2.5一元二次方程的应用 第2课时 课件 2024-2025学年 湘教版数学九年级上册

2．5　一元二次方程的应用 第2课时 第2章　一元二次方程 基础主干落实 重点典例探析 5+2思维赋能 基础主干落实 几何图形中的面积问题 (1)一般运用_____________寻找等量关系； (2)不规则图形的面积通过___________转化为规则图形面积的和或差求解． 面积公式 割补法 判一判： 1．用长为100 cm的金属丝制作一个面积为600 cm2的矩形框子，设矩形框子的 长为x cm，根据题意，可列方程为x(50－2x)＝600.(　 　) 2.如图，已知由点P(14，1)，A(a，0)，B(0，a)确定的△PAB的面积是18，则a的 值是3.(　 　) 3．一个多边形有9条对角线，则这个多边形有6条边．(　 　) × × √ A A 32 6 重点典例探析 x(24－2x) y(24－2y) 5+2思维赋能 1．从正方形铁片上截去一部分宽为3 cm(长与正方形的边长相等)的矩形铁片，剩余部分面积为130 cm2，则原来铁片的面积为( ) A．169 cm2 B．256 cm2 C．225 cm2 D．196 cm2 2．如图．在宽为20 m，长为30 m的矩形地面上修建两条宽均为x m的小路(阴影)，余下部分作为草地，草地面积为551 m2，根据图中数据，下列方程正确的是( ) A．(30－x)(20－x)＝551 B．(30＋x)(20＋x)＝551 C．(30－x)(20－x)＋x2＝551 D．(30－x)(20－x)－x2＝551 3．矩形的长比宽多4 cm，面积为60 cm2，则它的周长为______cm. 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝7 cm，BC＝2 eq \r(2) cm，点P从点A出发沿AB以 1 cm/s的速度向点B移动，点P出发____秒后，点P，A的距离是点P，C的距离的2倍． 重点1　面积类问题(转化思想) 【典例1】(8分)(教材P51例3拓展)如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙(墙长为11米)，围成如图所示的矩形花圃． (1)如果要围成面积为40平方米的花圃，那么AD的长为多少米？ (2)能否围成面积为80平方米的花圃？若能，求出AD的长；若不能，请说明理由． 【完善解答】(1)设AD＝BC＝x米，则AB＝(24－2x)米，…………1分 依题意得：_____________＝40， 整理得：x2－12x＋20＝0，解得x1＝10，x2＝2. …………4分 当x＝10时，24－2x＝24－2×10＝4＜11，符合题意； 当x＝2时，24－2x＝24－2×2＝20>11，不合题意，舍去． 答：要围成面积为40平方米的花圃，那么AD的长为10米．…………5分 (2)不能围成面积为80平方米的花圃，理由如下： 设AD＝BC＝y米，则AB＝(24－2y)米，依题意得：_____________＝80，…………6分 整理得：y2－12y＋40＝0， ∵Δ＝(－12)2－4×1×40＝－16＜0，∴该方程没有实数根， ∴不能围成面积为80平方米的花圃．…………8分 1．如图，有一道长为25 m的墙，计划用总长为50 m的栅栏，靠墙围成由三个小长 方形组成的矩形花圃ABCD.若花圃ABCD的面积为150 m2，则AB的长为____m. 【解析】设AB＝x m，则BC＝(50－4x)m， 依题意得：x(50－4x)＝150，整理得：2x2－25x＋75＝0，解得x1＝5，x2＝ eq \f(15,2) . 当x＝5时，50－4x＝50－4×5＝30>25，不合题意，舍去； 当x＝ eq \f(15,2) 时，50－4x＝50－4× eq \f(15,2) ＝20＜25，符合题意．所以AB的长为 eq \f(15,2) m． 2．某农场要建一个饲养场(长方形ABCD)，饲养场的一面靠墙(最大可用长度为30米)，另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门(不用木栏)，建成后木栏总长57米，设饲养场(长方形ABCD)的宽CD为a米． (1)饲养场的长为____米(用含a的代数式表示)； (2)若饲养场的面积为297 m2，求该饲养场的长和宽． 【解析】(1)由已知饲养场的长为57－2a－(a－1)＋2＝60－3a； 答案：(60－3a) (2)由(1)得饲养场面积为a(60－3a)＝297， 整理得：a2－20a＋99＝0. 解得a1＝11，a2＝9. 当a＝9时，60－3a＝60－27＝33>30，不符合要求，舍去； 当a＝11时，60－3a＝60－33＝27＜30，符合要求． ∴a＝11，60－3a＝60－33＝27. 答：饲养场的长为27米，宽为11米． 3．(2022·唐山期中)如图，要建一个面积为700 m2的矩形菜园，菜园的一边靠墙(墙长22 m)，另外三边用88 m长的木板围起来，并在与墙垂直的一边上开一道2 m宽的门． (1)求菜园的长和宽； (2)在该菜园中修两条等宽的小路且小路分别与菜园的边平行，若菜地面积恰为 646 m2，求出小路的宽． 【解析】(1)设菜园与墙平行的边为x m，则菜园与墙垂直的边为 eq \f(88－x＋2,2) m， 根据题意得：x· eq \f(88－x＋2,2) ＝700，解得x＝20或x＝70， ∵墙长22 m，∴x＝20，此时 eq \f(88－x＋2,2) ＝35， 答：菜园与墙平行的边为20 m，与墙垂直的边为35 m； (2)设小路宽为t m，根据题意得： (20－t)(35－t)＝646，即t2－55t＋54＝0，解得t＝1或t＝54， 经检验，t＝54不符合题意，舍去， ∴t＝1， 答：小路的宽是1 m． 【归纳提升】 求解面积问题的方法 重点2　动点问题 【典例2】(教材P52例4巩固与提升)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么多长时间后，△PBQ的面积等于4 cm2? (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么多长时间后，PQ的长度等于5 cm? (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，△PBQ的面积能否等于8 cm2？说明理由．由此思考：△PBQ的面积最多为多少？ 【自主解答】(1)设x s后，△PBQ的面积为4 cm2，此时，AP＝x cm，BP＝(5－x) cm，BQ＝2x cm.由 eq \f(1,2) BP·BQ＝4，得 eq \f(1,2) (5－x)·2x＝4.整理，得x2－5x＋4＝0.解方程，得x1＝1，x2＝4. 当x＝4时，2x＝8>7，不合题意，舍去，则x＝1. 答：1 s后，△PBQ的面积等于4 cm2. (2)仿照(1)，由BP2＋BQ2＝52得(5－x)2＋(2x)2＝52. 整理，得x2－2x＝0，解方程，得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝2. 答：2 s后，PQ的长度等于5 cm. (3)仿照(1)得 eq \f(1,2) PB·BQ＝8，即 eq \f(1,2) (5－x)×2x＝8，x2－5x＋8＝0，∵Δ＝(－5)2－4×1×8＝－7<0，∴原方程无实数根．∴△PBQ的面积不能等于8 cm2.∵x(5－x)＝－(x－2.5)2＋6.25， ∴△PBQ的面积最多为6.25 cm2. (2022·娄底期中)如图，在矩形ABCD中，AB＝16 cm，BC＝6 cm，动点P，Q分别以3 cm/s、2 cm/s的速度从点A，C同时出发，点Q从点C向点D移动． (1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P，Q分别从点A，C同时出发，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是10 cm? (2)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P，Q分别从点A，C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试求经过多长时间△PBQ的面积为12 cm2. 【解析】(1)过点P作PE⊥CD于E.设x秒后，点P和点Q的距离是10 cm. (16－2x－3x)2＋62＝102，即(16－5x)2＝64，∴16－5x＝±8，∴x1＝ eq \f(8,5) ，x2＝ eq \f(24,5) ； ∴经过 eq \f(8,5) s或 eq \f(24,5) s，P，Q两点之间的距离是10 cm； (2)连接BQ.设经过y s后△PBQ的面积为12 cm2. ①当0≤y≤ eq \f(16,3) 时，则PB＝16－3y，∴ eq \f(1,2) PB·BC＝12，即 eq \f(1,2) ×(16－3y)×6＝12，解得y＝4； ②当 eq \f(16,3) <y≤ eq \f(22,3) 时，BP＝3y－AB＝3y－16，QC＝2y，则 eq \f(1,2) BP·CQ＝ eq \f(1,2) (3y－16)×2y＝12， 解得y1＝6，y2＝－ eq \f(2,3) (舍去)； ③当 eq \f(22,3) <y≤8时，QP＝CQ－PC＝22－y，则 eq \f(1,2) QP·CB＝ eq \f(1,2) (22－y)×6＝12，解得y＝18(舍去). 综上所述，经过4秒或6秒，△PBQ的面积为12 cm2. 【归纳提升】 动点类问题解题策略及具体方法 (数形结合、分类讨论思想) 方法： 1．当题目中有直角三角形时，常借助勾股定理建立一元二次方程． 2．当题目中涉及图形面积(体积)时，常通过图形的面积(体积)公式建立方程． 追溯 教材P53T3·边框与通道问题 提炼 解题策略 通过平移，把不规则图形转化为规则图形进行求解． (2022·南京期中)如图，要设计一幅宽20 cm，长40 cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为1∶2.如果要使得彩条之外的面积为512 cm2，求设计横彩条的宽度． 【解析】设横彩条的宽度为x cm，则竖彩条的宽度为2x cm，彩条之外的部分可合成长为 (40－2×2x) cm，宽为(20－2x) cm的矩形，依题意得：(20－2x)(40－2×2x)＝512， 整理得：(10－x)2＝64，解得x1＝18，x2＝2. 又∵20－2x>0，∴x＜10，∴x＝2. 答：设计横彩条的宽度为2 cm. $$