第6章 图形的相似知识归纳与题型突破（单元复习 12类题型清单）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（苏科版）

第6章 图形的相似知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、成比例线段的概念 1．比例的项： 在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足． 2．成比例线段： 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 二、比例的性质 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质：或 或 （4）合比性质： （5）分比性质： （6）合分比性质： （7）等比性质： 已知，则当时，. 三、黄金分割 如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 四、平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，． 【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，． 五、平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，． 六、平行线分线段成比例定理的推论的逆定理 若或或，则有EF//BC． 【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行． 【小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做 交AC于点，再证明与F重合即可． 七、相似三角形的判定 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则． 八、 相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等． 如图，，则有 ． ②相似三角形的对应边成比例． 如图，，则有 （为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有 ④相似三角形周长的比等于相似比． 如图，∽，则有 ． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，∽，则有 九、位似图形 1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有 =，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心 2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 3、画图步骤： （1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形 （2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数， 所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 03 题型归纳 题型一　利用成比例线段判断及求解 例题：（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 巩固训练 1．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）下列线段中，能成比例的是（   ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 2．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知线段a、b满足，且． (1)求线段a、b的长； (2)若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知三条线段，，满足，且. (1)求，，的值； (2)若线段是线段和的比例中项，求的值. 题型二　利用比例的合比性质求解 例题：（24-25九年级上·重庆·阶段练习）已知，则 ． 巩固训练 1．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）已知，其中，那么 ． 2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）若，则 ． 3．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）已知，则的值为 ． 题型三　利用比例的等比性质求解 例题：（23-24九年级上·江西景德镇·期中）已知，则 ． 巩固训练 1．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如果，且，那么 ． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知非零实数，，满足，则的值为 ． 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知，求值． 4．已知，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 题型四　利用黄金分割求线段的长 例题：点P是长度为10的线段上的黄金分割点，则较短线段的长度为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．在长度为1的线段上有一点P．满足，则长为（    ） A． B． C． D． 2．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图（1），点把线段分成两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点．如图（2），点分别是线段的黄金分割点，（），若，则的长是（　　） A． B． C． D． 3．鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为8cm，则的长为 cm．（结果保留根号） 题型五　由平行判断成比例的线段 例题：如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（　　）    A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是（　　）    A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，D、E分别为边上的点，，点F为边上一点，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型六　由平行截线求相关线段的长 例题：（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线，，，则的长是 ． 巩固训练 1．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）如图，、相交于点，点、分别在、上，．若，则 ． 2．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，在中,D、E、F分别是上的点，且，，，，求和的长． 3．（2024九年级上·河北·专题练习）如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，求的长． 题型七　由平行截线求相关线段的比值 例题：（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，直线，直线分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线分别交于点D，E，F．与相交于点H，且，则的值为 ． 巩固训练 1．（23-24九年级上·河南南阳·期中）如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于 ． 2．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，是的中线，E是上一点，过点C作，交的延长线于点G，交于点F．若，求的值． 3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，为边上的中线，为上的点，连接并延长，交于． (1)若是的中点，则______； (2)若，则______； (3)若，则______； (4)若，猜想______，并证明． 题型八　补充条件使两个三角形相似 例题：如图，在中，，点在上（点与，不重合），若再增加一个条件就能使，则这个条件是________（写出一个条件即可）． 巩固训练 1．如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件_________，使． 2．如图，已知相交于点O，若补充一个条件后，便可得到，则要补充的条件可以是________． 3．如图所示，在四边形中,AD∥BC，如果要使△ABC∽△ADC，那么还要补充的一个条件是________．（只要求写出一个条件即可） 题型九　利用三角形相似的性质求解 例题：（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）已知，相似比为，则与的周长比为 ． 1．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，，，其中， ． 2．（23-24九年级下·湖南岳阳·期末）若，，，面积为10，则的面积为 ． 3．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，，E是上一点，，在上取一点F，使以A、E、F为顶点的三角形与相似，那么 ． 4．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，，相交于点，． (1)求证：； (2)已知，，的面积为50，求的面积． 题型十　三角形相似的判定与性质 例题：如图，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上    (1)求证： (2)的的面积比为________． 巩固训练 1.如图所示，延长平行四边形一边至点F，连接交于点E，若．    (1)求证：； (2)若，求的长． 2.如图，在正方形中，E是的中点，点F在上，且．    (1)求证：； (2)与相似吗？为什么？ 3.如图，在中，平分，点E在上，且．    (1)求证：； (2)若，，求的值． 题型十一　利用位似在网格中作图求解 例题：（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)作出先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的； (2)在第三象限内，以点O为位似中心作出的位似图形，使新图与原图的位似比为． (3)在（2）的条件下，若M为边上的中点，则的边上与点M对应的点的坐标为______． 巩固训练 1．（23-24九年级上·海南海口·阶段练习）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点在格点（网格线的交点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为．    (1)将向左平移5个单位长度，得到，画出； (2)以点O为位似中心，将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到，在所给的方格纸中画出； (3)若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点M2的坐标是 ． 2．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为，，． (1)以点O为位似中心，在y轴右侧画，使它与的相似比为； (2)的面积为__________； (3)若点为内一点，则点M的对应点的坐标为__________． 3．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示： (1)在图中画出沿x轴翻折后的； (2)以点为位似中心，在第一象限画出与位似的三角形，使与的相似比为； (3)点的坐标___________；与的周长比是___________，与的面积比是___________． 4．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为个单位长度），请按下列要求画图： (1)与关于原点成中心对称，画出并写出点的坐标； (2)以原点为位似中心，相似比为，在第一象限内将放大，画出放大后的并写出点的坐标； (3)根据信息回答问题：已知的面积为，边上的高为，请直接写出的面积和边上的高的值． 题型十二　利用三角形相似解决实际问题 例题：（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，小明利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆的高为，并测得，，那么树的高度为 ． 1．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离．旗杆高度为 m． 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图所示，我校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，，求建筑物的高． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上． (1)求的长； (2)求点到地面的高度． 4．（23-24九年级上·河北邢台·期中）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，交于点． (1)当点恰好为中点时，______． (2)若矩形的周长为，求出的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 图形的相似知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、成比例线段的概念 1．比例的项： 在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足． 2．成比例线段： 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 二、比例的性质 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质：或 或 （4）合比性质： （5）分比性质： （6）合分比性质： （7）等比性质： 已知，则当时，. 三、黄金分割 如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 四、平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，． 【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，． 五、平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，． 六、平行线分线段成比例定理的推论的逆定理 若或或，则有EF//BC． 【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行． 【小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做 交AC于点，再证明与F重合即可． 七、相似三角形的判定 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则． 八、 相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等． 如图，，则有 ． ②相似三角形的对应边成比例． 如图，，则有 （为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有 ④相似三角形周长的比等于相似比． 如图，∽，则有 ． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，∽，则有 九、位似图形 1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有 =，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心 2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 3、画图步骤： （1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形 （2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数， 所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 03 题型归纳 题型一　利用成比例线段判断及求解 例题：（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查线段成比例的知识，解题的关键是只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，不成比例，不符合题意； B、，不成比例，不符合题意； C、，成比例，符合题意； D、，不成比例，不符合题意． 故选：C． 巩固训练 1．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）下列线段中，能成比例的是（   ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【答案】D 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键．注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项正确． 故选：D． 2．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知线段a、b满足，且． (1)求线段a、b的长； (2)若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长． 【答案】(1)线段的长为18，线段的长为12 (2)线段的长为 【知识点】成比例线段、比例线段 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键． （1）设，，代入计算可得的值，由此即可得； （2）根据比例中项可得，由此即可得． 【详解】（1）解：， 设，， ， ， ， ，， 线段的长为18，线段的长为12． （2）解：线段是线段、的比例中项，，， ， 由题意知，， ， 线段的长为． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知三条线段，，满足，且. (1)求，，的值； (2)若线段是线段和的比例中项，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】比例线段、成比例线段 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段； （1）设，用含的代数式分别表示出，再由，建立关于的方程，解方程求出的值，从而可求出的值； （2）由已知线段 是线段 和 的比例中项，可得到，代入计算求出的值． 【详解】（1）解：设，则， ∵ ∴ 即， 解得：， ∴； （2）解：∵线段是线段和的比例中项， ∴， ∵ ∴． 题型二　利用比例的合比性质求解 例题：（24-25九年级上·重庆·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意设，，将其代入式子求解，即可解题，根据题意设出，是解题的关键． 【详解】∵， 设，， ∴， 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）已知，其中，那么 ． 【答案】/ 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的基本性质．根据比例的基本性质，变形计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】解：∵， ∴设，则（）， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【知识点】分式化简求值、比例的性质 【分析】本题考查了分式求值，熟练掌握“设法”是解题的关键，设比值为，用表示出然后代入分式即可得解． 【详解】解：设， ， 原式． 故答案为：． 题型三　利用比例的等比性质求解 例题：（23-24九年级上·江西景德镇·期中）已知，则 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，依据比例基本性质中的等比性质直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如果，且，那么 ． 【答案】/0.6 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，根据已知条件，设，，，，，，则，即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：根据已知条件，设，，，，，， ∴， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知非零实数，，满足，则的值为 ． 【答案】8或 【知识点】比例的性质 【分析】本题主要考查比例的性质，设，求出，分或求解即可． 【详解】解：设，则有： 得，， 当时，则， ∴， ∴ ∴； 当时， ∴ 故答案为：8或． 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知，求值． 【答案】1或 【知识点】比例的性质 【分析】本题主要考查了比例的性质，当，则，进而得到，据此可得答案；②当时，则，进而得到． 【详解】解：①当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，则． ∴； 综上所述，值1或． 4．已知，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2)10 【分析】（1）利用等比性质，进行计算即可解答； （2）利用等比性质，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：，且， ， 的值为2； （2）解：， ， ， ， ， 的值为10． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键． 题型四　利用黄金分割求线段的长 例题：点P是长度为10的线段上的黄金分割点，则较短线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据黄金分割的定义即把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比，分别进行计算即可． 【详解】解：点P是长度为 10的线段上的黄金分割点， ∴较长的线段的长度为， 则较短的线段的长度为：； 故选C． 【点睛】此题考查了黄金分割，熟记黄金分割的公式：较短的线段原线段的，较长的线段原线段的是本题的关键． 巩固训练 1．在长度为1的线段上有一点P．满足，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段，代入数据即可得出的长，进而求出的长度． 【详解】解：是线段上的一点，且满足， 为线段的黄金分割点，且是较长线段， ， ． 故选A． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点． 2．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图（1），点把线段分成两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点．如图（2），点分别是线段的黄金分割点，（），若，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中黄金分割点定义，在图（1）中令，设，，即，解得，从而，得到黄金分割比由点分别是线段的黄金分割点，可知，，，则，，，根据，代入求解即可得到，，． 【详解】解：如图（1），点把线段分成两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点， 令，设，则，则由，代值得，解得， ， ， 点分别是线段的黄金分割点， ，，， ，，， 将，代入求解即可得到，，， 故选：A． 【点睛】本题查处黄金分割点定义，涉及黄金分割比求解及利用黄金分割比求线段长，读懂题意，理解黄金分割点定义得到比例是解决问题的关键． 3．鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为8cm，则的长为 cm．（结果保留根号） 【答案】 【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可解答． 【详解】解：∵点P是的黄金分割点（），线段的长为， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割的比例线段，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 题型五　由平行判断成比例的线段 例题：如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例判断各项即可． 【详解】解：A．由，得，故A选项错误； B．由，得，又由，得，则，故B选项错误，D选项正确； C．由，得，故C选项错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例． 巩固训练 1．如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：， ，，，； ∴选项A、C、D正确， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练运用平行线分线段成比例定理是解题的关键． 2．如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质得出，，，，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故A正确，不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴，故B正确，不符合题意； C．∵， ∴，故C正确，不符合题意； D．∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，故D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，D、E分别为边上的点，，点F为边上一点，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，选项错误，不符合题意； B、∵， ∴，选项错误，不符合题意； C、∵， ∴，选项正确，符合题意； D、∵， ∴，选项错误，不符合题意； 故选：C． 题型六　由平行截线求相关线段的长 例题：（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线，，，则的长是 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为． 巩固训练 1．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）如图，、相交于点，点、分别在、上，．若，则 ． 【答案】18 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：由平行截线求相关线段的长或比值；由，得出，结合线段和差关系，即，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：18． 2．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，在中,D、E、F分别是上的点，且，，，，求和的长． 【答案】， 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，注意对应线段是解答的关键．利用平行线分线段成比例得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，即， 解得：， ∴． ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∴，． 3．（2024九年级上·河北·专题练习）如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理并找准对应线段是解题的关键． （1）由平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长； （2）由平行线分线段成比例定理得到，由得到，即，即可得到的长， 【详解】（1）解：∵，，，， ， 即， 解得：； （2）解：∵，， ， 即， 解得：． 题型七　由平行截线求相关线段的比值 例题：（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，直线，直线分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线分别交于点D，E，F．与相交于点H，且，则的值为 ． 【答案】/0.6 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】此题考查平行线分线段成比例，先求出，根据得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为 巩固训练 1．（23-24九年级上·河南南阳·期中）如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理，由得到，则利用比例性质得到，然后利用可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 2．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，是的中线，E是上一点，过点C作，交的延长线于点G，交于点F．若，求的值． 【答案】1 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、由平行截线求相关线段的长或比值、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例，延长交的延长线于点M，连接，先证明推出四边形为平行四边形，得到设，则根据平行线分线段成比例，进行求解即可． 【详解】解：延长交的延长线于点M，连接． 为的中线， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ． ， ． 设，则 ， ． ． 3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，为边上的中线，为上的点，连接并延长，交于． (1)若是的中点，则______； (2)若，则______； (3)若，则______； (4)若，猜想______，并证明． 【答案】(1) (2) (3) (4)，理由见解析 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，三角形中位线定理，解题的关键是： （1）取中点G，连接，根据三角形中位线定理得出，根据平行线分线段成比例得出，然后根据比例的性质求解即可； （2）仿照（1）求解即可； （3）仿照（1）求解即可； （4）仿照（1）求解即可． 【详解】（1）解：取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 又 ∴， 即， 故答案为：； （2）解：取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵ ∴， 又 ∴， 即， 故答案为：； （3）解：取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵ ∴， 又 ∴， 即， 故答案为：； （4）解： 理由：取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵ ∴， 又 ∴， 即， 故答案为：； 题型八　补充条件使两个三角形相似 例题：如图，在中，，点在上（点与，不重合），若再增加一个条件就能使，则这个条件是________（写出一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】两个三角形中如果有两组角对应相等，那么这两个三角形相似，据此添加条件即可． 【详解】解：添加，可以使两个三角形相似． ∵，， ∴． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，两组角对应相等的两个三角形相似．理解和掌握三角形相似的判定是解题的关键． 巩固训练 1．如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件_________，使． 【答案】∠ADE=∠B（答案不唯一）． 【分析】已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定． 【详解】解∶∵∠A=∠A， ∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件∠ADE=∠B或∠AED=∠C证相似； 根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件证相似． 故答案为∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 2．如图，已知相交于点O，若补充一个条件后，便可得到，则要补充的条件可以是________． 【答案】∠B=∠C（答案不唯一） 【分析】根据题意有∠AOB=∠DOC，因此根据相似三角形的判定条件只需要添加∠B=∠C或∠A=∠D即可证明△AOB∽△DOC． 【详解】解：∵∠AOB=∠DOC， ∴当添加条件∠B=∠C时可以证明△AOB∽△DOC， 故答案为：∠B=∠C（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键． 3．如图所示，在四边形中,AD∥BC，如果要使△ABC∽△ADC，那么还要补充的一个条件是________．（只要求写出一个条件即可） 【答案】或或（答案不唯一） 【分析】先由AD∥BC，得到∠DAC=∠ACB，然后利用相似三角形的判定定理，做题即可． 【详解】解：∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB， ∴当∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或 ∴都可得相似． 故答案为：∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似． 题型九　利用三角形相似的性质求解 例题：（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）已知，相似比为，则与的周长比为 ． 【答案】/ 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握“相似三角形的周长之比等于相似比”是解本题的关键． 相似三角形的周长比等于相似比，根据性质直接可得答案． 【详解】解：∵，相似比为， ∴与的周长比等于相似比． 故答案为：． 1．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，，，其中， ． 【答案】3 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：3． 2．（23-24九年级下·湖南岳阳·期末）若，，，面积为10，则的面积为 ． 【答案】40 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方解题即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 又面积为10， ∴的面积为， 故答案为：40． 3．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，，E是上一点，，在上取一点F，使以A、E、F为顶点的三角形与相似，那么 ． 【答案】或 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形的相似比求解即可． 【详解】解：①当时，， 即， 解得, ②当时，， 即， 解得， 综上所述，或， 故答案为：或． 4．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，，相交于点，． (1)求证：； (2)已知，，的面积为50，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明两三角形相似、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质． （1）对顶角相等，结合，即可得出； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可． 【详解】（1）证明：∵，又， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 解得． 所以的面积为． 题型十　三角形相似的判定与性质 例题：如图，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上    (1)求证： (2)的的面积比为________． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析． 【分析】（1）根据勾股定理求得两三角形三边长，按大小边顺序，求出两三角形对应三边比，根据“两三角形三边对应成比例，两三角形相似”得证． （2）根据相似三角形性质“面积比等于相似比的平方”求解． 【详解】（1）解：由图知，，，，，，， ∴，，； ∴ ∴ （2）解：∵ ∴的的面积比为，即． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定方法及性质是解题的关键． 巩固训练 1.如图所示，延长平行四边形一边至点F，连接交于点E，若．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，则，即可求证； （2）根据平行四边形的性质可得，根据相似三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等；相似三角形对应边成比例． 2.如图，在正方形中，E是的中点，点F在上，且．    (1)求证：； (2)与相似吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)相似，理由见解析 【分析】（1）由正方形的性质可得,，再根据可得，进而说明，再结合，即可证明结论； （2）设，利用E为边的中点，，得到，则可计算出,由勾股定理逆定理可得以及再说明即可证明结论． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴, ∵， ∴， ∵点F在上， ∴, ∴, ∵, ∴． （2）解：与相似，理由如下： 设， ∵E为边的中点，， ∴， ∴，,, ∴,即, ∴, ∵, ∴, ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定、正方形的性质、勾股定理逆定理等知识点，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解答本题的关键． 3.如图，在中，平分，点E在上，且．    (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）已知平分，可得，再由，可得，即可得，从而得； （2）作于点F，于点G，利用角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式求得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：作于点F，于点G，    ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、平行线的判定和性质、角平分线的性质，掌握“角平分线上点到角两边的距离相等”是解题的关键． 题型十一　利用位似在网格中作图求解 例题：（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)作出先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的； (2)在第三象限内，以点O为位似中心作出的位似图形，使新图与原图的位似比为． (3)在（2）的条件下，若M为边上的中点，则的边上与点M对应的点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】平移(作图)、在坐标系中画位似图形、求位似图形的对应坐标 【分析】本题主要考查平移，位图图形的性质，熟练掌握位似图形是解题的关键． （1）根据题意得到对应点的坐标，画出平移图形即可； （2）根据相似比分别求出对应点的坐标，进行画图即可． （3）根据中点坐标公式求出M的坐标，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，为所求图形； （2）解：根据相似比可得，， 如图，为所求； （3）解：根据题意，若M为边上的中点， ． 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24九年级上·海南海口·阶段练习）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点在格点（网格线的交点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为．    (1)将向左平移5个单位长度，得到，画出； (2)以点O为位似中心，将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到，在所给的方格纸中画出； (3)若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点M2的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】平移(作图)、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查作图位似变换，平移变换等知识，解题的关键是正确寻找图形，属于中考常考题型． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可． （2）根据位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可． （3）根据点的位置，写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点的坐标为，    故答案为：． 2．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为，，． (1)以点O为位似中心，在y轴右侧画，使它与的相似比为； (2)的面积为__________； (3)若点为内一点，则点M的对应点的坐标为__________． 【答案】(1)图见解析 (2)14 (3) 【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查作图−位似变换、位似图形的性质、在网格中求三角形的面积，（1）根据题意可得，，，，再依次连接即可； （2）利用分割法求三角形面积即可； （3）利用位似图形的性质求点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ∵，，，它与的相似比为， ∴，，， 依次连接点、、即可； （2）解：由图可得，， 故答案为：14； （3）解：∵为内一点， ∴点M的对应点的坐标为， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示： (1)在图中画出沿x轴翻折后的； (2)以点为位似中心，在第一象限画出与位似的三角形，使与的相似比为； (3)点的坐标___________；与的周长比是___________，与的面积比是___________． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)，， 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、在坐标系中画位似图形、画轴对称图形 【分析】本题考查坐标与图形变换—轴对称与位似： （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）根据位似的性质，画出即可； （3）直接写出的坐标，根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）由图可知，， ∵翻折， ∴， ∵与的相似比为 ∴与的相似比为， ∴与的周长比是，与的面积比是； 故答案为：，，． 4．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为个单位长度），请按下列要求画图： (1)与关于原点成中心对称，画出并写出点的坐标； (2)以原点为位似中心，相似比为，在第一象限内将放大，画出放大后的并写出点的坐标； (3)根据信息回答问题：已知的面积为，边上的高为，请直接写出的面积和边上的高的值． 【答案】(1)画图见解析，； (2)画图见解析，； (3)的面积为，边上的高． 【知识点】画已知图形关于某点对称的图形、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】（）根据中心对称的性质即可得到，进而求出点的坐标； （）根据位似图形的性质，即可得到放大后的，进而求出的坐标； （）根据相似三角形的性质对应高的比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可求解； 本题考查了旋转变换以及位似变换即性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）如图，找，，关于原点对称的点， ∴即为所求，； （2）如图，以原点为位似中心，相似比为，把，，放大倍的对应坐标为，，， ∴即为所求，； （3）∵的面积为，边上的高为，相似比为， ∴，边上的高与边上的高的比为， ∴的面积为，边上的高． 题型十二　利用三角形相似解决实际问题 例题：（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，小明利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆的高为，并测得，，那么树的高度为 ． 【答案】10 【知识点】相似三角形应用举例 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，先根据相似三角形的判定定理得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长． 【详解】解：，， ，， 在与中，，， ， ， 即， 解得． 故答案为：10 1．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离．旗杆高度为 m． 【答案】8 【知识点】相似三角形应用举例 【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直证；然后根据三角形相似的性质，即可求出答案． 【详解】解：如图所示，作，    由图可知，，， ． 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， ． ，，， ． ． 故答案为：8． 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图所示，我校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，，求建筑物的高． 【答案】 【知识点】相似三角形应用举例 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上． (1)求的长； (2)求点到地面的高度． 【答案】(1) (2) 【知识点】相似三角形应用举例、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的应用，理解题意，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得，经检验，符合题意； （2）解：由题意，，， ∴， ∴，即， ∴． 4．（23-24九年级上·河北邢台·期中）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，交于点． (1)当点恰好为中点时，______． (2)若矩形的周长为，求出的长度． 【答案】(1)60 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形应用举例 【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高之比等于相似比； （1）由，得到，代入即可求解， （2）根据，得到，得到对应高之比等于相似比，，从而得到的长， 【详解】（1）解：∵为中点， ∴， ∵在矩形中，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． ∴四边形为矩形， ∴，， ∵矩形的周长为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$