重庆市第一中学校2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷

【考试时间：10月26日8：00-10：00】 数学试题卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上 2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1.已知集合A=|x|0<<I0,xeZ,B=|xIEZ,x∈A川，则C,B= A.11,4,91 B.11,2,3 C.14,5,6,7,8,91 D.|2,3,5,6,7,81 2复数：名：是屋骏单位)，则 A.-1+3i B.-1-3i C.-1-i D.-1+i 3.下列函数是奇函数，且在(0，+∞)上单调递增的是 A千 B.y=tanx C=x+sinx D y=In*1 x+1 4.日常生活中的饮用水是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨 5284 水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为c(x)=00 (80<x<100),则净化到纯净度为99% 左右时净化费用的变化率大约是净化到纯净度为90%左右时净化费用变化率的 A.10倍 25倍 C.50倍 ·00倍 5.已知向量a,T,c满足：|b1=|al=1,(c-2a)·a=0,则|c-b的最小值是 A.I B.2 C.2 D.3 6已知数列la.帽足：4=1，=2，足*54=2S+hsa≥2.1eN),则a A.22 B3 C.4 1D.4/2 7关于x的方程2n年=in4eas年3aos4善在-红.上依(）个实数根 AI B.) D.7 数学·第1页7共4里) ■▣ 8已知Be-受，0,3sin(T-a)+eos(a-)n(m+g)=sin(B-)cog,则lana的最小值是 B.、3 D.、 4 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项 是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列说法正确的有 A.若等差数列{an}的前E项和为S。,则S,S6,S,也成等差数列 B.数列{(a+1)}(a∈R)可能是等比数列，也可能是等差数列 C.若等比数列{a.}满足：a2a%+a1ay=4,则%ama.=±82 D.若等差数列{an}的前n项和为Sn,S20,S13<0,则Sn的最大值是S6 10.已知函数f(x)=x+2-n(x),下列说法正确的是 A.当k=-1时，f(x)在区间(，-1)闪陌唯一零点 B.当0时，*)在点(3，爪)处的切线斜率为号 C.当k=1时，若f代x1)=f八x2)(:≠2)，则x4株2>2 D.当k≠0时，=上总是f八x)的极值点 1.已知函数)=sin+到(o>0)在0，m上有且仅有3个零点，则 A.代x)的图象向左平移必须超过云个单位才可能使其关于y轴对称 B)在区问俘，乳)上有可能单调递蜡 C(x)在[0，π]上有3条对称轴 D.cosw<0、 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知点A(1,0),点B(-3,1),向量元=(k,5),若A店∥元，则实数k的值是 1B.在△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A=石，a=1,c=5,则csC= 14:在分形艺术中会有下面的操作：将一长度为1的线段均分为三段，去掉中间一段，记为第1次操 作：路剩下的线段分别又均分为三段，并各自去掉中间一段，记为第2次操作；…，每次操作 都在上一次操作的基础上，将剩下的线段分别均分为三段，同样各自去掉中间的一段；操作过程 不断进行下去.设第n次操作去掉的线段总长为D.,若k,=mD。,则数列{k,}中取值最大的项为 第 项 口口 数学·第2页（共4页） 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知数列|a,满足：a=2a,+1,a,=1,数列1b,的前n项和为S,且2S。=n2+log2(a+1). (1)求数列|an|,bn|的通项公式： ba.3 (2）记c.6bn,0.+1D 数列1c,的前n项和为，若<宁+-1)对-切a后N”恒成立， 求实数t的取值范围. 16.(本小题满分5分) 连续抛掷一枚质地均匀的骰子n(n∈N')次，第(k≤n,k∈N~)次抛掷落地时朝上的点数记为 a,且a4∈11,2,3,4,5,6， (1)记事件A为“a,+a2≤5”，t件B为“ta,-a2l=3,求P(BA): (2)若n=4,记事件C为“a,≤a(i=l,2,3)",求P(C). 17.(本小题满分15分) 如图，在平面四边形ABCD巾，LACD=受，若E是AD上一点，CD=CB,MC=mM (1)证明：cos2艺AD6+sin∠ACE=0: (2)若AB=1,BC=8,∠ACE=君 ①求m的值： ②求BD的最大值 败学·第3页（共4到） 18.(本小题满分17分) x2 y2 已知0为坐标原点，双曲线C:。=1(a>0,b>0)的焦距是实轴长的5倍，过C上一点P作 C的两条渐近线的平行线，分别交y轴于S,T两点，且|OS|·|0T1=4. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过双曲线C的右焦点F的直线L,与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点，点Q是线段 AB的中点，过点F且与l垂直的直线2交直线OQ于点M,点N满足M=Mi+M店，求四边形 MANB面积的最小值. 19.（本小题满分17分) 已知函数代x)=ln ()证明影当o1时，)>1 (2)若f八1+x)+sinx-aw≤0恒成立，求实数a的值； ()证明：血恤血古恤点2h得如，n2,eN n+1 n-1 数学·第4页（共4页)■口□■□□□ 数学参考答案 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 题号 答案 E 【解析】 $. A=1,2,3,4.5,6,7.8,9.B=(2,3,5.6,7,8,B=.49,故选$A 2. z=1-1,则z2-2--1-3i,故选B. 3. A选项函数是偶函数;B,D选项函数由其定义域可知不是在(0,+co)上的单增函数;C选 项函数符合题意,单调性可用导数研究可得,故选C 5284 4. 由题意,可知净化所需费用的瞬时变化率为c'(x)-5284x[-(100-x)*}x(-1)]= (100-) 以净化到纯净度为99%左右时净化费用的变化率,大约是净化到纯净度为90%左右时净化 费用变化率的100倍,故选D. 5. 根据题意结合向量的模,数量积运算的几何意义,作如图 1几何构造,故选A. 6. 5..-2- 0(1)_- 0, 0-(02- 图1 7. 2sinH-snux4x-$0(-)- 作图如图2,故选D. 圈2 数学参考答案·第1页(共8页) 扫描全能王 创建 ■□□□□□ 知1是/()一个单调增区间。 (2#57)_[#1# ,故正确;C选项,由y=sint 的图象可知,f(x)在[0,]可以仅两条对称轴,故错误;D选项,由前述2<<10,可 3 知cos<0正确,故选ABD. 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 12 13 题号 答案 -20 【解析】 12. 由向量的坐标运算易得k--20. 14. 由题可知-#,-×-(1)#,-2””1)#,=2”×} #一”)有此知,~-),所以,D()因 为Rk.--(n()“-()-(2)[(-]-2)#(++)4 +4n+2=0,解得n=2+\6,n=2-\6(舍),由此可知:当n<4时,k-$>0 当n5时,k..一.<0,故.的取值最大.答案为:5. 四、解答题(共77分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 扫描全能王 创建 ■□□■□□□ 知[1]是/(x)一个单调增区间.( (”)[] ,故正确:C选项,由y=sint 的图象可知,f(x)在[0.x]可以仅两条对称轴,故错误:D选项,由前述_<10.可 知cos①<0正确,故选ABD 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 题号 2 13 14 答案 -20 【解析】 12. 由向量的坐标运算易得k--20. 14. 由题可知DD-×-),D.-””,D.,-2” -”)此可知D,---().所以-D-(),因 _→-(+D()”-(2)-()[(-]-()(-+4+2)令 +4n+2-0,解得n=2+6,=2-6(舍),由此可知:当n<4时,k.-k0 当n三5时,k..一k.<0,故k.的取值最大.答案为:5 四、解答题(共77分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分) 解:(1)由a..=2a.+1,可得:a..+1=2(a.+1). 又a-1,所以(a.+1)是以2为首项,2为公比的等比数列 '.a.+1-2”,即a.=2”-1. ....................................................分) 又2S.=n}+log(a.+1), 即2s.-n?+n. nnn-1)+n-1)-n 故当n→2时,.-S.-S.- #-$-11-1满足上武. 故b=n. ..................................分乡. 数学参考答案·第3页(共8页) 扫描全能王 创建 1. b+{(,1) (n+1)(n+2)2”(n+1)2” (n+2)2”' (8分) 于是T,-)4((+2) 显然(7)单调递增,而当n→+o0时,7.→#,即T.<. ............1.分) 即r+t-2>0,解得:1或t<-2, 故实数:的取值范围为1或<-2 ....................1.... 16.(本小题满分15分) 解:(1)连续抛掷毂子2次,事件A包含的结果为:(1,1),(1.2),(1,3); (1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2).(4,1),共10种 事件AB包含的结果为:(1,4),(4,1)共2种 ...................................................... (6分) (2)事件C包含了以下4种情况 ①抛掷4次出现的点数相同,有6种可能; ②抛掷4次出现的点数有2个数字,有3xC2=45种; ③抛掷4次出现的点数有3个数字,有3xC=60种; ④抛掷4次出现的点数有4个数字,有C:=15种 故P(C)= 6+45+60+157 ............................................... 72 (15分) 17.(本小题满分15分) (1)证明:在△CDE中,.:CD-CE,:.CED-乙ADC 故DCE=π-2乙ADC. 故cos2乙ADC+sin乙ACE=0 .................. 中.(。u) 扫描全能王 创建 ■□□■□□□ 4E4C 故在△4CE中,由正弦定理可得: -_>AC-3AE, sin 乙ACE sin AEC 故m-3. ......................................................分) (3)解:设乙ABC=6 在△ABC中,AC?=AB{}+BC*-2AB·BC·cosθ-10-6c os$ 由(1)(2)可知:△CDE是等边三角形,E是AD的中点:AC=3AE=3CD 在△BCD中,BD}=BC*+CD*-2BC.CD·cos BCD .................................... (12分) 在△ABC中,由正弦定理得: sinf sin) singsin乙ACB AC= 10-6cos9 ..................... 3 18.(本小题满分17分) 解:(1)P(xo),则-一1,即-_##-6- 则不妨取80. )o--×)r(0. o+×) 扫描全能王 创建 ■□□■□口□ 于是1os10 %-+6l --64 又c=5a,且a}+b2-c2 可得:a2-1,c2-5. ...................分) (2)设直线.的方程为:x=my+5(m0),A(x,),B(x,y),O(×,y) x-my+V5. 联立方程 可得(4m}-1)y2+85my+16-0(*), =320\m}-64(4m}-1)-64m}+64 0,4m}-10 85n +y=-- 且 4m2-1 16” 1= 4m-1' 故-245m .............................. 4-#=+5--_5 (8分) 2 47n2-1 由于直线1与双曲线的左右两支相交,所以方程(*)有两个同号的实根 由o,M三点共线得:%--4m①, xx ###)# 由①②解得: ................................................. (10分) 由MN-MA+MB可知,四边形MANB是平行四边形, 所以Swg=2SMua=dM-: IAB, #m①# AB1-V1+m1y--1+2},81+ 8(+1) 14m2-1114m-11 扫描全能王 创建 .............................. (14分) 14-1| 5(4-1) 4/ (+5) 令(=4n*-1,m441. 4 令/()-(+) (: 3(+5)}·r-2r·(+5)'(+5)}(-10) 则/'()= 71 所以/()在(0,10)上单调递减,在10,+co)上单调递增 ....(17分) 19.(本小题满分17分) (1)证明:令g(x)-1nx-(1-),则g(x)--1. 当x>1时,g’(x)>0,g(x)在(1,+o)上单调递增 故g(x)>g(1)=0,即/(x)>1-1. ..............................分). 1+x 由于h(0)=0,且h(x)<0,故x=0是h(x)的一个极大值 h'(0)-2-a-0 从而a-2. ..................................................................... (5分) 下证:ln(1+x)+sinx-2x<0恒成立 ①当xE(-1.0)时. 故(x)>(0)-0 从而(x)在(-1.0)上单调递增,(x)<qx(0)=0: ②当x[0,+oo)时。(x)<0,则(x)在[0,+go)上单调递减,所以(x)<(0)=0 扫描全能王 创建 _ ■□□■口□□ (3)证明:由(2)可知;sinx<2x一ln(1+x),当且仪当x=0时取等号, ##sin<22-#(1#+)# 当>2时; 21 )1n-1n_1n“2 -ln2. +1 为2 2-12-272.1n1-271n第1. -ln 2n-2+n 2n-3 n-1 “n-2 1-1“ -- 令_ -2= 当n2时,3,xE(1,2; 故即证1-1<1nxxe(1,2], 由(1)知该不等式成立. 综上,sin-+sin-+sin-1.+sin1<2ln 2n-1-n2,n>2,neN'. & n十1 n十2 2n-1 n-1 ...................................................... (17分) 扫描全能王 创建