为，如图1，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为，点B的对应点为点M，交于N，如图2.则_________． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形的边长为，则由翻折的性质得到，设，则，由勾股定理求出，，则，证明，则，解得，由勾股定理得，即可得到答案． 【详解】设正方形的边长为，则由翻折的性质得到，设，则， 在中，， 则， 解得， 即， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 即， 解得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的性质、折叠的性质等知识，证明是解题的关键． 三、解答题：本大题共7个小题，共55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. 用合适的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用十字相乘法因式分解法一元二次方程即可； （2）提公因式法分解因式后解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 ∴， ∴或， 解得 17. 如图，的顶点都在网格点上，点B的坐标． （1）以点O为位似中心，把按放大在y轴的左侧，画出放大后的； （2）点A的对应点D的坐标是 ； （3） ． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查位似的知识，掌握位似的定义，性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． （1）位似中心为点O，根据位似比，连接并反向延长一倍，在y轴的左侧，即可求解； （2）根据题意求出点A的坐标，再根据位似比，即可求解； （3）由题意可知相似比为，可求出，进而得出，即可求解． 【小问1详解】 如图所示， 即为所求； 【小问2详解】 点的对应点的坐标是， 故答案为：； 【小问3详解】 由题可得， ， 又∵位似比为， ， ， 故答案为:． 18. 今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩（满分100分）进行整理（成绩得分用a表示），其中60≤a<70记为“较差”，70≤a<80记为“一般”，80≤a<90记为“良好”，90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图． 请根据统计图提供的信息，回答如下问题： （1）x=________，y=________，并将直方图补充完整； （2）已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是________，众数是________； （3）若该校共有1200人，估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数； （4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率． 【答案】（1）30%，16%，图见解析 （2）95、94 （3）192人 （4） 【解析】 【分析】（1）先求出被调查的总人数，继而可求得y、x的值； （2）将数据重新排列，再根据中位数和众数的概念求解即可； （3）用总人数乘以样本中优秀人数所占百分比即可； （4）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：被调查的总人数为4÷8%=50（人）， ∴优秀对应的百分比， 则一般对应的人数为50-（4+23+8）=15（人）， ∴其对应的百分比， 补全图形如下： 故答案为：30%，16%． 【小问2详解】 解：将这组数据重新排列为91，93，94，94，96，98，99，100， 所以其中位数为，出现次数最多的是94，故众数为94， 故答案为：95，94； 【小问3详解】 解：估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数为1200×16%=192（人）； 答：估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数为192人 ． 【小问4详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能情况，其中被抽取的2人恰好是女生的有6种结果， 所以恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率为． 【点睛】此题考查了用列表法或树状图法求概率、频数分布直方图、扇形统计图、众数、中位数、用样本估计总体等知识，数形结合与用列表法或树状图法求概率是解题的关键． 19. 如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝6m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝4m （1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影． （2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为9m，请你计算DE的长． 【答案】（1）见解析；（2）13.5m. 【解析】 【分析】（1）直接利用平行投影的性质得出答案； （2）利用同一时刻实际物体的影子与物体的高度比值相同进而得出答案． 【详解】解：（1）如图所示：EF即为所求； （2）∵AB＝6m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝4m，DE在阳光下的投影长为9m， ∴＝， 解得：DE＝13.5m， 答：DE的长为13.5m． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题法的关键是熟知平行线的性质. 20. 2023年杭州亚运会吉祥物为“宸宸”，据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“宸宸”，该工厂连续两个月增加生产量后四月份生产720个“宸宸”． （1）求平均每月的增长率是多少？ （2）已知某商店“宸宸”平均每天可销售20个，每个盈利20元，在每个降价幅度不超过8元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利700元，则每个“宸宸”应降价多少元？ 【答案】（1）平均每月的增长率是 （2）每个“宸宸”应降价元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程得实际应用． （1）设平均每月的增长率是，根据二月份共生产500个“宸宸”，该工厂连续两个月增加生产量后四月份生产720个“宸宸”，列出方程进行求解即可； （2）设每个“宸宸”应降价元，根据总利润等于单个利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 读懂题意，找准等两关系，正确得列出方程，是解题的关键． 【小问1详解】 解：设平均每月的增长率是，由题意，得：， 解得：（负值已舍掉）； 答：平均每月的增长率是； 【小问2详解】 设每个“宸宸”应降价元，由题意，得： ， 解得：或（不合题意，舍去）； 答：每个“宸宸”应降价元． 21. 如图，平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点． （1）求对应的函数表达式； （2）过点作轴交轴于点，求的面积； （3）根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）由题意先求出，然后得到点B的坐标，进而问题可求解； （2）由（1）可得以PB为底，点A到PB的距离为高，即为点A、B之间的纵坐标之差的绝对值，进而问题可求解； （3）根据函数图象可直接进行求解． 【详解】解：（1）把点代入反比例函数解析式得：， ∴， ∵点B在反比例函数图象上， ∴，解得：， ∴， 把点A、B作代入直线解析式得：，解得：， ∴； （2）由（1）可得：，， ∵轴， ∴， ∴点A到PB的距离为， ∴； （3）由（1）及图象可得：当时，x的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键． 22. 在中，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段向点B方向运动，如果点P的速度是，点O的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动（）．设运动时间为t秒，求： （1）用含t的代数式表示，； （2）当t为多少时，的长度等于？ （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】（1）CQ=2t cm，CP=(20-4t)cm，0≤t≤5； （2）2； （3）3或． 【解析】 【分析】(1)先由运动知，CQ=2tcm，CP=(20-4t)cm，再确定出0≤t≤5； (2)利用勾股定理得出，解方程，即可得出结论； (3)分①△CPQ∽△CAB和②△CPQ∽△CBA，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论． 【小问1详解】 由运动知，AP=4tcm，CQ=2tcm， AC=20cm，CP=(20-4t)cm， 点P在AC上运动， 4t≤20，即t≤5， 点Q在BC运动， 2t≤15， t≤7.5， 0≤t≤5， 故答案为：CQ=2t cm，CP=(20-4t)cm，0≤t≤5； 【小问2详解】 在Rt△PCQ中，根据勾股定理得， ， ， 解得：或(舍去)， 故答案为：2； 【小问3详解】 以点C，P，Q为顶点的三角形与相似，且∠C=∠C=90°， ∴①△CPQ∽△CAB， ， ， t=3， ②△CPQ∽△CBA， ， ， ， 即当t为3或时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似， 故答案为：3或． 【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024−2025学年第一学期广东省深圳市罗湖区九年级数学期中（第2−6章）模拟训练卷 一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，则（ ） A. B. C. D. 3. 在一个不透明的布袋中，有大小、形状完全相同，颜色不同的15个球，从中摸出红球的概率为，则袋中红球的个数为（ ） A. 2 B. 5 C. 10 D. 12 4. 若点，，在反比例函数图象上，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 某种品牌手机经过两次降价，每部售价由2000元降到1620元，则平均每次降价百分率为（ ） A. B. C. D. 8. 在同一直角坐标系中，函数y=和y=kx﹣3的图象大致是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在BC的延长线上取一点E，连接OE交CD于点F．已知，，则CF的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点D，交线段于点C．若点C为线段的中点，的面积为，则k的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 二、填空题：本大题共5个小题．每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上． 11. 连续投掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币恰好是一正一反的概率是______ 12. 如图，，直线、与这三条直线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，，，则DE的长为________． 13. 如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米，若设截去小正方形的边长为x厘米，则应列出的方程为_____． 14. 如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3米，CA＝1米，则树的高度为_____米． 15. 将正方形纸片对折，使与重合，折痕为，如图1，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为，点B的对应点为点M，交于N，如图2.则_________． 三、解答题：本大题共7个小题，共55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. 用合适的方法解下列方程： （1） （2） 17. 如图，的顶点都在网格点上，点B的坐标． （1）以点O为位似中心，把按放大在y轴的左侧，画出放大后的； （2）点A的对应点D的坐标是 ； （3） ． 18. 今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩（满分100分）进行整理（成绩得分用a表示），其中60≤a<70记为“较差”，70≤a<80记为“一般”，80≤a<90记为“良好”，90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图． 请根据统计图提供的信息，回答如下问题： （1）x=________，y=________，并将直方图补充完整； （2）已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是________，众数是________； （3）若该校共有1200人，估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数； （4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率． 19. 如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝6m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝4m （1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影． （2）在测量AB投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为9m，请你计算DE的长． 20. 2023年杭州亚运会吉祥物为“宸宸”，据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“宸宸”，该工厂连续两个月增加生产量后四月份生产720个“宸宸”． （1）求平均每月的增长率是多少？ （2）已知某商店“宸宸”平均每天可销售20个，每个盈利20元，在每个降价幅度不超过8元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利700元，则每个“宸宸”应降价多少元？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点． （1）求对应的函数表达式； （2）过点作轴交轴于点，求的面积； （3）根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集． 22. 在中，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段向点B方向运动，如果点P速度是，点O的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动（）．设运动时间为t秒，求： （1）用含t的代数式表示，； （2）当t为多少时，长度等于？ （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$