2.1一元二次方程 课件 2024-2025学年 湘教版数学九年级上册

2.1一元二次方程 第2章　一元二次方程 基础主干落实 重点典例探析 5+2思维赋能 基础主干落实 一元二次方程： 1．定义：通过整理可以使右边为0，左边是只含有_________未知数的_________ 多项式的方程． 2．一般形式： 一个 二次 【连一连】 【小题快练】 1．下列是关于x的一元二次方程的是( ) A．2x2＋x－3 B．32x＋8＝0 C．x＋2＝0 D．3x(x＋2)＝1 2．关于x的方程(m－1)x2－2x＝3是一元二次方程，则m的取值范围是( ) A．m>1 B．m≥1 C．m≠1 D．m≠0 3．方程4x(x＋2)＝25的一般形式为__________________，二次项系数为 ______，一次项系数为______，常数项为_________． 4．一个面积为48平方厘米的矩形，宽比长短2厘米，若设矩形的长为x厘米， 则所列的方程是_______________，化为一般形式为_________________． D C 4x2＋8x－25＝0 4 8 －25 x(x－2)＝48 x2－2x－48＝0 重点典例探析 1 m≠－1 －1 C B 5+2思维赋能 x2＝10(x－3)＋x x2－11x＋30＝0 (x－2)2＋(x－4)2＝x2 x2－12x＋20＝0 重点1　一元二次方程的定义及相关概念的应用(拆解) 【典例1】(2022·长沙期中)若方程(m＋1) －(m－1)x－1＝0是一元二次方程，则m的值为____. 对二次项系数和次数分别有什么要求？与一次项有关系吗？ 【思维切入】概念分析→m2＋1＝2且m＋1≠0. 【自主解答】∵方程(m＋1) －(m－1)x－1＝0是一元二次方程， ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＋1＝2,m＋1≠0)) ，解得m＝1. 1．若方程(m＋1)x2－(m－1)x－1＝0是一元二次方程，则m的取值范围为________． 【解析】∵方程(m＋1)x2－(m－1)x－1＝0是一元二次方程，∴m＋1≠0， ∴m的取值范围为m≠－1. 2．若方程3 －(m－1)x－1＝0是一元二次方程，且一次项的系数大于0，则m的值为_______． 【解析】∵方程3 －(m－1)x－1＝0是一元二次方程，且一次项的系数大于0， ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＋1＝2,－（m－1）>0)) ， 解得m＝－1. 3.方程(2a－4)x2－2bx＋a＝0，在什么条件下此方程为关于x的一元二次方程？在什么条件下此方程为关于x的一元一次方程？ 【解析】∵方程(2a－4)x2－2bx＋a＝0是关于x的一元二次方程， ∴2a－4≠0即a≠2； ∵方程(2a－4)x2－2bx＋a＝0是关于x的一元一次方程， ∴2a－4＝0，且2b≠0， 即a＝2，且b≠0. 【归纳提升】 “三要素”确定字母的取值(或范围)(建模思想、整体思想) 三要素 ①含有一个未知数 ②未知数的最高次数是2 ③二次项的系数不为零 特别提醒： 1．对含有多个字母的方程，首先要明确未知数是哪个字母； 2．一元二次方程未知数的最高次数必须是2次，既要保证没有高于2次的项，又要保证2次项系数不为零． 重点2　根据实际问题列一元二次方程(建模思想) 【典例2】(2022·石家庄质检)根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式． (1)某印刷厂3月份印刷了50万册书籍，5月份印刷了72万册书籍，如果每月印刷的增长率都相同，求每月印刷的增长率x； (2)一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给其他好友发了一条消息，一共产生132条消息． 【解析】(1)设每月印刷的增长率都为x， 根据题意得：50(1＋x)2＝72； 化为一般形式为25x2＋50x－11＝0. (2)设有x个好友，依题意得 x(x－1)＝132， 化为一般形式为x2－x－132＝0. 1．(2022·邵阳质检)某种商品经过连续两次降价20%后价格为a，若设原价为x，则可列方程为( ) A．x(1＋20%)2＝a B．a(1＋20%)2＝x C．x(1－20%)2＝a D．a(1－20%)2＝x 【解析】∵某种商品经过连续两次降价20%后价格为a，原价为x， ∴第一次降价后的价格为x(1－20%)， ∴第二次降价后的价格为x(1－20%)×(1－20%)＝x(1－20%)2， ∴可列方程为：x(1－20%)2＝a. 【加固训练】 (2022·永州期中)在一次同学聚会上，参加的每个人都与其他人握手一次，共握手190次，设参加这次同学聚会的有x人，可得方程( ) A．x(x－1)＝190 B．x(x－1)＝380 C．x(x－1)＝95 D．(x－1)2＝380 【解析】设共有x人参加同学聚会，可得方程： x(x－1)÷2＝190，x(x－1)＝380. 2．某农场计划修建一条横断面为等腰梯形的渠道，横断面面积为1.53 m2.上口宽比渠底宽多1.4 m，渠深比渠底宽少0.1 m．设渠底宽为x m. (1)写出关于x的方程； (2)将所列方程整理成二次项系数是1的一般形式，并指出此时一次项系数和常数项． 【解析】(1)依题意得： eq \f(1,2) (1.4＋x＋x)(x－0.1)＝1.53. (2)由(1)知， eq \f(1,2) (1.4＋x＋x)(x－0.1)＝1.53，即x2＋0.6x－1.6＝0. 所以此时一次项系数为0.6，常数项是－1.6. 【归纳提升】 列一元二次方程“五步法”(建模思想) 1．审题：审清未知量是什么，已知条件是什么． 2．设未知数：把题目中的未知量用字母表示出来． 3．列代数式：利用已知条件列出表示一定意义的代数式． 4．确立等量关系：找出能够表达应用题全部含义的等量关系． 5．列方程：用代数式表示等量关系中的各个量，则可得方程． 古诗文中的一元二次方程 诗词欣赏： 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿符； 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ 　解决问题： 若设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则可列方程为_________________．化为一般形式是_________________． 诗词欣赏： 笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹； 横多四尺竖多二，没法急得放声哭； 有个邻居聪明者，教他斜竿对两角； 笨伯依言试一试，不多不少刚抵足； 借问竿长多少数，谁人算出我佩服． 　解决问题： 若设竿长为x尺，则可列方程为____________________________．化为一般形式是_________________________． $$