2.3一元二次方程根的判别式 课件 2024——2025学年湘教版数学九年级上册

2.3　一元二次方程根的判别式 第2章　一元二次方程 基础主干落实 重点典例探析 5+2思维赋能 基础主干落实 一元二次方程根的判别式 1．定义：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，记作“Δ”，即Δ＝b2－4ac. 2．与一元二次方程的根的关系 判别式 方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况 Δ>0 有两个___________的实数根: x1=____________，x2=___________ Δ=0 有两个_________的实数根:x1=x2=______ Δ<0 _________实数根  　不相等　 　相等　 　没有　 【思考】 1．一元二次方程有实数根的条件是什么？ 答：判别式Δ≥0. 2．若一元二次方程一定有两个不相等的实数根，二次项系数与常数项的关系是什么？ 答：二次项系数与常数项之积为负数． B A C ±4 重点典例探析 有两个不相等的实数根 5+2思维赋能 D D 1．一元二次方程x2－2x＋1＝0的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，则( ) A．b2－4ac>0 B．b2－4ac<0 C．b2－4ac＝0 D．b2－4ac≥0 3．不解方程，判断所给方程：①x2＋3x＋7＝0；②x2＋4＝0；③x2＋x－1＝0中．有实数根的方程是( ) A．① B．② C．③ D．均无实数根 4．若关于x的方程x2－kx＋4＝0有两个相等的实数根，则k的值为______． 重点1　根据判别式判断根的情况(拆解法) 【典例1】(2022·永州期中)已知关于x的一元二次方程x2＋kx－k－1＝0，试判断方程根的个数，且说明理由． 【自主解答】由关于x的一元二次方程x2＋kx－k－1＝0可知：Δ＝k2＋4k＋4＝(k＋2)2， 分情况讨论： 当k＝－2时，Δ＝0，方程有两个相等实根 当k≠－2时，Δ>0，方程有两个不相等的实根． 1．x的一元二次方程x2＋kx－4＝0根的情况是________________________． 【解析】Δ＝k2－4×(－4)＝k2＋16>0，所以方程有两个不相等的实数根． 2．(变问法)求证：无论k取何值，关于x的一元二次方程x2＋kx－k－1＝0总有实数根． 【证明】由题意知：Δ＝k2＋4k＋4＝(k＋2)2≥0，所以方程总有实数根． 3.(2022·岳阳期中)已知关于x的一元二次方程(x－m)2＋2(x－m)＝0(m为常数). (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． (2)若该方程有一个根为4，求m的值． 【解析】(1)(x－m)2＋2(x－m)＝0， 原方程可化为x2－(2m－2)x＋m2－2m＝0， ∵a＝1，b＝－(2m－2)，c＝m2－2m， ∴Δ＝b2－4ac＝[－(2m－2)]2－4(m2－2m)＝4>0， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． (2)将x＝4代入原方程，得：(4－m)2＋2(4－m)＝0，即m2－10m＋24＝0， 解得，m1＝4，m2＝6. 故m的值为4或6. 【归纳提升】 根的判别式与一元二次方程的根的关系 1．b2－4ac>0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根． 2．b2－4ac＝0⇔一元二次方程有两个相等的实数根． 3．b2－4ac<0⇔一元二次方程没有实数根． ②方程有实数根，则b2－4ac≥0，注意b2－4ac＝0的情况． 重点2　由一元二次方程根的情况确定字母的取值 【典例2】(P45习题T4拓展) (2022·成都期中)已知关于x的一元二次方程k2x2＋2(k－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若方程的一个实数根是2，求k的值． 【自主解答】(1)∵关于x的一元二次方程k2x2＋2(k－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ>0且k2≠0，即4(k－1)2－4k2>0，解得k＜ eq \f(1,2) 且k≠0， ∴k的取值范围为k＜ eq \f(1,2) 且k≠0； (2)∵方程的一个实数根为2， ∴4k2＋4(k－1)＋1＝0， 整理得4k2＋4k－3＝0， 解得k1＝－ eq \f(3,2) ，k2＝ eq \f(1,2) ， ∵k＜ eq \f(1,2) 且k≠0； 即k的值为－ eq \f(3,2) . 1．已知关于x的方程k2x2＋2(k－1)x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是______． 【解析】当k＝0时，方程是一元一次方程－2x＋1＝0，有实数根x＝ eq \f(1,2) ； 当k≠0时，方程有实数根的条件是： Δ＝4(k－1)2－4k2≥0解得k≤ eq \f(1,2) . 综上所述，k的取值范围是k≤ eq \f(1,2) . 2．已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2－1＝0.若该方程有两个不相等的实数根，求k的最小整数值． 【解析】∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2k＋1)2－4(k2－1)>0， 整理，得4k＋5>0，解之，得k>－ eq \f(5,4) ， ∴k的最小整数值是－1. 3．(2022·邵阳质检)已知：关于x的一元二次方程x2－3x－k＝0有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)请选择一个k的负整数值，并求出方程的根． 【解析】(1)∵一元二次方程x2－3x－k＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(－3)2－4×1×(－k)>0，解得k>－ eq \f(9,4) ； (2)(答案不唯一)当k＝－2时，方程为x2－3x＋2＝0， 因式分解得(x－1)(x－2)＝0， 解得x1＝1，x2＝2. 【归纳提升】 根的判别式的应用 1．可以直接用：不解方程，可以判断方程根的情况． 2．可以逆用：知道方程根的情况，从而确定字母系数的取值范围． 3．证明一个方程根的情况． 分类讨论思想 【解读】分类讨论思想是一种常见的数学思想方法．具体来说，就是把包含多种可能情况的问题，按照某一标准分成若干类，然后对每一类分别讨论． 【应用】没有明确是哪种方程时，需要分一次方程与二次方程来讨论确定未知系数的值． 【典例】若关于x的方程kx2－6x＋9＝0有实数根，则k的取值范围是( ) A．k<1且k≠0 B．k<1 C．k≤1且k≠0 D．k≤1 【解析】k＝0时，是一元一次方程，有实数根；k不等于0时，是一元二次方程，根据题意，Δ≥0， ∴Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4k×9≥0，解得k≤1. 【挑战】(2021·邵阳中考)在平面直角坐标系中，若直线y＝－x＋m不经过第一象限，则关于x的方程mx2＋x＋1＝0的实数根的个数为( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个 【解析】∵直线y＝－x＋m不经过第一象限， ∴m≤0， 当m＝0时，方程mx2＋x＋1＝0是一次方程，有一个根，当m＜0时， ∵关于x的方程mx2＋x＋1＝0， ∴Δ＝12－4m>0， ∴关于x的方程mx2＋x＋1＝0有两个不相等的实数根． $$