第二十七章 相似（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（安徽专用,人教版）

第二十七章 相似（单元培优卷 人教版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列图形中不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 2．若线段，，则（   ） A． B．4 C． D． 3．如果地图上两地的图距是，表示实际距离为，那么在地图上图距是的两地，实际距离是（    ）． A． B． C． D． 4．如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，直线、、分别与直线、交于点、、、、、．已知直线，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上，下列选项中的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知与是相似比为的位似图形，点O为位似中心，若内一点与内一点是一对对应点，则点的值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，四边形四边形，，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 9．如图，四边形中，，如果，那么的值是（    ） A． B． C． D． 10．《墨经》最早述及的小孔成像，是世界上最早的关于光学问题的论述，如图是小孔成像原理示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像的长是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．已知四个数，，，成比例，且，，，那么的值为 ． 12．如图，点是内一点，过点分别作直线平行于的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是，和，则的面积是 ． 13．中，点D、E分别在边、上，且，如果平分的面积，那么 ． 14．两个相似三角形的相似比为，它们的周长之差为15，则周长之和是 ． 15．如图，直线，若，，，那么的长为 ． 16．如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离．旗杆高度为 m． 17．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的周长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的周长为 ． 18．如图，在中，，点D是的中点，点E以的速度沿着的方向运动，运动到点A后停止，当与相似时，运动时间是 秒． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。 19．（5分）如图，在中，为边上一点，，，，求证：． 20．（5分）如图，已知，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F.如果，，求的长． 21．（6分）如图，在中，，点在上，于点． (1)求证：； (2)，且，求的长． 22．（6分）小明在学习了相似以后，尝试用平面镜的反射原理测学校小广场旗杆的高度，如图，是旗杆，是水平地面，M是平放地面的一面平面镜，是眼睛到地面的距离，调整和M的位置，通过镜面反射（法线地面，），当眼睛A正好在平面镜中看到旗杆顶端C时，测出，，． (1)求旗杆的高度（精确到） (2)为了减少误差，请提出一个合理化的建议． 23．（6分）（1）若，则___________； （2）若，则___________； （3）若，则___________． 24．（6分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边、上画点、，连结，使，且． (2)在图②中，分别在边、上画点、，连结，使，且． (3)在图③中画出，点、分别在边、上，且与的位似比为． 25．（7分）如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 26．（7分）一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件如图，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)若E 、F是中点 求四边形的面积； (2)如果把它加工成矩形零件，且，求该矩形面积． 27．（8分）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示： (1)在图中画出沿x轴翻折后的； (2)以点为位似中心，在第一象限画出与位似的三角形，使与的相似比为； (3)点的坐标___________；与的周长比是___________，与的面积比是___________． 28．（10分）如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距18米，路灯的高度比路灯的高度低1米．夜晚，身高为1.6米的小明以1米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为t秒．当行走3秒时，他走到了P处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点B）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)若小明身高是影子与的比例中项，求此时t的值． (3)有言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长 （用含t的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的！请直接写出小明在路灯下的影子的顶端N在地面上移动的速度为   米/秒． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十七章 相似（单元培优卷 人教版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列图形中不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、是位似图形，故本选项不符合题意； 、是位似图形，故本选项不符合题意； 、是位似图形，故本选项不符合题意； 、不是位似图形，故本选项符合题意； 故选：． 2．若线段，，则（   ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【详解】解：， ∴， 故选：A． 3．如果地图上两地的图距是，表示实际距离为，那么在地图上图距是的两地，实际距离是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：设在地图上图距是的两地，实际距离是， 根据题意得，解得， 故选：C． 4．如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ， 选项，选项，选项都可判定， 而选项中成比例的边不是夹这两个角的边，所以不能判定相似， 故选：． 5．如图，直线、、分别与直线、交于点、、、、、．已知直线，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：直线，，， ， 故选：A． 6．如图，在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上，下列选项中的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据勾股定理可知： ， 三边比为： 根据格点图及勾股定理知 A．三角形的三边比为：，故本选项不符合题意； B．三角形的三边比为：，故本选项不符合题意； C．三角形的三边比为：，故本选项符合题意； D．三角形的三边比为：，故本选项不符合题意； 故选择：C 7．如图，已知与是相似比为的位似图形，点O为位似中心，若内一点与内一点是一对对应点，则点的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵与是相似比为的位似图形， ∴， 又∵内一点与内一点是一对对应点，关于原点对称， ∴， 故选：B． 8．如图，四边形四边形，，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形四边形，， ∴， ∵，， ∴， 故选：D 9．如图，四边形中，，如果，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10．《墨经》最早述及的小孔成像，是世界上最早的关于光学问题的论述，如图是小孔成像原理示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图过O作直线，交于F， 则， 依题意， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵分别是它们的高， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．已知四个数，，，成比例，且，，，那么的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵四个数，，，成比例，且，，， ∴， 即， 解得， 故答案为： 12．如图，点是内一点，过点分别作直线平行于的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是，和，则的面积是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，由题意可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积分别为， ∴对应边的比为， ∵四边形，四边形是平行四边形， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为： ． 13．中，点D、E分别在边、上，且，如果平分的面积，那么 ． 【答案】 【详解】解：如图，平分的面积， ， ， ， ， 即， 故答案为：． 14．两个相似三角形的相似比为，它们的周长之差为15，则周长之和是 ． 【答案】75 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴这两个相似三角形的周长比为， ∵它们的周长之差为15， ∴它们的周长之和为， 故答案为：75． 15．如图，直线，若，，，那么的长为 ． 【答案】5 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5． 16．如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离．旗杆高度为 m． 【答案】8 【详解】解：如图所示，作， 由图可知，，， ． 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， ． ，，， ． ． 故答案为：8． 17．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的周长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的周长为 ． 【答案】8 【详解】解：正方形与四边形是位似图形， 四边形是正方形， 正方形的边长为，， ， 四边形的周长为， 故答案为：8． 18．如图，在中，，点D是的中点，点E以的速度沿着的方向运动，运动到点A后停止，当与相似时，运动时间是 秒． 【答案】或 【详解】解：∵， ∴． ∵点D是的中点， ∴． ∵与有一个公共角， ∴与相似有2种情况． 当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴运动时间是秒； 当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴运动时间是秒； 故答案为：或． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。 19．（5分）如图，在中，为边上一点，，，，求证：． 【答案】答案见解析 【详解】证明：∵，，， ∴，， ∴． ∵， ∴． 20．（5分）如图，已知，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F.如果，，求的长． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．（6分）如图，在中，，点在上，于点． (1)求证：； (2)，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：于点，， ， ， ； （2）解：， ， ，，， ， ． 22．（6分）小明在学习了相似以后，尝试用平面镜的反射原理测学校小广场旗杆的高度，如图，是旗杆，是水平地面，M是平放地面的一面平面镜，是眼睛到地面的距离，调整和M的位置，通过镜面反射（法线地面，），当眼睛A正好在平面镜中看到旗杆顶端C时，测出，，． (1)求旗杆的高度（精确到） (2)为了减少误差，请提出一个合理化的建议． 【答案】(1)旗杆的高度为； (2)多次测量，求平均值（答案不唯一） 【详解】（1）解：，， ． ， ， ， ， ； 答：旗杆的高度为； （2）解：多次测量，求平均值（答案不唯一）． 23．（6分）（1）若，则___________； （2）若，则___________； （3）若，则___________． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【详解】（1）∵， ∴； 故答案为：． （2）∵， ∴， ∴， 故答案为：． （3）∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 24．（6分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边、上画点、，连结，使，且． (2)在图②中，分别在边、上画点、，连结，使，且． (3)在图③中画出，点、分别在边、上，且与的位似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求； 25．（7分）如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 26．（7分）一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件如图，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)若E 、F是中点 求四边形的面积； (2)如果把它加工成矩形零件，且，求该矩形面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：E 、F是中点， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 四边形为矩形， ， ， ， 是三角形的高， ，即 ， ， 可得方程， 解得， ， 矩形的面积为． 27．（8分）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示： (1)在图中画出沿x轴翻折后的； (2)以点为位似中心，在第一象限画出与位似的三角形，使与的相似比为； (3)点的坐标___________；与的周长比是___________，与的面积比是___________． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)，， 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）由图可知，， ∵翻折， ∴， ∵与的相似比为 ∴与的相似比为， ∴与的周长比是，与的面积比是； 故答案为：，，． 28．（10分）如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距18米，路灯的高度比路灯的高度低1米．夜晚，身高为1.6米的小明以1米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为t秒．当行走3秒时，他走到了P处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点B）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)若小明身高是影子与的比例中项，求此时t的值． (3)有言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长 （用含t的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的！请直接写出小明在路灯下的影子的顶端N在地面上移动的速度为   米/秒． 【答案】(1)米 (2)4或14 (3)①；② 【详解】（1）解：由题意得米，米，米， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：路灯的高度为米； （2）由题意可知：， ∵， ∴， 设，则有， 解得： ， ∵， ∴， 设，则有， 解得， ∵是影子与的比例中项， ∴，即， 化简得：， 解得：，， ∴t的值为：4或14； （3）①∵， ， ∴， ②如图设O是小明在路灯下影子的起止位置，小明由B到P则影子有O到B，影子交于点G， 有（1）得， ， ， ， ， ， 移动的速度为（米/秒） 故答案为：①；②． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$