精品解析：2024-2025学年上学期九年级第一次月考数学模拟试题

2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题 一、单选题 1. 若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意，得， 解得：，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，特别注意二次项系数不等于0这个条件． 2. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：A．中未知数的指数不是2，故不是一元二次方程，不符合题意； B．中含有2个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； C．，该方程是分式方程，故本选项不合题意； D、，该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 3. 若一元二次方程的两个根是， 则 的值是（ ） A. 8 B. C. D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系的关系：是一元二次方程的两根时，，．利用根与系数的关系得，然后整体代入求解即可． 【详解】解：一元二次方程的两个根是， ∴， ∴． 故选：D． 4. 已知，点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据题意求得的值，可以解答本题． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ∴， 故选：B． 5. 函数在平面直角坐标展中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数各项系数的意义，以及对称轴是解题的关键，根据的不同情况分类讨论进行分析即可得到答案． 【详解】解：∵ 当时，函数的图象开口向上；对称轴，在轴的右侧；，图象交轴的正半轴； 故C、D不符题意； 当时，函数的图象开口向下；对称轴，在轴的左侧；，图象交轴的正半轴； 故A不符题意，B符合题意． 故选：B． 6. 已知抛物线y=-x2+1，下列结论： ①抛物线开口向上； ②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）； ③抛物线的对称轴是y轴； ④抛物线的顶点坐标是（0，1）； ⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的． 其中正确的个数有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】根据a确定抛物线开口方向；令y=0解方程得到与x轴的交点坐标；根据抛物线的对称轴、顶点坐标以及平移的性质，对各小题分析判断后即可得解． 【详解】①∵a=-1＜0，∴抛物线开口向下，故本小题错误； ②令y=0，则-x2+1=0，解得x1=1，x2=-1，所以，抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0），故本小题正确； ③抛物线的对称轴=0，是y轴，故本小题正确； ④抛物线的顶点坐标是（0，1），故本小题正确； ⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到，故本小题正确； 综上所述，正确的有②③④⑤共4个． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数图象与系数关系是关键. 7. 对于二次函数的图像，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 有最小值是3 C. 对称轴是 D. 顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质对各选项进行判断． 【详解】解：， 抛物线开口向下， 对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，有最大值3， 故说法错误，说法正确， 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数的顶点坐标是，对称轴直线，二次函数的图象具有如下性质：当时，抛物线的开口向上，时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，取得最小值，即顶点是抛物线的最低点，当时，抛物线的开口向下，时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． 8. 武清2022年投入教育经费3300万元，预计2024年投入教育经费5600万元，若每年投入教育经费的年平均增长率为x，则根据题意下列方程正确的是（ ） A. 3300(1+x)2=5600 B. 3300+3300(1+x)+1200(1+x)2=5600 C. 3300(1﹣x)2=5600 D. 3300(1+x)+3300(1+x)2=5600 【答案】A 【解析】 【分析】根据年平均增长率为x，得到一年后变为原来的（1+x），两年后变为原来的 ，可得方程3300（1+x）2=5600． 【详解】∵年平均增长率为x， ∴两年后变为原来的 ， ∴可列方程3300（1+x）2=5600． 故选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用——平均增长率问题，解决问题的关键是熟练掌握连续变化的特征，2023年投入教育经费是在2022年的基础上变化的，2024年投入教育经费是在2023年的基础上变化的． 9. 如图，四边形的两条对角线，相交于点，点在线段上，且，若．有下列结论：①的取值范围是；②的长有两个不同的值满足四边形的面积为12；③四边形面积最大值为．其中，正确结论的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解一元二次方程，二次函数的性质等知识点，利用三角形的三边关系可判定①，先表示出，再利用二次函数的性质可判定③，解的方程，可判定②，进而可得答案，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】∵ 在中，， ∴， ∴， 当时，， 此时是直角三角形且点C在线段上，不符合题目是四边形， ∴或， 故①错误，不符合题意； ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，四边形面积有最大值为， 故③正确，符合题意； 当时， 解方程得：或， ∵当时，不符合题目是四边形， ∴的长有1个值满足四边形的面积为12， 故②错误，不符合题意； 故选：B． 10. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 4 B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记，是解题的关键．根据题意得到，，再将其代入式子的变形式中计算，即可解题． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， ， ， ． 故选：C． 11. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则下列方程正确的是（　　） A. 1+x2＝91 B. （1+x）2＝91 C. 1+x+x2＝91 D. 1+（1+x）+（1+x）2＝91 【答案】C 【解析】 【分析】如果设每个支干分出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x个，小分支的数量为x⋅x=x2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91就可以列出方程． 【详解】解：依题意得支干的数量为x个， 小分支的数量为x⋅x=x2个， 根据题意可列出方程为：1+x+x2=91， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出的一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键． 12. 抛物线（）与轴交于、两点，它们的横坐标分别为、（其中），若，都有，下列说法一定正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据对于任意的，都有，可知：，且，，进而可知：时，，或时，，或时，，逐一进行判断即可．根据对于任意的，都有，得到抛物线开口向下，且与轴的两个交点都在负半轴上，是解决本题的关键． 【详解】解：由对于任意的，都有，可知：，且，， ∴时，；或时，；或时，， ∵二次函数与x轴交于、两点， ∴二次函数的对称轴为：； A、当时，当时，，当时，，选项不一定正确，不符合题意； B、当时， ∵， ∴，选项错误，不符合题意； C、当时， ∵， ∴，选项正确，不符合题意； D、当时， ∵， ∴，选项错误，不符合题意． 故选：C． 13. 已知，二次函数满足以下三个条件：①，②，③，则它的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象的对称轴等．若，根据①，判断抛物线与x轴交点情况；对于A选项，可得，与③矛盾，对于B选项，由③得：，与②矛盾，排除A、B选项；若，根据①，判断抛物线与x轴交点情况，再根据C、D选项中对称轴的位置，与y轴的交点位置，判断是否满足，即可得出答案． 【详解】解：若， 由①得：， 即， 此时抛物线开口向上，且与x轴有两个交点， 对于A选项，抛物线与y轴交于负半轴，抛物线的对称轴为， 此时，， ∴，与③矛盾，故A选项不符合题意； 对于B选项，由③得：， ∴，与②矛盾，故B选项不符合题意； 若， 由①得：， 即， 此时抛物线开口向下，且与x轴无交点， 对于C选项，抛物线与y轴交于负半轴，抛物线的对称轴为， 此时，， ∴，与③矛盾，故C选项不符合题意； 对于D选项，抛物线与y轴交于负半轴，抛物线的对称轴为， 此时，， 可能满足③， 当时，，可能满足③，故D选项符合题意； 故选：D 14. 二次函数的图象如图所示，下列结论： ①；②；③；④为任意实数，则． 其中正确的个数是（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定抛物线对称轴的位置，当与同号时，对称轴在轴左侧，当与异号时，对称轴在轴右侧；常数项决定抛物线与轴的交点． 【详解】解：抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ，， 抛物线的对称轴为直线， ， ， ，故①错误，不符合题意； ， ，故②正确，符合题意； 由图象可得，3关于直线对称的点为， 当时，，故③错误，不符合题意； 由图象可得，当时，最大， 对任意实数，有，即，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有②④，共2个， 故选：B． 15. 二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为．下列结论： ①；②；③；④；⑤关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称轴、开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、b、c与0的大小关系，然后将由对称轴可知，由图象知，另，得到，图象过代入二次函数中可得．再由二次函数图象与x轴有两个不同交点，从而可判断有两个不相同的解． 【详解】解：①由图象可知：，，， ， ，故①错误，不符合题意； ②由题意可知：， ，故②正确，符合题意； ③由图象得：当，则；故③错误，不符合题意； ④将代入， ， ， ，故④正确，符合题意； ⑤由二次函数图象与x轴有两个不同交点，从而可判断有两个不相同的解，故⑤正确，符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是正确地由图象得出a、b、c的数量关系，本题属于基础题型． 16. 如图，是抛物线形拱桥，当拱桥顶端C离水面时，水面的宽度为． 有下列结论： ①当水面宽度为时，水面下降了； ②当水面下降时，水面宽度为； ③当水面下降时，水面宽度增加了． 其中，正确的是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用——搭桥问题．根据已知条件建立适当坐标系，从而得出二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解决问题的关键． 建立直角坐标系，设坐标原点O在上，所在直线为x轴， y轴过抛物线顶点C，进而求出二次函数解析式，设水面下降到位置，当水面宽5米时，设；当水面下降时，设；当水面下降时，设；逐一代入判断，即得． 【详解】如图，建立平面直角坐标系，坐标原点O在上，所在直线为x轴， y轴过抛物线顶点C， 根据题意得，，， 由对称性知， ∴，，， 设抛物线解析式为， 代入得，， 解得，， ∴， 设水面下降到位置， 当水面宽5米时， 设， 则， ∴水面下降了，①正确； 当水面下降时， 设，则， 解得，， ∴水面宽度为，②正确； 当水面下降时， 设，则， 解得， ∴水面宽度为， ∴水面宽度增加了，③正确． 故选D． 17. 同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数，二次函数的图象与性质逐一分析两个解析式中的的符号，再判断即可. 【详解】解：选项A：由的图象可得： 由的图象可得：则 故A不符合题意； 选项B：由的图象可得： 由的图象可得：则 而抛物线的对称轴为： 则 故B不符合题意； 选项C：由的图象可得： 由的图象可得：则 故C不符合题意； 选项D：由的图象可得： 由的图象可得：则 而抛物线的对称轴为： 则 故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键. 18. 已知x1，x2是关于x的方程x2＋ax－2b＝0的两个实数根，且x1＋x2＝－2，x1·x2＝1，则ba的值是( ) A. B. － C. 4 D. －1 【答案】A 【解析】 【分析】根据根与系数的关系和已知x1+x2和x1•x2的值，可求a、b的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根， ∴x1+x2=﹣a=﹣2，x1•x2=﹣2b=1， 解得a=2，b=， ∴ba=（）2=． 故选A． 19. 如图，在中，．动点从点出发，沿线段以1单位长度/秒的速度运动，当点与点重合时，整个运动停止．以为一边向上作正方形，若设运动时间为秒，正方形与重合部分的面积为，则下列能大致反映与的函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目所给条件，分当时和当时，建立函数关系式，利用二次函数的性质，即可得到答案． 【详解】解；当时，正方形与重合部分的面积为正方形的面积， ∴， ∴此时函数图象为顶点在原点，开口向上的抛物线； 当时，设与相交于，与相交于， ， 此时正方形与重合部分的面积为正方形的面积减去三角形的面积， ∵是等腰直角三角形，， ， ， ∴， ∵， ∴二次函数的图象为开口向下的抛物线， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的解析式与图象的关系，正确列出函数关系式和判断二次函数的开口方向是解题的关键． 20. 抛物线（a，b，c为常数）开口向下且过点，（），下列结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件可判断，，据此逐项分析解题即可． 【详解】解：抛物线开口向下 把，代入得 ①，故①正确； ②，故②正确； ③，故③正确；； ④若方程有两个不相等的实数根， 即 ，故④正确，即正确结论的个数是4， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与系数a、b、c关系，涉及一元二次方程根的判别式，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键． 二、填空题 21. 若方程x2－4084441＝0的两根为±2021，则方程x2－2x－4084440＝0的两根为____． 【答案】x1＝2022，x2＝－2020 【解析】 【分析】利用配方法求解即可． 【详解】解：x2﹣2x﹣4084440＝0， x2﹣2x＝4084440， x2﹣2x+1＝4084441，即（x﹣1）2＝4084441， ∵方程x2﹣4084441＝0的两根为±2021， ∴x﹣1＝±2021， ∴x1＝2022，x2＝﹣2020． 故答案为：x1＝2022，x2＝﹣2020． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等． 22. 当______时，是二次函数． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次函数的定义列出方程与不等式，求出m的值即可． 【详解】解：根据二次函数定义可得： 解的： 故答案为：2 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题关键． 23. 把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是函数图象的平移，根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．解题的关键是掌握函数图象的平移规律． 【详解】解：把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的表达式为． 故答案为：． 24. 二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … … t m n … 且当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②二次函数与x轴两交点之间的距离为5；③；④；⑤有四个不同的根，其中，错误结论的是 _______（填序号）． 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】通过表格确定函数的对称性、函数和坐标轴的交点等基本特征，进而求解． 【详解】解：∵函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵函数的对称轴为直线， ∴抛物线与直线的交点横坐标为和3， ∴二次函数与x轴两交点之间的距离为，故②正确； 当时，， 当时，，即， ∵， ∴，整理得：， ∴，故④错误； ∵，， ∴，故③错误； ∵， ∴二次函数， ∴抛物线的最小值为， ∴函数与直线有3个交点， ∴方程有2个不同的根和2个相同的根，故⑤错误； 故答案为：①②． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，要求学生熟悉函数的基本性质，能够通过表格的数据，确定函数的对称性、函数与坐标轴的交点等基本特征，进而求解． 25. 是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是________． 【答案】 【解析】 【分析】设抛物线的关系式为，代入坐标求出的值，即可得到答案． 【详解】解：设抛物线的关系式为， 由题意可知，抛物线过点， ， 解得：， 抛物线的关系式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题关键． 26. 对于实数，定义运算“*”：，例如：．若是一元二次方程的两个根，则_________． 【答案】或 【解析】 【分析】因式分解得：，进而求得，或，，接下来结合新定义求解即可． 【详解】解：，即， 或， 所以，或，， 或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了新定义题型和因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法和理解新定义的运算法则是解题的关键． 27. 已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图像沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出二次函数与x轴相交于，先求出当经过点时m的值，再求出 与只有一个交点时m的值，即可解答． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴二次函数与x轴相交于， 当经过点时，如图： 把代入得：， 解得：， ∵将二次函数在轴上方的图像沿轴翻折到轴下方， ∴当时，， 当与只有一个交点时，方程有两个相等的实数根， 整理得：， 则，解得：， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数交点问题，解题的关键是掌握根据图象求一元二次方程解的方法． 28. 已知二次函数的图象上有两点和，则当时，二次函数的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出，代入函数的解析式即可求得二次函数的值． 【详解】解：二次函数的图象上有两点和， 、是方程的两个根， ， 当时，二次函数． 故答案：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，图象上的点坐标符合解析式是解题的关键． 29. 二次函数．当，函数值y的最大值为______，最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】结合题意画出函数图象，判断出时函数有最大值，当时，函数有最小值． 【详解】解 ：由函数解析式可得，对称轴为直线；顶点坐标为 根据题意画出图象如下： 故可得，当时函数有最大值， 当时，；当时，； 所以，当时，函数最小值为， 故答案为：， 【点睛】本题主要考查了确定函数最大（小）值的方法，正确掌握二次函数图象与性质是解答本题的关键． 30. 如图所示的二次函数的图像中，观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤，你认为其中正确信息的个数有________个． 【答案】4 【解析】 【分析】根据函数图像分别确定a、b、c的符号，进而得出x=1或-1时y的符号，然后逐个判断即可． 【详解】解：①∵图像开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴x=-= ∴3b=2a，则a= ∴b＜0， ∵图像与x轴交于y轴正半轴， ∴c＞0， ∴abc＞0，故选项①错误；选项⑤正确； ②由图像可知：当x=1时，y＜0， ∴a+b+c＜0，故②正确； ③当x=-1时，y= a+b+c＜0， ∴-b+c＞0， ∴b+2c＞0，故③正确； ④当x=-时，y＞0 ∴＞0， ∴a-2b+4c＞0，故④正确．则正确的有4个． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，确定二次函数解析式系数的符合以及确定式子的正负成为解答本题的关键． 三、解答题 31. 抛物线顶点为，且过点，求抛物线的解析式. 【答案】. 【解析】 【分析】先设为顶点式，再把顶点坐标和经过的点（1，2）代入即可. 【详解】由抛物线的顶点为，且过点， 可设抛物线为：， 把（1，2）代入得：2=a+4，解得：a=-2， 所以抛物线为：， 即. 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数的解析式及顶点坐标公式. 32. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为． （1）求m的值及抛物线的对称轴． （2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）首先把点B的坐标代入抛物线，利用待定系数法即可求得m的值，继而求得抛物线的顶点坐标； （2）首先连接交抛物线对称轴l于点P，则此时的值最小，然后利用待定系数法求得直线的解析式，继而求得答案． 【小问1详解】 解：把点B的坐标代入抛物线得：， 解得：， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：对于， 当时，， ∴点， 连接交抛物线对称轴l于点P，则此时的值最小， 设直线的解析式为：， 把点，点代入得： ，解得：． ∴直线BC的解析式为：， 当时，， ∴当的值最小时，点P的坐标为． 【点睛】此题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离最短问题．注意找到点P的位置是解此题的关键． 33. 如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（矩形ABCD），墙长为22m，这个矩形的长AB＝xm，菜园的面积为Sm2，且AB＞AD． （1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （2）若要围建的菜园为100m2时，求该菜园的长． （3）当该菜园的长为多少m时，菜园的面积最大？最大面积是多少m2？ 【答案】（1）S＝﹣x2+15x，10＜x≤22；（2）菜园的长为20m；（3）该菜园的长为15m时，菜园的面积最大，最大面积是112.5m2． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的面积公式即可得结论； （2）根据题意列一元二次方程即可求解； （3）根据二次函数的顶点式即可求解． 【详解】解：（1）由题意可知：AD＝（30﹣x） ∴S＝AB•AD ＝x×（30﹣x） ＝﹣x2+15x 自变量x的取值范围是10＜x≤22． （2）当S＝100时，﹣x2+15x＝100 解得x1＝10，x2＝20， 又10＜x≤22． ∴x＝20， 答：该菜园的长为20m． （3）∵S＝﹣x2+15x ＝﹣（x﹣15）2+ 又10＜x≤22． ∴当x＝15时，S取得最大值，最大值为112.5． 答：该菜园的长为15m时，菜园的面积最大，最大面积是112.5m2． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解决本题的关键是理解题意列出二次函数解析式和方程． 34. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点， 与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标； （2）求的面积； （3）若直线交x轴与点E，过点B作x轴的垂线，交直线与点F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段总有公共点．试探究抛物线最多可以向上平移多少个单位长度（直接写出结果，不写求解过程）． 【答案】（1），； （2）6； （3）72 【解析】 【分析】本题考查二次函数一次函数综合，掌握待定系数法是解题的关键； （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，通过对解析式进行配方能得到顶点D的坐标； （2）先求出直线解析式，进而用三角形的面积公式即可得出结论． （3）首先确定直线的解析式以及点E，F的坐标，若抛物线向上平移，首先表示出平移后的函数解析式；当时（与点E横坐标相同），求出新函数的函数值，若抛物线与线段有公共点，那么该函数值应不大于点E的纵坐标．当时（与点F的横坐标相同），方法同上，结合上述两种情况，即可得到函数图象的最大平移单位． 【小问1详解】 解：将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，得： ，解得， ∴抛物线的解析式：，顶点； 【小问2详解】 如图1， ∵抛物线的解析式：， ∴， ∵， ∴直线解析式为：， ∴直线和抛物线对称轴的交点， ∴． 【小问3详解】 如图2， ∵，， 代入直线解析式，得：， 解得：， ∴， ∴E点坐标为：， ∵， ∴时， ∴F点坐标为：， 设抛物线向上平移m个单位长度（）， 则抛物线的解析式为：； 当时，， 当时，， ∴或， ∴， ∴抛物线最多向上平移72个单位． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题 一、单选题 1. 若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（ ） A B. C. D. 2. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 若一元二次方程的两个根是， 则 的值是（ ） A. 8 B. C. D. 16 4. 已知，点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 函数在平面直角坐标展中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线y=-x2+1，下列结论： ①抛物线开口向上； ②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）； ③抛物线的对称轴是y轴； ④抛物线的顶点坐标是（0，1）； ⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的． 其中正确的个数有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 7. 对于二次函数的图像，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 有最小值是3 C. 对称轴是 D. 顶点坐标是 8. 武清2022年投入教育经费3300万元，预计2024年投入教育经费5600万元，若每年投入教育经费的年平均增长率为x，则根据题意下列方程正确的是（ ） A. 3300(1+x)2=5600 B. 3300+3300(1+x)+1200(1+x)2=5600 C. 3300(1﹣x)2=5600 D. 3300(1+x)+3300(1+x)2=5600 9. 如图，四边形的两条对角线，相交于点，点在线段上，且，若．有下列结论：①的取值范围是；②的长有两个不同的值满足四边形的面积为12；③四边形面积最大值为．其中，正确结论的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 10. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 4 B. C. 0 D. 1 11. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则下列方程正确的是（　　） A. 1+x2＝91 B. （1+x）2＝91 C. 1+x+x2＝91 D. 1+（1+x）+（1+x）2＝91 12. 抛物线（）与轴交于、两点，它们的横坐标分别为、（其中），若，都有，下列说法一定正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 13. 已知，二次函数满足以下三个条件：①，②，③，则它的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 14. 二次函数的图象如图所示，下列结论： ①；②；③；④为任意实数，则． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. 二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为．下列结论： ①；②；③；④；⑤关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 16. 如图，是抛物线形拱桥，当拱桥顶端C离水面时，水面的宽度为． 有下列结论： ①当水面宽度为时，水面下降了； ②当水面下降时，水面宽度为； ③当水面下降时，水面宽度增加了． 其中，正确的是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 17. 同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 18. 已知x1，x2是关于x的方程x2＋ax－2b＝0的两个实数根，且x1＋x2＝－2，x1·x2＝1，则ba的值是( ) A. B. － C. 4 D. －1 19. 如图，在中，．动点从点出发，沿线段以1单位长度/秒的速度运动，当点与点重合时，整个运动停止．以为一边向上作正方形，若设运动时间为秒，正方形与重合部分的面积为，则下列能大致反映与的函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 20. 抛物线（a，b，c为常数）开口向下且过点，（），下列结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题 21. 若方程x2－4084441＝0的两根为±2021，则方程x2－2x－4084440＝0的两根为____． 22. 当______时，是二次函数． 23 把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度____________________． 24. 二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … … t m n … 且当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②二次函数与x轴两交点之间的距离为5；③；④；⑤有四个不同的根，其中，错误结论的是 _______（填序号）． 25. 是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是________． 26. 对于实数，定义运算“*”：，例如：．若是一元二次方程的两个根，则_________． 27. 已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图像沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是______． 28. 已知二次函数的图象上有两点和，则当时，二次函数的值是______． 29. 二次函数．当，函数值y的最大值为______，最小值为______． 30. 如图所示的二次函数的图像中，观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤，你认为其中正确信息的个数有________个． 三、解答题 31. 抛物线顶点为，且过点，求抛物线的解析式. 32. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为． （1）求m的值及抛物线的对称轴． （2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标． 33. 如图，用一段长为30m篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（矩形ABCD），墙长为22m，这个矩形的长AB＝xm，菜园的面积为Sm2，且AB＞AD． （1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （2）若要围建的菜园为100m2时，求该菜园的长． （3）当该菜园的长为多少m时，菜园的面积最大？最大面积是多少m2？ 34. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点， 与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标； （2）求面积； （3）若直线交x轴与点E，过点B作x轴的垂线，交直线与点F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段总有公共点．试探究抛物线最多可以向上平移多少个单位长度（直接写出结果，不写求解过程）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$