第二十七章 相似（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（广东省专用,人教版）

第二十七章 相似（单元培优卷 人教版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．已知，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，若的面积为，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 3．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是（     ）． A． B． C． D． 4．如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“E”字高度为，当测试距离为时，最大的“E”字高度为（    ） A． B． C． D． 5．如图，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，的面积为12，，分别为边，的中点，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．如图，在梯形中，，对角线和相交于点E，且，下列等式成立的是（     ）． A． B． C． D． 8．如图，已知E是正方形的边的中点，P是边上的一个动点，下列条件不能推出与相似的是（　　） A．P是边的中点B． C． D． 9．如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为6，则的周长是（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 10．如图，中，，，被划分成三部分，则它们的面积比（   ） A． B． C． D． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．在比例尺为的地图上甲地到乙地的距离是5厘米，则甲乙两地的实际距离是 千米． 12．已知，则 ． 13．如图，，如果，则 ． 14．已知P是线段上的一个黄金分割点，，，那么 ． 15．图1是装了红酒的高脚杯示意图（数据如图），喝去一部分红酒后如图2所示，此时液面的长为 ． 16．如图，已知，三条对应边在同一条直线上，连接，分别交于点P，Q，K，其中，则图中三个阴影部分的面积和为 ． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）如图，、相交于点P，连接、，且，，，，求的长． 18．（4分）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．以原点O为位似中心，在第三象限画出，使它与的相似比是2． 19．（6分）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． (1)若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长； (2)若，，求a，b，c的长． 20．（6分）已知，在中，，分别是边，上的点，连接，，，和相交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的值． 21．（8分）如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式： ①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为； ②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线； ③调整D，E的位置，使，记录下的距离为； ④测量出之间的距离大约为． 数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明． 22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别为． (1)以坐标原点O为位似中心，位似比为，将作位似变换后得到，请在平面直角坐标系中画出． (2)设与，面积分别为和，试求的值． 23．（10分）如图，在锐角三角形中，于点E，点D在边上，连接交于点F，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，已知，求． 24．（12分）如图，已知⊙O的半径长为1，是⊙O的两条弦，且，的延长线交于点D，连接 (1)求证：； (2)记的面积分别为S1，S2，S3，如果，求证：点D为线段的黄金分割点． 25．（12分）仓颉庙是中国仅存的纪念文字发明创造的庙宇，曾被国务院列为全国重点文物保护单位．昕昕某次参观完仓颉庙后，准备用所学知识测量仓颉雕塑的高度，如图，雕塑的顶端和底部处均不易到达，雕塑垂直于地面，昕昕在地面上的点处测得雕塑顶端的仰角，请你根据下列条件，帮助昕昕完成测量方案． 条件一：测量可以在有阳光的晴日里进行； 条件二：昕昕只备有①一根标杆、②一面平面镜、③一卷足够长的皮尺三种工具． (1)你所选用的测量工具是______；（填序号） (2)请在图中补全测量示意图并写出测量数据（不要求写测量过程）；（线段长度用a、b、c……表示） (3)根据你的测量数据，计算该雕塑的高度AB．（用含a、b、c……的式子表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十七章 相似（单元培优卷 人教版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．已知，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、由得，故本选项错误，不符合题意； B、由得，故本选项正确，符合题意； C、由得，故本选项错误，不符合题意； D、由得，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 2．已知，，若的面积为，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【详解】解：已知，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 故选：C ． 3．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，点G为位似中心，则它们位似中心的坐标是， 故选：C． 4．如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“E”字高度为，当测试距离为时，最大的“E”字高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得：，，， ， ， 当测试距离为时，最大的“E”字高度为， ， ， 解得：， ∴当测试距离为时，最大的“E”字高度为； 故选：C． 5．如图，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 6．如图，的面积为12，，分别为边，的中点，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】解：点、分别是边、的中点 点、分别是边、的中点 、的面积为12 四边形的面积为9． 故选：D． 7．如图，在梯形中，，对角线和相交于点E，且，下列等式成立的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ， ， ，故A不成立； , ，即，故B不成立； ， ， ，即，故C成立； , ，故D不成立， 故选：C． 8．如图，已知E是正方形的边的中点，P是边上的一个动点，下列条件不能推出与相似的是（　　） A．P是边的中点B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是正方形的边的中点， ∴ 当P是中点时， ∴， ∴， ∴不能推出与相似，故A符合题意； B．∵， ∴，故选项B不符合题意； C．∵，， ∴，故选项C不符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，故选项D不符合题意； 故选：A． 9．如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为6，则的周长是（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的周长， ∵的周长为6， ∴的周长为18， 故选：C． 10．如图，中，，，被划分成三部分，则它们的面积比（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：D． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．在比例尺为的地图上甲地到乙地的距离是5厘米，则甲乙两地的实际距离是 千米． 【答案】50 【详解】解：根据题意，得实际距离为：． 故答案为：50． 12．已知，则 ． 【答案】 【详解】∵， 设，， ∴， 故答案为：． 13．如图，，如果，则 ． 【答案】 【详解】解：， ，即， ， 故答案为：． 14．已知P是线段上的一个黄金分割点，，，那么 ． 【答案】 【详解】 解：点是线段的黄金分割点，，若， 则， 故答案为：． 15．图1是装了红酒的高脚杯示意图（数据如图），喝去一部分红酒后如图2所示，此时液面的长为 ． 【答案】 【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：， 第二个高脚杯盛液体的高度为：， 因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯， 所以图1和图2中的两个三角形相似， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，已知，三条对应边在同一条直线上，连接，分别交于点P，Q，K，其中，则图中三个阴影部分的面积和为 ． 【答案】26 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 又∵， ∴（相似比为1）， 设的边为x，边上的高为h， 则， 整理得， ∴， ， ， ∴三个阴影部分面积的和为：． 故答案为：26． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）如图，、相交于点P，连接、，且，，，，求的长． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即：， ∴． 18．（4分）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．以原点O为位似中心，在第三象限画出，使它与的相似比是2． 【答案】见解析 【详解】解：∵的三个顶点坐标分别为，，，在第三象限，且与的相似比是2， ∴， 如图所示：即为所求； 19．（6分）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． (1)若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长； (2)若，，求a，b，c的长． 【答案】(1) (2)，， 【详解】（1）解：∵c是a，b的比例中项线段， ∴， ∴（负值舍去） 即c的长为； （2）解：设 ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ 20．（6分）已知，在中，，分别是边，上的点，连接，，，和相交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）∵，， ∴． （2）∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 21．（8分）如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式： ①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为； ②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线； ③调整D，E的位置，使，记录下的距离为； ④测量出之间的距离大约为． 数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明． 【答案】能测出树A与树B之间的距离为18米 【详解】能测出树A与树B之间的距离，如下： ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∵的距离为，的距离为，之间的距离大约为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：能测出树A与树B之间的距离为18米． 22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别为． (1)以坐标原点O为位似中心，位似比为，将作位似变换后得到，请在平面直角坐标系中画出． (2)设与，面积分别为和，试求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）如图所示： 即为所求； （2）与是位似图形，位似比为， 23．（10分）如图，在锐角三角形中，于点E，点D在边上，连接交于点F，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，已知，求． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ， ； （2）证明：∵， ， ∵， ， ； （3）解：由（2）得， ， ， ， ， ， ． 24．（12分）如图，已知⊙O的半径长为1，是⊙O的两条弦，且，的延长线交于点D，连接 (1)求证：； (2)记的面积分别为S1，S2，S3，如果，求证：点D为线段的黄金分割点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴， 又∵， ∴； （2）证明：如图，过点O作于N，于M， 由（1）知，， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴的面积分别为： ∵， ∴ ∴ 即： ∴点D为线段的黄金分割点． 25．（12分）仓颉庙是中国仅存的纪念文字发明创造的庙宇，曾被国务院列为全国重点文物保护单位．昕昕某次参观完仓颉庙后，准备用所学知识测量仓颉雕塑的高度，如图，雕塑的顶端和底部处均不易到达，雕塑垂直于地面，昕昕在地面上的点处测得雕塑顶端的仰角，请你根据下列条件，帮助昕昕完成测量方案． 条件一：测量可以在有阳光的晴日里进行； 条件二：昕昕只备有①一根标杆、②一面平面镜、③一卷足够长的皮尺三种工具． (1)你所选用的测量工具是______；（填序号） (2)请在图中补全测量示意图并写出测量数据（不要求写测量过程）；（线段长度用a、b、c……表示） (3)根据你的测量数据，计算该雕塑的高度AB．（用含a、b、c……的式子表示） 【答案】(1)①③ (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：根据题意可选：①③； （2）测量示意图如图所示： 测得，． （3）∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵，， ∴， ， 即， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$