2.4一元二次方程根与系数的关系 课件 2024-2025学年 湘教版数学九年级上册

﹡2.4　一元二次方程根与系数的关系 第2章　一元二次方程 基础主干落实 重点典例探析 5+2思维赋能 基础主干落实 a≠0 一次项系数 二次项系数 相反 常数项 二次项 判一判： 1．若方程x2－5x－6＝0的两个根分别是x1，x2，则x1·x2的值是6.(　 　) 2．方程x2－3x＋5＝0的两根之和为3.(　 　) 3．关于x的方程x2＋(k2－4)x＋k＋1＝0的两个根互为相反数，则k值是±2. (　 　) × × × C 4 x2－3x＋2＝0(答案不唯一) 重点典例探析 A A A 3 5+2思维赋能 一元二次方程根与系数的关系(韦达定理) 一元二次方程 　　　ax2＋bx＋c＝0(_______) 　　　　　　⇓ 两个根的和等于_____________与______________的比的______数 　　　 x1＋x2＝－ eq \f(b,a) 　　　　　　⇓ 两个根的积等于__________与_________系数的比 　　　　　　⇓ 　　　 x1x2＝ eq \f(c,a) 1．若方程x2－8x＋7＝0的两个根分别是x1，x2，则x1·x2的值是( ) A．8 B．－8 C．7 D．－7 2．已知x1，x2是一元二次方程3x2－2x－5＝0的两个实数根，则x1＋x2＝___，x1·x2 ＝____． 3．一元二次方程x2＋kx－4＝0的一个根是x＝－1，则另一个根是____． 4．若关于x的一元二次方程的两个根x1，x2满足x1＋x2＝3，x1x2＝2，则这个方程是_________________________．(写出一个符合要求的方程即可) 1　利用根与系数的关系求代数式的值(代数式的恒等变形) 【典例1】(P47例1强化) 已知x1，x2是方程x2－2x＝1的两实数根．求：(1)x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＋x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) .(2) eq \f(x2,x1) ＋ eq \f(x1,x2) .(3)3x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) －4x1＋2x2. 【自主解答】(1)∵x1，x2是方程x2－2x－1＝0的两实数根，∴x1＋x2＝2，x1x2＝－1， 则x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＋x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ＝(x1＋x2)2－2x1x2＝22－2×(－1)＝6. (2) eq \f(x2,x1) ＋ eq \f(x1,x2) ＝2),\s\do1(1)) eq \f(x＋x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ,x1x2) ＝ eq \f(6,－1) ＝－6. (3)3x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) －4x1＋2x2＝3(x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) －2x1)＋2(x1＋x2)＝3×1＋2×2＝7. 1．(2021·眉山中考)已知一元二次方程x2－3x＋1＝0的两根为x1，x2，则x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) －5x1－2x2的值为( ) A．－7 B．－3 C．2 D．5 【解析】∵一元二次方程x2－3x＋1＝0的两根为x1，x2， ∴x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) －3x1＝－1，x1＋x2＝3， ∴x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) －5x1－2x2＝x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) －3x1－2(x1＋x2)＝－1－2×3＝－7. 2．(2022·邵阳质检)若a，b为一元二次方程x2－5x－1＝0的两个实数根，则2a2＋3ab＋8b－2a的值为( ) A．39 B．45 C．－35 D．－41 【解析】∵a，b为一元二次方程x2－5x－1＝0的两个实数根， ∴a2－5a－1＝0，a＋b＝5，ab＝－1， ∴a2＝5a＋1， ∴2a2＋3ab＋8b－2a＝2(5a＋1)＋3ab＋8b－2a ＝8(a＋b)＋3ab＋2＝40－3＋2＝39. 【加固训练】 已知关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若方程的两个不相等的实数根是a，b，求 eq \f(a,a＋1) － eq \f(1,b＋1) 的值． 【解析】(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝4＋4k>0，解得k>－1. ∴k的取值范围为k>－1. (2)由根与系数关系得a＋b＝－2，a·b＝－k， eq \f(a,a＋1) － eq \f(1,b＋1) ＝ eq \f(ab－1,ab＋a＋b＋1) ＝ eq \f(－k－1,－k－2＋1) ＝1. 【归纳提升】 根与系数的关系常见的六种变形 1．x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＋ x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2 )) ＝ (x1＋x2)2－2x1x2. 2. eq \f(1,x1) ＋ eq \f(1,x2) ＝ eq \f(x1＋x2,x1x2) . 3．(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2. 4．(x1＋a)(x2＋a)＝x1x2＋a(x1＋x2)＋a2. 5．x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＋x1x2＋x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ＝(x1＋x2)2－x1x2. 6．|x1－x2|＝ eq \r(（x1－x2）2) ＝ eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2) . 重点2　应用根与系数的关系确定方程中未知系数的值(方程思想) 【典例2】(教材P47例2拓展)已知关于x的一元二次方程x2＋2(m＋1)x＋m2－1＝0. (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为x1，x2，且满足(x1－x2)2＝16－2x1x2，求实数m的值． 【自主解答】(1)∵关于x的一元二次方程x2＋2(m＋1)x＋m2－1＝0有实数根， ∴Δ＝[2(m＋1)]2－4(m2－1)＝8m＋8≥0， 解得：m≥－1，∴当方程有实数根时，实数m的取值范围为m≥－1； (2)∵方程两实数根分别为x1，x2，∴x1＋x2＝－2(m＋1)，x1x2＝m2－1. ∵(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝16－2x1x2，∴[－2(m＋1)]2－4(m2－1)＝16－2(m2－1)， 整理得：m2＋4m－5＝0，解得m1＝－5，m2＝1. 又∵m≥－1，∴实数m的值为1. 1．关于x的方程x2＋2(m－1)x＋m2－m＝0有两个实数根α，β，且α2＋β2＝12，那么m的值为( ) A．－1 B．－4 C．－4或1 D．－1或4 2．(2021·仙桃中考)关于x的方程x2－2mx＋m2－m＝0有两个实数根α，β，且 eq \f(1,α) ＋ eq \f(1,β) ＝1，则m＝____. 【解析】∵关于x的方程x2－2mx＋m2－m＝0有两个实数根α，β， ∴Δ＝(－2m)2－4(m2－m)≥0， 解得m≥0，α＋β＝2m，αβ＝m2－m， ∵ eq \f(1,α) ＋ eq \f(1,β) ＝1，即 eq \f(α＋β,αβ) ＝1，∴ eq \f(2m,m2－m) ＝1， 解得m1＝0，m2＝3，经检验，m1＝0不合题意，m2＝3符合题意， ∴m＝3. 【加固训练】 (2022·长沙质检)已知关于x的一元二次方程x2－mx－3＝0. (1)求证：无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一根为3，求m的值及另一个根． 【解析】(1)∵在方程x2－mx－3＝0中，Δ＝(－m)2－4×1×(－3)＝m2＋12≥12， ∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根． (2)方法一：将x＝3代入x2－mx－3＝0中，得：9－3m－3＝0，解得m＝2， 当m＝2时，原方程为x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)＝0，解得x1＝－1，x2＝3， ∴方程的另一根为－1. 方法二：设方程的另一个根为a，则3a＝－3， 解得a＝－1，即方程的另一根为－1. 【归纳提升】 已知一元二次方程的一根求另一根及未知系数的方法 方法 情况方法 代入法 把方程的根代入,求出未知系数,再解方程求出另一根 应用根与 系数的 关系 已知一次项系数 ①利用两根之和求另一根; ②利用两根之积求常数项 已知常数项 ①利用两根之积求另一根; ②利用两根之和求一次项 特别提醒：根与系数的关系成立的前提是一元二次方程有实数根． 已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ≥0)的根，判断方程系数 根的情况 系数的值或系数之间的关系 两根互为相反数 b＝0 两根互为倒数 a＝c 一根为0 c＝0 一根为1 a＋b＋c＝0 一根为－1 a－b＋c＝0 【设题】 已知方程x2＋x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设原方程的根为x1，x2则新方程的根为2x1，2x2. 因为x1＋x2＝－1，x1·x2＝－1， 所以2x1＋2x2＝2(x1＋x2)＝2×(－1)＝－2. 2x1·2x2＝4x1x2＝4×(－1)＝－4. 所以，所求新方程为x2＋2x－4＝0. 请用阅读材料提供的方法求新方程． (1)已知方程x2＋x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为____． (2)已知一元二次方程2x2－3x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的倒数． 【解析】(1)设原方程的根为x1，x2，则新方程的根为－x1，－x2. 因为x1＋x2＝－1，x1·x2＝－2，所以－x1＋(－x2)＝－(x1＋x2)＝－1×(－1)＝1. (－x1)·(－x2)＝x1x2＝－2， 所以，所求新方程为x2－x－2＝0； 答案：x2－x－2＝0 (2)设原方程的根为x1，x2，则新方程的根为 eq \f(1,x1) ， eq \f(1,x2) ， 因为x1＋x2＝ eq \f(3,2) ，x1·x2＝－ eq \f(1,2) ，所以 eq \f(1,x1) ＋ eq \f(1,x2) ＝ eq \f(x1＋x2,x1x2) ＝ eq \f(\f(3,2),－\f(1,2)) ＝－3， eq \f(1,x1) · eq \f(1,x2) ＝ eq \f(1,x1x2) ＝ eq \f(1,－\f(1,2)) ＝－2，所以，所求新方程为x2＋3x－2＝0. $$