16.2 线段的垂直平分线（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（冀教版）

第十六章 轴对称和中心对称 16.2 线段的垂直平分线（4大题型提分练） 题型一 线段垂直平分线的性质 1．如图，三个村庄A、B、C构成，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（    ）    A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键．到三个村的距离相等，即到三角形三个顶点的距离相等，在三角形中，只有三边垂直平分线的交点到各顶点距离相等． 【详解】解：∵在三角形中，只有三边垂直平分线的交点到各顶点距离相等， ∴供奶站应建在三条边的垂直平分线的交点处． 故选：A 2．如图，五边形是正五边形，点P在直线上运动，当点P与正五边形的至少两个顶点的距离相等时，警报器会发出警报，在直线上会发出警报的点有（    ）个．    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据正五边形的特点，结合线段垂直平分线的性质确定不同的点即可．此题主要考查了正多边形与圆，解答此题的关键是利用线段垂直平分线的性质得出． 【详解】解：如图，根据垂直平分线的性质及正五边形的性质可知，    直线上会发出警报的点有：、、、、的垂直平分线与直线的点， 分别为：，，，，共五个． 故选：C． 3．如图，有，，三个居民小区，它们的位置可连接成一个三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（    ） A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；要求到三小区的距离相等，首先思考到小区、小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段的垂直平分线上，同理到小区、小区的距离相等的点在线段的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，又因为三角形三边的垂直平分线相交于一点，所以答案可得． 【详解】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 则超市应建在三条边的垂直平分线的交点处． 故选：D． 4．综合实践课上，老师要求同学们用无刻度的直尺和圆规画出等腰三角形，两同学给出如下方案： 如图，在中，是上一点． 方案① 方案② 以点为圆心，为半径作圆弧，交于点，连接． 分别以点A和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点，作直线交于点，连接． 对于方案①和②，下列说法正确的是（    ） A．①可行，②不可行 B．①不可行，②可行 C．①和②都不可行 D．①和②都可行 【答案】D 【分析】本题考查作图−基本作图，作一条线段等于已知线段，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 方案①中，利用作一条线段等于已知线段得出等腰三角形，方案②通过垂直平分线的性质得到等腰三角形． 【详解】解：方案①以点为圆心，为半径作圆弧，交于点，连接，则，故能作等腰，方案②的尺规作图是作出了的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的任一点到线段两个端点距离相等，也可以作等腰，因此①②均可以． 故选：D． 5．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，则的周长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质， 根据线段垂直平分线上点到线段两端的距离相等，可得，，即可求解． 【详解】解：的垂直平分线交于点D， , 的垂直平分线交于点E， 的周长, 故答案为：8． 6．如图，点表示某公司三个车间的位置，现要建一个仓库，要求它到三个车间的距离相等，则仓库应建在 的交点处． 【答案】三边的垂直平分线 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等是解题的关键． 要使仓库到的距离相等，说明仓库在的三边的垂直平分线的交点处，据此即可解答． 【详解】解：∵仓库到三个车间的距离相等， ∴仓库应建在的三边的垂直平分线的交点处． 故答案为：三边的垂直平分线． 7．如图，在中，的垂直平分线交于点D，，则的周长为 ．    【答案】8 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再根据三角形周长公式推出的周长． 【详解】解；∵的垂直平分线l交于点D， ∴， ∵， ∴的周长， 故答案为：8． 8．如右图，AB比AC长3 cm，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，△ACD的周长是14 cm，则AB= cm ． 【答案】 【分析】设，根据垂直平分线的性质，得，设，通过列方程并求解，即可得到答案． 【详解】设，则 ∵BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E， ∴ 设 ∴ ∵△ACD的周长是14 cm， ∴，即 ∴，即 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直平分线、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质，从而完成求解． 9．如图，在中，是的垂直平分线，的周长为14，求的周长． 【答案】8 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 先根据是的垂直平分线，得出，再根据的周长为14可求出的长，进而得出结论． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∵的周长为14， ∴的周长． 10．如图，是的中点，过点作，交于点，，的周长为16，求的周长． 【答案】26 【分析】本题考查中垂线的性质．熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键．由题意可知，是线段的中垂线，进而得到，从而得到的周长等于的周长加上的长，即可得解． 【详解】解：是的中点，， 垂直平分， ， 的周长． 又是的中点，， ， 的周长． 题型二 线段垂直平分线的判定 1．如图，在中，已知点在上，且，下列说法正确的是（    ） A．点是的中点 B．平分 C．点在的垂直平分线上 D．点在的垂直平分线上 【答案】C 【分析】此题考查线段垂直平分线的判定：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，根据题意得到，判定点在的垂直平分线上，由此判断． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点D在线段的垂直平分线上， 故选C． 2．如图，在中，，是上的一点，O是上一点，且，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，先根据，，得出直线是线段的垂直平分线，结合垂直平分线的性质，即可作答． 【详解】解：∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴是的中点 ∴ 故选：B 3．给出下列说法：①若直线是线段的垂直平分线，则，②若，，则直线垂直平分线段；③若，则点必是线段垂直平分线上的点；④若，则经过点的直线垂直平分线段．其中错误的有几个(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查垂直平分线的相关知识，根据线段的垂直平分线的性质和判定，可得结论． 【详解】解：①若直线是线段的垂直平分线，则，，正确； ②若，，则直线垂直平分线段，正确； ③若，则点必是线段垂直平分线上的点，正确； ④若，则点一定在线段的垂直平分线上，但不一定经过点的直线垂直平分线段，错误． 故选：A． 4．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．则下列说法正确的是（    ）    A． B．直线是的垂直平分线 C．若，则直线是的垂直平分线 D．若，则直线是的垂直平分线 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，则点P在直线的垂直平分线上，若有，则直线是的垂直平分线，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴点P在直线的垂直平分线上， ∴若，则直线是的垂直平分线，故C说法正确，符合题意 根据先有条件无法证明A、B、D中的结论，故A、B、D说法错误，不符合题意； 故选：C． 5．如图，在 中，，，， ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，根据题意可得垂直平分，则由线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， 故答案为：． 6．如图，点C、D是线段外的两点，且，，若，，则的面积为 ． 【答案】5 【分析】此题考查垂直平分线的判定及四边形的面积，关键是熟练掌握垂直平分线的判定．根据线段垂直平分线的判定得出是线段的垂直平分线，再求解即可． 【详解】解：，， ∴点C，点D在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线， ， 故答案为：5 7．如图所示的仪器中，．小州把这个仪器放在直线l上，使点落在直线l上，作直线，则，其中蕴含的道理是 【答案】到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定即可求解，相关基本内容要牢固掌握，灵活运用是正确解答本题的关键． 【详解】 解：， 点在线段的垂直平分线上， ， 点在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线， ， 其中蕴含的道理为：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， 故答案为：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 8．风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为 ． 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键．利用线段垂直平分线的判定定理判定垂直平分，再利用即可求解． 【详解】解：设与交于点， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：2700． 9．已知：如图，在中，的垂直平分线、相交于点P． 求证：点P在的垂直平分线上． 【答案】证明过程见详解． 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的判定和性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 连接，根据线段垂直平分线的性质得到，，得到，根据线段垂直平分线的判定定理证明结论． 【详解】 证明：连接， 是的垂直平分线， ， 是的垂直平分线， ， ， ∴点P在的垂直平分线上． 10．如图，平面上的四边形是一个“风筝”的骨架，其中． (1)九年级王云同学观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形的两条对角线，垂足为，并且，你同意王云同学的判断吗？请说明理由． (2)设对角线，请用含的式子表示四边形的面积． 【答案】(1)同意王云同学的说法，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟知到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键． （1）根据题意可得 垂直平分，则，，由此可得结论； （2）根据即可得到答案． 【详解】（1）解：同意王云同学的说法，理由如下： ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴同意王云同学的说法； （2）解：∵，， ∴ ． 题型三 作已知线段的垂直平分线 1．如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（    ） A．，两边垂直平分线的交点处 B．，两边中线的交点处 C．，两边高线的交点处 D．，两内角平分线的交点处 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线性质定理是解题的关键． 【详解】解：A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等， ∴文化广场应建在，两边垂直平分线的交点处， 故选：A． 2．已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据即，只需作线段的垂直平分线即可． 本题考查了线段的垂直平分线的基本作图，熟练掌握作图是解题的关键． 【详解】解：根据题意，即，只需作线段的垂直平分线即可． 故选B． 3．如图，在足球场内有三个运动员，现准备在足球场内放一个足球，使它到三个运动员的距离相等，则足球应放在（    ） A．两边高线的交点处 B．两边中线的交点处 C．两边垂直平分线的交点处 D．两内角平分线的交点处 【答案】C 【分析】本题考查中垂线的判定，根据足球到三个运动员的距离相等，即点到线段的两端点相等，得到足球所在的位置是三条边的中垂线的交点，即可．熟练掌握到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：足球所在的位置是三条边的中垂线的交点， 即：应放在两边垂直平分线的交点处； 故选C． 4．某市为了进一步完善城市功能，提升城市形象，加强体育事业的发展，准备修建一个大型体育中心，要求该体育中心所在位置与该市的三个城镇中心（图中以P，Q，R表示）的距离相等，则体育中心的位置应选在（    ） A．三边的垂直平分线的交点处 B．的三条角平分线的交点处 C．的三条高线的交点处 D．的三条中线的交点处 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的应用，根据线段垂直平分线的性质即可求解，熟练掌握线段垂直平分线到两端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：三角形三边的垂直平分线到三个顶点的距离相等， 体育中心的位置应选在三边的垂直平分线的交点处， 故选A． 5．三名同学在玩抢凳子游戏，他们分别站在一个三角形三个顶点处，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的 ． 【答案】三边垂直平分线交点 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；根据三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等可得答案． 【详解】解：依题意，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三边垂直平分线交点， 故答案为：三边垂直平分线交点． 6．如图，中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，若，则的周长为 cm． 【答案】12 【分析】根据垂直平分线的性质得边相等，由结合三角形的周长公式即可得求得．解题的关键是利用垂直平分线的性质． 【详解】解：∵边的垂直平分线交边于点D，边的垂直平分线交边于点E， ∴，， ∵， ∴的周长 ＝12， 故答案为：12． 7．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交边于点，连接，则的周长为 ． 【答案】17 【分析】本题主要考查的是垂直平分线的运用，由题意可得为的垂直平分线，所以，进一步可以求出的周长． 【详解】解：∵在中，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，． ∴为的垂直平分线， ， 的周长为：． 故答案为：17． 8．风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2000多年的历史．如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为 ． 【答案】2000 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，证明垂直平分，分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：∵，， ∴点在线段的中垂线上， ∴， 设交于点，则：， ∴制作这个风筝需要的布料至少为； 故答案为：2000． 9．如图，在中，已知，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查垂直平分线，角的知识，解题的关键是掌握垂直平分线的尺规作图，角的运算，即可． 【详解】以点，为圆心，大于的长度为半径，圆弧交点为，，连接与的交点即为点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．如图所示，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶，M，N分别是位于公路两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，汽车到村庄M，N的距离相等． 【答案】见解析 【分析】连接，作线段的垂直平分线交公路于点C，则点C即为所求． 【详解】解：如图所示，点C即为汽车到村庄M，N距离相等的位置． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的实际应用，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 题型四 作垂线(尺规作图) 1．下列关于过点A作直线l的垂线的尺规作图中，作法不正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查尺规作图—基本作图，掌握五种基本作图是解题的关键． 【详解】由基本作图可知，选项A、C、D中所作直线均满足题意，只有B选项不确定， 故选B． 2．如图，已知线段，小蒲利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A，B为圆心，以a为半径作弧，两弧相交于C，D两点；②作直线．直线就是线段的垂直平分线．则a的值可能是（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据作图方法和步骤，即可解答． 【详解】解：根据尺规作图—作垂直平分线的步骤可得：， ∵， ∴， ∴a的值可能是6， 故选：A． 3．如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长是（   ） A．13 B．11 C．8 D．6.5 【答案】C 【分析】本题考查作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质．由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得，即可得出答案． 【详解】解：由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段的垂直平分线， ， ， ， ， 的周长为． 故选：C． 4．如图，C，E是直线l两侧的点，以点C为圆心，的长为半径画弧交直线l于A，B两点，再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，连接，交直线l于点F，则下列结论不一定正确的是（     ） A． B．直线l C． D．平分线段 【答案】A 【分析】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．根据作图信息，一一判断即可． 【详解】解：由作图可知， 垂直平分线段，故D选项是正确的 ∴，故B选项是正确的； ∴，故C选项是正确的； 则不一定正确的是 故选：A 5．如图，已知线段．按下列步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点．观察图形，请写出图中线段之间的一个等量关系 ． 【答案】 【分析】本题考查垂直平分线的尺规作图，根据作图的方法得垂直平分，即可得到答案． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， 故答案为：． 6．如图，已知线段．，其垂直平分线的作法如下： （1）分别以点A和点B为圆心，长为半径画弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线． 上述作法中b满足的条件为b 1． 【答案】 【分析】本题考查线段的垂直平分线尺规作图法．作图方法为以，为圆心，大于长度画弧交于，两点．据此求解即可． 【详解】解：， 半径长度， 即． 故答案为：． 7．如图，在中，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于，两点，作直线，分别交线段，于点，，若，的周长为，则的周长为 ． 【答案】32 【分析】本题主要考查了基本作图，熟练掌握作图是解题的关键．根据题意得到垂直平分，利用等量代换即可得到答案． 【详解】解：由题意得垂直平分， ， 的周长为， ， ， 即， ． 故答案为：32． 8．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图，作中垂线及三角形的周长；根据题中尺规作图可知是线段的中垂线，从而，则的周长为即可得到答案． 【详解】解：在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，交于点，连接， 是线段的中垂线， ， ， ，， 的周长为． 故答案为：． 9．振兴家乡，人人有责：宁夏西吉县将来要在公路m旁建两座大学A和B，为了交通方便，应在公路旁修建一个车站P使其到两所大学的距离相等，请你利用所学知识在图上设计出这点P．（尺规作图，保留作图痕迹） 【答案】画图见解析 【分析】本题考查作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，连接．根据“到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”知，点P应是线段的垂直平分线与直线m的交点，再作线段的垂直平分线即可． 【详解】解：如图所示，点P是的垂直平分线与直线m的交点． ． 10．如图，在中，作边的垂直平分线，与，分别相交于点D，E； 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作线段的垂直平分线；根据尺规作线段的垂直平分线的步骤进行作图即可． 【详解】解：边的垂直平分线如图所示． 1．在三角形内，到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（    ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直分线的性质解答即可． 【详解】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等， ∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是两条边的垂直平分线的交点． 故选：D． 2．如图，在中，，的垂直平分线交于，连接，若的周长为27，则的长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，据此可得，再根据三角形周长计算公式推出，据此可得答案． 【详解】解：∵的垂直平分线交于， ∴， ∵的周长为27， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．小明说：“直线是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断正确的是（    ）    A．小明说的对 B．小亮说的对，可添条件为“” C．小亮说的对，可添条件为“” D．两人说的都不对 【答案】C 【分析】根据选项结合已知得出，从而得到，即可求出最终结果； 本题主要考查垂直平分线的知识，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键． 【详解】解：可添条件为才能说：直线是的垂直平分线 证明如下： 在和中 ， 直线是的垂直平分线 故选：C． 4．如图，在四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，下列结论：①；②；③；④四边形的面积等于．其中正确的有（    ）个    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意可知垂直平分，可得①②正确；然后根据三角形的面积公式计算四边形的面积可得③正确． 【详解】解：∵， ∴点D、B在的垂直平分线上，即垂直平分， ∴，①③正确； 无法得到,②错误; ∵ ， ∴③正确； 综上，正确的有①③④,共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定，三角形的面积计算，熟知到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上是解题的关键． 5．已知：直线及外一点．如图求作：经过点，且垂直的直线，作法：①以点为圆心，适当的长为半径画弧，交直线于点．②分别以点为圆心，适当的长为半径，在直线的另一侧画弧，两弧交于点．③过点作直线．直线即为所求．在作法过程中，出现了两次“适当的长”，对于这两次“适当的长”，下列理解正确的是（　　）    A．这两个适当的长相等 B．①中“适当的长”指大于点到直线的距离 C．②中“适当的长”指大于线段的长 D．②中“适当的长”指大于点到直线的距离 【答案】B 【分析】根据尺规作图-作线段中垂线的方法及步骤理解即可得到答案． 【详解】解：由题意可知①中“适当的长”指大于点到直线的距离； ②中“适当的长”指大于线段的长的一半， 四个选项说法中，只有B选项正确， 故选：B． 【点睛】本题考查尺规作图-作线段中垂线的方法及步骤，熟练掌握尺规作图-作线段中垂线的方法及步骤是解决问题的关键． 6．在中，，，点到的距离是，到的距离是，则等于 【答案】2或10 【分析】根据可判断点都在的垂直平分线上，然后分两种情况讨论：①当点在的内部时，②当点O在的外部时，分别计算即可． 【详解】解：∵， ∴点都在的垂直平分线上， 由题意知，分两种情况： ①当点在的内部时，； ②当点O在的外部时，； 故答案为：2或10． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的基本性质．解本题的关键在于分类讨论． 7．如图是小明绘制的“箭在弦上”的简笔画，已知箭杆垂直平分，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质解答即可． 【详解】解：因为垂直平分，所以． 故答案为：5． 8．如图，在中，，，，是的垂直平分线，是直线上的任意一点，则的最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小的问题，根据中垂线的性质，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 是的垂直平分线，点直线上的任意一点， ∴， ∴， ∴的最小值即为的长为． ∴的最小值为． 故答案为：． 9．如图，已知，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线分别交、于点、，连接，若，的周长为，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图，基本作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握五种基本作图方法，是解答本题的关键． 由作图得：垂直平分，故，，然后利用等线段代换计算的周长，由此得到答案． 【详解】解：由作图得： 垂直平分， ，， 的周长为， ， ， 即， 的周长是： ， 故答案为：． 10．如图，已知线段，其垂直平分线的作法如下： 第一步：分别以点A和点B为圆心、长为半径作圆弧，两弧相交于点C和点D； 第二步：作直线． 上述作法中a满足的条件为a 2． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图-作已知线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的做法即可求解． 【详解】解：由题意， ∵， ∴． 故答案为： 11．如图，的垂直平分线交于点D，交于点E，的周长是14，，求的周长． 【答案】22 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 根据的周长是14，可得，再由线段垂直平分线的性质定理，可得，，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵的周长是14， ， ∵是的垂直平分线， ， ， ， ∴的周长． 12．如图，，，，相交于点 E．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查垂直平分线的判定，根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上可得P，Q在的中垂线上，然后根据两点确定一条直线即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴P在的中垂线上． ∵， ∴Q在的中垂线上， ∴． 13．如图，小河边有两个村庄，要在河边建一自来水厂向村与村供水．    (1)若要使自来水厂到两村的距离相等，则应选择在哪儿建厂？请在图①中画出，并用点表示； (2)若要使自来水厂到两村的水管最省料，则应选择在哪儿建厂？请在图②中画出，并用点表示． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）欲求到A、B两地的距离相等，即作出的垂直平分线与的交点即可，交点即为厂址所在位置； （2）利用轴对称求最短路线的方法得出A点关于直线的对称点，再连接交于点，即可得出答案． 【详解】（1）如图①，连接，作的垂直平分线交于点，点即为建厂的位置．    （2）如图②，画出点关于河岸的对称点，连接交于点，点即为建厂的位置． 【点睛】本题考查了学生对线段中垂线的作法，应用设计与作图以及轴对称求最短路径，对到两点距离相等问题的掌握和得出A点对称点是解题的关键． 14．如图所示，由每一个边长均为在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画的小正方形构成的正方形网格中，的顶点，，均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图．（保留必要的画图痕迹） (1)在直线上找一点，使得点到点，C的距离相等． (2)在图中找一点，使得 ． (3)在（1）（2）小题的基础上，请在上确定一点，使得两线段，的长度之和最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计，线段的垂直平分线的性质，轴对称最短问题等知识； （1）取格点，，作直线交于点，点即为所求． （2）三边垂直平分线的交点，即为所求． （3）作点关于直线的对称点，连接交于点，点即为所求． 【详解】解；如图，点即为所求． （3）解；如图，点即为所求． 15．如图1，是李倩同学过直线外一点A 作直线l的垂线的尺规作图过程，步骤如下： 第一步：以直线上任一点 为圆心，线段的长为半径画弧； 第二步：以直线上异于点B 的任一点C为圆心，线段 的长为半径画弧，两弧交于点A，点 D； 第三步：连接，则． (1)连接 ， 后，李倩同学做的第一步和第二步的目的是使 ， ，从而得到点 B，C 在线段的垂直平分线上，得到上述结论的依据是 ； (2)如图2，已知，请按照李倩的作法用圆规和无刻度的直尺作出DE 边上的高． 【答案】(1)；；到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． (2)见解析. 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质定理的逆定理， （1）根据作法和到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可得出答案； （2）模仿题干的作法即可按要求作图. 【详解】（1）解：根据作法可知：，，从而得到点 B，C 在线段的垂直平分线上，得到上述结论的依据是线段的垂直平分线的性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． （2）如图：即所求作高； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 轴对称和中心对称 16.2 线段的垂直平分线（4大题型提分练） 题型一 线段垂直平分线的性质 1．如图，三个村庄A、B、C构成，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（    ）    A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 2．如图，五边形是正五边形，点P在直线上运动，当点P与正五边形的至少两个顶点的距离相等时，警报器会发出警报，在直线上会发出警报的点有（    ）个．    A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，有，，三个居民小区，它们的位置可连接成一个三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（    ） A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 4．综合实践课上，老师要求同学们用无刻度的直尺和圆规画出等腰三角形，两同学给出如下方案： 如图，在中，是上一点． 方案① 方案② 以点为圆心，为半径作圆弧，交于点，连接． 分别以点A和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点，作直线交于点，连接． 对于方案①和②，下列说法正确的是（    ） A．①可行，②不可行 B．①不可行，②可行 C．①和②都不可行 D．①和②都可行 5．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，则的周长为 ． 6．如图，点表示某公司三个车间的位置，现要建一个仓库，要求它到三个车间的距离相等，则仓库应建在 的交点处． 7．如图，在中，的垂直平分线交于点D，，则的周长为 ．    8．如右图，AB比AC长3 cm，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，△ACD的周长是14 cm，则AB= cm ． 9．如图，在中，是的垂直平分线，的周长为14，求的周长． 10．如图，是的中点，过点作，交于点，，的周长为16，求的周长． 题型二 线段垂直平分线的判定 1．如图，在中，已知点在上，且，下列说法正确的是（    ） A．点是的中点 B．平分 C．点在的垂直平分线上 D．点在的垂直平分线上 2．如图，在中，，是上的一点，O是上一点，且，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．给出下列说法：①若直线是线段的垂直平分线，则，②若，，则直线垂直平分线段；③若，则点必是线段垂直平分线上的点；④若，则经过点的直线垂直平分线段．其中错误的有几个(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．则下列说法正确的是（    ）    A． B．直线是的垂直平分线 C．若，则直线是的垂直平分线 D．若，则直线是的垂直平分线 5．如图，在 中，，，， ． 6．如图，点C、D是线段外的两点，且，，若，，则的面积为 ． 7．如图所示的仪器中，．小州把这个仪器放在直线l上，使点落在直线l上，作直线，则，其中蕴含的道理是 8．风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为 ． 9．已知：如图，在中，的垂直平分线、相交于点P． 求证：点P在的垂直平分线上． 10．如图，平面上的四边形是一个“风筝”的骨架，其中． (1)九年级王云同学观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形的两条对角线，垂足为，并且，你同意王云同学的判断吗？请说明理由． (2)设对角线，请用含的式子表示四边形的面积． 题型三 作已知线段的垂直平分线 1．如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（    ） A．，两边垂直平分线的交点处 B．，两边中线的交点处 C．，两边高线的交点处 D．，两内角平分线的交点处 2．已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在足球场内有三个运动员，现准备在足球场内放一个足球，使它到三个运动员的距离相等，则足球应放在（    ） A．两边高线的交点处 B．两边中线的交点处 C．两边垂直平分线的交点处 D．两内角平分线的交点处 4．某市为了进一步完善城市功能，提升城市形象，加强体育事业的发展，准备修建一个大型体育中心，要求该体育中心所在位置与该市的三个城镇中心（图中以P，Q，R表示）的距离相等，则体育中心的位置应选在（    ） A．三边的垂直平分线的交点处 B．的三条角平分线的交点处 C．的三条高线的交点处 D．的三条中线的交点处 5．三名同学在玩抢凳子游戏，他们分别站在一个三角形三个顶点处，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的 ． 6．如图，中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，若，则的周长为 cm． 7．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交边于点，连接，则的周长为 ． 8．风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2000多年的历史．如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为 ． 9．如图，在中，已知，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 10．如图所示，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶，M，N分别是位于公路两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，汽车到村庄M，N的距离相等． 题型四 作垂线(尺规作图) 1．下列关于过点A作直线l的垂线的尺规作图中，作法不正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．如图，已知线段，小蒲利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A，B为圆心，以a为半径作弧，两弧相交于C，D两点；②作直线．直线就是线段的垂直平分线．则a的值可能是（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 3．如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长是（   ） A．13 B．11 C．8 D．6.5 4．如图，C，E是直线l两侧的点，以点C为圆心，的长为半径画弧交直线l于A，B两点，再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，连接，交直线l于点F，则下列结论不一定正确的是（     ） A． B．直线l C． D．平分线段 5．如图，已知线段．按下列步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点．观察图形，请写出图中线段之间的一个等量关系 ． 6．如图，已知线段．，其垂直平分线的作法如下： （1）分别以点A和点B为圆心，长为半径画弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线． 上述作法中b满足的条件为b 1． 7．如图，在中，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于，两点，作直线，分别交线段，于点，，若，的周长为，则的周长为 ． 8．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为 ． 9．振兴家乡，人人有责：宁夏西吉县将来要在公路m旁建两座大学A和B，为了交通方便，应在公路旁修建一个车站P使其到两所大学的距离相等，请你利用所学知识在图上设计出这点P．（尺规作图，保留作图痕迹） 10．如图，在中，作边的垂直平分线，与，分别相交于点D，E； 1．在三角形内，到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（    ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 2．如图，在中，，的垂直平分线交于，连接，若的周长为27，则的长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 3．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．小明说：“直线是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断正确的是（    ）    A．小明说的对 B．小亮说的对，可添条件为“” C．小亮说的对，可添条件为“” D．两人说的都不对 4．如图，在四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，下列结论：①；②；③；④四边形的面积等于．其中正确的有（    ）个    A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知：直线及外一点．如图求作：经过点，且垂直的直线，作法：①以点为圆心，适当的长为半径画弧，交直线于点．②分别以点为圆心，适当的长为半径，在直线的另一侧画弧，两弧交于点．③过点作直线．直线即为所求．在作法过程中，出现了两次“适当的长”，对于这两次“适当的长”，下列理解正确的是（　　）    A．这两个适当的长相等 B．①中“适当的长”指大于点到直线的距离 C．②中“适当的长”指大于线段的长 D．②中“适当的长”指大于点到直线的距离 6．在中，，，点到的距离是，到的距离是，则等于 7．如图是小明绘制的“箭在弦上”的简笔画，已知箭杆垂直平分，，则的长为 ． 8．如图，在中，，，，是的垂直平分线，是直线上的任意一点，则的最小值是 ． 9．如图，已知，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线分别交、于点、，连接，若，的周长为，则的周长是 ． 10．如图，已知线段，其垂直平分线的作法如下： 第一步：分别以点A和点B为圆心、长为半径作圆弧，两弧相交于点C和点D； 第二步：作直线． 上述作法中a满足的条件为a 2． 11．如图，的垂直平分线交于点D，交于点E，的周长是14，，求的周长． 12．如图，，，，相交于点 E．求证：． 13．如图，小河边有两个村庄，要在河边建一自来水厂向村与村供水．    (1)若要使自来水厂到两村的距离相等，则应选择在哪儿建厂？请在图①中画出，并用点表示； (2)若要使自来水厂到两村的水管最省料，则应选择在哪儿建厂？请在图②中画出，并用点表示． 14．如图所示，由每一个边长均为在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画的小正方形构成的正方形网格中，的顶点，，均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图．（保留必要的画图痕迹） (1)在直线上找一点，使得点到点，C的距离相等． (2)在图中找一点，使得 ． (3)在（1）（2）小题的基础上，请在上确定一点，使得两线段，的长度之和最小． 15．如图1，是李倩同学过直线外一点A 作直线l的垂线的尺规作图过程，步骤如下： 第一步：以直线上任一点 为圆心，线段的长为半径画弧； 第二步：以直线上异于点B 的任一点C为圆心，线段 的长为半径画弧，两弧交于点A，点 D； 第三步：连接，则． (1)连接 ， 后，李倩同学做的第一步和第二步的目的是使 ， ，从而得到点 B，C 在线段的垂直平分线上，得到上述结论的依据是 ； (2)如图2，已知，请按照李倩的作法用圆规和无刻度的直尺作出DE 边上的高． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$